Bài tập vận dụng tính chất hình thoi lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Tứ giác MNPQ là hình thoi nên hai đường chéo MP và NQ vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra: \[{\rm{OM = }}\frac{1}{2}{\rm{MP}}\], \[{\rm{ON = }}\frac{1}{2}{\rm{NQ}}\].

\[{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP.NQ = \frac{1}{2}\,.\,2OM\,.\,2ON = 2OM\,\,.\,\,ON = 48\].

Suy ra \[OM\,.\,ON = \frac{{48}}{2} = 24\].

Tam giác MON vuông tại O có: \[S = \frac{1}{2}OM\,.\,ON = \frac{1}{2}\,.\,24 = 12\] (cm²).

Vậy diện tích tam giác MON là 12 cm².

Đáp án đúng là: C

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tổng độ dài bốn cạnh (chu vi) bằng: 6 ∙ 4 = 24 cm.

Đáp án đúng là: B

Theo định lí về tính chất đường chéo của hình thoi, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi. Đường chéo đi qua đỉnh M và P sẽ là đường phân giác của góc M và góc P.

Đáp án đúng là: C

Trong hình thoi, hai đường chéo có tính chất cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: A

Do EFGH là hình thoi nên \(\widehat E = \widehat G;\widehat F = \widehat H\).

Mà \(\widehat E + \widehat G + \widehat F + \widehat H = 360^\circ \)

Hay \(2\widehat E + 2\widehat F = 360^\circ \)

Suy ra \(\widehat E + \widehat F = \frac{{360^\circ }}{2} = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat F = 180^\circ - \widehat E = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Đáp án đúng là: C

Độ dài cạnh của hình thoi là: AB = 20 : 4 = 5 cm.

Chu vi tam giác OAB bằng tổng độ dài 3 cạnh: OA + OB + AB = 12 cm.

Thay các số đo đã biết vào, ta có: 3 + OB + 5 = 12, suy ra OB = 4 cm.

Khoảng cách từ O đến đỉnh B chính là đoạn OB = 4 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo định nghĩa, hình thoi có bốn cạnh bằng nhau.

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

b) Đúng. Xét ∆ABD có AB = AD và \(\widehat A = 60^\circ \) nên ∆ABD là tam giác đều.

c) Đúng. Theo b) có ∆ABD là tam giác đều nên \(\widehat {ABD} = 60^\circ \).

d) Sai. Vì ABCD là hình thoi nên BD là phân giác \(\widehat {ABC}\).

Suy ra \(\widehat {ABC} = 2\widehat {ABD} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Theo tính chất hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Đúng. Hình thoi có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, suy ra I là trung điểm MP.

c) Sai. Theo b) có I là trung điểm MP nên \(MI = IP = \frac{{MP}}{2} = 6\)(cm).

d) Đúng. Vì MP ⊥ NQ (theo ý a) nên ∆IMN vuông tại I, khi đó MN là cạnh huyền và IM, IN là hai cạnh góc vuông của tam giác này.

Hình thoi có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, suy ra I là trung điểm NQ. Suy ra \(QI = IN = \frac{{NQ}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\) (cm).

Ta có MN² = 10² = 100;

IN² + IM² = 8² + 6² = 100.

Do đó MN² = IN² + IM².

Vậy ∆IMN vuông tại I có bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Chu vi bằng 40 cm nên độ dài một cạnh là 40 : 4 = 10 cm.

b) Sai. MNPQ là hình thoi nên MP là phân giác góc NMQ.

Suy ra \(\widehat {NMP} = \frac{{\widehat {NMQ}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

MNPQ là hình thoi nên NM = NP.

Xét ΔMNP có NM = NP và \(\widehat {NMP} = 60^\circ \) nên ΔMNP là tam giác đều.

c) Đúng. Theo b) có ΔMNP là tam giác đều, suy ra MH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra H là trung điểm NP.

d) Đúng. Xét ΔMHN vuông tại H có MH là đường trung tuyến (vì H là trung điểm NP) suy ra \(HN = \frac{{NP}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\) (cm).

Ta có MN² = 10² = 100;

\[M{H^2} + H{N^2} = {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} + {5^2} = 75 + 25 = 100.\]

Do đó MN² = MH² + HN².

