Bài tập Công bội, số hạng đầu và số hạng tổng quát của cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = - 2}\\{{u_{n + 1}} = \frac{1}{2}{u_n}}\end{array}} \right.\). Chọn mệnh đề đúng.
(un) là cấp số nhân có công bội q = –2;
\({\rm{B}}{\rm{. }}{u_n} = - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\);
\({\rm{C}}{\rm{. }}{u_n} = \frac{{{u_{n + 1}} + {u_{n - 1}}}}{2};n \ge 2\);
\[{\rm{D}}{\rm{. }}{u_n} = \sqrt {{u_{n + 1}} \cdot {u_{n - 1}}} \,\,\left( {{\rm{n}} \ge 2} \right){\rm{.}}\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{2}{u_n}\) nên \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{2}\) không đổi
⇒ (un) là cấp số nhân có công bội \({\rm{q}} = \frac{1}{2}\) .
Dãy số (un) có số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).
Cho (un) là cấp số nhân thỏa mãn: u2 = 4 và u3 = 8. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
2;
–2;
–4;
16.
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất của cấp số nhân ta có :
\(u_2^2 = {u_1} \cdot {u_3}{\rm{ hay }}{4^2} = {u_1}.8\)\( \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2\) công bội \({\rm{q}} = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.\)
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn : \({\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_6} = 102}\\{{u_1} + {u_5} = 51}\end{array}} \right.\) . Hỏi số hạng thứ 6 của cấp số nhân là đáp án nào sau đây?
96;
48;
72;
84.
Đáp án đúng là: A
Theo đầu bài ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_6} = 102}\\{{u_1} + {u_5} = 51}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^5} = 102}\\{{u_1} + {u_1} \cdot {q^4} = 51}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot \left( {q + {q^5}} \right) = 102 \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (1) và (2) vế chia vế ta được (u1 ≠ 0)
\(\frac{{q + {q^5}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{102}}{{51}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {\rm{q}} + {{\rm{q}}^5} = 2\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) \Leftrightarrow {\rm{q}}\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) - 2\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow ({\rm{q}} - 2)\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{q}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {u_1} = \frac{{51}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{51}}{{17}} = 3\).
Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là : u6 = u1 . q5 = 3 . 25 = 96.
Giữa các số 243 và 1 ta viết thêm 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Tổng của 4 số đó là bao nhiêu?
115;
120;
135;
150.
Đáp án đúng là: B
Nếu ta viết thêm 4 số nữa vào giữa hai số 243 và 1 thì ta được cấp số nhân có 6 số hạng trong đó số hạng đầu tiên là: u1 = 243 và số hạng thứ 6 là u6 = 1 .
Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 243}\\{{u_6} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 243}\\{{u_1}{q^5} = 1}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 243}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 243}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)
Do đó; u2 = 81; u3 = 27; u4 = 9 và u5 = 3.
Tổng bốn số cần tìm là: 81+ 27 + 9 + 3 = 120.
Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Hỏi công bội q của cấp số nhân là bao nhiêu?
