Bài tập vận dụng tính chất hình vuông lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Hình thoi chưa chắc có hai đường chéo bằng nhau.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

Tứ giác có bốn góc bằng nhau là hình chữ nhật.

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau là hình thoi.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: C

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng độ dài một cạnh nhân 4.

Vậy độ dài cạnh hình vuông là: 40 : 4 = 10 (cm).

Đáp án đúng là: A

Tứ giác ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Theo đề bài, ta có: AC² = AB² + BC² = 2AB²

\[{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{A}}{{\rm{C}}^2}}}{2}{\rm{ = }}\frac{{{{10}^2}}}{2}{\rm{ = 50}}\]

AB = \[{\rm{5}}\sqrt 2 \] (cm)

Chu vi hình vuông là: \[{\rm{5}}\sqrt 2 {\rm{.4 = 20}}\sqrt 2 \] (cm).

Đáp án đúng là: B

Tứ giác MNPQ là hình vuông nên MN = NP = PQ = QM.

Theo đề bài, ta có: MP² = MN² + NP² = 2MN²

\[{\rm{M}}{{\rm{N}}^2}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{M}}{{\rm{P}}^2}}}{2}{\rm{ = }}\frac{{{6^2}}}{2}{\rm{ = 18}}\].

Đáp án đúng là: D

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác MNPQ là hình vuông nên MP = NQ , \[{\rm{MP}} \bot {\rm{NQ}}\] và MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó, OM = ON = OP = OQ.

Tam giác MOQ vuông tại O có MO = OQ nên tam giác MOQ vuông cân tại O.

Theo đề bài, ta có: MQ² = MO² + OQ² = 2MO²

\[{\rm{M}}{{\rm{O}}^2}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{M}}{{\rm{Q}}^2}}}{2}{\rm{ = }}\frac{{{4^2}}}{2}{\rm{ = 8}}\]

MO = \[{\rm{2}}\sqrt 2 \] (cm).

Đáp án đúng là: D

Hai đường chéo của hình vuông bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là các đường phân giác của các góc của hình vuông.

Đáp án đúng là: D

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông, bốn cạnh bằng nhau và hai đường chéo của hình vuông bằng nhau, vuông góc với nhau. Do đó, khẳng định hai đường chéo không bằng nhau là sai.

Đáp án đúng là: C

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. Các phương án A, B, D là những tính chất mặc định đã có sẵn của hình chữ nhật, không phải là điều kiện bổ sung để trở thành hình vuông.

Đáp án đúng là: B

Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. Các phương án A, C, D đều là các tính chất hiển nhiên đã có sẵn của hình thoi.

Đáp án đúng là: B

Trong hình vuông, đường chéo là đường phân giác của các góc của hình vuông. Hình vuông ABCD có \(\widehat A = 90^\circ \).

Vì AC là phân giác của \(\widehat {DAB}\) nên \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Hai đường chéo của hình vuông bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau.

Do đó OA = OB và \(\widehat {AOB} = 90^\circ \).

Vậy ΔAOB là tam giác vuông cân tại O.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Theo tính chất hình vuông, hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Đúng. Hai đường chéo của hình vuông luôn bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên OA = OB.

Theo ý a), AC vuông góc với BD, suy ra OA vuông góc OB.

Vậy ΔAOB là tam giác vuông cân tại O.

c) Sai. Theo ý b), ΔAOB vuông cân tại O nên \[\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = 45^\circ \] .

d) Sai. ΔAOB là tam giác vuông cân tại O nên OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm của AB. Do đó \(HA = \frac{1}{2}AB\).

Mặt khác, ΔAOB vuông tại O nên OH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB, do đó \(OH = \frac{1}{2}AB\).

Như vậy, OH = HA, \(\widehat {OHA} = 90^\circ \) nên ΔOHA vuông cân tại H.

Suy ra \(\widehat {AOH} = 45^\circ \).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Do MNPQ là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau, suy ra \(\widehat {NOP} = 90^\circ \).

b) Đúng. E đối xứng với O qua I nên I là trung điểm OE.

c) Sai. Vì MNPQ là hình vuông nên MP = NQ và O là trung điểm của MP, NQ

Do đó ON = OP.

Xét tứ giác ONEP có hai đường chéo NP và OE cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên ONEP là hình bình hành.

Lại có ON = OP nên ONEP là hình thoi.

