Các dạng bài tập Toán 8 Chương 5: Toán cực trị hình học có đáp án
53 câu hỏi
Xét các tam giác ABC có cạnh đáy BC không đổi và có cùng diện tích. Do chiều cao ứng với BC không đổi nên A chuyển động tren đường thẳng d // BC.
Gọi D là điểm đối xứng với B qua d, ta có AB = AD.
Khi đó A ở vị trí giao điểm E của DC và d, tam giác EBC cân tại E
Vậy trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, tam giác cân với cạnh đáy BC có chu vi nhỏ nhất.
Gọi EFGH là hình vuong nội tiếp trong hình vuông ABCD. Tâm cả hai hình vuông này phải trùng nhau tại một điểm O.
Ta có:
Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E, F, G, H là trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD.
Gọi D là giao điểm của d và cạnh BC. Vẽ BB’, CC’ vuông góc với d.
Với mọi vị trí của D trên cạnh BC ta có:
Vậy D trùng C
Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB, AC.
Phân tích cách giải:
Ta đổi phía của đoạn thẳng DE với đường thẳng AC bằng cách tạo ra một đoạn thẳng D’E’ sao cho D’E’ = DE, E’ trùng F và D’ cố định. Muốn vậy ta quay D quanh A một góc bằng góc BAC.
Như vậy D’ là điểm cố định và D’F = DE
Do đó DF + DE nhỏ nhất khi và chỉ khi DF + F’D nhỏ nhất
Vậy F là giao điểm của DD’ và AC.
Xét hình vuông EFGH nội tiếp hình vuông ABCD, ta có AE=BF=CG=DH. Gọi AB = a, AE = x thì: EB=FC=DG=HA=a-x
Gọi diện tích hình vuông EFGH là S, ta có:
Chú ý đến hai tam giac vuông chung cạnh huyền là AEM, AFM, ta gọi I là trung điểm của AM, ta có IA = IE = IM = IF.
Như vậy EF là cạnh đáy tam giác cân IEF. Dễ thấy mà không đổi nên không đổi.
Tam giác cân EIF có số đo góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.
Do đó EF nhỏ nhất <=> IE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất. Khi đó M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 53 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Xét các hình bình hành ABCD có BD cố định. Diện tích hình bình hành không đổi
nên diện tích tam giác ABD không đổi, do đó A chuyển động trên đường thẳng
d // BD.
Cần xác định vị trí của A trên d để BA + AD nhỏ nhất. Ta đổi phía của BA đối với d bằng cách lấy B’ đối xứng với B qua d. Khi đó B’ cố định
Khi đó AB = AD
Vậy hình bình hành có chu vi nhỏ nhất khi nó là hình thoi.
Gọi BB’, CC’ là khoảng cách từ B và C đến d. xét hai trường hợp
Đường thẳng d cắt BC tại D
1.
2. Đường thẳng d không cắt BC. Khi đó d cắt cạnh CE với E là điểm đối xứng với B qua A.
Giải như trường hợp 1, ta được
Do có một cạnh của hình chữ nhật bức tường nên trong hai chiều của hình chữ nhật thì một chiều có độ dài a (a > 0) bao gồm 1 đoạn dây và 1 doạn tường còn một chiều có độ dài b (b > 0) bao gồm 2 đoạn dây. Khi đó diện tích hình chữ nhật là
S = a.b
Gọi độ dài đoạn dây là l không đổi thì ta được a + 2b = l
Theo bất đẳng thức cauchy ta có
Vậy ta có cách căng dây là: chia đoạn dây thành 4 phần bằng nhau, tính từ 2 đầu mút lấy vào mỗi đâu đoạn dây để làm 2 chiều rộng, phần dây còn lại cùng với bức tường làm thành 2 chiều dài
Xét lục giác đều ABCDEF có AD, BE, CF đồng quy tại O hay O là tâm của lục giác đều.
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M cùng thuộc các đoạn thẳng AD, BE, CF hay m trùng O
Vậy vị trí điểm M cần tìm là tâm của lục giác đều.
Xét tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c với a, b, c > 0; a không đổi và chu vi
2p = a + b + c không đổi. Khi đó: b + c = 2p – a không đổi
Dấu bằng có khi và chỉ khi p – b = p – c hay b = c và khi đó tam giác này là tam giác cân.
Gọi a, b thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật
Hình chữ nhật có chu vi không đổi <=> a+b=p không đổi.
Theo (*), diện tích hình chữ nhật là S = ab lớn nhất bằng
Khi đó, hình chữ nhật trở thành hình vuông.
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Gọi a, b thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật
Hình chữ nhật có diện tích không đổi <=>ab=S không đổi
Theo (*), chu vi hình chữ nhật là P=2(a+b) nhỏ nhất bằng
Khi đó, hình chữ nhật trở thành hình vuông.
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Xét hình thoi ABCD có chu vi là 4a không đổi.