\(\frac{2}{3}\)hoặc\(\,\frac{3}{2}\);
\(\frac{2}{5}\)hoặc \(\frac{5}{2}\);
\(\frac{3}{5}\)hoặc \(\frac{5}{3}\) ;
\(\frac{4}{5}\)hoặc \(\frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u1; u2; u3 với công bội là q.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 19}\\{{u_1} \cdot {u_2} \cdot {u_3} = 216}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_1}q + {u_1} \cdot {q^2} = 19}\\{u_2^3 = {6^3}\left( {do\;{u_1} \cdot {u_3} = u_2^2} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19}\\{{u_2} = {u_1} \cdot q = 6}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19 \,\, (*)}\\{{u_1} = \frac{6}{q}}\end{array}} \right.\)
Thay \({u_1} = \frac{6}{q}\) vào (*) được:
\(\frac{6}{q} \cdot \left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19 \Rightarrow 6\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19q\)
\[ \Leftrightarrow 6{{\rm{q}}^2} - 13{\rm{q}} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{2}{3}}\\{q = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\]
•Với \[q = \frac{2}{3} \Rightarrow {u_1} = 9,{u_2} = 6,{u_3} = 4\];
•Với \[q = \frac{3}{2} \Rightarrow {u_1} = 4,{u_2} = 6,{u_3} = 9.\]
Cho cấp số nhân (un): \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_2} + {{\rm{u}}_3} + {{\rm{u}}_4} + {{\rm{u}}_5} = 11\\{{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_5} = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\]. Công bội của (un) là
3 hoặc \[\frac{1}{3}\];
2 hoặc \[\frac{1}{2}\];
4 hoặc \[\frac{1}{4}\];
5 hoặc \(\frac{1}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) + {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = 11}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{82}}{{11}} + {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = 11}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{39}}{{11}} \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Từ (1) và (2) vế chia vế ta được: \[\frac{{q + {q^2} + {q^3}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{39}}{{82}}\]
\[ \Leftrightarrow 82\left( {{\rm{q}} + {{\rm{q}}^2} + {{\rm{q}}^3}} \right) = 39\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow - 39{q^4} + 82{q^3} + 82{q^2} + 82q - 39 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 3}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\].
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_2} + {{\rm{u}}_3} + {{\rm{u}}_4} + {{\rm{u}}_5} = 11\\{{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_5} = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\] .
Trên khoảng \[\left( {\frac{1}{2}\,;\,\,1} \right)\] có bao nhiêu số hạng của cấp số?
0;
1;
3;
2.
Đáp án đúng là: B
Trước tiên; ta đi tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số.
Khi đó từ giả thiết ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{u_1} + {u_5}} \right) + \left( {{u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^3} = 11 - \frac{{82}}{{11}} = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1} + {u_1} \cdot {q^4} = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{39}}{{11}} \,\, (1)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Từ (1) và (2) chia vế ta được: \[\frac{{q + {q^2} + {q^3}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{39}}{{82}}\]
\[ \Leftrightarrow - 39{q^4} + 82{q^3} + 82{q^2} + 82q - 39 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 3}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\].
•Với \[q = \frac{1}{3} \Rightarrow {u_1} = \frac{{81}}{{11}}\].
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[{u_n} = \frac{{81}}{{11}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\]
Để số hạng thứ n thuộc khoảng \[\left( {\frac{1}{2}\,;\,\,1} \right)\] thì
\[\frac{1}{2} < \frac{{81}}{{11}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{11}}{{162}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} < \frac{{11}}{{81}}\]
Û n = 3 nên có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.
•Với \[{\rm{q}} = 3 \Rightarrow {u_1} = \frac{1}{{11}}\] .
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[{u_n} = \frac{1}{{11}} \cdot {3^{n - 1}}\].
Để số hạng thứ n thuộc khoảng thì
\[\frac{1}{2} < \frac{1}{{11}} \cdot {3^{n - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{11}}{2} < {3^{n - 1}} < 11\]Û n = 3 nên có một số hạng của dãy thỏa mãn.
Như vậy, trong cả 2 trường hợp chỉ có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_3} + {u_4} = \frac{{35}}{2}}\\{{u_1} \cdot {u_5} = 25}\end{array}} \right.\] biết ui > 0. Hỏi công bội q của (un) là
3 hoặc \[\frac{1}{3}\];
2 hoặc \[\frac{1}{2}\];
4 hoặc \[\frac{1}{4}\];
1.
Đáp án đúng là: B
Theo giả thiết ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_3} + {u_4} = \frac{{35}}{2}}\\{{u_1} \cdot {u_5} = 25}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^3} = \frac{{35}}{2} \,\, (1)}\\{{u_1} \cdot {u_1} \cdot {q^4} = 25 \,\, (2)}\end{array}} \right.\]
Từ (2) \[ \Leftrightarrow {\left( {{u_1} \cdot {q^2}} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^2} = 5\] (vì ui > 0)
\[ \Rightarrow {u_1} = \frac{5}{{{q^2}}}\] thay vào (1) ta được:
\[\frac{5}{{{q^2}}}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{35}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 10.\left( {{\rm{q}} + {{\rm{q}}^2} + {{\rm{q}}^3}} \right) = 35{{\rm{q}}^2}\]
\[ \Leftrightarrow 10{q^3} - 25{q^2} + 10q = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 0\left( {loai} \right)\\q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]
•Với q = 2 thì \[{u_1} = \frac{5}{4}\];
•Với \[q = \frac{1}{2}\] thì u1 = 20.
