Đề kiểm tra Cấp số nhân lớp 11 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
\(128; - 64;32; - 16;8\).
\(\sqrt 2 ;2;2\sqrt 2 ;4;8\).
\(5;6;7;8;9\).
\(15;5;1;\frac{1}{5};\frac{1}{{25}}\).
Chọn A
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = - 2\). Giá trị \({u_5}\) là:
\[ - 32\].
\[ - 16\].
\[ - 6\].
32.
Chọn D
Viết bốn số hạng xen giữa các số 1 và \[ - 243\] để được một cấp số nhân có 6 số hạng. Bốn số hạng đó lần lượt là:
\( - 3; - 9; - 27; - 81\).
\(3; - 9;27; - 81\).
\(3;9;27;81\).
\( - 3;9; - 27;81\).
Chọn D
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 729\). Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:
\(\frac{{1 - {3^8}}}{2}\).
\(\frac{{{3^8} - 1}}{6}\).
\(\frac{{{3^8} - 1}}{2}\).
\(\frac{{1 - {3^8}}}{6}\).
Chọn B
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
\(2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}16;{\rm{ }} \ldots \)
\(1;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }} \cdots \)
\({1^2};{\rm{ }}{2^2};{\rm{ }}{3^2};{\rm{ }}{{\rm{4}}^2};{\rm{ }} \cdots \)
\(a;{\rm{ }}{a^3};{\rm{ }}{a^5};{\rm{ }}{a^7};{\rm{ }} \cdots \;\left( {a \ne 0} \right).\)
Chọn C
Xét đáp án C: 12; 22; 32; 42; ⋯→u2u1=4=94=u3u2
Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân.
Nhận xét: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n}\not = 0\) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_n} = a.{q^n}\,\), tức là các số hạng của nó đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số \(q\) (công bội), các số hạng liên tiếp (kể từ số hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cách đều nhau. Ví dụ
là cấp số nhân và \({u_n} = {2^n}.\)
là cấp số nhân và \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\)
là cấp số nhân và \({u_n} = {a^{2n - 1}} = \frac{1}{a}.{\left( {{a^2}} \right)^n}.\)
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
\(1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}8;{\rm{ }} \cdots \)
\(3;{\rm{ }}{3^2};{\rm{ }}{3^3};{\rm{ }}{3^4};{\rm{ }} \cdots \)
\(4;{\rm{ }}2;{\rm{ }}\frac{1}{2};{\rm{ }}\frac{1}{4};{\rm{ }} \cdots \)
\(\frac{1}{\pi };{\rm{ }}\frac{1}{{{\pi ^2}}};{\rm{ }}\frac{1}{{{\pi ^4}}};{\rm{ }}\frac{1}{{{\pi ^6}}};{\rm{ }} \cdots \)
Chọn D
Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}.\)
Xét đáp án D: 1π; 1π2; 1π4; 1π6; ⋯→u2u1=1π=1π2=u3u2
Dãy số \({u_n} = 3 + {3^n}.\) là một cấp số nhân với
Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.
Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.
Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.
Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.
Chọn B
Cấp số nhân: 1; 2; 4; 8; 16; 32;…→u1=1q=u2u1=2
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội lần lượt là \[{u_1}\] và \[q\]. Công thức nào sau đây dùng để dùng để tính tổng \[S\] của cấp số nhân trên?
\[S = \frac{{1 - q}}{{{u_1}}}\].
\[S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\].
\[S = \frac{{q - 1}}{{{u_1}}}\].
\[S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\].
Chọn D
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có số hạng tổng quát là \({u_n} = {3.2^{n + 1}}{\rm{ }}\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Chọn kết luận đúng:
Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu \[{u_1} = 12\].
Dãy số là cấp số cộng có công sai \[d = 2\].
Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu \[{u_1} = 6\].
Dãy số là cấp số nhân có công bội \[q = 3\].
Chọn A
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có số hạng tổng quát là \({u_n} = {3.2^{n + 1}}{\rm{ }}\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right) \Rightarrow {u_{n + 1}} = {3.2^{n + 2}}\).
Xét thương \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{3.2}^{n + 2}}}}{{{{3.2}^{n + 1}}}} = 2 = const\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là một cấp số nhân có công bội \[q = 2\]và có số hạng đầu là \[{u_1} = {3.2^{1 + 1}} = 12\].
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
\[1\,,\,2\,,3\,,\,4\,,5\,,\,6\,,...\].
\[2\,,\,4\,,6\,,\,8\,,16\,,\,32,...\].
\[ - 2\,,\, - 3\,, - 4\,,\, - 5\,, - 6\,,\, - 7\,,...\].
\[1\,,\,2\,,4\,,\,8\,,16\,,\,32\,,...\].
Chọn D
Nhận thấy \[\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\]nên các dãy số ở đáp án A, B và C không phải là cấp số nhân.
Riêng đối với dãy \[1\,,\,2\,,4\,,\,8\,,16\,,\,32\,,...\]ở đáp án D thỏa mãn: \({u_{n + 1}} = 2.{u_n}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy dãy số \[1\,,\,2\,,4\,,\,8\,,16\,,\,32\,,...\]là cấp số nhân với \({u_1} = 1\)và công bội \(q = 2\).
Trong các dãy số sau, đây số nào là cấp số nhân?
\({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}} - 1\).
\({u_n} = n + \frac{1}{3}\).
\({u_n} = {n^2} + \frac{1}{3}\).
Chọn A
Dãy số \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 3\), công bội \(q = \frac{1}{3}\).
Cho cấp số nhân \[\left( {{U_n}} \right)\] có \[{U_1} = \frac{1}{2}\], \[{U_2} = 16\]. Khi đó công bội \[q\] là
\[64\].
\[8\].
\[4\].
\(32\).
