20 câu trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 14. Hình thoi và hình vuông (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: A

Hình vuông là hình \(1.\)

Đáp án đúng là: A

Hình thoi là hình \(1.\)

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(HEMF\) có: \(HE = EM = MF = FH\) nên tứ giác \(HEMF\) là hình thoi.

Do đó: \(FE \bot HM\) tại \(G,\) \(EF\) là tia phân giác của \(\widehat {HEM},\)\(G\) là trung điểm của \(FE.\)

Câu sai là: \(FE = HM.\)

Đáp án đúng là: B

Tứ giác \(ABCD\) có: \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 90^\circ \) nên tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.

Mà \(AB = BC\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình vuông. Do đó, \(AC = BD = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Vậy \(AC = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: C

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {ABC} = \widehat {DAB} = 90^\circ ,\;AC = BD,\;\widehat {CAB} = \frac{1}{2}\widehat {DAB} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\)

Do đó, ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Để một tứ giác là một hình thoi, ta có thể chứng minh:

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. 

Câu sai là: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình thoi.

Đáp án đúng là: D

Hình thoi \(ABCD\) có: \(\widehat A = 90^\circ \) nên \(ABCD\) là hình vuông. Do đó, \(AC = BD.\)

Đáp án đúng là: D

Câu sai là: Hình chữ nhật có hai cạnh bằng nhau là hình vuông.

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình thoi \(ABCD\) bằng \(40\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên \(\frac{1}{2}AC \cdot BD = 40\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) hay \(AC \cdot BD = 80\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên: \(OA = \frac{1}{2}AC,\;OB = \frac{1}{2}BD\) và \(AC \bot BD\) tại \(O.\)

Tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\) nên diện tích tam giác \(AOB\) là:

\({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2}AC} \right)\left( {\frac{1}{2}BD} \right) = \frac{1}{8} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{8} \cdot 80 = 10\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích tam giác \(AOB\) bằng \(10\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Đáp án đúng là: B

Hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = AD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thoi.

Do đó, \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}.\) Vậy \(\widehat {ABC} = 2\widehat {ABD}.\)

a) Đúng.

Tứ giác \(ABCD\) có: Hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(Q.\) Mà \(Q\) vừa là trung điểm của \(AC\) vừa là trung điểm của \(BD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(Q\) nên hình bình hành \(ABCD\) là hình thoi.

b) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(BC = AB = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Vậy \(BC = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {BAD}.\) Do đó, \(\widehat {QAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ = 65^\circ .\)

Tam giác \(QAD\) vuông tại \(Q\) nên \(\widehat {QAD} + \widehat {QDA} = 90^\circ .\) Do đó, \(\widehat {QDA} = 90^\circ - \widehat {QAD} = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ .\)

Vậy \(\widehat {ADB} = 25^\circ .\)

d) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat {BCD}.\)

Để hình thoi \(ABCD\) là hình vuông thì \(\widehat {BCD} = 90^\circ .\) Khi đó, \(\widehat {ACD} = \frac{1}{2}\widehat {BCD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\)

Vậy để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì cần thêm điều kiện \(\widehat {ACD} = 45^\circ .\)

a) Sai.

Tứ giác \(ABCD\)có: \(AB = CD,\;AB\;{\rm{//}}\;CD.\) Do đó, tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

b) Đúng.

Vì \(E\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AB = 2AE.\) Mà \(AB = 2AD\;\left( {gt} \right)\) nên \(AE = AD.\)

c) Đúng.

Vì \(F\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CD = 2DF.\) Mà \(AB = CD\;\left( {gt} \right),\;AB = 2AE\;\left( {cmt} \right)\) nên \(AE = DF.\)

Tứ giác \(AEFD\) có: \(AE = DF,\;AE\;{\rm{//}}\;DF\) nên tứ giác \(AEFD\) là hình bình hành.

Mà \(AE = AD\;\left( {cmt} \right)\) nên tứ giác \(AEFD\) là hình thoi.

d) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat D = \widehat B.\)

Để hình thoi\(AEFD\) là hình vuông thì \(\widehat D = 90^\circ .\) Khi đó, \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ .\)

Vậy điều kiện để tứ giác \(AEFD\) là hình vuông là \(\widehat B = 90^\circ .\)

a) Đúng.

Vì \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) của tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC,\) mà \(BM = MC = \frac{1}{2}BC\) nên \(AM = BM = MC.\)

b) Đúng.

Vì \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AB\) nên \(MH \bot AB\) tại \(H.\)

Vì \(AM = BM\) nên tam giác \(ABM\) cân tại \(M.\) Do đó, \(HM\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(ABM\) nên \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

c) Sai.