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65}\\{{u_1} + {u_7} = 325}\end{array}} \right.\] . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân là đáp án nào sau đây?
5;
–5;
8;
9.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65}\\{{u_1} + {u_7} = 325}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^4} = 65}\\{{u_1} + {u_1} \cdot {q^6} = 325}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right) = 65{\rm{ (1) }}}\\{{u_1}\left( {1 + {q^6}} \right) = 325 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Lấy (2) chia (1) vế chia vế ta được: \[\frac{{1 + {q^6}}}{{1 - {q^2} + {q^4}}} = \frac{{325}}{{65}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 + {q^2}} \right)\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right)}}{{1 - {q^2} + {q^4}}} = 5 \Leftrightarrow 1 + {{\rm{q}}^2} = 5\]
\[ \Leftrightarrow {q^2} = 4\] nên \[q = \pm 2\]
•Với q = 2 thay vào (2) ta được u1 = 5.
•Với q = −2 thay vào (2) ta được u1 = 5.
Như vậy, trong cả hai trường hợp ta có: u1 = 5.
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_6} = 165}\\{{u_3} + {u_4} = 60}\end{array}} \right.\]. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
4 hoặc 120;
4 hoặc 160;
5 hoặc 160;
6 hoặc 360.
Đáp án đúng là: C
Theo giả thiết ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_6} = 165}\\{{u_3} + {u_4} = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_1}{q^5} = 165}\\{{u_1}{q^2} + {u_1}{q^3} = 60}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {1 + {q^5}} \right) = 165 \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {{q^2} + {q^3}} \right) = 60 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:
\[\frac{{1 + {q^5}}}{{{q^2}(1 + q)}} = \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow \frac{{(1 + q)\left( {1 - q + {q^2} - {q^3} + {q^4}} \right)}}{{{q^2}(1 + q)}} = \frac{{11}}{4}\]
\[ \Leftrightarrow 4\left( {1 - q + {q^2} - {q^3} + {q^4}} \right) = 11{q^2}\]
\[ \Leftrightarrow 4{q^4} - 4{q^3} - 7{q^2} - 4q + 4 = 0\]
Chia cả hai vế của phương trình trên cho q2 ≠ 0 ta được:
\[\frac{{4{q^4}}}{{{q^2}}} - \frac{{4{q^3}}}{{{q^2}}} - \frac{{7{q^2}}}{{{q^2}}} - \frac{{4q}}{{{q^2}}} + \frac{4}{{{q^2}}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow 4\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) - 4\left( {q + \frac{1}{q}} \right) - 7 = 0(*)\]
Đặt\[t = q + \frac{1}{q} \Rightarrow {t^2} = {\left( {q + \frac{1}{q}} \right)^2} \Rightarrow {q^2} + \frac{1}{{{q^2}}} = {t^2} - 2\].
Điều kiện: | t | ≥ 2.
Khi đó phương trình (*) trở thành:
\[4\left( {{{\rm{t}}^2} - 2} \right) - 4{\rm{t}} - 7 = 0 \Leftrightarrow 4{{\rm{t}}^2} - 4{\rm{t}} - 15 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{5}{2}}\\{t = - \frac{3}{2}\,\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\]
* Với \[t = \frac{5}{2} \Leftrightarrow q + \frac{1}{q} = \frac{5}{2}\]\[ \Leftrightarrow 2{q^2} - 5q + 2 = 0 \Leftrightarrow q = 2{\rm{ }}\]hoặc \[{\rm{q}} = \frac{1}{2}\].
