Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: (x² – xy). x² = x² (x²  – xy).

Đáp án đúng là: B

Các phân thức trên có mẫu lần lượt là:

4x – 12 = 4(x – 3); 4x + 12 = 4(x + 3); 9 – x² = – (x – 3)(x + 3).

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là 4 và phần biến số là (x – 3)(x + 3).

Hay mẫu thức chung là 4(x – 3)(x + 3).

Đáp án đúng là: A

+) Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{3\left( {x - 1} \right)}}\); \(\frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(\frac{5}{{4\left( {x - 2} \right)}}\) là 12(x – 1)(x – 2)². Do đó A đúng.

+) Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{x}{{x - 1}}\); \(\frac{5}{{6{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\) là 6(x – 1)(x – 2)³, do đó B sai.

+) Ta có x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

Suy ra, mẫu chung của các phân thức \(\frac{1}{{{x^2} - 4}}\); \(\frac{7}{{12\left( {x - 1} \right)}}\) là 12(x² – 4)(x – 1), do đó C sai.

+) Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{x - 2}}\); \(\frac{5}{{3{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(\frac{x}{{5\left( {x - 1} \right)}}\) là 15(x – 2)³(x – 1),  do đó D sai.

Đáp án đúng là: A

Mẫu thức chung của hai phân thức là x²(x + 1).

Nên nhân tử phụ của phân thức \[\frac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\] là 1.

Hay \(\frac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\).

Nhân tử phụ của phân thức \(\frac{{3x}}{{x + 1}}\) là x² nên ta có: \(\frac{{3x}}{{x + 1}} = \frac{{3x.{x^2}}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3{x^3}}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{x}{{2x - 6}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\)

\(\frac{4}{{{x^2} - 9}} = \frac{{4.2}}{{\left( {{x^2} - 9} \right).2}} = \frac{8}{{\left( {{x^2} - 9} \right).2}}\).

Đáp án đúng là: B

Mẫu thức của hai phân thức \(\frac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\), \(\frac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}\) lần lượt là (x + 3)³ và 3(x + 3).

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là 3, phần biến số là (x + 3)³.

Do đó, mẫu thức chung là 3(x + 3)³ .

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\frac{{x - y}}{{2{x^2} - 4xy + 2{y^2}}} = \frac{{x - y}}{{2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}} = \frac{{x - y}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}}}\) = \(\frac{1}{{2\left( {x - y} \right)}}\);

\(\frac{{x + y}}{{2{x^2} + 4xy + 2{y^2}}}\)= \(\frac{{x + y}}{{2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}\) = \(\frac{{x + y}}{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) = \(\frac{1}{{2\left( {x + y} \right)}}\);

\(\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{y^2} - {x^2}} \right)}}\)= \(\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\left[ { - \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)} \right]}}\) = \(\frac{1}{{ - {{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\)

Ta quy đồng các phân số vừa rút gọn được là \(\frac{1}{{2\left( {x - y} \right)}}\); \(\frac{1}{{2\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{1}{{ - {{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\) với mẫu thức chung là 2(x – y)²(x + y) ta được:

\(\frac{1}{{2\left( {x - y} \right)}}\)= \[\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}{{2\left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\] = \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\);

\(\frac{1}{{2\left( {x + y} \right)}}\) = \(\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\) = \[\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\];

\(\frac{1}{{ - {{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\)= \(\frac{{ - 2}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\).

Vậy các phân thức sau khi rút gọn và quy đồng lần lượt là \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \[\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\]; \(\frac{{ - 2}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\).