Suy ra AB = BC = CD = DA = a không đổi và
Vậy trong các hình thoi có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Xét hình thoi ABCD có diện tích là S không đổi và chu vi là P, hiển nhiên
Vậy trong các hình thoi có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Áp dụng vào bài toán:
a) Trong các tứ giác có cùng chu vi P không đổi thì hình vuông có diện tính lớn nhất là
b) Trong các tứ giác có diện tích S không đổi thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất là
Vậy trong các tứ giác có tổng hai đường chéo bằng s thì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là tứ giác có diện tích lớn nhất
Do đó ta có cách dựng B, C như sau: lấy hai điểm đối xứng với A qua Ox và Oy; đoạn thẳng nối hai điểm này cắt Ox tại B và Oy tại C.
Xét bốn điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.
Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm EH, FH, FG.
Khi đó do hai tam giác AHE, CFG theo thứ tự vuông tại A và C nên EH = 2MA và FG = 2CP
Lại có theo tính chất đường trung bình trong hai tam giác EHF và GFH ta được
EF = 2MN và HG = 2PN
Do đó
Hay EFGH là hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật.
Theo bài trước ta chỉ ra rằng: hình bình hành có các cạnh song song với đường chéo của hình chữ nhật là tứ giác có chu vi nhỏ nhất với các đỉnh thứ tự thuộc bốn cạnh của hình chữ nhật. Do đó ta có cách dựng như sau:
- Dựng đường thẳng qua E song song với AC cắt BC tại F.
- Dựng đường thẳng qua F song song với BD cắt CD tại G.
- Dựng đường thẳng qua G song song với AC cắt DA tại H.
Vì cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài không đổi nên chu vi tam giác lớn nhất khi tổng độ dài hai cạnh góc vuông lớn nhất.
Gọi độ dài cạnh huyền là a, gọi b, c là độ dài hai cạnh góc vuông. Ta có:
Nếu y = z = 0 thì m trùng A, nếu a = b, z = 0 thì tam giác ABC cân tại C (góc C là góc nhỏ nhất) và M thuộc đáy AB; nếu a = b = c thì tam giác ABC đều, M bất kì.
Vậy tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác có giá trị nhỏ nhất bằng đường cao ứng với cạnh lớn nhất, nếu tam giác đều thì M là điểm bất kì nằm bên trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác, nếu tam giác cân có cạnh bên lớn hơn cạnh đáy thì M thuộc cạnh đáy.
Các trường hợp còn lại, M trùng đỉnh của góc lớn nhất trong tam giác.
Vậy tổng khoảng cách từ M đến AB và AC lớn nhất bằng độ dài đường cao tương ứng với cạnh lớn nhất.
Vậy nếu b = c thì điểm M bất kì trên cạnh đáy BC. Nếu b khác c thì M trùng với đỉnh đối diện với cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB và AC.
Đặt khoảng cách từ M đến AD, DC, CB, AB lần lượt là x, y, z, t.
Vì y + z không đổi suy ra khoảng cách ừ M đến các cạnh của hình thang nhỏ nhất khi y + z nhỏ nhất.
Gọi O là giao điểm của hai cạnh bên AB và CD. Khi đó bài toán quay trở về tìm vị trí của điểm M nằm trên cạnh AD saqo cho t + y nhỏ nhất.
Khi đó có hai khả năng
Nếu ABCD là hình thang cân thì M là điểm bất kì nằm trên đáy nhỏ.
Nếu ABCD không là hình thang cân thì M trùng với đỉnh các góc lớn hơn trong hai góc kề đáy nhỏ.
Trường hợp 1: Nếu d cắt BC.
Khi đó đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB và AC.
Trường hợp 2: nếu d không cắt BC.
Ta lấy E đối xứng với B qua A, khi đó đường thẳng d cắt đoạn CE.
Trong cả hai trường hợp, đường thẳng d phải dựng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AC, AB.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử K nằm trong tam giác AOB. Qua K dựng đường thẳng song song với AB cắt BC tại P. Gọi Q là điểm đối xứng của B qua P, KQ cắt AB tại T khi đó ta chứng minh được diện tích tam giác BQT nhỏ nhất.
Vậy đường thẳng TQ chia hình vuông thành hai phần có hiệu diện tích lớn nhất.
Chu vi hình chữ nhật MEAF bằng: 2(AE + AF) = 2AB
2. Gọi k là giao điểm của HM và đường thẳng vuông góc với AC tại C suy ra CK = CA suy ra K là điểm cố định thỏa mãn đề bài .
Thật vậy, kéo dài tia EM cắt CK tại G, ta chứng minh được CG = EA. Tam giác KGM bằng tam giác EMF suy ra KG = EM = EB. Vậy
CK = EA + EB = AB = AC
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, tức là M là giao điểm của các đường phân giác của tam giác.
1. Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD, AD = BC
Suy ra và
Ta có: AD = AF + FD, BC = BE + EC
Mà AD = BC, AF = CE
Nên FD = BE
Suy ra
Do đó
Hay CM . DN = AB2 = a2
2. Ta có nên (vì AB = AD = BD)
Xét ∆CMB và ∆DAN có
Suy ra (c.g.c)
Do đó
Suy ra
Hay .
lớn nhất khi xy lớn nhất. các số xy có tổng bằng a không đổi nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi x = y. khi đó M là trung điểm của BC và diện tích hình bình hành ADME bằng nửa diện tích của tam giác ABC.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
