Giải SBT Toán 8 CTST Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác có đáp án
22 câu hỏi
Tam giác ABC có độ dài AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 14 cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 61.25 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.
Ta có ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC, suy ra
\[\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\]hay \[\frac{{A'B'}}{9} = \frac{{A'C'}}{{12}} = \frac{{B'C'}}{{14}}\].
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, có:
\[\frac{{A'B'}}{9} = \frac{{A'C'}}{{12}} = \frac{{B'C'}}{{14}}\]= \[\frac{{A'B' + A'C' + B'C'}}{{9 + 12 + 14}} = \frac{{61,25}}{{35}} = \frac{7}{4}\].
Suy ra \[\frac{{A'B'}}{9} = \frac{7}{4}\] ; \[\frac{{A'C'}}{{12}} = \frac{7}{4}\] và \[\frac{{B'C'}}{{14}} = \frac{7}{4}\].
Do đó \[A'B' = \frac{{7.9}}{4} = 15,75\]; \[A'C' = \frac{{7.12}}{4} = 21\] và \[B'C' = \frac{{7.14}}{4} = 24,5\].
Vậy A’B’ = 15,75 cm ; A’C’ = 21 cm và B’C’ = 24,5 cm.
Tam giác ABC và MBN (Hình 4) có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
Ta có AB = AM + MB = x + 2x = 3x.
Ta lại có \[\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{x}{{3x}} = \frac{1}{3}\]; \[\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{y}{{3y}} = \frac{1}{3}\]và \[\frac{{NB}}{{BC}} = \frac{z}{{3z}} = \frac{1}{3}\].
Xét ∆MBN và ∆ABC có: \[\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BC}}\].
Suy ra ∆MBN ᔕ ∆ABC (c.c.c).
Biết tam giác ABC có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MBN.
Ta có MBN ᔕ ∆ABC.
Khi đó, tỉ số chu vi của hai tam giác bằng tỉ số đồng dạng là:
\[\frac{{{P_{MBN}}}}{{{P_{ABC}}}} = \frac{1}{3}\] hay \[\frac{{{P_{MBN}}}}{{15}} = \frac{1}{3}\].
Do đó \[{P_{MBN}} = \frac{{1.15}}{3} = 5\].
Vậy chu vi tam giác MBN là 5 cm.
Cho tam giác MAB và ABN như Hình 5. Biết MA = 10 cm, MB = 15 cm, AB = 8 cm, NA = 12 cm, NB = 6,4 cm. Chứng minh rằng:
∆MAB ᔕ ∆ABN.
Ta có \[\frac{{MA}}{{AB}} = \frac{{10}}{8} = \frac{5}{4}\]; \[\frac{{AB}}{{BN}} = \frac{8}{{6,4}} = \frac{5}{4}\]; \[\frac{{MB}}{{AN}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4}\].
Xét ∆MAB và ∆ABN có \[\frac{{MA}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BN}} = \frac{{MB}}{{AN}}\].
Do đó ∆MAB ᔕ ∆ABN (c.c.c).
Cho tam giác MAB và ABN như Hình 5. Biết MA = 10 cm, MB = 15 cm, AB = 8 cm, NA = 12 cm, NB = 6,4 cm. Chứng minh rằng:
Tứ giác AMBN là hình thang.
Ta có ∆MAB ᔕ ∆ABN, suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {NBA}\].
Mà \[\widehat {MAB}\]và \[\widehat {NBA}\] là hai góc so le trong, suy ra MA // BN.
Suy ra tứ giác AMBN là hình thang.
Anh Minh dự định thiết kế sân vườn nhà mình có hai bồn hoa hình tam giác đồng dạng với nhau (Hình 6). Bồn hoa thứ nhất có chu vi 7,5 m và cạnh dài nhất là 3,5 m. Bồn hoa thứ hai có chu vi 4,5 m. Tính độ dài cạnh dài nhất của bồn hoa thứ hai.
Ta có ∆ABC ᔕ ∆DEF, suy ra \[\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{{P_{\Delta ABC}}}}{{{P_{\Delta DEF}}}} = \frac{{7,5}}{{4,5}} = \frac{5}{3}\].
Suy ra \[\frac{{3,5}}{{EF}} = \frac{5}{3}\], suy ra \[EF = \frac{{3.3,5}}{5} = 2,1\] (m).
