Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của CD, DE. Gọi I là giao điểm của AM, BN.

1. Tính $\widehat{AIB}$

2. Tính $\widehat{OID}$ (O là tâm của lục giác đều)

Hướng dẫn: chứng minh rằng IO, ID là các tia phân giác của hai góc kề bù.

Chứng minh rằng ngũ giác có năm cạnh bằng nhau và ba góc liên tiếp bằng nhau là ngũ giác đều.

Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiệu giữa đường chéo lớn nhất và đường chéo nhỏ nhất bằng cạnh của nó.

1. Tìm số n sao cho mặt phẳng có thể được phủ kín bởi các đa giác đều bằng nhau có n cạnh.

2. Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau (không yêu cầu đều) để phủ kín mặt phẳng không?

3. Số đo các góc của đa giác đều n cạnh là số tự nhiên. Có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn bài toán?

Tính diện tích hình thang ABCD có cạnh bên AD = a, khoảng cách từ trung điểm E của BC đến AD bằng h.

Tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng ED. Chứng minh rằng:

1. EH = DK

2. $S_{∆BEC}+S_{∆BDC}=S_{∆BHKC}$

Cho hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một tứ giác, trong đó hai đỉnh của hình bình hành là trung điểm hai cạnh đối của tứ giác. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng nửa diện tích tứ giác.

Tính diện tích hình thang có hai đường chéo dài 6m và 10m, đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy bằng 4m.

Cho một hình chữ nhật có các kích thước là a và b (a và b có cùng đơn vị đo). Các tia phân giác các góc của hình chữ nhật cắt nhau tạo thành một tứ giác. Xác định dạng tứ giác đó và tính diện tích của nó.

Tam giác ABC vuông tại C có BC = a, AC = b, về phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác DAB vuông cân tại D. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của D trên CB, CA. Tính diện tích của tứ giác DHCK.

Tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c, diện tích S. Chứng minh rằng 4S=(a+b+c)(b+c-a)

Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Biết hình chiếu của IB, IC trên BC có độ dài lần lượ là m, n. Tính diện tích của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Gọi O là một điểm bất kì. Tìm liên hệ giữa diện tích các tam giác OAM, OAB, OAC.

Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là các hình chiếu của O trên BC, AC, AB. Trên các tia OD, OE, OF lấy lần lượt các điểm A’, B’, C’ sao cho OA’ = BC, OB’ = AC, OC’ = AB.

1. Chứng minh rằng diện tích tam giác A’B’C’ không phụ thuộc vào vị trí điểm O trong tam giác.

2. Điểm O có vị trí gì đối với tam giác A’B’C’?

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là điểm nằm giữa B và M. Qua M kẻ đường thẳng song song với DA, cắt AC ở E. So sánh diện tích tam giác DEC và diện tích tan giác ABC.

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho $AD=\frac{1}{3}AB, BE=\frac{1}{3}BC, CF=\frac{1}{3}CA$. Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng minh rằng diện tích tam giác này bằng $\frac{1}{7}$ diện tích tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, BC, CA sao cho $AD=DB, BE=\frac{1}{2}EC, CF=\frac{1}{3}FA$. Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.

Tính diện tích tam giác ABC, biết AB = 3 cm, AC = 5 cm, đường trung tuyến AM = 2 cm.

Tính diện tích tam giác, biết độ dài ba đường trung tuyến của nó bằng 15cm, 36cm, 39cm.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 20 cm, AB = 15 cm.

1. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho AD = AB. Tính độ dài BD.

2. Lấy điểm D’ trên cạnh BC sao cho BD’ = 4 cm. Tính độ dài AD’.

Có tam giác nào mà độ dài các đường cao đều nhỏ hơn 1 cm nhưng diện tích bằng $2000c{m}^2$ không?

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng a, b, c, diện tích tam giác bằng S. Chứng minh rằng $6S\le a^2+b^2+c^2$

Tính diện tích hình thang cân có đường cao bằng h, biết rằng hai đường chéo của hình thang vuông góc với nhau.

Tính diện tích hình thang có hai đường chéo dài 9 cm và 12 cm, tổng hai đáy bằng 15 cm.

