Bài tập Nhận biết, chứng minh một tứ giác là hình thoi lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Khẳng định sai là: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình thoi. Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác ABCD có AB = BC = CD = DA (bốn cạnh bằng nhau) nên ABCD là hình thoi.

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành ABCD có AC = BD (hai đường chéo bằng nhau) nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: D

• Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau chưa chắc là hình thoi.

• Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình thoi.

• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Đáp án đúng là: B

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có AB = AC nên \[\Delta {\rm{ABC}}\] cân tại A.

Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) hay AM là đường phân giác của \(\widehat {EAF}\).

Tứ giác AEMF có: AE // MF và AF // EM nên AEMF là hình bình hành.

Mà AM là đường phân giác của góc EAF nên tứ giác AEMF là hình thoi.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ACH và ∆ACK có:

AH = AK

\[\widehat {{\rm{AHC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AKC}}}{\rm{ = 90}}^\circ \]

AC là cạnh huyền chung

Do đó ∆ACH = ∆ACK (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[\widehat {{\rm{ACH}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ACK}}}\] (hai góc tương ứng)

CH = CK (hai cạnh tương ứng)

Do vậy, CA là đường phân giác của góc BCD.

Hình bình hành ABCD có CA là đường phân giác của góc BCD nên ABCD là hình thoi. Do đó, AB = BC = CD = DA và \[{\rm{AC}} \bot {\rm{BD}}\].

Đáp án đúng là: C

• Hình 1 có bốn cạnh bằng nhau nên Hình 1 là hình thoi.

• Hình 2 có các cặp cạnh đối bằng nhau nên Hình 2 là hình bình hành.

Mà đường chéo BC là đường phân giác của góc B nên Hình 2 là hình thoi.

• Hình 3 có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên Hình 3 là hình thoi.

• Hình 4 có hai đường chéo vuông góc với nhau nhưng bốn cạnh không bằng nhau nên Hình 4 không là hình thoi.

Đáp án đúng là: B

Tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA. Do đó chu vi hình thoi bằng độ dài một cạnh nhân 4.

Độ dài cạnh hình thoi là: 20 : 4 = 5 (cm).

Hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên:

\[{\rm{IA = IC = }}\frac{{{\rm{AC}}}}{2}{\rm{ = }}\frac{6}{2}{\rm{ = 3 (cm)}}\]

\[{\rm{IB = ID = }}\frac{{BD}}{2}{\rm{ }}\]

Theo đề bài, ta có: AB² = IA² + IB²

IB² = AB² – IA² = 5² – 3² = 16

IB = 4 (cm)

BD = 2IB = 2.4 = 8 (cm).

Diện tích hình thoi là: \[{{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}}{\rm{ = }}\frac{1}{2}{\rm{AC}}{\rm{.BD = }}\frac{1}{2}.6.8{\rm{ = 24}}\](cm²).

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của AD.

Hình thoi ABCD có chu vi bằng 16 nên độ dài cạnh hình thoi là 16 : 4 = 4 (cm).

Tam giác AKD vuông tại K có KM là đường trung tuyến nên:

KM = MA = MD = \[\frac{{{\rm{AD}}}}{2}\] = 2 (cm).

Mà AK = 2 cm nên tam giác AKM là tam giác đều nên \[\widehat {{\rm{KAM}}}{\rm{ = 60}}^\circ \].

Mà \[\widehat {\rm{D}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{KAM}}}{\rm{ = 90}}^\circ \] nên \[\widehat {\rm{D}}{\rm{ = 30}}^\circ \].

Tứ giác ABCD là hình thoi nên \[\widehat {\rm{B}}{\rm{ = }}\widehat {\rm{D}}{\rm{ = 30}}^\circ \], \[\widehat A = \widehat C = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \].

Đáp án đúng là: B

Định nghĩa hình thoi: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Đáp án đúng là: A

Dấu hiệu nhận biết hình thoi từ một hình bình hành: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Do đó, điều kiện hai đường chéo vuông góc với nhau sẽ làm cho hình bình hành ABCD trở thành hình thoi.

