Giải SBT Toán 8 CTST Đường trung bình của tam giác có đáp án

Xét ∆ABC, ta có MA = MB và NA = NC, nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra MN // BC.

Tứ giác BMNC có MN // BC nên BMNC là hình thang.

Xét ∆ABE, ta có MA = MB và MI // BE (vì I ∈ MN, E ∈ BC) nên IA = IE.

Do đó MI là đường trung bình của ∆ABE, suy ra MI = \[\frac{{BE}}{2}\].

Tương tự, ta có IN = \[\frac{{EC}}{2}\].

Mặt khác BE = EC, suy ra MI = IN.

Vậy I là trung điểm của MN.

Xét ∆BCE, ta có MB = MC và MF //CE nên EF = FB.

Xét ∆AMF, ta có IA = IM và EI // MF (vì I ∈ CE) nên EA = EF.

Suy ra EA = EF = FB mà EA + EF + FB = AB.

Vậy AE = \[\frac{1}{3}\]AB.

Xét ∆BCE, ta có MB = MC và EF = FB, nên MF là đường trung bình của ∆BCE.

Suy ra CE = 2MF  (1)

Tương tự, có EI là là đường trung bình của ∆AMF, suy ra MF = 2EI   (2)

Từ (1) và (2) suy ra CE = 4EI.

Xét ∆ABC, ta có MA = MC và NA = NB nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra MN // BC   (1)

Xét ∆BCG, ta có BD = DG và CE = EG nên DE là đường trung bình của ∆BCG.

Suy ra DE // BC    (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // DE.

Xét ∆ABG có NA = NB và DG = DB nên ND là đường trung bình của ∆ABG.

Suy ra ND// AG   (3)

Xét ∆ACG có MA = MC và EG = EC nên ME là đường trung bình của ∆ACG.

Suy ra ME// AG   (4)

Từ (3) và (4) suy ra ND // ME.

•Xét ∆ABD, ta có MA = MD và PB = PD nên MP là đường trung bình của ∆ABD.

Suy ra MP//AB mà AB // CD nên MP // CD.

•Xét ∆ADC, ta có MA = MD và QA = QC nên MQ là đường trung bình của ∆ADC.

Suy ra MQ // CD.

•Xét ∆BCD, ta có PB = PD và NB = NC nên BN là đường trung bình của ∆BCD.

Suy ra PN // CD.

Qua điểm \(M \notin CD\) có MP // CD và MQ // CD, suy ra M, P, Q thẳng hàng. (1)

Qua điểm \(P \notin CD\) có MP // CD và PN // CD, suy ra M, P, N thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Xét ∆ABC, ta có MA = MC và NB = NC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra MN // AB   (1)

Tứ giác AMNB có MN // AB nên AMNB là hình thang.

Xét ∆IEF, ta có NE = NI và MF = MI nên MN là đường trung bình của ∆IEF.

Suy ra MN // EF    (2)

Từ (1) và (2) suy ra EF // AB.

Xét ∆OPQ, ta có IP = IQ và IM // QO nên MO = MP.

Xét ∆OPQ, ta có IP = IQ và MO = MP nên IM là đường trung bình của ∆OPQ.

Suy ra IM = \[\frac{1}{2}\]QO.

Tương tự, IN là đường trung bình của ∆OPQ, suy ra IN = \[\frac{1}{2}\]PO.

Mà ∆OPQ cân tại O nên QO = PO. Suy ra IM = IN.

Tam giác IMN có IM = IN suy ra tam giác IMN cân tại I.

Gọi A là giao điểm của IO và MN.

∆OPQ cân tại O có OI là đường trung tuyến, suy ra OI cũng là đường cao của ∆OPQ.

Suy ra OI ⊥ PQ     (1)

Xét ∆OPQ, ta có MO = MP và NO = NQ nên MN là đường trung bình của ∆OPQ.

Suy ra MN // PQ   (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN ⊥ OI tại A hay MN ⊥ IA.

Mà ∆IMN cân tại I có IA là đường cao nên IA cũng là đường trung trực của MN.

Do đó, OI là đường trung trực của MN.