Các dạng bài tập Toán 8 Chương 5: Toán cực trị hình học có đáp án
53 câu hỏi
Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Xét các tam giác ABC có cạnh đáy BC không đổi và có cùng diện tích. Do chiều cao ứng với BC không đổi nên A chuyển động tren đường thẳng d // BC.
Gọi D là điểm đối xứng với B qua d, ta có AB = AD.
Khi đó A ở vị trí giao điểm E của DC và d, tam giác EBC cân tại E
Vậy trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, tam giác cân với cạnh đáy BC có chu vi nhỏ nhất.
Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đường thẳng đi qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất.
Gọi EFGH là hình vuong nội tiếp trong hình vuông ABCD. Tâm cả hai hình vuông này phải trùng nhau tại một điểm O.
Ta có:
Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E, F, G, H là trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD.
Cho tam giác ABC. Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất.
Gọi D là giao điểm của d và cạnh BC. Vẽ BB’, CC’ vuông góc với d.
Với mọi vị trí của D trên cạnh BC ta có:
Vậy D trùng C
Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB, AC.
Cho tam giác ABC cân tại A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC. Hãy dựng một đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE+DF có giá trị nhỏ nhất
Phân tích cách giải:
Ta đổi phía của đoạn thẳng DE với đường thẳng AC bằng cách tạo ra một đoạn thẳng D’E’ sao cho D’E’ = DE, E’ trùng F và D’ cố định. Muốn vậy ta quay D quanh A một góc bằng góc BAC.
Như vậy D’ là điểm cố định và D’F = DE
Do đó DF + DE nhỏ nhất khi và chỉ khi DF + F’D nhỏ nhất
Vậy F là giao điểm của DD’ và AC.
Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất
Xét hình vuông EFGH nội tiếp hình vuông ABCD, ta có AE=BF=CG=DH. Gọi AB = a, AE = x thì: EB=FC=DG=HA=a-x
Gọi diện tích hình vuông EFGH là S, ta có:
Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10 cm. Tam giác DEF vuông cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D thuộc AB, F thuộc AC, E thuộc BC). Xác định vị trí của điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất.
Các đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau ở O. Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác, biết
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là một điểm bất kì nằm trên cạnh BC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M lên AB, AC. Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất.
Chú ý đến hai tam giac vuông chung cạnh huyền là AEM, AFM, ta gọi I là trung điểm của AM, ta có IA = IE = IM = IF.
Như vậy EF là cạnh đáy tam giác cân IEF. Dễ thấy mà không đổi nên không đổi.
Tam giác cân EIF có số đo góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.
Do đó EF nhỏ nhất <=> IE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất. Khi đó M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
Trong các hình bình hành có diện tích và một đường chéo không đổi, hình nào có chu vi nhỏ nhất?
Xét các hình bình hành ABCD có BD cố định. Diện tích hình bình hành không đổi
nên diện tích tam giác ABD không đổi, do đó A chuyển động trên đường thẳng
d // BD.
Cần xác định vị trí của A trên d để BA + AD nhỏ nhất. Ta đổi phía của BA đối với d bằng cách lấy B’ đối xứng với B qua d. Khi đó B’ cố định
Khi đó AB = AD
Vậy hình bình hành có chu vi nhỏ nhất khi nó là hình thoi.
Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng d đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị lớn nhất.
Gọi BB’, CC’ là khoảng cách từ B và C đến d. xét hai trường hợp
Đường thẳng d cắt BC tại D
1.
2. Đường thẳng d không cắt BC. Khi đó d cắt cạnh CE với E là điểm đối xứng với B qua A.
Giải như trường hợp 1, ta được
Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD, biết AB = AD = a và BC=CD = b
Trong các hình chữ nhật có đường chéo bằng d không đổi, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó.
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M lên AC, AB. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho . Tìm vị trí của D, E để DE có độ dài nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a. Một đường thẳng d bất kì đi qua A và không cắt cạnh BC. Gọi I và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C lên đường thẳng d, gọi H là trung điểm BC. Tính diện tích lớn nhất của tam giác HIK.