Mặt khác, \(\widehat {NOP} = 90^\circ \) nên ONEP là hình vuông.

d) Đúng. Vì ONEP là hình vuông nên OE = NP.

Vì ONEP là hình vuông và cũng là hình thoi nên \[{S_{ONEP}} = \frac{1}{2}NP \cdot OE = \frac{1}{2}N{P^2}\].

Vì MNPQ là hình vuông nên S_MNPQ = NP².

Vậy \[{S_{ONEP}} = \frac{1}{2}{S_{MNPQ.}}\]

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAD} = 90^\circ$.

Suy ra \[\widehat {BAM} + \widehat {DAN} = \widehat {BAD} - \widehat {MAN} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \].

b) Sai. Xét ∆ABM và ∆ADE có:

AB = AD (cạnh hình vuông),

\(\widehat {ABM} = \widehat {ADE} = 90^\circ \),

BM = DE (cách dựng)

Do đó ∆ABM = ∆ADE (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {DAE}\) và AM = AE.

Khi đó \(\widehat {EAN} = \widehat {DAE} + \widehat {DAN} = \widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ \).

c) Sai. Xét AMN và AEN có:

AM = AE (chứng minh trên),

\(\widehat {MAN} = \widehat {EAN} = 45^\circ \),

AN là cạnh chung.

Do đó ∆AMN = ∆AEN (c.g.c).

d) Đúng. Từ ∆AMN = ∆AEN suy ra MN = EN.

Mà EN = ED + DN = BM + DN.

Do đó MN = BM + DN.

Chu vi ∆CMN là:

CM + CN + MN = CM + CN + BM + DN

= (CM + BM) + (CN + DN) = BC + CD

= 2BC (vì ABCD là hình vuông).

Chu vi hình vuông ABCD là 4BC.

Vậy chu vi tam giác CMN bằng nửa chu vi hình vuông ABCD.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC và \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = 90^\circ \).

Xét ∆ABE vuông tại B và ∆BCF vuông tại C có:

AB = BC và BE = CF

Do đó ∆ABE = ∆BCF (hai cạnh góc vuông).

b) Đúng. Theo a) có ∆ABE = ∆BCF nên \(\widehat {BAE} = \widehat {CBF}\) (2 góc tương ứng).

c) Đúng. Xét ∆ABE vuông tại B có \(\widehat {BAE} + \widehat {BEA} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {BAE} = \widehat {CBF}\) nên \(\widehat {CBF} + \widehat {BEA} = 90^\circ \).

Gọi M là giao điểm của AE và BF.

Xét ∆MBE có \(\widehat {EBM} + \widehat {BEM} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BME} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Vậy AE ⊥ BF.

d) Sai. Theo c) có AE ⊥ BF, mà BK // AE nên BK ⊥ BF.

Do đó ∆BKF vuông tại B.

Lại có BN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền FK nên \(BN = \frac{1}{2}FK\).

Mà N là trung điểm FK nên \(NF = \frac{1}{2}FK\).

Suy ra BN = NF nên ∆BNF cân tại N.

Không có góc nào bằng 60° nên ∆BNF không phải tam giác đều.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do ∆ABE đều nên \(\widehat {BAE} = \widehat {AEB} = \widehat {ABE} = 60^\circ .\)

b) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {DAE} + \widehat {BAE} = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAE} = 90^\circ - \widehat {BAE} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

c) Sai. Vì ∆ABE đều nên AE = AB, mà AD = AB (vì ABCD là hình vuông) nên AD = AE.

Suy ra ∆ADE cân tại A.

Do đó \[\widehat {AED} = \widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \].

d) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {ABE} + \widehat {EBC} = \widehat {ABC} = 90^\circ \).

Vì ∆ABE và ∆BCF đều là tam giác đều nên \(\widehat {ABE} = \widehat {CBF} = 60^\circ \).

Vậy \(\widehat {CBF} + \widehat {EBC} = \widehat {EBF} = 90^\circ \). (1)

Mặt khác, ∆ABE đều nên AB = BE;

∆BCF đều NÊN BC = BF;

Mà AB = BC nên BE = BF. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆BEF vuông cân tại B.

Do đó \(\widehat {BEF} = 45^\circ \).

Ta có \(\widehat {AED} + \widehat {AEB} + \widehat {BEF} = 75^\circ + 60^\circ + 45^\circ = 180^\circ \).

