Bài tập Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
(a + b + c)(a + b – c) = a2 + b2 + c2;
(a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2;
(a + b – c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2;
(a + b + c)(a – b + c) = a2 – b2 + c2.
Đáp án đúng là: B
Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên b2 = ac.
Xét \[(a + b + c) \cdot (a - b + c) = [(a + c) + b] \cdot [(a + c) - b]\]
\[ = {(a + c)^2} - {b^2} = {a^2} + 2ac + {c^2} - {b^2}\]
\[ = {{\rm{a}}^2} + 2\;{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}\left( {{\rm{ \,vì\, ac}} = {{\rm{b}}^2}} \right)\]
\[ = {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}\].
Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
(b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a – d)2;
(b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a + d)2;
(b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a – b)2;
(b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a + b)2.
Đáp án đúng là: A
Vì a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
a.d = bc; ac = b2 và bd= c2.
Ta có: \[{\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {d - b} \right)^2}\]
\[ = {a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + {d^2} - 2bc - 2ca - 2bd\]
\[ = {a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + {d^2} - 2ad - 2{b^2} - 2{c^2}\]
\[ = {{\rm{a}}^2} - 2{\rm{ad}} + {{\rm{d}}^2} = {({\rm{a}} - {\rm{d}})^2}\].
Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = 2({a^3} + {b^3} + {c^3})\];
\[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\];
\[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = {a^3} + {b^3} + {c^3}\];
\[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Do a,b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
\[{\rm{ac}} = {{\rm{b}}^2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{c^3} = {b^2}{c^2}}\\{{a^3}c = {b^2}{a^2}}\\{{a^2}{c^2} = {b^4}}\end{array}} \right.\]
Ta có: \[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right)\]
\[ = \frac{{{b^2}{c^2}}}{a} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{c}\]
\[ = \frac{{a{c^3}}}{a} + \frac{{{b^4}}}{b} + \frac{{{a^3}c}}{c} = {a^3} + {b^3} + {c^3}\].
Cho ba số dương a,b,c lập thành cấp số nhân. Dãy số nào dưới đây lập thành cấp số nhân?
\[\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} ;\,\sqrt[3]{{abc}};\]
\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} ;\,\sqrt[3]{{abc}};\]
\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}(ab + bc + ca)} ;\,\sqrt[3]{{3abc}};\]
\[\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {ab + bc + ca} ;\,\sqrt[3]{{abc}}.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ac = b2.
Ta chứng minh:
\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right) \cdot \sqrt[3]{{abc}} = {\left[ {\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} } \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\sqrt[3]{{{b^3}}} = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)b = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {ab + {b^2} + cb} \right) = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\] (luôn đúng)
Cho (un) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k (m < k). Mệnh đề nào sau đây đúng?
uk – m . uk + m = uk2;
uk – m . uk = (uk + m)2;
uk . uk + m = (uk – m)2;
uk – m . uk + m = (uk + 1)2.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{u_{k - m}} \cdot {u_{k + m}} = {u_1} \cdot {q^{k - m - 1}} \cdot {u_1} \cdot {q^{k + m - 1}}\]
\[ = u_1^2 \cdot {q^{2k - 2}} = {\left( {{u_1} \cdot {q^{k - 1}}} \right)^2} = u_k^2\].
Cho 3 số a,b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2;
(a2 – b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2;
(a2 – b2)(b2 – c2) = (ab + bc)2;
(a2 + b2)(b2 + c2) = (ab – bc)2.
Đáp án đúng là: A
Do 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có: b = aq và c = aq2.
\[\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = \left( {{a^2} + {a^2}{q^2}} \right)\left( {{a^2}{q^2} + {a^2}{q^4}} \right)\]
\[ = {a^2}\left( {1 + {q^2}} \right) \cdot {a^2}{q^2}\left( {1 + {q^2}} \right) = {a^4}{q^2}{\left( {1 + {q^2}} \right)^2}\](1)
\[{(ab + bc)^2} = {\left( {a \cdot aq + aq \cdot a{q^2}} \right)^2} = {\left( {{a^2}q + {a^2}{q^3}} \right)^2}\]
\[ = {\left[ {{a^2}q\left( {1 + {q^2}} \right)} \right]^2} = {a^4}{q^2}{\left( {1 + {q^2}} \right)^2}\] (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra \[\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {(ab + bc)^2}\].
Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn:\[a + b + c = \frac{{3\pi }}{4}{\rm{.}}\] Dãy số nào dưới đây lập thành cấp số nhân?
tan a; tan b; tan c;
cos a; cos b; cos c;
sin a; sin b; sin c;
Đáp án đúng là: A
Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b.
Lại có: \[a + b + c = \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow 3b = \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow b = \frac{\pi }{4}\].
Suy ra \[a + c = \frac{\pi }{2}\].