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Trong hình bình hành MNPQ, hai cạnh MN và NP là hai cạnh kề nhau chung đỉnh N.

Do đó, nếu MN = NP thì hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi.

Đáp án đúng là: A

Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên tứ giác này là một hình bình hành. Để một hình bình hành trở thành hình thoi, ta cần thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc với nhau, tức là AC vuông góc với BD.

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Ở đây, ABCD là hình bình hành và có đường chéo BD là đường phân giác của góc B, do đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo định nghĩa, một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

b) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của góc BAD.

c) Đúng. Xét ∆ABD có AB = AD, \(\widehat {BAD} = 60^\circ .\) Suy ra ∆ABD là tam giác đều.

d) Sai. Theo c) có ∆ABD là tam giác đều nên \(\widehat {ABD} = 60^\circ \).

Vì ABCD là hình thoi nên BD là phân giác của góc ABC.

Suy ra \(\widehat {ABC} = 2\widehat {ABD} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi, không phải hình chữ nhật.

b) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Khi đó O là trung điểm của BD nên AO là trung tuyến của ΔABD.

c) Đúng. Xét ∆ABD có AO là đường trung tuyến và \(AO = \frac{1}{2}BD\) nên ∆ABD vuông tại A.

Mà AB = AD (vì ABCD là hình thoi) nên ∆ABD vuông cân tại A.

d) Đúng. Theo ý c), khi \(AO = \frac{1}{2}BD\) thì ∆ABD vuông cân tại A.

Khi đó \(\widehat {BAD} = 90^\circ \), lúc này hình thoi ABCD là hình vuông.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Điểm D nằm trên tia đối của tia MA và MD = MA nên M là trung điểm AD.

b) Đúng. Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

c) Đúng. Tứ giác ABCD có M là trung điểm của AD và BC nên ABCD là hình bình hành.

Hình bình hành ABCD có AB = AC nên ABCD là hình thoi.

d) Sai. Vì ABCD là hình thoi nên AD và BC vuông góc tại M.

Xét ∆AMB vuông tại M có MN là đường trung tuyến nên \(MN = \frac{1}{2}AB\).

Suy ra AB = 2MN = 2 ∙ 2 = 4 (cm).

Theo c), ABCD là hình thoi nên chu vi ABCD là 4 ∙ 4 = 16 (cm).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hình bình hành ABCD có đường chéo AC là đường phân giác của góc A nên ABCD là hình thoi.

b) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên 2 đường chéo vuông góc với nhau. Vậy AC ⊥ BD.

c) Sai. Vì AC ⊥ BD suy ra ∆OAD vuông tại O có OE là đường trung tuyến nên \(OE = \frac{1}{2}AD\).

d) Đúng. Xét ∆OAB vuông tại O có \(\widehat {ABO} + \widehat {BAO} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAO} = 90^\circ - \widehat {ABO} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\)

Vì AC là tia phân giác của góc BAD nên \(\widehat {CAD} = \widehat {BAO} = 60^\circ .\)

Vì ABCD là hình thoi nên AD = CD, do đó ∆ACD cân tại D.

Lại có \(\widehat {CAD} = 60^\circ \) nên ∆ACD là tam giác đều.

Suy ra AC = AD.

Theo ý c), \(OE = \frac{1}{2}AD\), nên nếu OE = 3 cm thì AD = 2OE = 2.3 = 6 (cm).

Vậy AC = 6 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \).

Vì M là trung điểm của AB nên \(MA = MB = \frac{1}{2}AB.\)

Vì N, Q lần lượt là trung điểm của BC, AD nên \(NB = NC = \frac{1}{2}BC,\,\,QA = QD = \frac{1}{2}AD.\)

Mà BC = AD (tính chất hình chữ nhật) nên QA = NB.

