Bài tập Nhận biết, chứng minh một tứ giác là hình vuông lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Chọn câu đúng. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau là
Hình bình hành;
Hình thoi;
Hình chữ nhật;
Hình vuông.
Đáp án đúng là: D
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Mà hình thoi có bốn góc bằng nhau (mỗi góc bằng 90o) thì đó là hình vuông.
Chọn câu đúng. Hình thoi có một góc vuông là
Hình vuông;
Hình thang vuông;
Hình chữ nhật;
Hình bình hành.
Đáp án đúng là: A
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Chọn kết luận đúng. Tứ giác MNPQ là hình vuông thì
MP = NQ;
\[{\rm{MP}} \bot {\rm{NQ}}\];
MP cắt NQ tại O thì O là trung điểm của MP và NQ.;
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Tứ giác MNPQ là hình vuông thì bốn cạnh bằng nhau.
Tứ giác MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc và bằng nhau, cắt nhau tại trung điẻm của mỗi đường.
Khẳng định nào dưới đây sai?
Hình vuông có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau;
Hình vuông có đường chéo là phân giác của các góc trong hình vuông;
Hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật;
Hình vuông vừa là hình bình hành vừa là hình chữ nhật.
Đáp án đúng là: D
Hình vuông vừa là hình bình hành, vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
Cho hai khẳng định:
(1) Tam giác ABC cân khi nó có hai cạnh bằng nhau.
(2) Tứ giác ABCD là hình vuông khi nó có bốn cạnh bằng nhau.
Kết luận nào sau đây là đúng?
(1) và (2) đúng;
(1) và (2) sai;
(1) đúng và (2) sai;
(1) sai và (2) đúng.
Đáp án đúng là: C
Tứ giác ABCD là hình thoi khi nó có bốn cạnh bằng nhau.
Kết luận nào dưới đây sai?
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường là hình thoi;
Hình thoi có các cạnh bằng nhau;
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông;
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Đáp án đúng là: C
Hình chữ nhật luôn có hai đường chéo bằng nhau nhưng chưa chắc là hình vuông.
Cho hình vẽ sau. Chọn kết luận đúng.
Hình 1 là hình vuông, Hình 2 là hình thoi;
Hình 1 là hình vuông, Hình 2 là hình vuông;
Hình 1 là hình chữ nhật, Hình 2 là hình thoi;
Hình 1 là hình chữ nhật, Hình 2 là hình vuông.
Đáp án đúng là: A
• Hình 1 có ba góc vuông nên Hình 1 là hình chữ nhật. Mà EF = FG nên Hình 1 là hình vuông.
• Hình 2 có hai đường chéo vuông góc với nhai tại trung điểm của mỗi đường nên Hình 2 là hình thoi.
Cho tam giác ABC vuông tại B. Điểm H nằm trên cạnh BC, từ H kẻ \[{\rm{HM}} \bot {\rm{AB}}\], \[{\rm{HN}} \bot {\rm{AC}}\]. Tứ giác BMHN là hình vuông khi
BH là đường phân giác;
BH là đường trung tuyến;
BH là đường cao;
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: A
Tứ giác BMHN có \[\widehat {\rm{B}}{\rm{ = }}\widehat {\rm{M}}{\rm{ = }}\widehat {\rm{N}}{\rm{ = 90}}^\circ \] nên tứ giác BMHN là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật BMHN là hình vuông nếu BH là đường phân giác của góc MBN.
Cho hình vẽ. Tứ giác BMHN là hình gì?
Hình bình hành;
Hình chữ nhật;
Hình thoi;
Hình vuông.
Đáp án đúng là: D
\[\widehat {{\rm{ABC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ABH}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{HBC}}}{\rm{ = 45}}^\circ {\rm{ + 45}}^\circ {\rm{ = 90}}^\circ \].
Tứ giác BMHN có \[\widehat {{\rm{MBN}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{BMH}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{BNH}}}{\rm{ = 90}}^\circ \] nên BMHN là hình chữ nhật.
Mà BH là đường phân giác của góc MBN nên BMHN là hình vuông.
Trong các khẳng định dưới đậy, khẳng định nào sai?