•\[q = 2 \Rightarrow {u_1} = \frac{{165}}{{1 + {q^5}}} = \frac{{165}}{{{1^2} + {2^5}}} = 5\];
•\[q = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = \frac{{165}}{{1 + {q^2}}} = \frac{{165}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}} = 160.\]
Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.
Cấp số nhân (un) có số hạng tổng quát là \({u_n} = \frac{3}{5} \cdot {2^{n - 1}},n \in {\mathbb{N}^*}\). Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là:
\({u_1} = \frac{6}{5};q = 2\).
\({u_1} = \frac{3}{5},q = - 2\).
\({u_1} = \frac{6}{5};q = - 2\).
\({u_1} = \frac{3}{5},q = 2\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({u_1} = \frac{3}{5} \cdot {2^{1 - 1}} = \frac{3}{5}\) và \({u_2} = \frac{3}{5} \cdot {2^{2 - 1}} = \frac{6}{5} \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.\)
Vậy \({u_1} = \frac{3}{5},q = 2\).
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u2 = 6. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:
3.
-4.
\(\frac{1}{3}\).
4.
Đáp án đúng là: A
Gọi q là công bội là cấp số nhân (un).
Ta có: u2 = u1.q => \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{2} = 3\).
Vậy q = 3.
Cấp số nhân (un) với u2 = 6 và u5 = 162. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:
3.
-3.
2.
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = {u_1} \cdot {q^4}\\{u_2} = {u_1} \cdot q\end{array} \right.\). Do đó: \({u_5} = {u_2} \cdot {q^3} \Rightarrow {q^3} = \frac{{{u_5}}}{{{u_2}}} = \frac{{162}}{6} = 27 \Rightarrow q = 3\).
Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu là u1 = 2 và công bội q = 3. Giá trị u2019 bằng:
2.32018.
3.22018.
2.32019.
3.22019.
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát: un = u1.qn-1 => u2019 = u1.q2018 = 2.32018.
Tìm số hạng đầu u1 của cấp số nhân (un) biết rằng u1 + u2 + u3 = 168 và u4 + u5 + u6 = 21.
u1 = 24.
\({u_1} = \frac{{1334}}{{11}}\).
u1 = 96.
u1 = \(\frac{{217}}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 168\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} = 168\\{u_1} \cdot {q^3} + {u_1} \cdot {q^4} + {u_1} \cdot {q^5} = 21\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 168\\{u_1} \cdot {q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{168}}{{1 + q + {q^2}}}\\{q^3} = \frac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 96\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
Vậy u1 = 96.
Cho cấp số nhân (un) với công bội q < 0 và u2 = 4, u4 = 9. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Cấp số nhân có công bội \(q = - \frac{3}{2}\).
Số hạng đầu u1 = \( - \frac{8}{3}\).
Số hạng u5 = \(\frac{{27}}{2}\).
\( - \frac{{2187}}{{32}}\) là số hạng thứ 8.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: u2 = u1.q = 4; u4 = u1.q3 = 9
=> \(\frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1} \cdot q}} \Rightarrow \frac{9}{4} = {q^2} \Rightarrow q = - \frac{3}{2}\left( {q < 0} \right)\).
b) Đúng. Ta có: u2= u1q => u1 = \(\frac{{{u_2}}}{q} = \frac{4}{{ - \frac{3}{2}}} = - \frac{8}{3}\).
c) Sai. Từ b, ta có: \({u_5} = - \frac{8}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^4} = - \frac{{27}}{2}\).
d) Sai. Ta có: \({u_8} = - \frac{8}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^7} = \frac{{729}}{{16}} \ne - \frac{{2187}}{{32}}\). Do đó \( - \frac{{2187}}{{32}}\) không là số hạng thứ 8.
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{n + 1}} = - 3{u_n}\left( {n \ge 1} \right)\\{u_3} = 18\end{array} \right.\)
Công bội của cấp số nhân là q = -3.
Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là u1 = 2.
Công thức tổng quát là un = 2.(-3)n – 1.
