Đề kiểm tra Cấp số nhân lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn B

Ta có cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có:  uk=16uk+1=36⇒q=uk+1uk=94→uk+2=uk+1q=81

Chọn B

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có: \({u_4} = {u_1}.{q^3} = ( - 4){.5^3} =  - 500\).

Vậy \({u_4} =  - 500\).

Chọn D

Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi \[\left\{ \begin{array}{l}b \ge 0\\b =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2  =  - 1\end{array} \right..\]\[\] Vậy không có giá trị nào của b.

Chọn C

Điều kiện: \(\cos \alpha  \ne 0 \Leftrightarrow \alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: \({\cos ^2}\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{6}.{\mkern 1mu} \tan \alpha \)\( \Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha  = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}\).

\( \Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = 0\)\( \Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2}\).

Ta có: \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 1 =  - \frac{1}{2}\).

Chọn D

Gọi \(q\) \(\left( {q \ne 0} \right)\) là công bội của cấp số nhân \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\). Khi đó \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{1}{c}\), \(\frac{1}{d}\), \(\frac{1}{e}\) là cấp số nhân có công bội \(\frac{1}{q}\).

Theo đề Câu ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d + e = 40\\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} = 10\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 40\\\frac{1}{a}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{q}} \right)}^5}}}{{1 - \frac{1}{q}}} = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 40\\\frac{1}{a}.\frac{{{q^5} - 1}}{{{q^4}\left( {q - 1} \right)}} = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {a^2}{q^4} = 4\).

Ta có \(S = abcde\)\( = a.aq.a{q^2}.a{q^3}.a{q^4}\)\( = {a^5}{q^{10}}\).

Nên \({S^2} = {\left( {{a^5}{q^{10}}} \right)^2}\)\( = {\left( {{a^2}{q^4}} \right)^5} = {4^5}\).

Suy ra \(\left| S \right| = \sqrt {{4^5}}  = 32\).

Chọn A

Ta có \(\frac{{{3^n} - 1}}{{{3^{n - 1}}}} = 3\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right) = {S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\left( {1 - q} \right)\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right..\) Khi đó

\({u_5} = {u_1}{q^4} = \frac{2}{{{3^4}}}\)

Chọn D

\(\left\{ \begin{array}{l} - 6 = {u_2} = {u_1}q\\ - 486 = {u_6} = {u_1}{q^5} = {u_1}q.{q^4} =  - 6.{q^4}\end{array} \right. \Rightarrow {q^4} = 81 = {3^4} \Rightarrow q = 3.\)

Chọn C.

Ba số: \(2x - 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2}\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2}\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} = 1\)\( \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

Chọn B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).

Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân công bội \(q,\) thì

Dãy \({u_1}{\rm{; }}{u_3}{\rm{; }}{u_5}{\rm{; }}...\)là cấp số nhân công bội \({q^2}.\)

Dãy \(3{u_1}{\rm{; }}3{u_2};{\rm{ }}3{u_3}{\rm{; }}...\)là cấp số nhân công bội \(2q.\)

Dãy \(\frac{1}{{{u_1}}};{\rm{ }}\frac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\frac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }}...\)là cấp số nhân công bội \(\frac{1}{q}.\)

Dãy \({u_1} + 2;{\rm{ }}{u_2} + 2;{\rm{ }}{u_3} + 2;{\rm{ }}...\)không phải là cấp số nhân. Chọn D.

Cấp số nhân \(2;{\rm{ }}\,8;{\rm{ }}\,x;{\rm{ }}\,128\) theo thứ tự đó sẽ là \({u_1};\,\,{u_2};\,\,{u_3};\,\,{u_4}\), ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\\\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{2} = \frac{x}{8}\\\frac{{128}}{x} = \frac{x}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\{x^2} = 1024\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\\left[ \begin{array}{l}x = 32\\x =  - 32\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 32\).

Gọi công bội của CSN bằng \(q\). Suy ra \({u_4} = {u_2}.{q^2}\)\( \Rightarrow q =  \pm 2\). Do CSN có các số hạng không âm nên \(q = 2\).

Ta có \({S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{12}}}}{{1 - q}}\)\( = 3.\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}}\)\( = 3\left( {{2^{12}} - 1} \right)\).

a) Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho.

 Ta có: u1+u5=51u2+u6=102⇔u1+u1q4=51u1q+u1q5=102⇔u11+q4=51(1)u1q1+q4=102(2)

Nhận xét: Nếu \({u_1} = 0\) hay \(q = 0\) thì (1) và (2) đều không thoả mãn, vì vậy ta có \({u_1}q \ne 0\). Chia theo vế (2) cho (1), ta được: \(q = 2\).

Thay \(q = 2\) vào (1) suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}\).

b) \({u_4} = {3.2^3} = 24\)

c) Xét \({u_n} = 12288 \Leftrightarrow {3.2^{n - 1}} = 12288 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 13\).

