Phần thuận. Gọi I là trung điểm của AO thì I là điểm cố định. IM là đường trung bình của tam giác AOB nên $IM=\frac{OB}{2}=2cm.$ Điểm M luôn các điểm I cố định 2 cm nên M thuộc đường tròn tâm I bán kính 2 cm.

Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn $\left(I;2cm\right),$ M khác A.

Ta sẽ chứng minh rằng M là trung điểm của một đoạn thẳng nào đó có một đầu là A và một đầu thuộc đường tròn (O)

Thật vậy, gọi B là giao điểm của AM và (O), tam giác IAM cân nên $\widehat{IAM}=\widehat{IMA}, \Delta OAB$ cân nên $\widehat{OAB}=\widehat{B},$ suy ra $\widehat{IMA}=\widehat{B},$ do đó $IM//OB.$ Tam giác OAB có $OI=IA, IM//OB$ nên AM=MB.

Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên (O), tập hợp các trung điểm M của AB là đường tròn (I;2cm) trừ điểm A.

Phần thuận. OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAB nên $OM=\frac{AB}{2}$ mà $MA=\frac{AB}{2},$ suy ra MA=MO. Điểm M cách đều hai điểm O và A cố định nên M thuộc đường trung trực của OA.

Giới hạn: Vì đoạn thẳng AB chỉ thuộc miền trong góc vuông xOy nên điểm M nằm trên tia Hm thuộc đường trung trực của OA và thuộc miền trong góc xOy.

Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc tia Hm thì

Từ (1), (4) suy ra MA=MB do đó M là trung điểm của AB.

Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên tia Ox thì tập hợp các trung điểm M của AB là tia Hm thuộc đường trung trực của OA và thuộc miền trong góc xOy.

$S_{MAB}=S_{MAC}\Rightarrow BB\text{'}=CC\text{'}(BB\text{'},CC\text{'}$ là các đường vuông góc kẻ từ B và từ C đến MA). Xét hai trường hợp:

a) Điểm M thuộc miền trong góc BAC hoặc góc đối đỉnh với nó (h.34), tức là B và C nằm khác phía đốỉ với AM. Khi đó đường thẳng AM cắt đoạn thẳng BC ở I. Do $BB\text{'}=CC\text{'},BB\text{'}//CC\text{'}$ nên BB'CC' là hình bình hành, I là trung điểm của BC. Điểm M thuộc đường thăng AI.

b) Điểm M thuộc miền trong góc kề bù với góc BAC (h.35), tức là B và C nằm cung phía đối với AM. Do $BB\text{'}=CC\text{'},BB\text{'}//CC\text{'}$ nên BB'CC' là hình bình hành, AM//BC. Điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC.

Kết luận chung: Các điểm M phải tìm gồm đường thẳng chứa đường trung tuyến AI của tam giác ABC và đường thẳng qua A song song với BC, trừ điểm A.

Trường hợp xy cắt x’y’ ở O, điểm M nằm trên bốn tia phân giác của bốn góc tạo bởi hai đường thẳng (bốn tia này làm thành hai đường thẳng vuông góc vơi nhau tại O, xem hình)

Trường hợp xy//x'y', điểm M nằm trên đường thẳng song song cách đều xy và x'y' (xem hình)

Các điểm I nằm trên đường tròn có đường kính BM, trừ điểm B (M là trung điểm của BC).

$\Delta OCM=\Delta OBM\left(c.c.c\right)$ nên M thuộc tia phân giác Om của góc xOỵ.

Giới hạn : Khi B trùng A thì M trùng Q (Q là giao điểm của Om và d). Khi B tiến đến O thì D tiên đến Q, M tiến đến P (P là trung điểm của OQ). M nằm trên đoạn thẳng PQ thuộc tia phân giác Om, trừ điểm P.