Chọn D Cấp số nhân \[\left( {{U_n}} \right)\] có công bội là \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{16}}{{\frac{1}{2}}} = 32\].
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Các mệnh đề sau đúng/sai?
a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
b) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
c) Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
d) Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
Ví dụ dãy \( - 5\); \( - 2\); \(1\); \(3\); … là dãy số có \(d = 3 > 0\) nhưng không phải là dãy số dương.
Cho các dãy số sau đây: \({u_n} = {(\sqrt 5 )^{2n - 3}}\); \({v_n} = \frac{2}{n}\);\({w_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}\) và dãy số hữu hạn gồm các số hạng: \(16;4;1;\frac{1}{4};\frac{1}{{16}};\frac{1}{{64}}\). Khi đó:
a) \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân công bội \(q = 5\).
b) \(\left( {{v_n}} \right)\) không phải là một cấp số nhân
c) \(\left( {{w_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \(w = \frac{9}{2}\)
d) Dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \(\frac{1}{8}\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = {(\sqrt 5 )^{2(n + 1) - 3}} = {(\sqrt 5 )^{2n - 1}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(\sqrt 5 )}^{2n - 1}}}}{{{{(\sqrt 5 )}^{2n - 3}}}} = {(\sqrt 5 )^2} = 5,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) với công bội \(q = 5\).
b) Ta có: \({v_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 1}} \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{n}{{n + 1}}\) (tỉ số này còn phụ thuộc vào \(n\)).
Do đó \(\left( {{v_n}} \right)\) không phải là một cấp số nhân.
c) Ta có: \({w_{n + 1}} = \frac{{{3^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \Rightarrow \frac{{{w_{n + 1}}}}{{{w_n}}} = \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}}{{\frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}} = \frac{3}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó \(\left( {{w_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({w_1} = \frac{{{3^2}}}{{{2^1}}} = \frac{9}{2}\) với công bội \(q = \frac{3}{2}\)
d) Đặt \({u_1} = 16;{u_2} = 4;{u_3} = 1;{u_4} = \frac{1}{4};{u_5} = \frac{1}{{16}};{u_6} = \frac{1}{{64}}\).
Ta có: \({u_2} = {u_1} \cdot \frac{1}{4};{u_3} = {u_2} \cdot \frac{1}{4};{u_4} = {u_3} \cdot \frac{1}{4};{u_5} = {u_4} \cdot \frac{1}{4};{u_6} = {u_5} \cdot \frac{1}{4}\).
Vì vậy dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \(\frac{1}{4}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} + {u_6} = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array}} \right.\). Khi đó:
a) Số hạng \({u_1} = 2\)
b) Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân, thì ba số \(q;1;3\) tạo thành một cấp số cộng
c) Số \( - 486\) là số hạng thứ 5 của cấp số nhân
d) Tổng của 21 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng \(5230176602\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Gọi \(q\) là công bội và \({S_{21}}\) là tổng của 21 số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} + {u_6} = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{u_3} + {u_5}} \right)q = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{180q = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = - 3}\\{{u_1}{{( - 3)}^2} + {u_1}{{( - 3)}^4} = 180}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = - 3}\\{{u_1}(9 + 81) = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = - 3}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
Số \( - 486 = 2.{( - 3)^5}\) nên số \( - 486\) là số hạng thứ 6
Suy ra \({S_{21}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{21}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{( - 3)}^{21}}} \right]}}{{1 - ( - 3)}} = \frac{{1 + {3^{21}}}}{2}\).
Cho tứ giác \(ABCD\) có bốn góc tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 . Khi đó:
a) Số đo góc nhỏ nhất bằng \(24^\circ \)
b) Số đo góc lớn nhất bằng \(196^\circ \)
c) Tổng số đo góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng \(220^\circ \)
d) Số đo góc lớn nhất trừ cho số đo góc nhỏ nhất bằng \(168^\circ \)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Đặt \({u_1};{u_2};{u_3};{u_4}\) theo thứ tự là số đo bốn góc của tứ giác \(ABCD\), gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \({u_1};{u_2};{u_3};{u_4} \Rightarrow q = 2\).
Ta có: u1+u2+u3+u4=360°q=2⇔u1⋅1−q41−q=360°q=2
⇔u1⋅1−241−2=360°q=2⇔u1=24°q=2.
Vậy số đo bốn góc của tứ giác \(ABCD\) là: 24°;48°;96°;192°
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3\) và \(q = \frac{2}{3}\). Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
\({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 3 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{{3^{n - 2}}}}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3\) và \(q = \frac{2}{3}\). Tìm \({u_5}\).
\({u_5} = {u_1} \cdot {q^4} = - 3 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} = - \frac{{16}}{{27}}\).
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_5} - {u_2} = 78}\\{{u_6} - {u_3} = 234.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là \(q\).
Theo giả thiết, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_5} - {u_2} = 78}\\{{u_6} - {u_3} = 234}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^4} - {u_1} \cdot q = 78}\\{{u_1} \cdot {q^5} - {u_1} \cdot {q^2} = 234}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot q \cdot \left( {{q^3} - 1} \right) = 78}\\{{u_1} \cdot {q^2} \cdot \left( {{q^3} - 1} \right) = 234.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Suy ra \(q = 3,{u_1} = 1\).
Cho ba số \(\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Do ba số \(\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(\frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{ - b - a}}{{b - a}} = \frac{{b + c}}{{b - c}} \Rightarrow {b^2} = ac \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\).
Suy ra ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên \(10\% \). Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).
1912 triệu đồng.
Bác Năm gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100 triệu đồng với hình thức lãi kép, kì hạn một năm với lãi suất \(8\% \) / năm. Tính số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận được sau 10 năm. (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền.)
Khoảng 215892500 đồng.