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F , G, H sao cho AE = AH = CF = CG. Xác định vị trí các điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất, nếu:
1. AB = 40 cm, BC = 20 cm.
2. AB = a, BC = b (b < a < 3a)
Người ta dùng một đoạn dây căng thành 3 đoạn thẳng tạo với một bức tường làm thành một hình chữ nhật. Hãy chỉ ra cách căng dây để hình chữ nhật đó có diện tích lớn nhất.
Do có một cạnh của hình chữ nhật bức tường nên trong hai chiều của hình chữ nhật thì một chiều có độ dài a (a > 0) bao gồm 1 đoạn dây và 1 doạn tường còn một chiều có độ dài b (b > 0) bao gồm 2 đoạn dây. Khi đó diện tích hình chữ nhật là
S = a.b
Gọi độ dài đoạn dây là l không đổi thì ta được a + 2b = l
Theo bất đẳng thức cauchy ta có
Vậy ta có cách căng dây là: chia đoạn dây thành 4 phần bằng nhau, tính từ 2 đầu mút lấy vào mỗi đâu đoạn dây để làm 2 chiều rộng, phần dây còn lại cùng với bức tường làm thành 2 chiều dài
Tìm điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đỉnh của một lục giác đều cho trước là nhỏ nhất.
Xét lục giác đều ABCDEF có AD, BE, CF đồng quy tại O hay O là tâm của lục giác đều.
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M cùng thuộc các đoạn thẳng AD, BE, CF hay m trùng O
Vậy vị trí điểm M cần tìm là tâm của lục giác đều.
Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng cạnh đáy và cùng chu vi, tam giác cân có diện tích lớn nhất.
Xét tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c với a, b, c > 0; a không đổi và chu vi
2p = a + b + c không đổi. Khi đó: b + c = 2p – a không đổi
Dấu bằng có khi và chỉ khi p – b = p – c hay b = c và khi đó tam giác này là tam giác cân.
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?
Gọi a, b thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật
Hình chữ nhật có chu vi không đổi <=> a+b=p không đổi.
Theo (*), diện tích hình chữ nhật là S = ab lớn nhất bằng
Khi đó, hình chữ nhật trở thành hình vuông.
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình nà có chu vi nhỏ nhất?
Gọi a, b thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật
Hình chữ nhật có diện tích không đổi <=>ab=S không đổi
Theo (*), chu vi hình chữ nhật là P=2(a+b) nhỏ nhất bằng
Khi đó, hình chữ nhật trở thành hình vuông.
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Trong các hình thoi có cùng chu vi, tìm hình thoi có diện tích lớn nhất?
Xét hình thoi ABCD có chu vi là 4a không đổi.
Suy ra AB = BC = CD = DA = a không đổi và
Vậy trong các hình thoi có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Trong các hình thoi có cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ nhất?
Xét hình thoi ABCD có diện tích là S không đổi và chu vi là P, hiển nhiên
Vậy trong các hình thoi có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Chứng minh rằng:
a) Trong các tứ giác có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất
b) Trong các tứ giác có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất
Áp dụng vào bài toán:
a) Trong các tứ giác có cùng chu vi P không đổi thì hình vuông có diện tính lớn nhất là
b) Trong các tứ giác có diện tích S không đổi thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất là
Tứ giác ABCD có , AD = BC, AB = b, CD = a (a > b). gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, DB. Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác EFGH.
Trong các tứ giác có tổng hai đường chéo bằng s. Tứ giác nào có diện tích lớn nhất?
Vậy trong các tứ giác có tổng hai đường chéo bằng s thì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là tứ giác có diện tích lớn nhất
Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Do đó ta có cách dựng B, C như sau: lấy hai điểm đối xứng với A qua Ox và Oy; đoạn thẳng nối hai điểm này cắt Ox tại B và Oy tại C.
Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình chữ nhật sao cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ nhất.
Xét bốn điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.
Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm EH, FH, FG.
Khi đó do hai tam giác AHE, CFG theo thứ tự vuông tại A và C nên EH = 2MA và FG = 2CP
Lại có theo tính chất đường trung bình trong hai tam giác EHF và GFH ta được
EF = 2MN và HG = 2PN
Do đó
Hay EFGH là hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật.