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông;
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông;
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông;
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Đáp án đúng là: A
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Một hình chữ nhật cần có thêm điều kiện nào dưới đây để trở thành hình vuông?
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hai đường chéo bằng nhau.
Hai cạnh kề bằng nhau.
Các góc đối bằng nhau.
Đáp án đúng là: C
Dựa vào dấu hiệu nhận biết, hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. Các phương án A, B, D là những tính chất hiển nhiên đã có của mọi hình chữ nhật, không phải là điều kiện bổ sung.
Một hình thoi cần có thêm điều kiện nào dưới đây để trở thành hình vuông?
Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Hai đường chéo bằng nhau.
Các cạnh bằng nhau.
Đường chéo là tia phân giác của góc.
Đáp án đúng là: B
Dựa vào dấu hiệu nhận biết, hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. Các phương án A, C, D đều là các tính chất mặc định đã có sẵn của hình thoi.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Điều kiện nào sau đây làm cho tứ giác ABCD trở thành hình vuông?
AC vuông góc với BD và AB = BC.
AC = BD và \(\widehat A = 90^\circ \).
AC = BD và AC vuông góc với BD.
AB // CD và \(\widehat A = 90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau (AC = BD) nên nó là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau nên nó là hình vuông.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai khi nói về dấu hiệu nhận biết hình vuông?
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là hình vuông.
Đáp án đúng là: D
Khẳng định D sai vì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau nhưng nếu không cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì không thể là hình vuông.
Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau MN = NP = PQ = QM và \(\widehat M = 90^\circ \). Kết luận nào sau đây là đúng nhất về tứ giác MNPQ?
Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Tứ giác MNPQ là hình thoi.
Tứ giác MNPQ là hình vuông.
Đáp án đúng là: D
Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Hình thoi MNPQ có một góc vuông \(\left( {\widehat M = 90^\circ } \right)\) nên nó là hình vuông.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Tứ giác ABCD là hình bình hành.
Nếu có thêm điều kiện AC = BD thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Nếu có thêm điều kiện AC = BD và AC ⊥ BD thì tứ giác ABCD là hình thoi.
Nếu có thêm điều kiện AC = BD và AC ⊥ BD thì tam giác ABC vuông cân tại B.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành.
b) Đúng. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.
c) Sai. Theo ý b), nếu hình bình hành ABCD có thêm điều kiện AC = BD thì nó là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật ABCD có AC ⊥ BD nên ABCD là hình vuông.
d) Đúng. Theo ý c), nếu có thêm điều kiện AC = BD và AC ⊥ BD thì ABCD là hình vuông.
Khi đó AB = BC và \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên ∆ABC vuông cân tại B.
Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường chéo AC và AC là phân giác \(\widehat {BAD}\). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD luôn là phân giác của \(\widehat {BAD}\).
ABCD là hình vuông.
ΔAOB là tam giác đều.
H trùng với điểm O.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Đường chéo của hình chữ nhật thông thường không phải là tia phân giác của các góc. Nên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD chưa chắc đã là phân giác của \(\widehat {BAD}\).
b) Đúng. Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc thì nó là hình vuông. Vậy ABCD là hình vuông.
c) Sai. Theo b) có ABCD là hình vuông, nên hai đường chéo bằng nhau và vuông góc tại trung điểm O. Do đó ΔAOB phải là tam giác vuông cân, không thể là tam giác đều.
d) Đúng. Theo c) có ΔAOB vuông tại O, nên hình chiếu vuông góc của B lên cạnh AC chính là giao điểm O, suy ra H trùng với O.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD. Các tia phân giác góc A và B cắt nhau tại M; phân giác góc B và C cắt nhau tại N; phân giác góc C và D cắt nhau tại P; phân giác của góc A và D cắt nhau tại Q. Bốn điểm này tạo thành tứ giác MNPQ. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\widehat {QAD} = 60^\circ .\)
\(\widehat {AQD} = 90^\circ .\)
AM = DP.
Tứ giác MNPQ chỉ là hình chữ nhật.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Vì AQ là phân giác của \(\widehat {BAD}\) nên \(\widehat {QAD} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).
b) Đúng. Chứng minh tương tự ý a) ta có \(\widehat {ADQ} = 45^\circ \).
Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} + \widehat {ADQ} + \widehat {AQD} = 180^\circ \)
Suy ra \[\widehat {AQD} = 180^\circ - \left( {\widehat {QAD} + \widehat {ADQ}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ .\]
c) Đúng. Chứng minh tương tự a), có \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).
Xét ∆AMB và ∆DPC có:
AB = CD (2 cạnh đối của hình chữ nhật)
\(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).
Vậy ∆AMB = ∆DPC (g.c.g)
Suy ra AM = DP.
d) Sai. Theo b) có \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) nên \(\widehat {PQM} = 90^\circ \) (đối đỉnh). (1)
Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {PNM} = 90^\circ \). (2)
Xét ∆AMB có \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = 45^\circ \), suy ra \(\widehat {AMB} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \). (3)
Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {DPC} = 90^\circ \). (4)
Theo (1), (2), (3), (4), suy ra MNPQ là hình chữ nhật.
Ta có: AQ + QM = AM; DQ + QP = DP. (5)
∆ADQ có \(\widehat {QAD} = \widehat {ADQ} = 45^\circ \), \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) suy ra ∆ADQ vuông cân tại Q.
Suy ra AQ = DQ. (6)
Theo c) có DP = AM. (7)
Theo (5), (6), (7), suy ra QM = QP.
MNPQ là hình chữ nhật có QM = QP nên MNPQ là hình vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB, lấy điểm E đối xứng với M qua D. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
AM = BM = CM.
D là trung điểm của EM.
Tứ giác AEBM chỉ là hình bình hành.
Để AEBM là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại A.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên \(AM = \frac{1}{2}BC\).
AM là trung tuyến nên M là trung điểm BC suy ra \(MB = MC = \frac{1}{2}BC\).
Vậy AM = BM = CM.
b) Đúng. E đối xứng với M qua D nên D là trung điểm của EM.
c) Sai. Vì D là trung điểm của AB và EM suy ra AEBM là hình bình hành.
Mà AM = BM (ý a) nên AEBM là hình thoi.
d) Đúng. Để AEBM là hình vuông thì AEBM là hình thoi có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \), tức là AM là đường cao của ∆ABC.
Mà AM cũng là đường trung tuyến của tam giác nên ∆ABC phải cân tại A.
Như vậy, để AEBM là hình vuông thì ∆ABC cần phải là tam giác vuông cân tại A.
Thật vậy, nếu ∆ABC vuông cân tại A thì dễ dàng chứng minh được AEBM là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
∆AHE = ∆BEF.
HE = HG.
\(\widehat {HEF} \ne 90^\circ \)
Tứ giác EFGH là hình vuông.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \) và AB = BC = CD = DA.
Vì AE = BF = CG = DH nên: BE = CF = DG = AH.
Xét ∆AHE vuông tại A và ∆BEF vuông tại B có:
AE = BF và AH = BE
Do đó ∆AHE = ∆BEF (hai cạnh góc vuông).
b) Đúng. Chứng minh tương tự a) suy ra ∆AHE = ∆DGH (hai cạnh góc vuông).
Suy ra HE = GH (2 cạnh tương ứng).
c) Sai. Do ΔAHE = ΔBEF (ý a) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {BEF}\).
Xét ΔAEH vuông tại A, ta có \(\widehat {AEH} + \widehat {AHE} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {AEH} + \widehat {BEF} = 90^\circ \).
Lại có \(\widehat {AEH} + \widehat {HEF} + \widehat {BEF} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HEF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
d) Đúng. Chứng minh tương tự ý b) ta sẽ có HE = EF = FG = GH nên tứ giác EFGH là hình thoi.
Lại có và \(\widehat {HEF} = 90^\circ \)(ý c) nên EFGH là hình vuông.
Một khung gỗ hình thoi ABCD được nối với nhau bằng các bản lề linh hoạt tại các đỉnh. Nếu ta đẩy nhẹ khung gỗ sao cho nó có một góc vuông thì khung gỗ có diện tích là 64 cm2. Tính chu vi của khung gỗ hình thoi ban đầu (đơn vị: cm).
Đáp án: 32.
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Khi ta đẩy lệch khung gỗ, độ mở của các góc thay đổi nhưng độ dài các thanh gỗ (các cạnh của tứ giác) không thay đổi. Do đó, độ dài cạnh của hình thoi bằng độ dài cạnh của hình vuông.
