Bài tập Công bội, số hạng đầu và số hạng tổng quát của cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
(un) là cấp số nhân có công bội q = –2;
\({\rm{B}}{\rm{. }}{u_n} = - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\);
\({\rm{C}}{\rm{. }}{u_n} = \frac{{{u_{n + 1}} + {u_{n - 1}}}}{2};n \ge 2\);
\[{\rm{D}}{\rm{. }}{u_n} = \sqrt {{u_{n + 1}} \cdot {u_{n - 1}}} \,\,\left( {{\rm{n}} \ge 2} \right){\rm{.}}\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{2}{u_n}\) nên \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{2}\) không đổi
⇒ (un) là cấp số nhân có công bội \({\rm{q}} = \frac{1}{2}\) .
Dãy số (un) có số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).
2;
–2;
–4;
16.
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất của cấp số nhân ta có :
\(u_2^2 = {u_1} \cdot {u_3}{\rm{ hay }}{4^2} = {u_1}.8\)\( \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2\) công bội \({\rm{q}} = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.\)
96;
48;
72;
84.
Đáp án đúng là: A
Theo đầu bài ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_6} = 102}\\{{u_1} + {u_5} = 51}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^5} = 102}\\{{u_1} + {u_1} \cdot {q^4} = 51}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot \left( {q + {q^5}} \right) = 102 \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (1) và (2) vế chia vế ta được (u1 ≠ 0)
\(\frac{{q + {q^5}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{102}}{{51}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {\rm{q}} + {{\rm{q}}^5} = 2\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) \Leftrightarrow {\rm{q}}\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) - 2\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow ({\rm{q}} - 2)\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{q}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {u_1} = \frac{{51}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{51}}{{17}} = 3\).
Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là : u6 = u1 . q5 = 3 . 25 = 96.
115;
120;
135;
150.
Đáp án đúng là: B
Nếu ta viết thêm 4 số nữa vào giữa hai số 243 và 1 thì ta được cấp số nhân có 6 số hạng trong đó số hạng đầu tiên là: u1 = 243 và số hạng thứ 6 là u6 = 1 .
Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 243}\\{{u_6} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 243}\\{{u_1}{q^5} = 1}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 243}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 243}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)
Do đó; u2 = 81; u3 = 27; u4 = 9 và u5 = 3.
Tổng bốn số cần tìm là: 81+ 27 + 9 + 3 = 120.
\(\frac{2}{3}\) hoặc\(\,\frac{3}{2}\);
\(\frac{2}{5}\) hoặc \(\frac{5}{2}\);
\(\frac{3}{5}\) hoặc \(\frac{5}{3}\) ;
\(\frac{4}{5}\) hoặc \(\frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u1; u2; u3 với công bội là q.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 19}\\{{u_1} \cdot {u_2} \cdot {u_3} = 216}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_1}q + {u_1} \cdot {q^2} = 19}\\{u_2^3 = {6^3}\left( {do\;{u_1} \cdot {u_3} = u_2^2} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19}\\{{u_2} = {u_1} \cdot q = 6}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19 \,\, (*)}\\{{u_1} = \frac{6}{q}}\end{array}} \right.\)
Thay \({u_1} = \frac{6}{q}\) vào (*) được:
\(\frac{6}{q} \cdot \left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19 \Rightarrow 6\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19q\)
\[ \Leftrightarrow 6{{\rm{q}}^2} - 13{\rm{q}} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{2}{3}}\\{q = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\]
• Với \[q = \frac{2}{3} \Rightarrow {u_1} = 9,{u_2} = 6,{u_3} = 4\];
• Với \[q = \frac{3}{2} \Rightarrow {u_1} = 4,{u_2} = 6,{u_3} = 9.\]
3 hoặc \[\frac{1}{3}\];
2 hoặc \[\frac{1}{2}\];
4 hoặc \[\frac{1}{4}\];
5 hoặc \(\frac{1}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) + {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = 11}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{82}}{{11}} + {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = 11}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{39}}{{11}} \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Từ (1) và (2) vế chia vế ta được: \[\frac{{q + {q^2} + {q^3}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{39}}{{82}}\]
\[ \Leftrightarrow 82\left( {{\rm{q}} + {{\rm{q}}^2} + {{\rm{q}}^3}} \right) = 39\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow - 39{q^4} + 82{q^3} + 82{q^2} + 82q - 39 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 3}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\].