Cho điểm E nằm trên cạnh AB của hình chữ nhật ABCD. Dựng các điểm F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CD, DA sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Theo bài trước ta chỉ ra rằng: hình bình hành có các cạnh song song với đường chéo của hình chữ nhật là tứ giác có chu vi nhỏ nhất với các đỉnh thứ tự thuộc bốn cạnh của hình chữ nhật. Do đó ta có cách dựng như sau:
- Dựng đường thẳng qua E song song với AC cắt BC tại F.
- Dựng đường thẳng qua F song song với BD cắt CD tại G.
- Dựng đường thẳng qua G song song với AC cắt DA tại H.
Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S. Tìm diện tích nhỏ nhất của các tứ giác EFGH có bốn đỉnh lần lượt thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật và
Cho hình vuông ABCD cạnh a. tìm diện tích lớn nhất của các hình thang có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình vuông và hai cạnh đáy song song với một đường chéo của hình vuông.
Cho hình vuông ABCD cạnh 6 cm. Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE = 2 cm, điểm F thuộc cạnh BC sao cho BF = 3 cm. Dựng các điểm G, H theo thứ tự thuộc các cạnh CD, AD sao cho EFGH là hình thang.
1. Có đáy EH, FG và có diện tích nhỏ nhất.
2. Có đáy EF, GH và có diện tích lớn nhất.
Cho hình chữ nhật ABCD có các kích thước là a và b. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật EFGH ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD (mỗi đỉnh của hình chữ nhật ABCD nằm trên một cạnh của hình chữ nhật EFGH)
Cho tam giác ABC. Xác định vị trí các điểm D, E trên các cạnh AB, AC sao cho BD + CE = BC và DE có độ dài nhỏ nhất.
Trong các tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông không đổi, tam giác nào có chu vi nhỏ nhất?
Chứng minh rằng trong các tam giác vuông có cạnh huyền không đổi, tam giác vuông cân có chu vi lớn nhất.
Vì cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài không đổi nên chu vi tam giác lớn nhất khi tổng độ dài hai cạnh góc vuông lớn nhất.
Gọi độ dài cạnh huyền là a, gọi b, c là độ dài hai cạnh góc vuông. Ta có:
Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Hình chữ nhật MNPQ ở vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất?
Từ một tấm kim loại hình tam giác vuông, cắt ra một hình vuông theo hai cách:
Cách 1: một góc của hình vuông trùng với góc vuông của tam giác, đỉnh đối diện thuộc cạnh huyền của tam giác.
Cách 2. Một cạnh của hình vuông nằm trên cạnh huyền của tam giác, hai đỉnh kia thuộc hai cạnh góc vuông của tam giác.
Cách cắt nào cho hình vuông có diện tích lớn hơn?
Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a. Các điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của D, E trên BC. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác DEKH.
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thuộc miền trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác có giá trị nhỏ nhất.
Nếu y = z = 0 thì m trùng A, nếu a = b, z = 0 thì tam giác ABC cân tại C (góc C là góc nhỏ nhất) và M thuộc đáy AB; nếu a = b = c thì tam giác ABC đều, M bất kì.
Vậy tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác có giá trị nhỏ nhất bằng đường cao ứng với cạnh lớn nhất, nếu tam giác đều thì M là điểm bất kì nằm bên trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác, nếu tam giác cân có cạnh bên lớn hơn cạnh đáy thì M thuộc cạnh đáy.
Các trường hợp còn lại, M trùng đỉnh của góc lớn nhất trong tam giác.
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thuộc cạnh BC sao cho tổng các khoảng cách từ M đến AB và đến AC có giá trị nhỏ nhất.
Vậy tổng khoảng cách từ M đến AB và AC lớn nhất bằng độ dài đường cao tương ứng với cạnh lớn nhất.
Vậy nếu b = c thì điểm M bất kì trên cạnh đáy BC. Nếu b khác c thì M trùng với đỉnh đối diện với cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB và AC.
Cho hình thang ABCD. Tìm điểm M nằm trong hoặc trên cạnh của hình thang sao cho tổng khoảng cách từ M đến các cạnh của hình thang có giá trị nhỏ nhất.
Đặt khoảng cách từ M đến AD, DC, CB, AB lần lượt là x, y, z, t.
