Ta có AD là phân giác của \[\widehat {BAC}\] trong ∆ABC, suy ra \[\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\].

Suy ra \[\frac{{15}}{{20}} = \frac{{AB}}{{AC}}\] hay \[\frac{{AB}}{{15}} = \frac{{AC}}{{20}}\].

Suy ra \[\frac{{A{B^2}}}{{225}} = \frac{{A{C^2}}}{{400}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{225 + 400}} = \frac{{B{C^2}}}{{625}}\] (áp dụng định lí Pythagore trong ∆ABC vuông).

Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35 (cm).

Nên \[\frac{{A{B^2}}}{{225}} = \frac{{A{C^2}}}{{400}} = \frac{{{{35}^2}}}{{625}} = \frac{{49}}{{25}}\].

Suy ra AB² \[ = \frac{{49.225}}{{25}}\] = 441 và AC²\[ = \frac{{49.400}}{{25}}\] = 784.

Vậy AB = 21 cm; AC = 28 cm.

• Vì AD là phân giác của \[\widehat {BAC}\] trong ∆ABC nên ta có

\[\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]\[ = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{DB}}{2} = \frac{{DC}}{3} = \frac{{DB + DC}}{{2 + 3}} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2\].

Suy ra \[\frac{{DB}}{2} = 2\]và \[\frac{{DC}}{3} = 2\].

Do đó DB = 4 cm; DC = 6 cm.

• Vì AE là phân giác ngoài tại đỉnh A của ∆ABC nên ta có

\[\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{EC}}{3} = \frac{{EB}}{2} = \frac{{EC - EB}}{{3 - 2}} = \frac{{BC}}{1} = 10\].

Do đó \[\frac{{EB}}{2} = 10\] suy ra EB = 20 cm.

Vậy DB = 4 cm, DC = 6 cm, EB = 20 cm.

• Vì BI là phân giác của \[\widehat {ABC}\] trong ∆ABC nên ta có \[\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{BD}}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{IA + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}\] suy ra \[\frac{{ID}}{{AD}} = \frac{{BD}}{{AB + BD}}\]      (1)

• Vì CI là phân giác của \[\widehat {ACB}\] trong ∆ABC nên ta có \[\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{CA}}{{CD}}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{DI}}{{CD}} = \frac{{IA + ID}}{{CA + CD}} = \frac{{DA}}{{CA + CD}}\] suy ra \[\frac{{DI}}{{AD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\]     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{{BD}}{{AB + BD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{BD}}{{AB + BD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\]\[ = \frac{{BD + CD}}{{AB + BD + CA + CD}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\]    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\].

Gọi G là giao điểm của AC và BD.

• Vì DN là phân giác của \[\widehat {ADC}\] trong ∆ADC nên \[\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{DC}}\].

• Vì AM là phân giác của \[\widehat {BAD}\] trong ∆ABD nên \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{AD}}{{AB}}\]= \[\frac{{AD}}{{DC}}\] (vì AB = DC).

Suy ra \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{NA}}{{NC}}\].

Do đó \[\frac{{NA}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{MB}} = \frac{{NA + NC}}{{MD + MB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AG}}{{DG}}\] (AC = 2AG; BD = 2BG)

Khi đó \[\frac{{NA}}{{AG}} = \frac{{MD}}{{DG}}\].

Xét ∆AGD có \[\frac{{NA}}{{AG}} = \frac{{MD}}{{DG}}\]nên theo định lí Thalès đảo, ta có MN // AD.

Vì BD là phân giác của \[\widehat {ABC}\] trong ∆ABC nên \[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{15}}{{10}} = \frac{3}{2}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{DA}}{3} = \frac{{DC}}{2} = \frac{{DA + DC}}{{3 + 2}} = \frac{{AC}}{5}\].

Mà ∆ABC cân ở A nên AC = AB = 15 cm.

Suy ra \[\frac{{DA}}{3} = \frac{{DC}}{2} = \frac{{15}}{5} = 3\].

Do đó DA = 3.3 = 9 (cm) và DC = 3.2 = 6 (cm).

Vậy DA = 9 cm, DC = 6 cm.

Vì MD là phân giác của \[\widehat {AMB}\] trong ∆ABM nên \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\].

Vì ME là phân giác của \[\widehat {AMC}\] trong ∆ABC nên \[\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{MA}}{{MC}}\].

Mà MB = MC, suy ra \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}\].

Xét ∆ABC có \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}\] nên theo định lí Thalès đảo, ta có DE // BC.