Vì \(D\) đối xứng với \(M\) qua \(H\) nên \(H\) là là trung điểm của \(DM.\)

Tứ giác \(AMBD\) có: Hai đường chéo \(AB\) và \(DM\) cắt nhau tại \(H.\) Mà \(H\) vừa là trung điểm của \(AB\) vừa là trung điểm của \(DM\) nên tứ giác \(AMBD\) là hình bình hành.

Mà \(MD \bot AB\) tại \(H\) nên hình bình hành \(AMBD\) là hình thoi.

Do đó, \(AB\) là tia phân giác của \(\widehat {DAM}.\)Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {BAM}.\)

d) Đúng.

Để hình thoi \(AMBD\) là hình vuông thì \(\widehat {DBM} = 90^\circ .\)

Mà \(BA\) là tia phân giác của \(\widehat {DBM}\) nên \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {DBM} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\)

Theo giả thiết, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\)

Vậy để tứ giác \(AMBD\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\)

a) Đúng.

Vì tam giác \(ABO\) vuông tại \(O\) nên \(AO \bot BO\) tại \(O\) hay \(AC \bot BD\) tại \(O.\)

Vì \(C\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC.\)

Tứ giác \(ABCD\) có: \(O\) là giao điểm của \(AC,\;BD.\) Mà \(O\) vừa là trung điểm của \(BD\) vừa là trung điểm của \(AC\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(O\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thoi.

b) Sai.

Vì chu vi hình thoi \(ABCD\) bằng \[40\;{\rm{cm}}\] nên \(4AB = 40\) suy ra \(AB = 10\;{\rm{cm}}.\) Vậy \(AB = 10\;{\rm{cm}}.\)

c) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = BC.\) Do đó tam giác \(ABC\) cân tại \(B.\)

Do đó, \(\widehat {ACB} = \widehat {CAB}.\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {DAB}.\) Do đó, \(\widehat {DAB} = 2\widehat {CAB}.\)

Vậy \(\widehat {DAB} = 2\widehat {ACB}.\)

d) Đúng.

Nếu \(\widehat {DAB} = 120^\circ \) thì:

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DCB} = 120^\circ ,\;\widehat {ADC} = \widehat {ABC}.\)

Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DCB} + \widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 360^\circ \)

\(120^\circ + 120^\circ + \widehat {ABC} + \widehat {ABC} = 360^\circ \)

\(2\widehat {ABC} = 120^\circ \)

\(\widehat {ABC} = 60^\circ .\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Vậy điều kiện để tam giác \(ABC\) đều là\(\widehat {DAB} = 120^\circ .\)

a) Đúng.

Vì \(CK \bot OB\) tại \(K\) nên \(\widehat {CKO} = 90^\circ .\) Vì \(CH \bot OA\) tại \(H\) nên \(\widehat {CHO} = \widehat {CHA} = 90^\circ .\)

Vì tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\) nên \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HOK} = 90^\circ .\)

Tứ giác \(HCKO\) có: \(\widehat {CKO} = \widehat {HOK} = \widehat {CHO} = 90^\circ \) nên tứ giác \(HCKO\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(\widehat {HCK} = 90^\circ .\)

b) Đúng.

Hình chữ nhật \(HCKO\) có: \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {HOK}\) nên tứ giác \(HCKO\) là hình vuông.

c) Sai.

Vì tứ giác \(HCKO\) là hình vuông nên \(CO\) là tia phân giác của \(\widehat {HCK}.\)

Suy ra: \(\widehat {OCK} = \frac{1}{2}\widehat {HCK} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\) Vậy \(\widehat {OCK} = 45^\circ .\)

d) Đúng.

Vì tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat A + \widehat {HCA} = 90^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {HCA} + \widehat {HCK} + \widehat {KCB} = 180^\circ \) nên \(\widehat {KCB} + \widehat {HCA} = 180^\circ - \widehat {HCK} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\)

Do đó, \(\widehat A = \widehat {KCB}.\)

Đáp án: \(1\)

Tứ giác \(ABCD\) có: \(\widehat A = \widehat C,\;\widehat B = \widehat D\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Mà \(AB = BC\) nên hình bình hành \(ABCD\) là hình thoi. Do đó, \(DA = DC.\)

Do đó, số thích hợp để điền vào dấu “…” là \(1.\)

Đáp án: \(6\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD.\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC.\)

Tam giác \(ABM\) và tam giác \(DCM\) có: \(\widehat {ABM} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD,\;BM = MC.\)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\) nên \(AM = DM.\)

Suy ra, \(\Delta ADM\) cân tại \(M.\) Do đó, \(MN\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta ADM.\)

Do đó, \(\widehat {ANM} = 90^\circ .\)

Tứ giác \(ANMB\) có: \(\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat {ANM} = 90^\circ \) nên tứ giác \(ANMB\) là hình chữ nhật \(\left( 1 \right).\)

Suy ra: \(\widehat {BMN} = 90^\circ \;\left( 2 \right).\)

Vì \(AM \bot MD\) nên \(\widehat {AMD} = 90^\circ .\)

Vì \(MN\) là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của \(\Delta ADM\) nên

\(\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \;\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right),\;\left( 3 \right)\) ta có: \(MA\) là tia phân giác của \(\widehat {BMN}\;\left( 4 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 4 \right)\) ta có: Tứ giác \(ANMB\) là hình vuông. Do đó, \(BN = AM = 6\;{\rm{cm}}.\)

Đáp án: \(30\)

Vì tam giác \(ABD\) cân tại \(A\) nên \(AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.