0;
1;
3;
2.
Đáp án đúng là: B
Trước tiên; ta đi tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số.
Khi đó từ giả thiết ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{u_1} + {u_5}} \right) + \left( {{u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^3} = 11 - \frac{{82}}{{11}} = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1} + {u_1} \cdot {q^4} = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{39}}{{11}} \,\, (1)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Từ (1) và (2) chia vế ta được: \[\frac{{q + {q^2} + {q^3}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{39}}{{82}}\]
\[ \Leftrightarrow - 39{q^4} + 82{q^3} + 82{q^2} + 82q - 39 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 3}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\].
• Với \[q = \frac{1}{3} \Rightarrow {u_1} = \frac{{81}}{{11}}\].
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[{u_n} = \frac{{81}}{{11}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\]
Để số hạng thứ n thuộc khoảng \[\left( {\frac{1}{2}\,;\,\,1} \right)\] thì
\[\frac{1}{2} < \frac{{81}}{{11}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{11}}{{162}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} < \frac{{11}}{{81}}\]
Û n = 3 nên có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.
• Với \[{\rm{q}} = 3 \Rightarrow {u_1} = \frac{1}{{11}}\] .
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[{u_n} = \frac{1}{{11}} \cdot {3^{n - 1}}\].
Để số hạng thứ n thuộc khoảng thì
\[\frac{1}{2} < \frac{1}{{11}} \cdot {3^{n - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{11}}{2} < {3^{n - 1}} < 11\] Û n = 3 nên có một số hạng của dãy thỏa mãn.
Như vậy, trong cả 2 trường hợp chỉ có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.
3 hoặc \[\frac{1}{3}\];
2 hoặc \[\frac{1}{2}\];
4 hoặc \[\frac{1}{4}\];
1.
Đáp án đúng là: B
Theo giả thiết ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_3} + {u_4} = \frac{{35}}{2}}\\{{u_1} \cdot {u_5} = 25}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^3} = \frac{{35}}{2} \,\, (1)}\\{{u_1} \cdot {u_1} \cdot {q^4} = 25 \,\, (2)}\end{array}} \right.\]
Từ (2) \[ \Leftrightarrow {\left( {{u_1} \cdot {q^2}} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^2} = 5\] (vì ui > 0)
\[ \Rightarrow {u_1} = \frac{5}{{{q^2}}}\] thay vào (1) ta được:
\[\frac{5}{{{q^2}}}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{35}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 10.\left( {{\rm{q}} + {{\rm{q}}^2} + {{\rm{q}}^3}} \right) = 35{{\rm{q}}^2}\]
\[ \Leftrightarrow 10{q^3} - 25{q^2} + 10q = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 0\left( {loai} \right)\\q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]
• Với q = 2 thì \[{u_1} = \frac{5}{4}\];
• Với \[q = \frac{1}{2}\] thì u1 = 20.
5;
–5;
8;
9.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65}\\{{u_1} + {u_7} = 325}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^4} = 65}\\{{u_1} + {u_1} \cdot {q^6} = 325}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right) = 65{\rm{ (1) }}}\\{{u_1}\left( {1 + {q^6}} \right) = 325 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Lấy (2) chia (1) vế chia vế ta được: \[\frac{{1 + {q^6}}}{{1 - {q^2} + {q^4}}} = \frac{{325}}{{65}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 + {q^2}} \right)\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right)}}{{1 - {q^2} + {q^4}}} = 5 \Leftrightarrow 1 + {{\rm{q}}^2} = 5\]
\[ \Leftrightarrow {q^2} = 4\] nên \[q = \pm 2\]
• Với q = 2 thay vào (2) ta được u1 = 5.
• Với q = −2 thay vào (2) ta được u1 = 5.
Như vậy, trong cả hai trường hợp ta có: u1 = 5.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
4 hoặc 120;
4 hoặc 160;
5 hoặc 160;
6 hoặc 360.
