Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Số tiền du khách đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u₁ = 20000 và công bội q = 2.

Do khách thua 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

\({S_9} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000\)

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là u₁₀ = u₁.q⁹ = 10240000.

Ta có: u₁₀ - S₉ = 20000 > 0 nên du khách thắng 20000 đồng.

Đáp án đúng là: B

Gọi a₀, a₁, a₂,...,a₁₁ lần lượt là diện tích mặt trên của đế tháp, tầng 1, tầng 2,.. tầng 11.

Khi đó ta có: a₀ = 12288, a_n = \(\frac{1}{2}\)a_{n - 1} = a₀\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\,\,\,(n = 1,2,...,11)\)

Diện tích mặt trên tầng trên cùng là: \({a_{11}} = {a_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11}} = 12288{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11}} = 6\)(m²).

Đáp án đúng là: A

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (u_n) với công bội q = 2.

Ta có: u₆ = 64000 => u₁q⁵ = 64000 => u₁ = 2000.

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là u_n+1.

u_n+1 = 2048000 => u₁.qⁿ = 2048000 => 2000.2ⁿ = 2048000 => n = 10.

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Doanh thu của công ty trong tháng 7: T₇ = 6.(1 + 10%);

Doanh thu của công ty trong tháng 8: T₈ = 6.(1 + 10%)²;.

...

Doanh thu của công ty trong tháng 12: T₁₂ = 6.(1 + 10%)⁶;.

Do đó, theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là:

T = 20 + 6.(1 + 10%) + 6.(1 + 10%)² + ... + 6.(1 + 10%)⁶

= 20 + 6.(1 + 10%).\(\frac{{{{\left( {1 + 10\% } \right)}^6} - 1}}{{10\% }} \approx 70,9\).

Đáp án đúng là: C

Gọi S_n là giá tiền khoan n mét giếng.

Ta có:

S₂ = S₁ + S₁r = S₁(1 + r)

S₃ = S₂ + S₂r= S₂(1 + r) = S₁(1 + r)²

.....

S₃₀ = S₁(1 + r)²⁹

Nhận thấy dãy số S_n là cấp số nhân với S₁ = 200 000 đồng và công bội q = 1 + r = 1 + 7% = 1,07.

Áp dụng tổng n số hạng đầu tiên của câp số nhân là \({S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\) vào cấp số nhân có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 200000\\q = 1,07\end{array} \right.\] thì \({S_{30}} = 200000 \cdot \frac{{1 - 1,{{07}^{30}}}}{{1 - 1,07}} = 18892157,26\).

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Số hạt thóc ở 64 ô là một cấp số nhân có u₁ = 1; q = 2. Khi đó số hạt thóc ở ô thứ 8 là u₈ = u₁q⁷ = 2⁷.

b) Sai. Khi đó số hạt thóc ở ô thứ 8 là u₈ = u₁q⁷ = 2⁷.

c) Sai. Tổng số hạt thóc của 64 ô là: S₆₄ = 1 + 2 + 2² + ... + 2⁶³ = 2⁶⁴ - 1 hạt thóc, do đó tổng khối lượng thóc trên 64 ô trên bàn cờ là: \(\left( {{2^{64}} - 1} \right) \cdot \frac{{20}}{{100}} \approx 369 \cdot {10^{16}}(g) = 3690\) tỉ tấn

Vậy tổng khối lượng thóc của 64 ô trên bàn cờ vua là 3690 tỉ tấn.

d) Sai. Khối lượng thóc của 32 ô đầu tiên là: \(\left( {{2^{32}} - 1} \right) \cdot \frac{{20}}{{100}} = 858993459 \approx 859\) (tấn).

Cần 86 tàu để chở 859 tấn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ngày đầu có u₁ = 1 lá sen. Do số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước nên ta có cấp số nhân (u_n) với u₁= 1 và công bội q = 3.

Vì ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen nên ta có: u₁₀ = u₁q⁹ = 1.3⁹ = 3⁹ lá sen.

Ngày đầu có v₁ = 9 lá sen.

Do số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước nên ta có cấp số nhân (v_m) với v₁ = 9 và công bội q = 3.

Khi đó sau m ngày thì số lá sen là v_m = v₁.q^{m - 1} = 9.3^{m - 1}.

Ta có 9.3^{m - 1} = 3⁹ \(\Leftrightarrow \) 3^{m + 1} = 3⁹ \(\Leftrightarrow \) m + 1 = 9 \(\Leftrightarrow \) m = 8.

Vậy nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 8 hồ sẽ đầy lá sen.

b) Đúng. Số lá sen lập thành cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3 và công bội q = 3.

c) Sai. Số lá sen lập thành cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3 và công bội q = 3.

d) Sai. Nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 8 hồ sẽ đầy lá sen.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Gọi số sách đọc được ngày thứ u_n. Ta có: u₁ = 1, u₂ = 2u₁ = 2, u₃ = 2u₂ = 4, u₄ = 2u₃ = 8, u₅ = 2u₄ = 16.