Vậy độ dài cạnh dài nhất của bồn hoa thứ hai là 2,1 m.
Quan sát Hình 7. Chứng minh rằng \[\widehat {OBA} = \widehat {OAC}\].
Ta có \[\frac{{OB}}{{OA}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]; \[\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\], suy ra \[\frac{{OB}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OC}}\].
Xét ∆OAB và ∆OCA có \[\frac{{OB}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OC}}\]và \[\widehat O\]chung.
Do đó ∆OAB ᔕ ∆OCA (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {OBA} = \widehat {OAC}\] (hai góc tương ứng).
Quan sát Hình 8.
Chứng minh rằng ∆ABC đồng dạng với ∆DEF.
Ta có \[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]; \[\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\], suy ra \[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}}\].
Xét ∆ABC và ∆DEF có
\[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}}\]và \[\widehat B = \widehat E\]
Do đó∆ABC ᔕ ∆DEF (c.g.c).
Quan sát Hình 8.
ho biết AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, DN là đường trung tuyến của tam giác DEF và AM = 5,1 cm. Tính độ dài DN.
Ta có ∆ABC ᔕ ∆DEF nên
\[\frac{{AM}}{{DN}} = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{3}{4}\], suy ra \[\frac{{5,1}}{{DN}} = \frac{3}{4}\].
Do đó \[DN = \frac{{4.5,1}}{3} = 6,8\] .
Vậy DN = 6,8 cm.
Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM = 7,5, AN = 6. Chứng minh rằng: ∆ANM ᔕ ∆ABC.
Xét ∆ANMvà ∆ABC có
\[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{2}\], \[\widehat {\rm{A}}\] chung.
Do đó ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.g.c).
Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM = 7,5, AN = 6. Chứng minh rằng:
\[\widehat {ABN} = \widehat {ACM}\].
Ta có \[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\], suy ra \[\frac{{AN}}{{AM}} = \frac{{AB}}{{AC}}\].
Xét ∆ANB và ∆AMC có
\[\frac{{AN}}{{AM}} = \frac{{AB}}{{AC}}\] và \[\widehat A\] chung.
Do đó ∆ANB ᔕ ∆AMC (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {ABN} = \widehat {ACM}\] (hai góc tương ứng).
Cho tam giác đều ABC, từ B và C kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, hai đường này cắt nhau tại M. Qua M kẻ đường thẳng cắt AB tại E và cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
\[\frac{{CA}}{{CF}} = \frac{{ME}}{{MF}}\] và \[\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{ME}}{{MF}}\].
Xét ∆MCF có AE// CM (vì AB// CM), theo định lí Thalès ta có:
\[\frac{{CA}}{{CF}} = \frac{{ME}}{{MF}}\](1)
Xét ∆BEM có AF// BM (vì AC// BM), theo hệ quả của định lí Thalès ta có:
\[\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{EF}}{{ME}}\].
Ta có \[\frac{{AE}}{{BE}} + 1 = \frac{{EF}}{{ME}} + 1\] hay \[\frac{{AE}}{{BE}} + \frac{{BE}}{{BE}} = \frac{{EF}}{{ME}} + \frac{{ME}}{{ME}}\].
Suy ra \[\frac{{BA}}{{BE}} = \frac{{MF}}{{ME}}\] hay \[\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{ME}}{{MF}}\] (2)
Cho tam giác đều ABC, từ B và C kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, hai đường này cắt nhau tại M. Qua M kẻ đường thẳng cắt AB tại E và cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
∆BCE ᔕ ∆CFB.
Từ (1) và (2), suy ra \[\frac{{CA}}{{CF}} = \frac{{BE}}{{BA}}\], mà AB = BC = AC. Suy ra \[\frac{{BC}}{{CF}} = \frac{{BE}}{{BC}}\].
Xét ∆BCE và ∆CFB có \[\frac{{BC}}{{CF}} = \frac{{BE}}{{BC}}\] và \[\widehat {EBC} = \widehat {BCF}\] (∆ABC đều).
Do đó ∆BCE ᔕ ∆CFB (c.g.c).
Quan sát Hình 9.
Chứng minh rằng ∆ABC ∆MNQ.
Xét ∆ABC và ∆MNQ có
\[\widehat A = \widehat M\]và \[\widehat C = \widehat Q\]
Do đó ∆ABC ᔕ ∆MNQ (g.g)
Quan sát Hình 9.
