Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 7. Cấp số nhân có đáp án

Gọi u_n là số tiền (triệu đồng) mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ n (vào đầu tháng thứ n).

Kí hiệu a = 0,5 triệu đồng, r = 0,5% .

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là u₁ = a.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là

u₂ = u₁(1 + r) + a = a(1 + r) + a.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

u₃ = u₂(1 + r) + a = a(1 + r)² + a(1 + r) + a.

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng n là

u_n = a(1 + r)^{n – 1} + a(1 + r)^{n – 2} + ... + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)^{n – 1} + (1 + r)^{n – 2} + ... + (1 + r) + 1]

= $a.\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{\left(1+r\right)-1}=a\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{r}$.  

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được

$u_{180}=0,5.\frac{{\left(1+0,5\%\right)}^{180}-1}{0,5\%}$ ≈ 145,41 (triệu đồng).

Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là 3 + 180 : 12 = 18 (tuổi).

Gọi u_n là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}$ nên u₁ = $2.\frac{1}{2}.{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2^2}$ và độ dài cạnh hình vuông sau đó là $\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (sử dụng định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $u_2=2.\frac{1}{2}.{\left(\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2^3}$.

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $u_3=\frac{a^2}{2^4}$.

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (u_n) là cấp số nhân với $u_1=\frac{a^2}{2^2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Với a = 16 cm thì u₁ = $\frac{{16}^2}{2^2}$ = 64 cm.

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là $S_5=u_1\frac{1-q^5}{1-q}=64.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^5}{1-\frac{1}{2}}$ = 124 (cm²).

a) Theo định nghĩa, chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3 và u_{2 + 2} = u₄ = 24.

Do tính chất của cấp số nhân nên u₄ = u₁q³ = 3q³ = 24. Suy ra q = 2.

Khi đó u₂ = 3 . 2 = 6, u₃ = 6 . 12 = 12.

Vậy chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân là: 3, 6, 12, 24.

b) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân có u₁ = 2,25 và u_{2 + 3} = u₅ = 576.

Do tính chất của cấp số nhân nên u₅ = u₁q⁴ = 2,25q⁴ = 576. Suy ra q = ± 4.

+ Với q = 4, ta có u₂ = 2,25 . 4 = 9; u₃ = 9 . 4 = 36; u₄ = 36 . 4 = 144.

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; 9; 36; 144; 576.

+ Với q = − 4, ta có u₂ = 2,25 . (− 4) = − 9; u₃ = (− 9) . (− 4) = 36; u₄ = 36 . (− 4) = − 144.

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; − 9; 36; − 144; 576.