Đáp án đúng là: C
Theo giả thiết ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_6} = 165}\\{{u_3} + {u_4} = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_1}{q^5} = 165}\\{{u_1}{q^2} + {u_1}{q^3} = 60}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {1 + {q^5}} \right) = 165 \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {{q^2} + {q^3}} \right) = 60 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:
\[\frac{{1 + {q^5}}}{{{q^2}(1 + q)}} = \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow \frac{{(1 + q)\left( {1 - q + {q^2} - {q^3} + {q^4}} \right)}}{{{q^2}(1 + q)}} = \frac{{11}}{4}\]
\[ \Leftrightarrow 4\left( {1 - q + {q^2} - {q^3} + {q^4}} \right) = 11{q^2}\]
\[ \Leftrightarrow 4{q^4} - 4{q^3} - 7{q^2} - 4q + 4 = 0\]
Chia cả hai vế của phương trình trên cho q2 ≠ 0 ta được:
\[\frac{{4{q^4}}}{{{q^2}}} - \frac{{4{q^3}}}{{{q^2}}} - \frac{{7{q^2}}}{{{q^2}}} - \frac{{4q}}{{{q^2}}} + \frac{4}{{{q^2}}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow 4\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) - 4\left( {q + \frac{1}{q}} \right) - 7 = 0(*)\]
Đặt\[t = q + \frac{1}{q} \Rightarrow {t^2} = {\left( {q + \frac{1}{q}} \right)^2} \Rightarrow {q^2} + \frac{1}{{{q^2}}} = {t^2} - 2\].
Điều kiện: | t | ≥ 2.
Khi đó phương trình (*) trở thành:
\[4\left( {{{\rm{t}}^2} - 2} \right) - 4{\rm{t}} - 7 = 0 \Leftrightarrow 4{{\rm{t}}^2} - 4{\rm{t}} - 15 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{5}{2}}\\{t = - \frac{3}{2}\,\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\]
* Với \[t = \frac{5}{2} \Leftrightarrow q + \frac{1}{q} = \frac{5}{2}\]\[ \Leftrightarrow 2{q^2} - 5q + 2 = 0 \Leftrightarrow q = 2{\rm{ }}\]hoặc \[{\rm{q}} = \frac{1}{2}\].
• \[q = 2 \Rightarrow {u_1} = \frac{{165}}{{1 + {q^5}}} = \frac{{165}}{{{1^2} + {2^5}}} = 5\];
• \[q = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = \frac{{165}}{{1 + {q^2}}} = \frac{{165}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}} = 160.\]
Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.
\({u_1} = \frac{6}{5};q = 2\).
\({u_1} = \frac{3}{5},q = - 2\).
\({u_1} = \frac{6}{5};q = - 2\).
\({u_1} = \frac{3}{5},q = 2\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({u_1} = \frac{3}{5} \cdot {2^{1 - 1}} = \frac{3}{5}\) và \({u_2} = \frac{3}{5} \cdot {2^{2 - 1}} = \frac{6}{5} \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.\)
Vậy \({u_1} = \frac{3}{5},q = 2\).
3.
-4.
\(\frac{1}{3}\).
4.
Đáp án đúng là: A
Gọi q là công bội là cấp số nhân (un).
Ta có: u2 = u1.q => \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{2} = 3\).
Vậy q = 3.
3.
-3.
2.
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = {u_1} \cdot {q^4}\\{u_2} = {u_1} \cdot q\end{array} \right.\). Do đó: \({u_5} = {u_2} \cdot {q^3} \Rightarrow {q^3} = \frac{{{u_5}}}{{{u_2}}} = \frac{{162}}{6} = 27 \Rightarrow q = 3\).
2.32018.
3.22018.
2.32019.
3.22019.
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát: un = u1.qn-1 => u2019 = u1.q2018 = 2.32018.
u1 = 24.
\({u_1} = \frac{{1334}}{{11}}\).
u1 = 96.
u1 = \(\frac{{217}}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 168\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} = 168\\{u_1} \cdot {q^3} + {u_1} \cdot {q^4} + {u_1} \cdot {q^5} = 21\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 168\\{u_1} \cdot {q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{168}}{{1 + q + {q^2}}}\\{q^3} = \frac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 96\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
Vậy u1 = 96.