Vì y + z không đổi suy ra khoảng cách ừ M đến các cạnh của hình thang nhỏ nhất khi y + z nhỏ nhất.
Gọi O là giao điểm của hai cạnh bên AB và CD. Khi đó bài toán quay trở về tìm vị trí của điểm M nằm trên cạnh AD saqo cho t + y nhỏ nhất.
Khi đó có hai khả năng
Nếu ABCD là hình thang cân thì M là điểm bất kì nằm trên đáy nhỏ.
Nếu ABCD không là hình thang cân thì M trùng với đỉnh các góc lớn hơn trong hai góc kề đáy nhỏ.
Cho tam giác ABC. Qua A dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d là nhỏ nhất.
Trường hợp 1: Nếu d cắt BC.
Khi đó đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB và AC.
Trường hợp 2: nếu d không cắt BC.
Ta lấy E đối xứng với B qua A, khi đó đường thẳng d cắt đoạn CE.
Trong cả hai trường hợp, đường thẳng d phải dựng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AC, AB.
Cho hình vuông ABCD và điểm K nằm bên trong không trùng với tâm hình vuông. Dựng qua K một đường thẳng sao cho nó cắt hình vuông thành hai phần có hiệu các diện tích lớn nhất
Không mất tính tổng quát, ta giả sử K nằm trong tam giác AOB. Qua K dựng đường thẳng song song với AB cắt BC tại P. Gọi Q là điểm đối xứng của B qua P, KQ cắt AB tại T khi đó ta chứng minh được diện tích tam giác BQT nhỏ nhất.
Vậy đường thẳng TQ chia hình vuông thành hai phần có hiệu diện tích lớn nhất.
Cho tam giác ABC cân tại A. các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, CA sao cho AM = CN. Xác định vị trí M, N để
1. MN có giá trị nhỏ nhất
2. Diện tích tam giác AMN có giá trị lớn nhất
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M thuộc cạnh BC, gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cạnh BC thì:
1. Chu vi tứ giác MEAF không đổi
2. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn luôn đi qua một điểm K cố định.
3. Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC.
Chu vi hình chữ nhật MEAF bằng: 2(AE + AF) = 2AB
2. Gọi k là giao điểm của HM và đường thẳng vuông góc với AC tại C suy ra CK = CA suy ra K là điểm cố định thỏa mãn đề bài .
Thật vậy, kéo dài tia EM cắt CK tại G, ta chứng minh được CG = EA. Tam giác KGM bằng tam giác EMF suy ra KG = EM = EB. Vậy
CK = EA + EB = AB = AC
Cho tam giác ABC có diện tích S. các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho . Với giá trị nào của k thì diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Tìm điểm M nằm trong tam giác sao cho có giá trị nhỏ nhất, trong đó x, y, z theo thứ tự là khoảng cách từ điểm M đến các cạnh BC, AC, AB
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, tức là M là giao điểm của các đường phân giác của tam giác.
Cho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn . Tìm điểm M nằm bên trong tam giác sao cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N.
1. Chứng minh
2. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh .
1. Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD, AD = BC
Suy ra và
Ta có: AD = AF + FD, BC = BE + EC
Mà AD = BC, AF = CE
Nên FD = BE
Suy ra
Do đó
Hay CM . DN = AB2 = a2
2. Ta có nên (vì AB = AD = BD)
Xét ∆CMB và ∆DAN có
Suy ra (c.g.c)
Do đó
Suy ra
Hay .
Cho tam giác ABC. Qua một điểm bất kì thuộc cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia tạo với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của điểm m để hình bình hành có diện tích lớn nhất.
lớn nhất khi xy lớn nhất. các số xy có tổng bằng a không đổi nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi x = y. khi đó M là trung điểm của BC và diện tích hình bình hành ADME bằng nửa diện tích của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC. Qua điểm O nằm bên trong tam giác, vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, chia tam giác thành ba hình bình hành và ba tam giác nhỏ.
1. Biết diện tích tam giác ABC bằng , hai trong ba tam giác nhỏ có diện tích bằng và . Tính diện tích tam giác còn lại.
2. Chứng minh rằng tổng diện tích của ba tam giác nhỏ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác ABC. Điểm O ở vị trí nào thì xảy ra dấu bằng?