Số 162 là số hạng thứ 6 của dãy số (un).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Từ công thức truy hồi, ta có \(q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 3\)
Vậy công bội của cấp số nhân là q = -3
b) Đúng. Do u3 = u1q2 => u1 = \(\frac{{{u_3}}}{{{q^2}}} = \frac{{18}}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = 2\).
Vậy u1 = 2.
c) Đúng. Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân, ta có: un = 2.(-3)n – 1
d) Sai. Xét \({u_6} = 2 \cdot {\left( { - 3} \right)^5} = - 486 \ne 162\).
Vậy 162 không là số hạng thứ 6 của dãy số (un).
Cho các dãy số sau đây: \({u_n} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2n - 3}};\,\,{v_n} = \frac{2}{n};\,\,\,{w_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}\) và dãy số hữu hạn gồm các số hạng: 16; 4; 1; \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{{16}}\); \(\frac{1}{{64}}\). Khi đó:
(un) là một cấp số nhân công bội q = 5.
(vn) không phải là một cấp số nhân.
(wn) là một cấp số nhân có số hạng đầu \(w = \frac{9}{2}\).
Dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự thành cấp số nhân có công bội bằng \(\frac{1}{8}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2\left( {n + 1} \right) - 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2n - 1}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{2n - 1}}}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{2n - 3}}}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\).
Do đó, (un) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) với công bội q = 5.
b) Đúng. Ta có: \({v_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 1}} \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{n}{{n + 1}}\).
Do đó (vn) không phải là một cấp số nhân.
c) Đúng. Ta có: \(w_{n + 1}^{} = \frac{{{3^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \Rightarrow \frac{{{w_{n + 1}}}}{{{w_n}}} = \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}}{{\frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}} = \frac{3}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó (wn) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({w_1} = \frac{{{3^2}}}{{{2^1}}} = \frac{9}{2}\) với công bội \(q = \frac{3}{2}\)
d) Sai. Đặt u1 = 16; u2 = 4; u3 = 1; u4 = \(\frac{1}{4}\); u5 = \(\frac{1}{{16}}\); u6 = \(\frac{1}{{64}}\).
Ta có: \({u_2} = {u_1} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_3} = {u_2} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_4} = {u_3} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_5} = {u_5} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_6} = {u_5} \cdot \frac{1}{4}\)
Vì vậy dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \(\frac{1}{4}\).
Cho dãy số (un), biết u1 = 8; un+1 = 4un – 9 với n ℕ*. Đặt vn = un – 3 với n ℕ*.
v1 = 5.
Dãy số (vn) là một cấp số nhân có công bội q = -3.
Công thức của số hạng tổng quát vn là vn = 5.(-3)n – 1 .
Công thức của số hạng tổng quát là un là un = 3 + 5.(-3)n – 1.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: v1 = u1 – 3 = 8 – 3 = 5.
b) Sai. Ta có: vn + 1 = un+1 – 3 = 4un – 9 – 3 = 4un– 12 = 4(un – 3) = 4vn với mọi n ℕ*.
Vậy dãy số (vn) là một cấp số nhân có số hạng đầu v1 = 5, công bội q1 = 4.
c) Sai. Công thức của số hạng tổng quát vn là vn = 5.4n – 1 .
d) Sai. Ta có: un = 3 + vn = 3 + 5.4n – 1.
Vậy công thức của số hạng tổng quát là un là un = 3 + 5.4n – 1.
Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = -4 và số hạng thứ tư u4 = 108.
Công bội của cấp số nhân bằng -3.
Số hạng thứ hai bằng 12.
Số hạng tổng quát là un = -4(-3)n – 1.
u7 = 2916.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: u4 = u1q3 ⇔ 108 = -4q3 ⇔ q = -3.
Vậy công bội của cấp số nhân bằng -3.
b) Đúng. u2 = u1q = -4.(-3) = 12.
c) Đúng. Công thức tổng quát: un = u1qn – 1 = -4(-3)n – 1.
d) Sai. Ta có: u7 = -4(-3)7 – 1 = -2916.