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

d) Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3.\left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\).

a) Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{( - 7)}^{n + 1}} \cdot {5^{3(n + 1) - 1}}}}{{{{( - 7)}^n} \cdot {5^{3n - 1}}}} = \frac{{( - 7) \cdot {5^2}}}{{{5^{ - 1}}}} = - 7 \cdot {5^3} = - 875\) không đổi.

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = - 875\).

b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = - 5{u_n}}\end{array}} \right.\). Khi đó \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - 5{u_n}}}{{{u_n}}} = - 5\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = - 5\).

c) Ta có: \({u_2} = u_1^2 = {2^2} = 4;{u_3} = u_2^2 = {4^2} = 16;{u_4} = u_3^2 = {16^2} = 256\)

Khi đó: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{2} = 2;\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{{256}}{{16}} = 16\)

Nhận thấy: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}(2 \ne 16)\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.

d) Ta có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \left( { - \frac{1}{4}} \right):\left( { - \frac{1}{8}} \right) = 2;\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = 1:\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 2\)

Nhận thấy: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}(2 \ne - 2)\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.

Ngày thứ nhất Aladin ước 3 điều.

Ngày thứ hai Aladin ước 2.3 điều.

Ngày thứ ba Aladin ước \(2.2.3 = {2^2}.3\) điều.

Ngày thứ tư Aladin ước \(2 \cdot {2^2} \cdot 3 = {2^3} \cdot 3\) điều. ...

Ngày thứ 10 Aladin ước \({2^9}.3\) điều.

Vậy sau 10 ngày Aladin đã ước: \(3\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + \ldots + {2^9}} \right) = 3\left( {\frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}}} \right) = 3069\) điều.

a) b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} - {u_2} = 54}\\{{u_5} - {u_3} = 108}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} - {u_1}q = 54}\\{{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 108}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 54}\\{{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 108}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{{54}}{{q({q^2} - 1)}}}\\{\frac{1}{q} = \frac{{54}}{{108}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{{54}}{{2({2^2} - 1)}}}\\{q = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 9}\\{q = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

c) Ta có: \({S_n} = 4599 \Leftrightarrow \frac{{{u_1} \cdot \left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599 \Leftrightarrow \frac{{9 \cdot \left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\)

\( \Leftrightarrow - 9.\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599 \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511 \Leftrightarrow {2^n} = 512 \Leftrightarrow n = 9\)

Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.

d) Ta có: \({u_k} = 576 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^{k - 1}} = 576 \Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576 \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64 \Leftrightarrow k - 1 = 6 \Leftrightarrow k = 7\)

Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

Số 1024 là số hạng thứ 11.

Ba số \(2x - 3,x,2x + 3\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi \(\frac{x}{{2x - 3}} = \frac{{2x + 3}}{x} \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \)

Do cấp số nhân có \({u_1} = 64\) và công bội \(q = \frac{{ - 32}}{{64}} = - \frac{1}{2}\) nên số hạng thứ 10 của cấp số nhân là \({u_{10}} = {u_1}{q^9} = - \frac{1}{8}\).

Giả sử rằng các số hạng của cấp số nhân đều là số dương.

Theo giả thiết ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} = 125}\\{{u_{10}} = \frac{{125}}{{64}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = 125}\\{{u_1}{q^9} = \frac{{125}}{{64}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Chia vế theo vế của hai phương trình ta có \({q^6} = \frac{1}{{64}} \Leftrightarrow q = \pm \frac{1}{2}\).

Với \(q = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = 1000 \Rightarrow {u_{14}} = {u_1}{q^{13}} = \frac{{125}}{{1024}}\).

Với \(q = - \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = - 1000\) (loại).

Vậy \({u_{14}} = \frac{{125}}{{1024}}\).

Số vi khuẩn mỗi giờ tạo thành cấp số nhân với \({u_1} = 5000\) và công bội \[q = 1.08\]

Công thức tổng quát: \({u_n} = 5000 \times {1.08^{n - 1}}\)

Sau 5 giờ số vi khuẩn là: \({u_5} = 5000 \times {1.08^{5 - 1}} = 5161\) (con vi khuẩn)

Gọi \({u_n}\) là số triệu đồng mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ \(n\) (vào đầu tháng thứ \(n\) ). Kí hiệu \(a = 0,5\) triệu đồng, \(r = 0,5\% \).

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là \({u_1} = a\).

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là \({u_2} = {u_1}(1 + r) + a\).

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

\({u_3} = {u_2}(1 + r) + a = a{(1 + r)^2} + a(1 + r) + a.\)

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng \(n\) là

\({u_n} = a{(1 + r)^{n - 1}} + a{(1 + r)^{n - 2}} + \ldots + a(1 + r) + a = a\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{{(1 + r) - 1}} = a\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{r}\)

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được \({u_{180}} = a\frac{{{{(1 + r)}^{180}} - 1}}{r} = 145,41\) (triệu đồng). Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là \(3 + 180:12 = 18\) tuổi.