Ôn tập Tứ giác có đáp án - Phần 2
25 câu hỏi
Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) biết AB=a, CD=b, D^=α
Dựng tứ giác ABCD, biết ba góc và hai cạnh kề nhau
Dựng tứ giác ABCD, biết ba góc và hai cạnh đối nhau.
Dựng tam giác ABC, biết B^=β, C^=α, BC−AB=d.
Dựng tam giác ABC, biết:
a) A^=α, BC=a, AC−AB=d;
b) B^−C^=α, BC=a, AC−AB=d.
Dựng tam giác ABC, biết:
a) A^=α, BC=a, AC+AB=s
b) B^−C^=α, BC=a, AC+AB=s.
Dựng tam giác ABC, biết A^=α, AB+AC=s, đường trung tuyến AM=m
Dựng tam giác ABC, biết BC=a đường cao AH=h đường trung tuyến BM=m
Dựng tam giác ABC, biết đường cao AH=h, đường cao BI=k, đường trung tuyến AM=m.
Dựng tam giác ABC có B^=3C^ biết AB=c, AC=b
Dựng tam giác, biết độ dài ba đường trung tuyến.
Cho góc xOy và điểm G ở trong góc. Dựng tam giác OAB nhận G làm trọng tâm, có A thuộc Ox, B thuộc Oy.
Dựng tam giác ABC có B^−C^=90° biết đường phân giác AD=d, DC=m
Cho đường thẳng m và hai điểm H, G thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ m. Dựng tam giác ABC có B và C thuộc m, nhận H làm trực tâm, G làm trọng tâm.
Dựng tam giác ABC vuông tại A có AC=2AB biết BC=5cm
Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng DE song song với BC (D thuộc AB, E thuộc AC) sao cho DE=DB+CE
Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng DE song song với BC (D thuộc AB, E thuộc AC) sao cho AE=BD
Cho hai đường thẳng song song a và b, điểm C thuộc a, điểm O thuộc nửa mặt phẳng không chứa b có bờ a. Qua O dựng đường thẳng m cắt a, b theo thứ tự ở A, B sao cho CA=CB.
a) Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy. Dựng điểm M thuộc xy sao cho AMx^=2BMy^.
b) Gỉải bài toán trên trong trường hợp A và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ xy.
Cho tam giác ABC. Dựng điểm M sao cho nếu vẽ MA'⊥BC, MB'⊥AC, MC'⊥AB thì A'B=B'C=C'A.
Để cho ba đoạn thẳng bằng nhau A’B, B’C, C’A có liên hệ với nhau, ta dịch chúng đến M: Vẽ đường thẳng qua M song song với A’B và đường thẳng qua B song song với A’M, chúng cắt nhau ở H. Vẽ đường thẳng qua M song song với B’C và đường thẳng qua C song song với MB', chúng cắt nhau ở I. Vẽ đường thẳng qua M song song với C’A và đường thẳng qua A song song với C’M, chúng cắt nhau ở K
Các đường thẳng AK, BH, CI cắt nhau ở D, E, F. Tam giác DEF xác định được vì có các cạnh theo thứ tự vuông góc với AB ở A, với BC ở B, với CA ở C. Còn M là điểm cách đều ba cạnh của tam giác DEF nên là giao điểm của các đường phân giác (trong hoặc ngoài) của tam giác. Bài toán có bốn nghiệm hình.
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Dựng điểm C thuộc d sao cho AC+CB có độ dài ngắn nhất.
Hướng suy nghĩ. Bài toán trở nên đơn giản nếu đề bài cho A và B nằm khác phía đối với d. Khi đó C là giao điểm của d với đoạn thẳng AB (h.l0a). Trong trường hợp A B nằm cùng phía đối với d, ta có thể tạo ra điểm B’ nằm khác phía với A đối với d mà độ dài CB’ luôn luôn bằng CB khi C thay đổi vị trí trên đường thẳng d. Điểm B’ chính là điểm đối xứng với B qua d.
Giải:
Phân tích. Vẽ B’ đối xứng với B qua d. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Ta có MB’=MB. Do đó
AM+MB=AM+MB'≥AB'(hằng số).
Vậy giá trị nhỏ nhất của AM+MB bằng AB’ có M thuộc đoạn thẳng AB'.
Cách dựng. Dựng B’ đối xứng với B qua d. Nối A với B’ cắt d ở C.
Chứng minh. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Ta có AM+MB=AM+MB'≥AB', AC+CB=AC+CB'=AB'.
Vậy AC+CB≤AM+MB.
Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình.
Cho điểm D nằm bên trong tam giác đều ABC. Vẽ các tam giác đều BDE, CDF (E, F, D nằm cùng phía đối với BC). Chứng minh rằng AEDF là hình bình hành.
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD=CE. Gọi I là trung điểm DE, K là giao điểm của AI và BC. Chứng minh rằng ADKE là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác gặp nhau tại một điểm.
Bài toán của Giéc-gôn (Gergonne, nhà toán học Pháp, 1771-1859).
b) Dùng định lí trên chứng tỏ rằng nếu một tứ giác có các đường thẳng nối trung điểm các cạnh đối đi qua giao điểm hai đường chéo thì tứ giác đó là hình bình hành.
a) Gọi E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA ; I, K là trung điểm của BD, AC.
Chứng minh ràng EFGH, EIGK là hình bình hành, do đó FH và IK đều đi qua trung điểm của EG.
b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo và M là trung điểm của IK. Nếu EG, FH cắt nhau tại O thi theo câu a), M trùng O, do đó I và K trùng O. Tứ giác ABCD có O là trung điểm của hai đuờng chéo nên là hình bình hành.
Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB lấy các điểm E, F sao cho AE=EF=FB. Trên cạnh CD lấy các điểm G, H sao cho DG=GH=HC. Gọi M, I, K, N theo thứ tự là trung điểm của AD, EG, FH, BC. Chứng minh rằng bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng và MI=IK=KN.
IF và HN song song và bằng nhau vì cùng song song và bằng một nửa BG. Do đó IFNH là hình bình hành. Ta lại có K là trung điểm cua FH nên I, K, N thẳng hàng và K là trung điểm của IN.
Chứng minh tương tự, M, I, K thẳng hàng và I là trung điểm của MK. Vậy M, I, K, N thẳng hàng và MI = IK = KN.