Vậy D, E, F thẳng hàng.

Đáp án: 20.

Do ABCD là hình vuông nên đường chéo AC đồng thời là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\).

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {DAM} = 45^\circ \).

Xét ΔABM và ΔADM có:

AB = AD (cạnh hình vuông)

\(\widehat {BAM} = \widehat {DAM}\) (chứng minh trên)

AM là cạnh chung.

Do đó, ΔABM = ΔADM (c.g.c).

Từ đó suy ra các góc tương ứng bằng nhau: \(\widehat {ADM} = \widehat {ABM}\).

Mà \(\widehat {ABM} = 20^\circ \) nên \(\widehat {ADM} = 20^\circ \).

Đáp án: 15.

Vì tam giác ABE là tam giác đều nên AB = AE = BE và \(\widehat {BAE} = 60^\circ \).

Do ABCD là hình vuông nên AB = AD = BC = CD và \(\widehat {BAD} = 90^\circ \).

Do AB = AE và AB = AD, suy ra AD = AE.

Do đó, ΔADE là tam giác cân tại A.

Ta có \(\widehat {DAE} = \widehat {BAD} + \widehat {BAE} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \).

Vì ∆ADE cân tại A nên \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2} = \frac{{180^\circ - 150^\circ }}{2} = 15^\circ .\)

Đáp án: 150.

Vì ΔEDC là tam giác đều nên ED = EC = DC và \(\widehat {DEC} = \widehat {EDC} = \widehat {ECD} = 60^\circ \).

Vì ABCD là hình vuông nên AD = DC = BC = AB và \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD} = 90^\circ \).

Do AD = DC và ED = DC nên ta có AD = ED.

Suy ra ΔADE là tam giác cân tại D.

Ta có \(\widehat {ADE} = \widehat {ADC} - \widehat {EDC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Vì ΔADE cân tại D nên \(\widehat {DEA} = \frac{{180^\circ - \widehat {ADE}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \).

Chứng minh tương tự, ta có ΔBCE cân tại C có \(\widehat {BCE} = 30^\circ \) và \(\widehat {CEB} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \)

Tổng các góc tại điểm E là 360°.

Do đó, \(\widehat {AEB} = 360^\circ - \left( {\widehat {DEA} + \widehat {CEB} + \widehat {DEC}} \right)\)

Vậy \(\widehat {AEB} = 360^\circ - \left( {75^\circ + 75^\circ + 60^\circ } \right) = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ \).

Đáp án: 90.

Xét ∆ABM (vuông tại B) và ∆BCN (vuông tại C), ta có:

AB = BC (do ABCD là hình vuông)

\(\widehat {ABM} = \widehat {BCN} = 90^\circ \) (tính chất hình vuông)

BM = CN (theo giả thiết)

Do đó, ΔABM = ΔBCN (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CBN}\) (hai góc tương ứng).

Trong tam giác vuông ABM, tổng hai góc nhọn bằng 90°, tức là \(\widehat {BAM} + \widehat {AMB} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {BAM} = \widehat {CBN}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {CBN} + \widehat {AMB} = 90^\circ \).

Xét ΔMBH, tổng ba góc trong tam giác bằng 180° nên:

\(\widehat {BHM} = 180^\circ - \left( {\widehat {CBN} + \widehat {AMB}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {BHM} = 90^\circ \) (đối đỉnh).

Đáp án: 45.

Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD và \[\widehat B = \widehat D = 90^\circ \].

Ta có: \(\widehat {BAM} + \widehat {MAD} = \widehat {BAD} = 90^\circ \).

Mặt khác, \(\widehat {DAN} + \widehat {MAD} = \widehat {MAN} = 90^\circ \) (do AN vuông góc với AM).

Từ hai điều trên suy ra: \(\widehat {DAN} = \widehat {BAM} = 15^\circ \).

Xét ∆ABM vuông tại B và ∆ADN vuông tại D có:

AB = AD và \(\widehat {DAN} = \widehat {BAM} = 15^\circ \)

Do đó ∆ABM = ∆ADN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra: AM = AN.

Xét ΔAMN có \(\widehat {MAN} = 90^\circ \) và AM = AN.

Do đó, ΔAMN là tam giác vuông cân tại đỉnh A.

Trong tam giác vuông cân, hai góc ở đáy bằng nhau và mỗi góc bằng 45°.

Suy ra \(\widehat {AMN} = 45^\circ \).