Cấp số nhân có công bội \(q = - \frac{3}{2}\).
Số hạng đầu u1 = \( - \frac{8}{3}\).
Số hạng u5 = \(\frac{{27}}{2}\).
\( - \frac{{2187}}{{32}}\) là số hạng thứ 8.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: u2 = u1.q = 4; u4 = u1.q3 = 9
=> \(\frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1} \cdot q}} \Rightarrow \frac{9}{4} = {q^2} \Rightarrow q = - \frac{3}{2}\left( {q < 0} \right)\).
b) Đúng. Ta có: u2= u1q => u1 = \(\frac{{{u_2}}}{q} = \frac{4}{{ - \frac{3}{2}}} = - \frac{8}{3}\).
c) Sai. Từ b, ta có: \({u_5} = - \frac{8}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^4} = - \frac{{27}}{2}\).
d) Sai. Ta có: \({u_8} = - \frac{8}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^7} = \frac{{729}}{{16}} \ne - \frac{{2187}}{{32}}\). Do đó \( - \frac{{2187}}{{32}}\) không là số hạng thứ 8.
Công bội của cấp số nhân là q = -3.
Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là u1 = 2.
Công thức tổng quát là un = 2.(-3)n – 1.
Số 162 là số hạng thứ 6 của dãy số (un).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Từ công thức truy hồi, ta có \(q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 3\)
Vậy công bội của cấp số nhân là q = -3
b) Đúng. Do u3 = u1q2 => u1 = \(\frac{{{u_3}}}{{{q^2}}} = \frac{{18}}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = 2\).
Vậy u1 = 2.
c) Đúng. Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân, ta có: un = 2.(-3)n – 1
d) Sai. Xét \({u_6} = 2 \cdot {\left( { - 3} \right)^5} = - 486 \ne 162\).
Vậy 162 không là số hạng thứ 6 của dãy số (un).
(un) là một cấp số nhân công bội q = 5.
(vn) không phải là một cấp số nhân.
(wn) là một cấp số nhân có số hạng đầu \(w = \frac{9}{2}\).
Dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự thành cấp số nhân có công bội bằng \(\frac{1}{8}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2\left( {n + 1} \right) - 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2n - 1}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{2n - 1}}}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{2n - 3}}}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\).
Do đó, (un) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) với công bội q = 5.
b) Đúng. Ta có: \({v_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 1}} \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{n}{{n + 1}}\).
Do đó (vn) không phải là một cấp số nhân.
c) Đúng. Ta có: \(w_{n + 1}^{} = \frac{{{3^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \Rightarrow \frac{{{w_{n + 1}}}}{{{w_n}}} = \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}}{{\frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}} = \frac{3}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó (wn) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({w_1} = \frac{{{3^2}}}{{{2^1}}} = \frac{9}{2}\) với công bội \(q = \frac{3}{2}\)
d) Sai. Đặt u1 = 16; u2 = 4; u3 = 1; u4 = \(\frac{1}{4}\); u5 = \(\frac{1}{{16}}\); u6 = \(\frac{1}{{64}}\).
Ta có: \({u_2} = {u_1} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_3} = {u_2} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_4} = {u_3} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_5} = {u_5} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_6} = {u_5} \cdot \frac{1}{4}\)
Vì vậy dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \(\frac{1}{4}\).
v1 = 5.
Dãy số (vn) là một cấp số nhân có công bội q = -3.
Công thức của số hạng tổng quát vn là vn = 5.(-3)n – 1 .
Công thức của số hạng tổng quát là un là un = 3 + 5.(-3)n – 1.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: v1 = u1 – 3 = 8 – 3 = 5.
b) Sai. Ta có: vn + 1 = un+1 – 3 = 4un – 9 – 3 = 4un– 12 = 4(un – 3) = 4vn với mọi n ℕ*.
Vậy dãy số (vn) là một cấp số nhân có số hạng đầu v1 = 5, công bội q1 = 4.
c) Sai. Công thức của số hạng tổng quát vn là vn = 5.4n – 1 .
d) Sai. Ta có: un = 3 + vn = 3 + 5.4n – 1.
