Từ giả thiết ta có: AB = 30 m, BC = 25m;

                            \(\widehat {ADB} = \widehat {BDC}\) suy ra DB là tia phân giác \(\widehat {ADC}.\)

Xét ∆ADC có DB là tia phân giác \[\widehat {ADC},\] nên áp dụng tính chất đường phân giác trong

∆ADC ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{30}}{{25}} = \frac{6}{5}.\)

Vậy tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C bằng \(\frac{6}{5}.\)

Từ giả thiết ta có: MA = 14 m, MB = 20 m;

                            \(\widehat {ACM} = \widehat {MCB}\) suy ra CM là tia phân giác \(\widehat {ACB}.\)

Xét ∆ACB có CM là tia phân giác \(\widehat {ACB},\) nên áp dụng tính chất đường phân giác trong

∆ACB ta có: \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{14}}{{20}} = \frac{7}{{10}}.\)

Vậy tỉ số khoảng cách của ngư dân A và B đến cù lao C trên sông là \(\frac{7}{{10}}.\)

Theo bài ra ta có: GM = 3 km.

Vì ABCD là hình vuông nên CD = AD và DB là tia phân giác của \[\widehat {ADC}.\]

Do M là trung điểm của DC nên \(DM = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}DA\) (do CD = AD).

\( \Rightarrow \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2}.\)

Xét ∆ADM có: DG là tia phân giác của \(\widehat {ADM}\) (do DB là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ADM với DG là tia phân giác của \(\widehat {ADM}\) ta có:

\(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{GM}}{{GA}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{{GA}} \Rightarrow GA = 6\) (km).

Vậy bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là GA = 6 km để gặp Lan và Điệp.

Do \(\widehat {BAC} = \widehat {CAD}\) nên AC là đường phân giác của \(\widehat {BAD}.\)

Xét ∆BAD có AC là đường phân giác của \(\widehat {BAD},\) nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAD ta có:

\(\frac{{CB}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{20}}{{15}} = \frac{{AB}}{{93}}\) ⇒ AB ∙ 15 = 20 ∙ 93 ⇒ AB ∙ 15 = 1 860

\( \Rightarrow AB = \frac{{1\,\,860}}{{15}} = 124\) (m).

Vậy chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B là 124 m.

Thời gian để bạn Hải đi từ A đến C là: 6 giờ 30 phút – 6 giờ = 30 phút = 0,5 giờ.

Quãng đường mà bạn Hải đi từ A đến C trong 0,5 giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: AC = S_A→C = 4 ∙ 0,5 = 2 (km).

Xét ∆ACB có CH là đường phân giác của \(\widehat {ACB},\) nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ACB ta có:

\(\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{0,32}}{{0,4}} = \frac{2}{{CB}}\) ⇒ 0,32 ∙ CB = 0,4 ∙ 2 ⇒ 0,32 ∙ CB = 0,8

\( \Rightarrow CB = \frac{{0,8}}{{0,32}} = 2,5\) (m).

Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường CB = 2,5 m với tốc độ trung bình xuống dốc 10 km/h là: \(\frac{{2,5}}{{10}} = 0,25\) (giờ).

Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ A đến trường B là

0,5 + 0,25 = 0,75 (giờ) = 45 (phút).

Do đó bạn Hải đến trường lúc 6 giờ 45 phút.

Theo đề bài, ABCD là hình thoi nên AB = AD và AC là tia phân giác của \(\widehat {BAD}.\)

Ta có: AB = 3AM hay AD = 3AM (do AB = AD).

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}.\)

Xét ∆MAD có: AI là tia phân giác của \(\widehat {MAD}\) (do AC là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\)),

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆MAD ta có:

\(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow IM = \frac{1}{3}ID.\)

Theo đề bài, I là địa điểm gặp nhau nên bạn Bảo đi theo quãng đường MI, bạn Lan đi theo quãng đường DI.

Ta có: S = vt, mà quãng đường bạn Bảo đi bằng \(\frac{1}{3}\) lần quãng đường bạn Lan đi và vận tốc đi bộ của hai bạn đều bằng nhau nên thời gian bạn Bảo đi bằng \(\frac{1}{3}\) lần thời gian bạn Lan đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm I.

Bạn Bảo gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút nên thời gian bạn Lan đi hết quãng đường MI là:

7 giờ 30 phút – 7 giờ = 30 phút.

Khi đó, thời gian bạn Bảo đi là \(\frac{1}{3} \cdot 30 = 10\) (phút).

Do đó, bạn Bảo phải xuất phát từ lúc: 7 giờ 30 phút – 10 phút = 7 giờ 20 phút.

Vậy bạn Bảo phải xuất phát lúc 7 giờ 20 phút để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm I.