Suy ra: \(AM \bot BD\) tại \(M\) hay \(AC \bot BD\) tại \(M.\)

Vì \(C\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M\) nên \(M\) là trung điểm của \(AC.\)

Tứ giác \(ABCD\) có: \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC,\;BD.\)\(M\) vừa là trung điểm của \(BD,\) vừa là trung điểm của \(AC\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(M\) nên hình bình hành \(ABCD\) là hình thoi. Do đó, \(AB = BC = CD = DA.\)

Vì rằng chu vi tam giác \(BCD\) bằng \(30\;{\rm{cm}}\) nên \(BC + BD + CD = 30,\) suy ra \(AB + BD + AD = 30.\)

Vậy chu vi tam giác \(BAD\) bằng \(30\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(45\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = 45^\circ .\)

Vì \(GD \bot BC,\;FE \bot BC\) nên \(\widehat {GDB} = \widehat {FEC} = \widehat {FED} = 90^\circ .\)

Tam giác \(BDG\) có: \(\widehat B = 45^\circ ,\;\widehat {GDB} = 90^\circ \) nên tam giác \(BDG\) vuông cân tại \(D.\) Do đó, \(BD = DG.\)

Tam giác \(FEC\) có: \(\widehat C = 45^\circ ,\;\widehat {FEC} = 90^\circ \) nên tam giác \(FEC\) vuông cân tại \(E.\) Do đó, \(FE = EC.\)

Vì \(BD = DG,\;FE = EC,\;BD = DE = EC\) nên \(DG = DE = FE.\)

Tứ giác \(GFED\) có: \(DG = FE,\;DG{\rm{//}}FE\) (cùng vuông góc với \(BC\)) nên tứ giác \(GFED\) là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {FED} = 90^\circ \) nên tứ giác \(GFED\) là hình chữ nhật.

Mà \(DG = DE\) nên tứ giác \(GFED\) là hình vuông.

Suy ra: \(\widehat {DGF} = 90^\circ \) và \(GE\) là tia phân giác của \(\widehat {DGF}.\) Do đó, \(\widehat {DGE} = \frac{1}{2}\widehat {DGF} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\)

Vậy \(\widehat {DGE} = 45^\circ .\)

Đáp án: \(45\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA,\;\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ .\)

Vì \(AB = BC = CD = DA,\;AE = BF = CG = HD\) nên:

\(AB - AE = BC - BF = CD - CG = DA - HD\) hay \(EB = FC = DG = AH.\)

Tam giác \(AEH\) và tam giác \(BFE\) có: \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ ,\;AE = BF,\;AH = EB.\)

Suy ra: \(\Delta AEH = \Delta BFE\;\left( {c - g - c} \right)\) nên \(HE = EF.\)

Chứng minh tương tự ta có:

+ \(\Delta CGF = \Delta BFE\;\left( {c - g - c} \right)\) nên \(GF = EF.\)

+ \(\Delta CGF = \Delta DHG\;\left( {c - g - c} \right)\) nên \(GF = HG.\)

+ \(\Delta AEH = \Delta DHG\;\left( {c - g - c} \right)\) nên \(HE = HG.\)

Do đó, \(HE = EF = FG = GH.\) Suy ra, tứ giác \(HEFG\) là hình thoi \(\left( 1 \right).\)

Vì \(\Delta AEH = \Delta BFE\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {BEF}.\)

Ta có: \(\widehat {AHE} + \widehat {HEA} = 90^\circ \) nên \(\widehat {FEB} + \widehat {HEA} = 90^\circ .\)

Mà \(\widehat {HEA} + \widehat {HEF} + \widehat {FEB} = 180^\circ \) nên \(\widehat {HEF} = 180^\circ - \left( {\widehat {FEB} + \widehat {HEA}} \right) = 90^\circ \;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có tứ giác \(HEFG\) là hình vuông. Do đó, \(EG\) là tia phân giác của \(\widehat {HEF}.\)

Suy ra: \(\widehat {HEG} = \frac{1}{2}\widehat {HEF} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\) Vậy \(\widehat {HEG} = 45^\circ .\)