Giải SGK Toán 8 CTST Bài 5. Phân thức đại số có đáp án

Ta lập được các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và t theo hai đại lượng còn lại như sau: s = vt; v = st; t = sv.

Trong ba biểu thức trên, chỉ có biểu thức s = vt là đa thức; hai biểu thức còn lại không phải là đa thức, vì hai biểu thức v = st và t = sv có chứa phép chia giữa các biến.

a)

• Biểu thức biểu thị chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m² là: 3a (m).

• Gọi t là thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm.

Vì thời gian làm việc và số sản phẩm làm được là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

tx=1y, suy ra t=xy (giờ)

Vậy biểu thức biểu thị thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm là: xy (giờ).

• Diện tích của mảnh ruộng là: a + b (ha).

Mảnh ruộng cho thu hoạch được số tấn lúa là: m + n (tấn lúa).

Biểu thức biểu thị năng suất trung bình của mảnh ruộng gồm hai thửa đó là: a+bm+n (tấn/ha).

b) Các biểu thức trên đều là biểu thức có dạng AB, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

Do đó các biểu thức này không phải là đa thức.

a) Tại x = 0, ta có: P=02−12.0+1=−11=−1.

b) Tại x=−12 ta có mẫu thức có giá trị là: 2.−12+1=−1+1=0.

Khi đó giá trị của biểu thức P không xác định.

a) Xét phân thức x2−2x+1x+2

Điều kiện xác định của phân thức trên là x + 2 ≠ 0, hay x ≠ ‒2.

• Khi x = –3 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

−32−2.−3+1−3+2=9+6+1−1=−16;

• Khi x = 1 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

12−2.1+11+2=1−2+13=0.

b) Xét phân thức xy−3y2x+y

Điều kiện xác định của phân thức trên là x + y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x + y ≠ 0).

Khi x = 3 và y = –1 thì x + y = 2 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Khi đó ta có: 3.−1−3.−123+−1=−3−32=−3.

a) Điều kiện xác định của phân thức 1a+4 là a + 4 ≠ 0 hay a ≠ ‒4.

b) Điều kiện xác định của phân thức xy2x−2y là x – 2y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x – 2y ≠ 0).

• Khi x = 100, thay vào biểu thức C(x) ta được:

C100=0,0002.1002+120.100+1000100

            =2+12000+1000100=13002100=130,02 (nghìn đồng).

• Khi x = 1000, thay vào biểu thức C(x) ta được:

C1000=0,0002.10002+120.1000+10001000

              =200+120000+10001000=1212001000=121,2 (nghìn đồng).

a) • Khi x = 3 và y = 2 ta có: M=32;

                                               N=32−33.2−2=9−36−2=64=32.

• Khi x = ‒1 và y = 5 ta có: M=−15;

                                            N=−12−−1−1.5−5=1+1−5−5=2−10=−15.

Nhận xét: Giá trị của M và N bằng nhau khi cho x và y nhận những giá trị thỏa mãn y ≠ 0 và xy – y ≠ 0.

b) • Nhân tử thức của phân thức M với mẫu thức của phân thức N ta được:

x.(xy – y) = x²y – xy.

• Nhân tử thức của phân thức N với mẫu thức của phân thức M ta được:

(x² – x).y = x²y – xy.

Ta thấy cả hai kết quả đều là đa thức x²y – xy nên hai đa thức nhận được bằng nhau.

a) Ta có: xy².(x + 1) = x²y² + xy²;

               (xy + y).xy = x²y² + xy².

Do đó xy².(x + 1) = (xy + y).xy.

Vậy xy2xy+y=xyx+1.

b) Ta có: (xy – y).y = xy² – y²;

                x.(xy – x) = x²y – x².

Do đó (xy – y).y ≠ x.(xy – x)

Vậy hai phân thức xy−yx và xy−xy không bằng nhau.

a) • Xét hai phân thức P=x2yxy2 và Q=xy ta có:

x²y.y = x²y²;

xy².x = x²y².