Cho cấp số nhân (un) có u1 =3 và q = -2. Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Đáp án: 7.
Ta có: 192 = un = u1.qn - 1 = 3.(-2)n – 1 ⇔ (-1)n – 1.2n – 1 = 64 = (-1)6.26 ⇔ n = 7
Cho cấp số nhân (un) có công bội q và thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 26\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 364\end{array} \right.\). Tìm q, biết q > 1.
Đáp án: 3.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 26\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 364\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 26\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 364\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u_1^2{\left( {1 + q + {q^2}} \right)^2} = {26^{2\,}}\,\,\,\,\,\,\,(1)\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 364\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Lấy (1) chia (2) ta được:
\(\frac{{{{\left( {1 + q + {q^2}} \right)}^2}}}{{1 + {q^2} + {q^4}}} = \frac{{{{26}^2}}}{{364}} \Leftrightarrow 3{q^4} - 7{q^3} - 4{q^2} - 7q + 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) - 7\left( {q + \frac{1}{q}} \right) - 4 = 0\)
Đặt \(t = q + \frac{1}{q},\left| t \right| \ge 2\). Phương trình trở thành 3t2 – 7t – 10 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,(loai)\\t = - \frac{{10}}{3}\,\,(tm)\end{array} \right.\).
Với \(t = - \frac{{10}}{3}\), suy ra \(q + \frac{1}{q} = - \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{q^2} - 10q + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Vì q > 1 nên q = 3.
Cho cấp số nhân (un) có công bội q và thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 49\left( {\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}} \right)\\{u_1} + {u_3} = 35\end{array} \right.\)
Tính P = u1 + 4q2.
Đáp án: 29.
Nếu u1, u2, u3, u4, u5 là một cấp số nhân với công bội q thì \(\frac{1}{{{u_1}}},\frac{1}{{{u_2}}},\frac{1}{{{u_3}}},\frac{1}{{{u_4}}},\frac{1}{{{u_5}}}\) cũng tạo thành cấp số nhân với công bội \(\frac{1}{q}\).
Do đó, từ giả thiết ta có:
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = u1(1 + q + q2 + q3 + q4)
\(\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}} = \frac{1}{{{u_1}}}\left( {1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{{{q^2}}} + \frac{1}{{{q^3}}} + \frac{1}{{{q^4}}}} \right)\)
Suy ra u1(1 + q + q2 + q3 + q4) = 49 .\(\frac{1}{{{u_1}}}\left( {1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{{{q^2}}} + \frac{1}{{{q^3}}} + \frac{1}{{{q^4}}}} \right)\)
Chia cả 2 vế cho (1 + q + q2 + q3 + q4) ta được:
\({u_1} = \frac{{49}}{{{u_1}{q^4}}} \Leftrightarrow u_1^2 \cdot {q^4} = 49 \Leftrightarrow {\left( {{u_1}{q^2}} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {u_1}{q^2} = \pm 7\)
Với u1q2 = −7 = u3. Thay vào \({u_1} + {u_3} = 35\) ta được: u1 – 7 = 35 ⇔ u1 = 42. Suy ra \({q^2} = - \frac{7}{{42}}\) (vô lý).
Với u1q2 = 7. Thay vào \({u_1} + {u_3} = 35\), ta được: u1 + 7 = 35 ⇔ u1 = 28 => q = \(\frac{1}{2}\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 28\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 28\\q = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Khi đó u1 + 4q2 = 28 + 4.\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)= 29.
Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng \(\frac{1}{2}\), công bội bằng \(\frac{1}{4}\). Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
Đáp án: 2048.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{4}\\\frac{1}{2} = {u_7} = {u_1}{q^6} = \frac{{{u_1}}}{{{4^6}}}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = \frac{{{4^6}}}{2} = 2048\).
Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Đáp án: 17.
Ta có: 32805 = un = u1qn – 1 = 5.3n – 1 ⇔ 3n – 1 = 6561 = 38 ⇔ n = 9.
Vậy u9 là số hạng chính giữa của cấp số nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