Vậy công thức của số hạng tổng quát là un là un = 3 + 5.4n – 1.
Công bội của cấp số nhân bằng -3.
Số hạng thứ hai bằng 12.
Số hạng tổng quát là un = -4(-3)n – 1.
u7 = 2916.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: u4 = u1q3 ⇔ 108 = -4q3 ⇔ q = -3.
Vậy công bội của cấp số nhân bằng -3.
b) Đúng. u2 = u1q = -4.(-3) = 12.
c) Đúng. Công thức tổng quát: un = u1qn – 1 = -4(-3)n – 1.
d) Sai. Ta có: u7 = -4(-3)7 – 1 = -2916.
Đáp án: 7.
Ta có: 192 = un = u1.qn - 1 = 3.(-2)n – 1 ⇔ (-1)n – 1.2n – 1 = 64 = (-1)6.26 ⇔ n = 7
Đáp án: 3.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 26\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 364\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 26\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 364\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u_1^2{\left( {1 + q + {q^2}} \right)^2} = {26^{2\,}}\,\,\,\,\,\,\,(1)\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 364\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Lấy (1) chia (2) ta được:
\(\frac{{{{\left( {1 + q + {q^2}} \right)}^2}}}{{1 + {q^2} + {q^4}}} = \frac{{{{26}^2}}}{{364}} \Leftrightarrow 3{q^4} - 7{q^3} - 4{q^2} - 7q + 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) - 7\left( {q + \frac{1}{q}} \right) - 4 = 0\)
Đặt \(t = q + \frac{1}{q},\left| t \right| \ge 2\). Phương trình trở thành 3t2 – 7t – 10 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,(loai)\\t = - \frac{{10}}{3}\,\,(tm)\end{array} \right.\).
Với \(t = - \frac{{10}}{3}\), suy ra \(q + \frac{1}{q} = - \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{q^2} - 10q + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Vì q > 1 nên q = 3.
Đáp án: 29.
Nếu u1, u2, u3, u4, u5 là một cấp số nhân với công bội q thì \(\frac{1}{{{u_1}}},\frac{1}{{{u_2}}},\frac{1}{{{u_3}}},\frac{1}{{{u_4}}},\frac{1}{{{u_5}}}\) cũng tạo thành cấp số nhân với công bội \(\frac{1}{q}\).
Do đó, từ giả thiết ta có:
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = u1(1 + q + q2 + q3 + q4)
\(\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}} = \frac{1}{{{u_1}}}\left( {1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{{{q^2}}} + \frac{1}{{{q^3}}} + \frac{1}{{{q^4}}}} \right)\)
Suy ra u1(1 + q + q2 + q3 + q4) = 49 .\(\frac{1}{{{u_1}}}\left( {1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{{{q^2}}} + \frac{1}{{{q^3}}} + \frac{1}{{{q^4}}}} \right)\)
Chia cả 2 vế cho (1 + q + q2 + q3 + q4) ta được:
\({u_1} = \frac{{49}}{{{u_1}{q^4}}} \Leftrightarrow u_1^2 \cdot {q^4} = 49 \Leftrightarrow {\left( {{u_1}{q^2}} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {u_1}{q^2} = \pm 7\)
Với u1q2 = −7 = u3. Thay vào \({u_1} + {u_3} = 35\) ta được: u1 – 7 = 35 ⇔ u1 = 42. Suy ra \({q^2} = - \frac{7}{{42}}\) (vô lý).
Với u1q2 = 7. Thay vào \({u_1} + {u_3} = 35\), ta được: u1 + 7 = 35 ⇔ u1 = 28 => q = \(\frac{1}{2}\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 28\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 28\\q = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Khi đó u1 + 4q2 = 28 + 4.\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)= 29.
Đáp án: 2048.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{4}\\\frac{1}{2} = {u_7} = {u_1}{q^6} = \frac{{{u_1}}}{{{4^6}}}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = \frac{{{4^6}}}{2} = 2048\).
Đáp án: 17.
Ta có: 32805 = un = u1qn – 1 = 5.3n – 1 ⇔ 3n – 1 = 6561 = 38 ⇔ n = 9.
Vậy u9 là số hạng chính giữa của cấp số nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