Do đó x²y.y = xy².x

Vậy x2yxy2=xy hay P = Q            (1)

• Xét hai phân thức Q=xy và R=x2+xyxy+y2 ta có:

x.(xy + y²) = x²y + xy²;

y.(x² + xy) = x²y + xy².

Do đó x.(xy + y²) = y.(x² + xy)

Vậy xy=x2+xyxy+y2, hay Q = R      (2)

Từ (1) và (2) ta có P = Q = R.

Vậy các phân thức P, Q và Q bằng nhau.

b) • Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức Q=xy với cùng đơn thức xy khác đa thức không thì được: Q=xy=x.xyy.xy=x2yxy2=P.

• Ta có: R=x2+xyxy+y2=xx+yyx+y

Ta chia cả tử và mẫu của phân thức R cho cùng nhân tử chung là (x + y) thì được:

R=x2+xyxy+y2=xx+yyx+y=xx+y:x+yyx+y:x+y=xy.

Dùng tính chất cơ bản của phân thức

Ta có a2−b2a2b+ab2=a+ba−baba+b=a−bab.

Vậy a2−b2a2b+ab2=a−bab.

a, 3x2+6xy6x2=3xx+2y3x.2x=x+2y2x

b, 2x2−x3x2−4=−x2x−2x+2x−2=−x2x+2

c, x+1x3+1=x+1x+1x2−x+1=1x2−x+1

Trong các biểu thức trên, 3x+12x−1 và 2x² – 5x + 3 là phân thức.

Biểu thức x+x3x+2 không phải là phân thức, vì x+x không phải là đa thức.

a) Điều kiện xác định của phân thức 4x−1x−6 là x – 6 ≠ 0, hay x ≠ 6.

b) Điều kiện xác định của phân thức x−10x+3y là x + 3y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x + 3y ≠ 0).

c) Phân thức 3x² – x + 7 xác định với mọi giá trị x ∈ ℝ.

a) Xét phân thức A=3x2+3xx2+2x+1=3xx+1x+12

Điều kiện xác định của phân thức A là (x + 1)² ≠ 0, hay x + 1 ≠ 0, do đó x ≠ –1.

Với điều kiện xác định x ≠ –1 thì A=3x2+3xx2+2x+1=3xx+1x+12=3xx+1.

Tại x = ‒ 4 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

A=3.−4−4+1=−12−3=4.

b) Xét phân thức B=ab−b2a2−b2.

Điều kiện xác định của phân thức B là a² – b² ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của a và b thỏa mãn a² – b² ≠ 0).

Với điều kiện xác định trên thì B=ab−b2a2−b2=ba−ba+ba−b=ba+b.

Tại a = 4 và b = ‒2 thì a² – b² = 12 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Khi đó, B=−24+−2=−22=−1.

) Xét hai phân thức 3aca3b và 6c2a2b ta có:

3ac.2a²b = 6a³bc;

a³b.6c = 6a³bc.

Do đó 3ac.2a²b = a³b.6c

Vậy 3aca3b=6c2a2b.

b) Ta có: 3ab−3b26b2=3ba−b3b.2b=a−b2b.

Vậy 3ab−3b26b2=a−b2b.

a) Ta có 2x+1x−1=2x+1.x+1x−1.x+1=2x2+2x+x+1x2−1=2x2+3x+1x2−1

Vậy đa thức thay vào  ?  là: 2x² + 3x + 1.

b) Ta có x2+2xx3+8=xx+2x+2x2−2x+4=xx2−2x+4.

Vậy đa thức thay vào  ?  là: x.

a, 3x2y2xy5=xy.3xxy.2y4=3x2y4

b, 3x2−3xx−1=3xx−1x−1=3x1=3x

c, ab2−a2b2a2+a=ab2−aba2a+1=b2−ab2a+1

d, 12x4−118x2−1=6.2.x2+1x2−16.3.x2−1=2.x2+13=2x2+23