Xét ∆AMQ vuông tại A và ∆BMN vuông tại B có:

MA = MB và QA = NB

Do đó ∆AMQ = ∆BMN (hai cạnh góc vuông).

b) Sai. Chứng minh tương tự ý a), ta có ΔCPN = ΔBMN. Suy ra NP = NM.

c) Đúng. Chứng minh tương tự ý a) và b), ta có: QP = PN = NM = MQ nên tứ giác MNPQ là hình thoi.

d) Sai. Vì MNPQ là hình thoi nên hai đường chéo MP và NQ vuông góc với nhau. Tuy nhiên, hai đường chéo không ép buộc phải bằng nhau.

Đáp án: 7.

Để hình bình hành ABCD trở thành một hình thoi, suy ra hai cạnh kề của nó phải có độ dài bằng nhau. Ta có:

AB = BC

2x + 5 = 3x – 2

3x – 2x = 5 + 2

x = 7

Vậy x = 7 cm.

Đáp án: 10.

Để hình bình hành ABCD là hình thoi thì hai đường chéo AC và BD của nó phải vuông góc với nhau tại giao điểm O.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của đường chéo AC, do đó

\(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\) (cm).

Chu vi của ΔAOB là AO + BO + AB = 24 cm.

Thay các số đo đã biết, ta có:

8 + 6 + AB = 24

14 + AB = 24

Suy ra AB = 10 (cm).

Đáp án: 24.

Gọi độ dài cạnh AB là a (cm) và độ dài cạnh BC là b (cm) với a, b > 0.

Theo đề bài, chu vi hình chữ nhật ABCD bằng 28 cm, ta có:

2(a + b) = 28 suy ra a + b = 14 (1)

Mặt khác, cạnh AB dài hơn cạnh BC là 2 cm, ta có:

a – b = 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a = \frac{{14 + 2}}{2} = 8\) (cm).

Từ đó b = 14 – 8 = 6 cm.

Vậy hình chữ nhật có AB = 8 cm và BC = 6 cm.

Vì M là trung điểm của AB nên \(MA = MB = \frac{1}{2}AB.\)

Vì N, Q lần lượt là trung điểm của BC, AD nên \(NB = NC = \frac{1}{2}BC,\,\,QA = QD = \frac{1}{2}AD.\)

Mà BC = AD (tính chất hình chữ nhật) nên QA = NB.

Xét ∆AMQ vuông tại A và ∆BMN vuông tại B có:

MA = MB và QA = NB

Do đó ∆AMQ = ∆BMN (hai cạnh góc vuông).

Suy ra MQ = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có MQ = MN = PN = PQ.

Như vậy tứ giác MNPQ là hình thoi.

Hai đường chéo của hình thoi MNPQ lần lượt là MP và NQ.

Tứ giác BCPM có PC // MB và PC = MB nên nó là hình bình hành.

Suy ra MP = BC = 6 cm.

Chứng minh tương tự ta có NQ = AB = 8 cm.

Diện tích của hình thoi MNPQ bằng nửa tích hai đường chéo:

\[{S_{MNPQ}} = \frac{{MP \cdot NQ}}{2} = \frac{{6 \cdot 8}}{2} = 24\] (cm²).

Đáp án: 5.

ABCD là hình bình hành và có đường chéo AC là phân giác của góc DAB, do đó tứ giác ABCD là hình thoi.

Vì chu vi hình thoi bằng 40 cm nên độ dài các cạnh của hình thoi là:

AB = AD = 40 : 4 = 10 (cm).

Xét ∆ABD có cạnh AB = AD (tính chất hình thoi) nên ∆ABD là tam giác cân tại A.

Mặt khác, \(\widehat {DAB} = 60^\circ \) nên ∆ABD trở thành tam giác đều.

Từ tính chất tam giác đều, ta có BD = AB = 10 (cm).

ABCD là hình thoi nên O là trung điểm BD. Vậy \(OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{10}}{2} = 5\) (cm).