Bài tập Nhận biết, chứng minh một tứ giác là hình vuông lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào dấu hiệu nhận biết, hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. Các phương án A, B, D là những tính chất hiển nhiên đã có của mọi hình chữ nhật, không phải là điều kiện bổ sung.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào dấu hiệu nhận biết, hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. Các phương án A, C, D đều là các tính chất mặc định đã có sẵn của hình thoi.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau (AC = BD) nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau nên nó là hình vuông.

Đáp án đúng là: D

Khẳng định D sai vì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau nhưng nếu không cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì không thể là hình vuông.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Hình thoi MNPQ có một góc vuông \(\left( {\widehat M = 90^\circ } \right)\) nên nó là hình vuông.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành.

b) Đúng. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.

c) Sai. Theo ý b), nếu hình bình hành ABCD có thêm điều kiện AC = BD thì nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật ABCD có AC ⊥ BD nên ABCD là hình vuông.

d) Đúng. Theo ý c), nếu có thêm điều kiện AC = BD và AC ⊥ BD thì ABCD là hình vuông.

Khi đó AB = BC và \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên ∆ABC vuông cân tại B.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Đường chéo của hình chữ nhật thông thường không phải là tia phân giác của các góc. Nên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD chưa chắc đã là phân giác của \(\widehat {BAD}\).

b) Đúng. Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc thì nó là hình vuông. Vậy ABCD là hình vuông.

c) Sai. Theo b) có ABCD là hình vuông, nên hai đường chéo bằng nhau và vuông góc tại trung điểm O. Do đó ΔAOB phải là tam giác vuông cân, không thể là tam giác đều.

d) Đúng. Theo c) có ΔAOB vuông tại O, nên hình chiếu vuông góc của B lên cạnh AC chính là giao điểm O, suy ra H trùng với O.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Vì AQ là phân giác của \(\widehat {BAD}\) nên \(\widehat {QAD} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

b) Đúng. Chứng minh tương tự ý a) ta có \(\widehat {ADQ} = 45^\circ \).

Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} + \widehat {ADQ} + \widehat {AQD} = 180^\circ \)

Suy ra \[\widehat {AQD} = 180^\circ - \left( {\widehat {QAD} + \widehat {ADQ}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ .\]

c) Đúng. Chứng minh tương tự a), có \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Xét ∆AMB và ∆DPC có:

AB = CD (2 cạnh đối của hình chữ nhật)

\(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Vậy ∆AMB = ∆DPC (g.c.g)

Suy ra AM = DP.

d) Sai. Theo b) có \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) nên \(\widehat {PQM} = 90^\circ \) (đối đỉnh). (1)

Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {PNM} = 90^\circ \). (2)

Xét ∆AMB có \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = 45^\circ \), suy ra \(\widehat {AMB} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \). (3)

Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {DPC} = 90^\circ \). (4)

Theo (1), (2), (3), (4), suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Ta có: AQ + QM = AM; DQ + QP = DP. (5)

∆ADQ có \(\widehat {QAD} = \widehat {ADQ} = 45^\circ \), \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) suy ra ∆ADQ vuông cân tại Q.

Suy ra AQ = DQ. (6)

Theo c) có DP = AM. (7)

Theo (5), (6), (7), suy ra QM = QP.

MNPQ là hình chữ nhật có QM = QP nên MNPQ là hình vuông.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên \(AM = \frac{1}{2}BC\).

AM là trung tuyến nên M là trung điểm BC suy ra \(MB = MC = \frac{1}{2}BC\).

Vậy AM = BM = CM.

b) Đúng. E đối xứng với M qua D nên D là trung điểm của EM.

c) Sai. Vì D là trung điểm của AB và EM suy ra AEBM là hình bình hành.

Mà AM = BM (ý a) nên AEBM là hình thoi.

d) Đúng. Để AEBM là hình vuông thì AEBM là hình thoi có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \), tức là AM là đường cao của ∆ABC.

Mà AM cũng là đường trung tuyến của tam giác nên ∆ABC phải cân tại A.

Như vậy, để AEBM là hình vuông thì ∆ABC cần phải là tam giác vuông cân tại A.

Thật vậy, nếu ∆ABC vuông cân tại A thì dễ dàng chứng minh được AEBM là hình vuông.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \) và AB = BC = CD = DA.