Ta có: \[\tan a \cdot \tan c = \tan a \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\]
\[ = \tan a \cdot \cot a = 1 = {\tan ^2}\frac{\pi }{4} = {\tan ^2}b\].
Do đó tan a. tan c = tan2b.
Vậy tan a; tan b; tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.
Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q ≠ 0 và a ≠ 0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[\frac{{{b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{b}{{ab}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\];
\[\frac{{{b^4}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{ab}} - \frac{{ac}}{{ab}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\];
\[\frac{{{b^4}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{ab}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\];
\[\frac{{{b^4}}}{{{a^2}{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{ab}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^4}{b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\]
Đáp án đúng là: C
Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
\[{{\rm{b}}^2} = {\rm{ac \,và\, }}{{\rm{b}}^4} = {{\rm{a}}^2} \cdot {{\rm{c}}^2}\]
\[ \Rightarrow {b^2} - ac = 0\,\,{\rm{và\, }}{b^4} - {a^2}{c^2} = 0\quad (*)\]
Ta chứng minh: \[\frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{ab}} = \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{ab}} - \frac{{ac}}{{ab}}\quad (1)\]
Từ (*), lại có: \[\frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = \frac{{{b^4} - {a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = 0\] ( 2)
Và \[\frac{{{b^2}}}{{ab}} - \frac{{ac}}{{ab}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{ab}} = 0\] (3)
Từ (1),(2) và (3) ta có điều phải chứng minh.
Cho bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chọn đáp án đúng.
ac + 2ad + bd = (b + c)2;
ac + 2ad + bd = (a + c)2;
ac + 2ad + bd = (a – c)2;
ac + 2ad + bd = (b – c)2.
Đáp án đúng là: A
Do bốn số a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
ac = b2; bd = c2 và ad = bc (1)
\[ \Rightarrow {\rm{ac}} + {\rm{bd}} + {\rm{ad}} = {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} + {\rm{bc}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ac}} + {\rm{bd}} + {\rm{ad}} + {\rm{bc}} = {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} + {\rm{bc}} + {\rm{bc}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ac}} + {\rm{bd}} + 2{\rm{ad}} = {\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)^2}\] (vì ad = bc)
Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chọn đáp án đúng.
\[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{2}{{b + d}};\]
\[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{1}{{b + d}};\]
\[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{b + d}};\]
\[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{b + d}}.\]
Đáp án đúng là: B
Gọi 4 số a, b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q.
Ta có: c = a.q2; b = a.q; d = aq3 và d = cq nên \[\frac{c}{d} = \frac{1}{q}\].
Khi đó: \[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{c}{d} \cdot \frac{1}{{a + c}} = \frac{1}{q} \cdot \frac{1}{{a + a \cdot {q^2}}} = \frac{1}{{aq\left( {1 + {q^2}} \right)}} \,\, (1)\]
Và\[\frac{1}{{b + d}} = \frac{1}{{aq + a{q^3}}} = \frac{1}{{aq\left( {1 + {q^2}} \right)}} \,\, (2)\]
Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{1}{{b + d}}\].
Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
\(x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(x = \pm \frac{1}{3}\).
\(x = \pm \sqrt 3 \).
\(x = \pm 3\).
Đáp án đúng là: A
Để 2x - 1; x; 2x + 1 lập thành cấp số nhân thì (2x - 1)(2x + 1) = x2 ⇔ 3x2 = 1 ⇔ \(x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2x, x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là:
{0; 1}.
\(\emptyset \).
{1}.
{0}.
Đáp án đúng là: C
Gọi q là công bội của cấp số nhân.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x = xq\\x + 3 = 2xq\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = xq\\x + 3 = 2 \cdot 2x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Giả sử \(\frac{{\sin \alpha }}{6},\cos \alpha ,\tan \alpha \) theo một thứ tự đó là một cấp số nhân. Tính \(\cos 2\alpha \).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: cos ≠ 0 ⇔ ≠ \(\frac{\pi }{2} + k\pi \) (k ∈ ℤ).
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: \({\cos ^2}\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{6} \cdot \tan \alpha \Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}\)
\( \Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 0 \Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}\).
Ta có: \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{2}\).
Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là -2; x; -18; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 54\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\y = - 26\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = - 54\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = 54\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Để -2; x; -18; y lập thành cấp số nhân thì \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{ - 18}}{x}\\\frac{{ - 18}}{x} = \frac{y}{{ - 18}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 6\\y = \frac{{324}}{x} = \pm 54\end{array} \right.\).
Vậy (x; y) = (6; 54) hoặc (x; y) = (-6; -54).
Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; x; y; 320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 25\\y = 125\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 80\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 45\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 90\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Để 5; x; y; 320 lập thành cấp số nhân thì \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\q = \frac{x}{5}\\y = {u_3} = {u_1}{q^2} = \frac{{{x^2}}}{5}\\320 = {u_4} = {u_1}{q^3} = \frac{{{x^3}}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 80\end{array} \right.\).