Qua giao điểm O của các đường chéo của một hình thang, vẽ đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên ở E và G. Chứng minh rằng OE = OG.

Hình thang ABCD có diện tích S, đáy DC gấp đôi đáy AB. Gọi M là trung điểm AD, K là giao điểm của BM và AC. Tính diện tích tam giác ABK.

Điểm O là giao điểm của các đường chéo của hình thang ABCD (AB // CD). Biết diện tích các tam giác AOB, COD theo thứ tự là $a^2, b^2$. Tính diện tích hình thang (a, b > 0)

Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của KB với AI và MC. Gọi H, G lần lượt là giao điểm của DN với AI và MC.

1. Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.

2. Tính diện tích hình bình hành EFGH theo S.

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a. Lấy điểm M trên cạnh AD, điểm N trên cạnh CD sao cho DM = CN. Tính diện tích hình thoi ABCD, biết rằng tam giác BMN đều.

Tứ giác ABCD có $\hat{B}=90°$, AB = 4 cm, BC = 3 cm, CD = 12 cm, AD = 13 cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối. Chứng minh rằng: $S_{AOD}+S_{BOC}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$

Các đường chéo của một tứ giác chia tứ giác đó thành bốn tam giác trong đó ba tam giác có diện tích $30c{m}^2,60c{m}^2,90c{m}^2$. Tính diện tích tứ giác đó.

Chứng minh rằng:

1. $S\le \frac{a^2+b^2}{4}$ với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a, b.

2. $S\le \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}$ với S là diện tích của tứ giác có độ dài bốn cạnh bằng a, b, c, d.

Gọi a, b, c, d là độ dài bốn cạnh liên tiếp của một tứ giác có diện tích S. Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ khi nào xảy ra đẳng thức

1. $4S\le \left(a+c\right)\left(b+d\right)$

2. $16S\le {\left(a+b+c+d\right)}^2$

Gọi ABCD là độ dài bốn cạnh (không nhất thiết liên tiếp) của một tứ giác có diện tích S. Chứng minh rằng $2S\le ab+cd$. Khi nào xảy ra đẳng thức?

Cho tứ giác ABCD, E và F theo thứ tự là trung điểm của AD và CD. Biết BE+BF=a. Chứng minh rằng: $S_{ABCD}<\frac{a^2}{2}$

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho EG không song song với AD. Cho biết diện tích tứ giác EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng HF song song với CD?

Cho tam giác ABC, E là trung điểm của AC. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho $BD=\frac{1}{3}BC$, lấy điểm G trên cạnh AE sao cho $AG=\frac{1}{3}AE$. Đoạn thẳng AD cắt BG, BE theo thứ tự ở M, N. Tính diện tích tứ giác MNEG theo diện tích tam giác ABC?

Cho tam giác ABC diện tích S. Lấy các điểm E, G trên BC sao cho BE=EG=GC. Gọi d, H theo thứ tự là trung điểm của AC, AB; I là giao điểm của GH và BD; K là giao điểm của AG và BD. Tính diện tích tứ giác EIKG.

Chứng minh rằng tam giác có một đỉnh là giao điểm hai cạnh đối của một tứ giác, hai đỉnh kia là trung điểm hai đường chéo của tứ giác đó có diện tích bằng $\frac{1}{4}$ diện tích tứ giác.

Cho tam giác ABC. Dựng các điểm D, F nằm trên cạnh AB, E nằm trên cạnh AC sao cho đường gấp khúc CDEF chia tam giác ABC ra bốn phần có diện tích bằng nhau.

Một mảnh vườn hình tam giác ABC có một cái giếng D nằm trên cạnh BC. Hãy chia mảnh vườn thành hai phần có diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua D.

Cho tứ giác ABCD. Dựng đường thẳng đi qua A chia tứ giác ra hai phần có diện tích bằng nhau.

Cho tam giác ABC. Dựng điểm O nằm bên trong tam giác sao cho diện tích các tam giác AOB, BOC, COA tỉ lệ với $1 : 2 : 3$

Cho tứ giác ABCD. Dựng điểm O nằm bên trong tứ giác sao cho nếu nối O với trung điểm các cạnh của tứ giác thì tứ giác được chia ra bốn phần có diện tích bằng nhau.