Vì AE = BF = CG = DH nên: BE = CF = DG = AH.

Xét ∆AHE vuông tại A và ∆BEF vuông tại B có:

AE = BF và AH = BE

Do đó ∆AHE = ∆BEF (hai cạnh góc vuông).

b) Đúng. Chứng minh tương tự a) suy ra ∆AHE = ∆DGH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra HE = GH (2 cạnh tương ứng).

c) Sai. Do ΔAHE = ΔBEF (ý a) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {BEF}\).

Xét ΔAEH vuông tại A, ta có \(\widehat {AEH} + \widehat {AHE} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AEH} + \widehat {BEF} = 90^\circ \).

Lại có \(\widehat {AEH} + \widehat {HEF} + \widehat {BEF} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HEF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

d) Đúng. Chứng minh tương tự ý b) ta sẽ có HE = EF = FG = GH nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Lại có và \(\widehat {HEF} = 90^\circ \)(ý c) nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: 32.

Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Khi ta đẩy lệch khung gỗ, độ mở của các góc thay đổi nhưng độ dài các thanh gỗ (các cạnh của tứ giác) không thay đổi. Do đó, độ dài cạnh của hình thoi bằng độ dài cạnh của hình vuông.

Diện tích hình vuông là 64 cm², suy ra cạnh của hình vuông là 8 cm (vì 8 ∙ 8 = 64).

Vậy cạnh của hình thoi ban đầu cũng bằng 8 cm.

Chu vi của khung gỗ hình thoi ban đầu là: 4 ∙ 8 = 32 (cm).

Đáp án: 8.

Dựa vào dấu hiệu nhận biết, hình thoi ABCD có một góc vuông nên ABCD là hình vuông.

Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau: AC = BD.

Ta có diện tích hình vuông ABCD là: \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2}A{C^2}\)

Theo giả thiết: \(\frac{1}{2}A{C^2} = 32\)

Suy ra: AC² = 32 ∙ 2 = 64.

Vậy AC = 8 cm.

Đáp án: 81.

Hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau nên nó là hình vuông.

Độ dài cạnh hình vuông là: 36 : 4 = 9 (cm).

Diện tích hình vuông là: 9² = 81 (cm²).

Đáp án: 36.

Tứ giác ABCD có các góc đối bằng nhau nên nó là hình bình hành.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau nên nó là hình vuông.

Độ dài một cạnh của hình vuông ABCD là: 24 : 4 = 6 cm.

Diện tích của tứ giác ABCD là: 6² = 36 (cm²).

Đáp án: 8.

⦁ Ta có DQ là phân giác của \(\widehat {ADC}\) nên \(\widehat {ADQ} = \frac{1}{2}\widehat {ADC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).

Tương tự, AQ là phân giác của \(\widehat {BAD}\) nên \(\widehat {QAD} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} + \widehat {ADQ} + \widehat {AQD} = 180^\circ \)

Suy ra \[\widehat {AQD} = 180^\circ - \left( {\widehat {QAD} + \widehat {ADQ}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ .\]

Do đó \(\widehat {PQM} = 90^\circ \) (đối đỉnh). (1)

Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {PNM} = 90^\circ \). (2)

⦁ Ta cũng chứng minh được \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Xét ∆AMB có \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = 45^\circ \), suy ra \(\widehat {AMB} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \). (3)

Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {DPC} = 90^\circ \). (4)

Theo (1), (2), (3), (4), suy ra tứ giác MNPQ có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

⦁ Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} = \widehat {ADQ} = 45^\circ \), \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) suy ra ∆ADQ vuông cân tại Q.

Suy ra AQ = DQ.

Xét ∆AMB và ∆DPC có:

AB = CD (2 cạnh đối của hình chữ nhật)

\(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Vậy ∆AMB = ∆DPC (g.c.g)

Suy ra AM = DP.

Ta có: AQ + QM = AM; DQ + QP = DP.

Suy ra QM = QP.

MNPQ là hình chữ nhật có QM = QP nên MNPQ là hình vuông.

Khi đó diện tích của hình vuông MNPQ cũng có thể được tính như sau:

\[{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP \cdot NQ = \frac{1}{2}M{P^2} = \frac{1}{2} \cdot {4^2} = 8\] (cm²).