Vậy ngày thứ 5 đọc được trang 16 trang sách.

b) Đúng. Ngày thứ nhất đọc được 1 trang => u₁ = 1.

Từ ngày thứ hai mỗi ngày đọc số trang gấp đôi số trang đã đọc của ngày liền trước đó. => u_n = 2u_{n - 1} (n > 1).

Do đó, số trang đọc được lập thành cấp số nhân với công bội là 2.

Số hạng tổng quát: u_n = u₁q^{n - 1} = u₁2^{n - 1}.

c) Sai. Số trang sách đọc được ngày thứ 6 là: u₆ = u₁2⁵ = 32.

Số sách đọc được 5 ngày trước đó là: \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 31\).

d) Sai. Số trang sách đọc được trong 1 tuần: \({S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^7}} \right)}}{{1 - 2}}\)= 127 trang.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì cứ sau 20 phút thì số tế bào tăng gấp đôi nên u_n = 2u_{n - 1} . Vậy dãy u₁, u₂, ..., u_n lập thành cấp số nhân với công bội q = 2.

b) Đúng. Số tế bào sau 20 phút đầu tiên là u₁ = 1000.2 = 2000 tế bào.

c) Sai. Đổi 5 giờ = 300 phút. Cứ 20 phút tế bào E.Coli nhân đôi một lần nên ta có 15 lần nhân đôi.

d) Đúng. Số tế bào E.Coli sau 15 lần nhân đôi là u₁₅ = u₁q¹⁴ = 2000.2¹⁴ = 32768000 tế bào.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u₁ = 800 - 800.4% = 800(1 - 4%) = 768 triệu đồng.

b) Sai. Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u₂ = 800 - 800.4% - 800(1 - 4%).4% = 800(1 - 4%)² = 737,28 triệu đồng.

c) Đúng. Gọi u_n là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số u_n tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u₀ = 800 triệu đồng, công bội q = 1 - 4%.

Khi đó công thức tổng quát để tính u_n = 800(1 - 4%)ⁿ.

d) Sai. Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là: u₁₀ = 800(1 - 4%)¹⁰ ≈ 531,87 (triệu đồng).

Đáp án: 1022.

Gọi số dưa hấu mà ông A thu hoạch được là x quả (x > 0).

Số quả dưa hấu mà người thứ nhất mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}x + 1 = \frac{{x + 2}}{2}\).

Số quả dưa hấu mà người thứ hai mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 2}}{2}} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{{2^2}}}\)

......

Số quả dưa hấu mà người thứ chín mua và được tặng là: \(\frac{{x + 2}}{{{2^9}}}\).

Khi đó: \(\frac{{x + 2}}{2} + \frac{{x + 2}}{{{2^2}}} + .... + \frac{{x + 2}}{{{2^9}}} = x \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) = x\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {x + 2} \right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = x \Leftrightarrow \frac{{511}}{{512}}\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow x = 1022\)

Vậy ông A thu hoạch được 1022 quả dưa hấu.

Đáp án: 103.

Theo giả thiết, ta có công thức tăng trưởng dân số P_n = P₀.(1 + r)ⁿ.

Trong đó P₀ = 97,58 và r = 1,14%; n = 2025 - 2020 = 5.

Vậy từ năm 2020 đến năm 2025 thì dân số nước ta là: 97,58.1,0114⁵ ≈ 103 (triệu người).

Đáp án: 325.

Gọi u_n là số tiền máy tính sử dụng năm thứ n.

Giá trị máy tính giảm 10% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó.

Do đó, u_n là cấp số nhân với u₁ = 680 nghìn đồng và công bội q = 1 - 0,1 = 0,9 nghìn đồng.

Giá trị của chiếc máy tính sau 7 năm sử dụng là: u₈ = 680.0,9⁷ ≈ 325,242 nghìn đồng.

Đáp án: 6,33.

Ta có: u₁ = 20;

u₂ = 20 - 20.25% = 20.(1 - 25%) = 20.75%;

u₃ = 20.75%.75% = 20.(75%)²;

....

Suy ra dãy (u_n) lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 20 và công bội q = 75%.

Do đó, số hạng tổng quát là u_n = 20.(75%)^{n - 1} độ C.

Vậy sau 4 giờ thì nhiệt độ của khay là u₅ = 20.(75%)⁴ ≈ 6,33°C

Đáp án: 81,4.

Đặt u₀ = 5.10⁵ và r = 5% = 0,05. Gọi u_n là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ n.

Khi đó, ta có: u_{n + 1} = u_n + u_nr = u_n(1 + r), n ∈ ℕ

Suy ra (u_n) là cấp số nhân với số hạng đầu là u₀ và công bội là q = 1 + r.

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) là u_n = u₀(1 + r)ⁿ, n ∈ ℕ

Vậy sau 10 năm, khu rừng sẽ có: u₁₀ = u₀(1 + r)¹⁰ = 5.10¹⁰.(1 + 0,05)¹⁰ = 5.(10,5)¹⁰ ≈ 81,4 tỷ m³.