Đề kiểm tra Cấp số nhân lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Lời giải

Chọn A

Bộ ba số \(2x - 1\), \(x\), \(2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên ta có \(\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2}\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2}\)\( \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Chọn C

Ta có \({5^{n - 1}} - 1 = {S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{q - 1}}\left( {{q^n} - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = q - 1\\q = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\q = 5\end{array} \right..\) Khi đó

\({u_4} = {u_1}{q^3} = {4.5^3} = 50\)

Chọn B

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{4}\\\frac{1}{2} = {u_7} = {u_1}{q^6} = \frac{{{u_1}}}{{{4^6}}}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = \frac{{{4^6}}}{2} = 2048\)

Ta có: \({u_2} = {u_1}q = 4,{u_4} = {u_1}{q^3} = 9 \Rightarrow \frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}{q^3}}}{{{u_1}q}} \Rightarrow \frac{9}{4} = {q^2} \Rightarrow q = - \frac{3}{2}(q < 0)\).

Thay \(q = - \frac{3}{2}\) vào \({u_2}\), ta được: \({u_1}\left( { - \frac{3}{2}} \right) = 4 \Rightarrow {u_1} = - \frac{8}{3}\).

Vậy cấp số nhân đã cho có số hạng đầu \({u_1} = - \frac{8}{3}\) và công bội \(q = - \frac{3}{2}\).

Khi đó \({u_n} = - \frac{8}{3}.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}\)

Vậy \({u_5} = - \frac{{27}}{2}\)

\( - \frac{{2187}}{{32}} \ne - \frac{8}{3}.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^7}\) nên không phải là số hạng thứ 8

a) Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Năm số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}};{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

c) Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).

Xét \({u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}\)

\( \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

d) Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2.\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,99985 < 3\).

a) \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{{n^2} + n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), không phải là hằng số. Vậy \(\left( {{a_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

b) \(\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = \frac{{(n + 3) \cdot {3^{n + 1}}}}{{(n + 2) \cdot {3^n}}} = \frac{{3(n + 3)}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), không phải là hằng số. Vậy \(\left( {{b_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

c) Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra \({c_1} = 2;{c_2} = 3;{c_3} = 2;{c_4} = 3; \ldots \)

Vì \(\frac{{{c_3}}}{{{c_2}}} \ne \frac{{{c_2}}}{{{c_1}}}\) nên \(\left( {{c_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

d) \(\frac{{{d_{n + 1}}}}{{{d_n}}} = \frac{{{{( - 4)}^{2(n + 1) + 1}}}}{{{{( - 4)}^{2n + 1}}}} = 16,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy \(\left( {{d_n}} \right)\) là một cấp số nhân công bội \(q = 16\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 168}\\{{u_4} + {u_5} + {u_6} = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} = 168}\\{{u_1} \cdot {q^3} + {u_1} \cdot {q^4} + {u_1} \cdot {q^5} = 21}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}(1 + q + {q^2}) = 168}\\{{u_1}{q^3}(1 + q + {q^2}) = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{{168}}{{1 + q + {q^2}}}}\\{{q^3} = \frac{1}{8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 96}\\{q = \frac{1}{2}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

Ta có \(24 = 96.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3 - 1}}\)

Ta có \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{96\left[ {1 - {{(\frac{1}{2})}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{3069}}{{16}}\)

\({u_5} = {u_1} \cdot {q^4} = {u_2} \cdot {q^3}\), suy ra \({q^3} = \frac{{{u_5}}}{{{u_2}}} = \frac{{16}}{{\frac{1}{4}}} = 64\), suy ra \(q = 4,{u_1} = \frac{1}{{16}}\).

Cấp số nhân đó là: \(\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;2;4;8;16\).

Ba số cần tìm là: \(6;18;54\).

Lời giải

\({S_{10}} = \frac{{80\left( {1 - 0,{8^{10}}} \right)}}{{1 - 0,8}} \approx 357,05(\;m)\).

Gọi \({u_n}\) là số người bị bệnh ở cuối tuần thứ \(n\). Vì có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có \({u_1} = 5\) và công bội \(q = 4\). Suy ra số người bị ảnh hưởng bởi dịch bệnh ở cuối tuần 10 là \({u_{10}} = {u_1}{q^9} = 5 \cdot {4^9} = 1310720\) (người).

Gọi \({u_n}\) là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ \(n\). Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là \(5\% \) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có \({u_1} = 180\) và công bội \(q = 1 + 5\% = 1,05\). Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là

\({u_6} = {u_1}{q^5} = 229,73\) (triệu đồng)