Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 14: Hình thoi và hình vuông có đáp án
5 câu hỏi
Chứng minh hình bình hành có hai đường cao xuất phát từ một đỉnh bằng nhau là một hình thoi.
Xét hình bình hành ABCD có đường cao AH (H thuộc đường thẳng CD), và đường cao AK (K thuộc đường thẳng BC), AH = AK.
XétDACH vuông tại H và DACK vuông tại K có:
Cạnh AC chung, AH = AK
Do đó ∆ACH = ∆ACK (cạnh huyền – một cạnh góc vuông)
Suy ra ACK^=ACH^ (hai góc tương ứng)
Nên CA là tia phân giác của C^.
Hình bình hành ABCD có CA là phân giác C^ nên là hình thoi.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Với mỗitam giác OAB, OBC, OCD, ODA, xét giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Tại sao bốn điểm vừa vẽ là bốn đỉnh của một hình thoi?
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAB, OCD thì O, P, Q thẳng hàng trên đường phân giác của góc AOB .
Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC
Suy ra ODC^=OBA^;OCD^=OAB^ (các cặp góc ở vị trí so le trong)
Mà DQ, BP lần lượt là tia phân giác của ODC^;OBA^ nên OBP^=ODQ^
Xét ∆OBP và ∆ODQ có:
OBP^=ODQ^; OB = OD; BOP^=QOD^ (đối đỉnh)
Do đó ∆OBP = ∆ODQ (g.c.g)
Suy ra OP = OQ, hay O là trung điểm của PQ
Gọi R, S lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAD, OBC thì tương tự như trên, ta cũng chứng minh được O là trung điểm của RS và đường thẳng RS là đường phân giác của góc AOD^.
Do góc AOB và góc AOD là hai góc kề bù nên hai đường phân giác PQ, RS vuông góc với nhau.
Tứ giác PSQR có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi.
Cho hình vuông ABCD. Với điểm M nằm giữa C và D, kẻ tia phân giác của góc DAM; nó cắt CD ở N. Đường thẳng qua N vuông góc với AM cắt BC ở P. Tính số đo của góc NAP.
Đường thẳng NP ⊥ AM cắt AM ở Q.
Do ABCD là hình vuông nên ND ⊥ AD.
Xét DADN vuông tại D và DAQN vuông tại Q có:
AN là cạnh chung, NAD^=NAQ^ (do AN là tia phân giác của DAM^)
Do đó ∆ADN = ∆AQN (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AD = AQ;
Mà AD = AB nên AQ = AB
Xét DAQP vuông tại Q và DABP vuông tại B có:
Cạnh AP chung; AQ = AB
Do đó ∆AQP =∆ABP (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra QAP^=BAP^.
Ta có: BAD^=DAN^+NAQ^+QAP^+BAP^
Mà NAD^=NAQ^; QAP^=BAP^ nên ta có:
BAD^=2NAQ^+PAQ^=2NAP^
Suy ra NAP^=12DAB^=12⋅90°=45°.
Cho hình vuông ABCD với tâm O và có cạnh bằng 2 cm. Hai tia Ox, Oy tạo thành góc vuông. Tính diện tích của phần hình vuông nằm bên trong góc xOy.
Tia Ox phải cắt một cạnh của hình vuông, giả sử Ox cắt cạnh AB tại M.
• Khi M trùng với A hay B thì tia Oy phải qua một đỉnh của hình vuông và dễ thấy phần hình vuông nằm trong góc xOy là một phần tư của hình vuông.
• Khi M nằm giữa A và B thì tia Oy phải cắt cạnh BC hoặc cạnh AD; giả sử Oy cắt BC tại N thì N nằm giữa B và C.
Do ABCD là hình vuông nên AC và BD là các đường phân giác các góc của hình vuông, BD ⊥ AC.
Suy ra MAO^=NBO^ (cùng phụ với MBO^)
Ta có: MOA^+MOB^=90°, NOB^+MOB^=90°
Suy ra MOA^=NOB^
Xét ∆OAM và ∆OBN có:
MAO^=NBO^; OA = OB; MOA^=NOB^
Do đó ∆OAM = ∆OBN (g.c.g), nên hai tam giác này có cùng diện tích.
Ta có: diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy là diện tích tứ giác OMBN
Mà SOMBN = SOBM + SOBN; SOAB = SOAM + SOBM
Suy ra SOMBN = SOAB
Tức diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy bằng 14 diện tích hình vuông.
• Cũng lập luận tương tự khi N nằm giữa A và D.
Vậy trong mọi trường hợp diện tích cần tìm bằng 14⋅22=1 cm2.
Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho BD = DE = EC. Lấy các điểm F, G lần lượt thuộc cạnh AC, AB sao cho FE, GD vuông góc với BC.
Chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông.
Do ∆ABC vuông cân tại A nên B^=C^=45°.
Xét ∆GBD vuông tại D và ∆EFC vuông tại E có:
BD = EC; B^=C^
Do đó ∆GBD = ∆FCE(cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra DGB^=EFC^
Mà B^+DGB^=90° nên DGB^=90°−B^=90°−45°=45°
Do đó DGB^=EFC^=45°
Suy ra ∆GBD vuông cân tại D và ∆EFC vuông cân tại E.
Vì vậy GD = BD, EF = EC.
Mà BD=DE=EC=13BC
Suy raGD = DE = EF.
Do GD ⊥ BC, EF ⊥ BC nên GD // EF
Tứ giác GDEF có GD // EF, GD = EF nên GDEF là hình chữ nhật.
Lại có GD và DE là hai cạnh kề của hình chữ nhật GDEF bằng nhau nên GDEF là hình vuông.
