Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì OA ⋅ OD = OB ⋅ OC nên $\frac{\text{AO}}{\text{CO}}=\frac{\text{BO}}{\text{DO}}$.

Xét hai tam giác AOB và COD có:

$\frac{\text{AO}}{\text{CO}}=\frac{\text{BO}}{\text{DO}}$

$\widehat{\text{O}}$: Góc chung

Suy ra ΔAOB ᔕ ΔCOD (c – g – c).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2},\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}\).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}}\).

Xét hai tam giác ABC và AED có:

\(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}}\)

\(\widehat {\rm{A}}\): Góc chung

Do đó, ΔABC ᔕ ΔAED (c – g – c).

Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{AED}}}\), \(\widehat {{\rm{BCA}}} = \widehat {{\rm{EDA}}}\).

Vậy D sai.

Đáp án đúng là: B

Vì AB ⋅ DC = AI ⋅ DI nên \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{DC}}}}\).

Xét hai tam giác ABI và DIC có:

\(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{DC}}}}\)

\(\widehat {{\rm{BAI}}} = \widehat {{\rm{CDI}}} = 90^\circ \)

Do đó, ΔABI ᔕ ΔDIC (c – g – c).

Suy ra \(\widehat {{\rm{AIB}}} = \widehat {{\rm{DCI}}}\).

Mà \(\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{DCI}}} = 90^\circ \) (do tam giác DIC vuông tại D)

Suy ra \(\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{AIB}}} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {{\rm{BIC}}} = 180^\circ - \left( {\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{AIB}}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Vì MNPQ là hình thoi nên MN = MQ, mà \(\widehat {\rm{M}} = 60^\circ \), do đó tam giác MNQ đều.

Do đó, MN = NQ = MQ = QP = PM.

Ta có NP // MF (NP // MQ) nên \(\frac{{NE}}{{NM}} = \frac{{{\rm{PE}}}}{{{\rm{PF}}}}\) (định lí Thalès).

QP // ME (PQ // MN) nên \(\frac{{{\rm{EP}}}}{{{\rm{FP}}}} = \frac{{{\rm{MQ}}}}{{{\rm{QF}}}}\) (định lí Thalès).

Suy ra \(\frac{{NE}}{{NM}} = \frac{{{\rm{MQ}}}}{{{\rm{QF}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{NE}}}}{{{\rm{QN}}}} = \frac{{{\rm{NQ}}}}{{{\rm{QF}}}}\).

Ta có \(\widehat {ENQ} + \widehat {QNM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\widehat {ENQ} = 180^\circ - \widehat {QNM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) (do ∆MNQ đều nên \(\widehat {QNM} = 60^\circ \)).

Tương tự, ta tính được \(\widehat {NQF} = 120^\circ \).

Xét hai tam giác ENQ và NQF có:

\(\frac{{{\rm{NE}}}}{{{\rm{QN}}}} = \frac{{{\rm{NQ}}}}{{{\rm{QF}}}}\)

\(\widehat {{\rm{ENQ}}} = \widehat {{\rm{NQF}}} = 120^\circ \)

Suy ra ΔENQ ᔕ ΔNQF (c – g – c).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3},\frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}} = \frac{2}{3}\).

Xét hai tam giác MRS và MPN có:

\(\widehat {\rm{M}}\): Góc chung

\(\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}}\)

Do đó, ΔMRS ᔕ ΔMPN (c – g – c).

Suy ra \(\frac{{{\rm{RS}}}}{{{\rm{PN}}}} = \frac{{MS}}{{MN}} = \frac{2}{3}\) hay \(\frac{{{\rm{RS}}}}{{{\rm{18}}}} = \frac{2}{3}\). Suy ra \({\rm{RS}} = \frac{{18 \cdot 2}}{3} = 12\) (cm).