Với x là số nguyên dương, ba số 2x, 3x + 3, 5x + 5 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Có 2 giá trị của x để dãy số được lập thành cấp số nhân.
Công bội của câp số nhân q = \(\frac{5}{3}\).
Số hạng tiếp theo của cấp số nhân là \(\frac{{250}}{3}\).
Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là \(\frac{{2882}}{9}\).
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Ba số 2x, 3x + 3, 5x + 5 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên 2x(5x + 5) = (3x + 3)2 ⇔ x2 - 8x - 9 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 9\end{array} \right.\).
Do x nguyên dương nên x = 9.
Vậy chỉ có 1 giá trị của x để dãy số được lập thành cấp số nhân
b) Đúng. Với x = 9, suy ra q = \(\frac{{3 \cdot 9 + 3}}{{2 \cdot 9}} = \frac{{30}}{{18}} = \frac{5}{3}\).
c) Đúng. Số hạng tiếp theo của câp số nhân đó là: \(\left( {5 \cdot 9 + 5} \right) \cdot \frac{5}{3} = \frac{{250}}{3}\).
d) Đúng. Cấp số nhân có u1 = 29 = 18 và công bội q = \(\frac{5}{3}\).
Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_5} = {u_1}\frac{{{q^5} - 1}}{{q - 1}} = 18 \cdot \frac{{{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^5} - 1}}{{\frac{5}{3} - 1}} = \frac{{2882}}{9}\).
Ba số dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai dương và có tổng bằng 30. Biết x + 2; y + 2; z + 18 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Công bội của cấp số nhân bằng 3.
Giá trị T = x2 + z2 = 328.
Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân bằng 484.
Số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 6561.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x + z = 2y.
Kết hợp với giả thiết x + y + z = 30, suy ra 3y = 30 ⇔ y = 10.
Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y - d = 10 - d và z = y + d = 10 + d (d > 0).
x + 2; y + 2; z + 18 là cấp số nhân hay 12 - d; 12, 28 + d.
Áp dụng tính chất của cấp số nhân, ta có:
(12 - d)(28 + d) = 122 ⇔ d2 + 16d - 192 = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = - 24\end{array} \right. \Rightarrow d = 8\,\,\,\left( {d > 0} \right) \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {2;10;18} \right)\).
Do đó x + 2 = 4, y + 2 = 12; z + 18 = 36. Do đó: dãy số 4, 12, 36 là cấp số nhân với u1 = 4 và công bội q = 3.
b) Đúng. Ta có: T = x2 + z2 = 22 + 182 = 328.
c) Đúng. Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_5} = 4 \cdot \frac{{{3^5} - 1}}{{3 - 1}} = 484\).
d) Sai. Ta có: u8 = u1q7 = 437 = 8748.
Vậy số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 6561.
Cho cấp số nhân (un) có u2 = 6 và u3 = 18. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Công bội của cấp số nhân là q = 3.
uk - 1 + uk + 1 = \(u_k^2\), 2 k ∈ ℕ*.
Số hạng đầu của cấp số nhân là u1 = 3.
Tổng 10 số hạn đầu tiên của cấp số nhân đã cho S10= 59048.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Công bội của câp số nhân là \(q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = 3\).
b) Sai. Do (un) là cấp số nhân nên uk - 1 uk + 1 = \(u_k^2\), 2 k ∈ ℕ*.
c) Sai. Số hạng đầu của cấp số nhân là u1 = \(\frac{{{u_2}}}{q} = 2\).
d) Đúng. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho \({S_{10}} = 2 \cdot \frac{{1 - {3^{10}}}}{{1 - 3}} = 59048\).
Ba số phân biệt có tổng là 434 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 3, thứ 10, thứ 45 của một cấp số cộng. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Công sai của cấp số cộng là d = 8.
Số hạng đầu của cấp số cộng là u1 = 2.
Cần 20 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 1480.
Gọi x, y, z lần lượt là các số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Giá trị của x là 14.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c)Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi ba số đó là x, y, z. Do ba số là các số hạng thứ 3, thứ 10, thứ 45 của cấp số cộng nên ta có: x = u3; y = u10= x + 7d; z = u45 = x + 42d.
Theo giả thiết, ta có: x + y + z = x + x + 7d + x + 42d = 3x + 49d = 434.
Mặt khác, do x, y, z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:
y2 = xz ⇔ (x + 7d)2 = x(x + 42d) ⇔ d(-4x + 7d) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}d = 0\\ - 4x + 7d = 0\end{array} \right.\).