Tính x, y.
Ta có ∆ABC ᔕ ∆MNQ, suy ra
\[\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MQ}} = \frac{{BC}}{{NQ}}\]hay \[\frac{{y - 1}}{5} = \frac{{3,5}}{{x + 2}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\].
Suy ra \[\frac{{y - 1}}{5} = \frac{1}{2}\]và \[\frac{{3,5}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}\].
Do đó \[y - 1 = \frac{5}{2} = 2,5\]và x + 2 =7.
Suy ra y = 2,5 + 1 = 3,5 và x = 7 – 2 = 5.
Vây x = 5 và y = 3,5.
Trong Hình 10, cho biết AB = 4,2; IA = 6; IC = 10; \[\widehat {ABI}\] = 60°; \[\widehat {CDx}\] = 120°. Tính độ dài CD.
Ta có \[\widehat {CDx} + \widehat {CDI} = 180^\circ \](hai góc kề bù).
Suy ra \[\widehat {CDI} = 180^\circ - \widehat {CDI} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \].
Xét ∆IAB và ∆ICD có
\[\widehat {ABI} = \widehat {CDI}\] (= 60°) và \[\widehat {AIB} = \widehat {CID}\] (đối đỉnh).
Suy ra ∆IAB ᔕ ∆ICD (g.g).
Suy ra \[\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{CD}}\] hay \[\frac{6}{{10}} = \frac{{4,2}}{{CD}}\].
Do đó \[CD = \frac{{4,2.10}}{6} = 7\].
Vậy CD = 7.
Quan sát Hình 11. Vẽ vào tờ giấy tam giác MNP với NP = 6 cm, \[\widehat N = 45^\circ \], \[\widehat P = 75^\circ \].
Chứng minh rằng ∆MNP ᔕ ∆ABC.
Xét ∆MNP và ∆ABC có
\[\widehat N = \widehat B\](= 45°) và \[\widehat P = \widehat C\](=75°).
Do đó ∆MNP ᔕ ∆ABC (g.g).
Quan sát Hình 11. Vẽ vào tờ giấy tam giác MNP với NP = 6 cm, \[\widehat N = 45^\circ \], \[\widehat P = 75^\circ \].
Dùng thước đo chiều dài cạnh MP của ∆MNP. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và C ở hai bờ sông trong Hình 11.
Ta có MP = 4 cm.
Ta có ∆MNP ᔕ ∆ABC suy ra \[\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{NP}}{{BC}}\]hay \[\frac{4}{{AC}} = \frac{6}{{36}}\].
Do đó \[AC = \frac{{4.36}}{6} = 24\].
Vậy AC = 24 cm.
Trong Hình 12, cho tứ giác ABCD là hình thang. Biết DB là tia phân giác của \[\widehat {ADC}\]và \[\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\]. Chứng minh rằng:
∆ABD ᔕ ∆BDC.
Xét ∆ABD và ∆BDC có
\[\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\]và \[\widehat {ADB} = \widehat {BDC}\](DB là tia phân giác của\[\widehat {ADC}\]).
Do đó ∆ABD ᔕ ∆BDC (g.g).
Trong Hình 12, cho tứ giác ABCD là hình thang. Biết DB là tia phân giác của \[\widehat {ADC}\]và \[\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\]. Chứng minh rằng:
BD2 = AB . DC.
Ta có ∆ABD ᔕ ∆BDC, suy ra \[\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}}\].
Do đóBD2 = AB . DC (đpcm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \[\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\].
Chứng minh rằng ∆AED ᔕ ∆ABC.
Xét ∆AED và ∆ABC có
\[\widehat A\] chung;\[\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\].
Do đó ∆AED ᔕ ∆ABC (g.g)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \[\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\].
Tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] cắt DE tại M và cắt BC tại N.
Chứng minh rằng ME . NC = MD . NB.
Ta có ∆AED ᔕ ∆ABC suy ra \[\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\] hay \[\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\](1)
• Vì AM là tia phân giác của \[\widehat {DAE}\] nên \[\frac{{ME}}{{MD}} = \frac{{AE}}{{AD}}\] (2)
• Vì AN là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên \[\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\] (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra\[\frac{{ME}}{{MD}} = \frac{{NB}}{{NC}}\] hay ME . NC = MD . NB (đpcm).