Diện tích hình vuông là 64 cm2, suy ra cạnh của hình vuông là 8 cm (vì 8 ∙ 8 = 64).
Vậy cạnh của hình thoi ban đầu cũng bằng 8 cm.
Chu vi của khung gỗ hình thoi ban đầu là: 4 ∙ 8 = 32 (cm).
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat A = 90^\circ \) và diện tích bằng 32 cm2. Tính độ dài đường chéo AC (đơn vị: cm).
Đáp án: 8.
Dựa vào dấu hiệu nhận biết, hình thoi ABCD có một góc vuông nên ABCD là hình vuông.
Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau: AC = BD.
Ta có diện tích hình vuông ABCD là: \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2}A{C^2}\)
Theo giả thiết: \(\frac{1}{2}A{C^2} = 32\)
Suy ra: AC2 = 32 ∙ 2 = 64.
Vậy AC = 8 cm.
Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Biết hai đường chéo của hình chữ nhật vuông góc với nhau. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD (đơn vị: cm2).
Đáp án: 81.
Hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau nên nó là hình vuông.
Độ dài cạnh hình vuông là: 36 : 4 = 9 (cm).
Diện tích hình vuông là: 92 = 81 (cm2).
Tứ giác ABCD có các góc đối bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau. Biết chu vi của tứ giác là 24 cm. Tính diện tích của tứ giác ABCD (đơn vị: cm2).
Đáp án: 36.
Tứ giác ABCD có các góc đối bằng nhau nên nó là hình bình hành.
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau nên nó là hình vuông.
Độ dài một cạnh của hình vuông ABCD là: 24 : 4 = 6 cm.
Diện tích của tứ giác ABCD là: 62 = 36 (cm2).
Cho hình chữ nhật ABCD. Tia phân giác của góc A và tia phân giác của góc B cắt nhau tại điểm M. Tia phân giác của góc B và tia phân giác của góc C cắt nhau tại điểm N. Tia phân giác của góc C và tia phân giác của góc D cắt nhau tại điểm P. Tia phân giác của góc D và tia phân giác của góc A cắt nhau tại điểm Q. Các tia phân giác này cắt nhau tạo thành một tứ giác MNPQ nằm bên trong hình chữ nhật ABCD. Biết độ dài đường chéo MP của tứ giác MNPQ bằng 4 cm. Tính diện tích của tứ giác MNPQ (đơn vị: cm2).
Đáp án: 8.
⦁ Ta có DQ là phân giác của \(\widehat {ADC}\) nên \(\widehat {ADQ} = \frac{1}{2}\widehat {ADC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).
Tương tự, AQ là phân giác của \(\widehat {BAD}\) nên \(\widehat {QAD} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).
Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} + \widehat {ADQ} + \widehat {AQD} = 180^\circ \)
Suy ra \[\widehat {AQD} = 180^\circ - \left( {\widehat {QAD} + \widehat {ADQ}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ .\]
Do đó \(\widehat {PQM} = 90^\circ \) (đối đỉnh). (1)
Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {PNM} = 90^\circ \). (2)
⦁ Ta cũng chứng minh được \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).
Xét ∆AMB có \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = 45^\circ \), suy ra \(\widehat {AMB} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \). (3)
Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {DPC} = 90^\circ \). (4)
Theo (1), (2), (3), (4), suy ra tứ giác MNPQ có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
⦁ Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} = \widehat {ADQ} = 45^\circ \), \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) suy ra ∆ADQ vuông cân tại Q.
Suy ra AQ = DQ.
Xét ∆AMB và ∆DPC có:
AB = CD (2 cạnh đối của hình chữ nhật)
\(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).
Vậy ∆AMB = ∆DPC (g.c.g)
Suy ra AM = DP.
Ta có: AQ + QM = AM; DQ + QP = DP.
Suy ra QM = QP.
MNPQ là hình chữ nhật có QM = QP nên MNPQ là hình vuông.
Khi đó diện tích của hình vuông MNPQ cũng có thể được tính như sau:
\[{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP \cdot NQ = \frac{1}{2}M{P^2} = \frac{1}{2} \cdot {4^2} = 8\] (cm2).