Với d = 0, ta có: x = y = z = \(\frac{{434}}{3}\) (loại do 3 số phân biệt)
Với -4x + 7d = 0, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4x + 7d = 0\\3x + 49d = 434\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14\\d = 8\end{array} \right.\).
b) Sai. Ta có: u1 = u3 - 2d = 14 - 28 = -2.
c) Đúng. Sn = 1480 ⇔\(\frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = 1480 \Leftrightarrow \frac{{n\left[ {2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( {n - 1} \right) \cdot 8} \right]}}{2} = 1480\)
\( \Leftrightarrow 2960 = n\left( { - 4 + 8n - 8} \right)\)
\( \Leftrightarrow 8{n^2} - 12n - 2960 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\\n = - \frac{{37}}{2}\end{array} \right.\) => n = 20.
Cần 20 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 1480.
d) Đúng. Giá trị của x = 14.
Cho dãy số (un) là một cấp số nhân có 20 số hạng, biết số hạng đầu của cấp số nhân đó là 2 và số hạng thứ 20 là -220.
Công bội của cấp số nhân đó là q = 2.
Số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó bằng 210.
Tổng 19 số hạng đầu của cấp số nhân đó bằng \(\frac{2}{3} \cdot \left( {1 + {2^{18}}} \right)\)
(u5)2 = u4u6.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Vì dãy số (un) là một cấp số nhân có u1 = 2, u20 = -220.
u20 = u1q19 => 2q19 = -220 => q19 = -219 => q = -2.
b) Sai. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó là u10 = u1q9 = 2(-2)9 = -210.
c) Sai. Tổng của 19 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:
\[{S_{19}} = \frac{{2\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{19}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = \frac{2}{3}\left( {1 + {2^{19}}} \right)\].
d) Đúng. Ta có: u4u6 = \(\frac{{{u_5}}}{q} \cdot {u_5} \cdot q = {u_5} \cdot {u_5} = {\left( {{u_5}} \right)^2}\)
Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Đáp án: 32.
Gọi 2; 8; x; 128 lần lượt là u1, u2, u3, u4.
Để 2; 8; x; 128 lập thành cấp số nhân thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\\\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{2} = \frac{x}{8}\\\frac{{128}}{x} = \frac{x}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\{x^2} = 1024\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\\left[ \begin{array}{l}x = 32\\x = - 32\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 32\)
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x; y. Tìm 5y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6.
Đáp án: 216.
Cấp số nhân x - 6; x và y có công bội q = 6 nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = x - 6,q = 6\\x = {u_2} = {u_1}q = 6\left( {x - 6} \right)\\y = {u_3} = 6x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\left( {x - 6} \right)\\y = 6x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36}}{5}\\y = \frac{{216}}{5}\end{array} \right.\).
Do đó, 5y = \(5 \cdot \frac{{216}}{5} = 216\)
Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x - 1; y + 2; x - 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x2 + y2.
Đáp án: 40.
Theo giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right) = 2\left( {5x + 2y} \right)\\\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3y} \right) = {\left( {y + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\\left( {3y - 1} \right)\left( {3y - 3y} \right) = {\left( {y + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\0 = {\left( {y + 2} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = - 2\end{array} \right.\). Suy ra x2 + y2 = 40.
Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x; 2y; 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 0,33.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = xq;z = x{q^2}\\x + 3z = 2\left( {2y} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x + 3x{q^2} = 4xq \Rightarrow x\left( {3{q^2} - 4q + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\3{q^2} - 4q + 1 = 0\end{array} \right.\)
Nếu x = 0 => y = z = 0 => công sai của cấp số cộng: x; 2y; 3z bằng 0 (vô lí).
Nếu 3q2 - 4q + 1 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}q = 1\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow q = \frac{1}{3}\left( {q \ne 1} \right)\).
Cho dãy số tăng a, b, c (c ∈ ℤ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b + 8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b + 8, c + 64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức P = a - b + 2c.
Đáp án: 64.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}ac = {b^2}\\a + c = 2\left( {b + 8} \right)\\a\left( {c + 64} \right) = {\left( {b + 8} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac = {b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a - 2b = 16 - c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\ac + 64a = {\left( {b + 8} \right)^2}\,\,(3)\end{array} \right.\]
Thay (1) vào (3) ta được: b2 + 64a = b2 + 16b + 64 ⇔ 4a - b = 4 (4)
Kết hợp (2) với (4) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 16 - c\\4a - b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{c - 8}}{7}\\b = \frac{{4c - 60}}{7}\end{array} \right.\,\,(5)\)
Thay (5) vào (1) ta được: 7(c - 8)c = (4c - 60)2 ⇔ 9c2 - 424c + 3600 = 0
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 36\\c = \frac{{100}}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow c = 36\left( {c \in \mathbb{Z}} \right)\).
Với c = 36 => a = 4, b = 12 => P = 4 - 12 + 72 = 64.