Vậy ΔMNH vuông tại H có bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. ABCD là hình thoi nên BD là phân giác góc ABC.

b) Đúng. Từ ý a) suy ra \(\widehat {ABD} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{150^\circ }}{2} = 75^\circ \).

c) Sai. Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó ∆ABD là tam giác cân tại A.

Vì \(\widehat {ABD} = 75^\circ \) nên ∆ABD không thể là tam giác đều.

d) Sai. Vì ABCD là hình thoi nên độ dài một cạnh của hình thoi là 32 : 4 = 8 (cm).

Do đó AB = 8 cm.

Vì ABD không thể là tam giác đều nên BD ≠ AB hay BD ≠ 8 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì cùng thuộc hai đường tròn cùng bán kính nên các đoạn thẳng từ tâm đến giao điểm bằng nhau, tức là AB = AD = CB = CD.

b) Đúng. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi. Suy ra ABCD là hình thoi.

Vậy AC là tia phân giác của góc BAD.

c) Sai. Theo b) có AC là tia phân giác của góc BAD.

Suy ra \(\widehat {BAC} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{{20}} = 45^\circ \).

d) Đúng. Xét hình thoi ABCD có \(\widehat {BAD} = 90^\circ \) nên ABCD là hình vuông, suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).

Khi đó ∆ABC vuông tại B có \(\widehat {BAC} = 45^\circ \) nên ∆ABC vuông cân tại B.

Đáp án: 24

Độ dài một cạnh của mảnh vườn hình thoi là: 100 : 4 = 25 m.

Kẻ MH ⊥ NP tại H.

Vì MNPQ là hình thoi nên MQ // NP. Khi đó, khoảng cách giữa hai cạnh MQ và NP chính là khoảng cách từ điểm M đến cạnh NP, và bằng MH.

Ta có công thức tính diện tích hình thoi là S = h . a, trong đó h là chiều cao ứng với cạnh đáy a.

Suy ra khoảng cách giữa hai cạnh đối diện (chiều cao) là:

\(h = \frac{S}{a} = \frac{{600}}{{25}} = 24\) (m).

Đáp án: 130

Góc OAB là góc hợp bởi đường chéo AC và cạnh AB.

Theo tính chất của hình thoi, đường chéo AC là tia phân giác của \(\widehat {DAB}\).

Do đó, \(\widehat {DAB} = 2\widehat {OAB} = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ \).

Do ABCD là hình thoi, suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BCD};\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\).

Mà \(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {ADC} = 360^\circ \)

Nên \[2\widehat {BAD} + 2\widehat {ABC} = 360^\circ \]

Suy ra \(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = \frac{{360^\circ }}{2} = 180^\circ \).

Do đó \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).

Đáp án: 10.

Vì MNPQ là hình thoi nên QN là phân giác góc MQP.

Suy ra \(\widehat {MQP} = 2\widehat {MQN} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \). (1)

MNPQ là hình thoi nên độ dài một cạnh của hình thoi là

\(QM = QP = \frac{{40}}{4} = 10\) (cm). (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆MPQ là tam giác đều.

Vậy MP = QM = QP = 10 (cm).

Đáp án: 8

Theo tính chất hình thoi, các cạnh có độ dài bằng nhau nên AB = AD.

∆ABD có AB = AD nên là tam giác cân tại A.

Lại có \(\widehat A = 60^\circ \) nên ∆ABD là tam giác đều.

Do đó, ∆ABD đều, suy ra BD = AB = AD = 8 cm.

Đáp án: 49.

Gọi độ dài đường chéo lớn AC và đường chéo nhỏ BD lần lượt là x và y (x > y > 0).

Ta có:

x + y = 98; x – y = 62

Suy ra (x + y) + (x – y) = 98 + 62

2x = 160.

Suy ra x = 80 (cm). (Độ dài AC).

Nên y = 98 – 80 = 18 cm (độ dài BD).

Theo tính chất hình thoi, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên:

\(OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{80}}{2} = 40\) (cm) và \(OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{18}}{2} = 9\) (cm).

Tổng độ dài OA + OB là: OA + OB = 40 + 9 = 49 (cm).