Đáp án đúng là: D

\(\Delta ABC\) có \(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}.\)

Vì \(D\) là giao điểm của hai đường phân giác \(AE\) và \(CI\) của \(\Delta ABC\) nên \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC.\) Do đó, \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC}.\)

Đáp án đúng là: B

Vì \(D\) là giao điểm của hai đường phân giác góc \(BAC\) và góc \(ABC\) của \(\Delta ABC\) nên \(CD\) là đường phân giác của \(\Delta ABC.\) Suy ra \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}.\) Do đó, \(\frac{{EA}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{BC}}.\)

Đáp án đúng là: D

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC = AD = 10\;{\rm{cm}},\;AB = DC = 8\;{\rm{cm}}.\)

Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{EC}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{10}}{8} = \frac{4}{5}.\) Vậy \(\frac{{EC}}{{AE}} = \frac{4}{5}.\)

a) Đúng.

Vì \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\)

b) Sai.

Vì \(CN\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{AC}}.\)

c) Đúng.

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(B\) nên \(AB = BC.\)

Vì \(AB = BC,\;\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{AC}},\;\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{BN}}{{AN}}.\)

\(\Delta ABC\) có: \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{BN}}{{AN}}\) (định lí Thalès đảo) nên \(MN\;{\rm{//}}\;AC.\)

d) Đúng.

Vì \(MN\;{\rm{//}}\;AC\) nên tứ giác \(MNAC\) là hình thang. Lại có: \(\widehat {NAC} = \widehat {MCA}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(B\)).

Do đó, tứ giác \(MNAC\) là hình thang cân.

a) Sai.

Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\) trong \(\Delta ABD\) nên \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}}.\)

b) Đúng.

Vì \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}}\) nên \(\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{IA + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}.\)

Suy ra \(\frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}.\)

Vậy \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}.\)

c) Đúng.

Vì \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {ACD}\) trong \(\Delta ACD\) nên \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{CA}}{{CD}}.\) Suy ra: \(\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{ID}}{{CD}}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{ID}}{{CD}} = \frac{{IA + ID}}{{CA + CD}} = \frac{{AD}}{{CA + CD}}.\)

Vậy \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}}.\)

d) Sai.

Vì \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}\) nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}} = \frac{{CA + CD + AB + BD}}{{CD + BD}} = \frac{{CA + AB + BC}}{{BC}}.\)

Vậy \(\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}.\)

a) Đúng.

Vì \(BF\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}}.\)

b) Đúng.

 Vì \(AE\) là tia phân giác của \(\widehat {DAB}\) trong \(\Delta ABD\) nên \(\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{AD}}.\)

Ta có: \(BC = AD\) (do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành), \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}},\;\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{AD}}\) nên \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{FA}}{{FC}}.\)

c) Sai.

Vì \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{FA}}{{FC}}\) nên \(\frac{{BE + DE}}{{ED}} = \frac{{AF + FC}}{{FC}}\) hay \(\frac{{BD}}{{ED}} = \frac{{AC}}{{FC}}.\) Suy ra \(\frac{{2OD}}{{ED}} = \frac{{2OC}}{{FC}}\) hay \(\frac{{OD}}{{ED}} = \frac{{OC}}{{FC}}.\)

d) Đúng.

\(\Delta DOC\) có: \(\frac{{OD}}{{ED}} = \frac{{OC}}{{FC}}\) nên \(EF\;{\rm{//}}\;DC\) (Định lí Thalès đảo).

Mà \(DC\;{\rm{//}}\;AB\) (do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành) nên \(EF\;{\rm{//}}\;AB\;{\rm{//}}\;CD.\)

a) Sai.

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {ABI} = \widehat {IBH} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)

\(\Delta BIH\) vuông tại \(H\) nên: \(\widehat {BIH} + \widehat {HBI} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {BIH} = 90^\circ - \widehat {HBI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)

Mà \(\widehat {BIH} = \widehat {AIE}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {AIE} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)

\(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) nên: \(\widehat {IEA} + \widehat {ABI} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {IEA} = 90^\circ - \widehat {ABI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)

Do đó, \(\widehat {AIE} = \widehat {IEA}.\) Do đó, \(\Delta IAE\) cân tại \(A.\) Do đó, \(AI = AE.\)

b) Đúng.

Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABH}\) trong tam giác \(ABH\) nên \(\frac{{AI}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{BH}}.\) Suy ra \(\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}}.\)

c) Đúng.

Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong tam giác \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\) Suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EC}}.\)

Vì \(\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}},\;\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EC}},\;AI = AE\) nên \(\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}.\)

d) Sai.

Vì \(\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) nên \(EC = \frac{{BC \cdot HI}}{{BH}}.\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)

Do đó, \(BC = 2BH.\) Suy ra: \(EC = \frac{{2BH \cdot HI}}{{BH}} = 2HI.\) Vậy \(EC = 2IH.\)

Đáp án: \(2,5\)

\(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân

: \(\frac{{AE}}{{EC + AE}} = \frac{2}{{3 + 2}} = \frac{2}{5}.\)giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\)

\(\Delta ABC\) có \(DE\;{\rm{//}}\;BC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.\) Do đó

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{5}.\) Do đó, \(AC = 2,5AE.\)

Vậy số thích hợp điền vào “…” là \(2,5.\)

Đáp án: \(2,3\)

Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CB}} = \frac{5}{8}.\) Suy ra: \(EC = \frac{8}{5}EA.\)

Lại có: \(AE + EC = AC\) nên \(AE + \frac{8}{5}AE = 6,\) suy ra \(\frac{{13}}{5} \cdot AE = 6.\) Vậy \(AE \approx 2,3\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(50\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BI = IC.\)

Vì \(IM\) là tia phân giác của góc \(AIB\) trong \(\Delta IAB\) nên \(\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BM}}{{MA}}.\)

Vì \(IN\) là tia phân giác của góc \(AIC\) trong \(\Delta IAC\) nên \(\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)

Vì \(BI = IC,\;\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BM}}{{MA}},\;\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) nên \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)

\(\Delta ABC\) có \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;BC\) (định lí Thalès đảo). Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat B = 50^\circ \) (hai góc đồng vị)

Vậy \(\widehat {AMN} = 50^\circ .\)

Đáp án: \(48\)

Vì \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{2}{5}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.\) Vì \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{9}\) nên \(\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{5}{4}.\)

Vì chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(148\;{\rm{cm}}\) nên \(AB + AC + BC = 148.\)

Vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {CAB}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.\) Suy ra \[\frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{3}.\]

Vì \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{5}{4}.\) Suy ra \(\frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{4}.\)

Vì \[\frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{3},\;\frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{4}\] nên \(\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{AC}}{{15}} = \frac{{BC}}{{12}}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{AC}}{{15}} = \frac{{BC}}{{12}} = \frac{{AB + AC + BC}}{{10 + 15 + 12}} = \frac{{148}}{{37}} = 4.\)

Do đó, \(BC = 4 \cdot 12 = 48\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(BC = 48\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)