Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288m2). Diện tích mặt trên cùng là
6 m2;
8 m2;
10 m2;
12 m2.
Đáp án đúng là: A
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội:
và .
Khi đó diện tích mặt trên cùng là:
Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?
120;
121;
122;
200.
Đáp án đúng là: B
Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:
M1 = 100 + 100.10% = 110.
Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:
M2 = 110 + 110.10% = 121.
Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?
108.(0,007)5 (đồng);
108.(1,007)5 (đồng);
108.(0,007)6 (đồng);
108.(1,007)6 (đồng).
Đáp án đúng là: D
Số tiền ban đầu là M0 = 108 (đồng)
Đặt r = 0,7% = 0,007
Số tiền sau tháng thứ nhất là: (đồng)
Số tiền sau tháng thứ hai là: (đồng)
Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là: M6 = M0(+ r)6 (đồng)
Do đó .
Vậy sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về 108.(1,007)6 (đồng).
Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2% Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?
10 320 nghìn người;
3 000 nghìn người;
2 227 nghìn người;
2 300 nghìn người.
Đáp án đúng là: C
Đặt P0 = 2 000 000 = 2 . 106 và r = 1,2% = 0,012.
Gọi Pn là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.
Ta có: .
Suy ra (Pn) là một cấp số nhân với số hạng đầu P0 và công bội q = 1+ r.
Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:
.
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 1012 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
1024.1012 tế bào;
256.1012 tế bào;
512.1012 tế bào;
512.1013 tế bào;
Đáp án đúng là: C
Lúc đầu có 1022 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u1 = 1022 và công bội q = 2.
Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào.
Ta có u10 là số tế bào nhận được sau 3 giờ.
Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là:
Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?
7;
8;
6.
Đáp án đúng là: C
•Số lá sen ngày đầu là 1 = 30;
•Số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 31;
•Số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 32;
...
•Số lá sen ngày thứ 10 là 39.
Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 39 lá.
+ Nếu ngày đầu có u1 = 9 lá thì ngày thứ 2 có : 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...
Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u1 = 9; q = 3.
Số hạng thứ n là \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}} = {{\rm{u}}_1} \cdot {{\rm{q}}^{{\rm{n}} - 1}} = 9 \cdot {3^{{\rm{n}} - 1}}.\]
Để hồ đầy lá sen thì cần 39 lá
\[ \Rightarrow {9.3^{{\rm{n}} - 1}} = {3^{10}} \Rightarrow {\rm{n}} + 1 = 9 \Rightarrow {\rm{n}} = 8\].
Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.
Cho n đường tròn đồng tâm O. Biết rằng r1 = 2; chu vi đường tròn (O; r2) có gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r1);...; chu vi đường tròn (O; rn) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; rn – 1).Chu vi đường tròn (O; rn) gấp 256 lần chu vi đường tròn (O; r1). Hỏi rn – 1 là giá trị nào sau đây?
256;
128;
64;
512.
Đáp án đúng là: A
Ta có chu vi đường tròn có bán kính r là: P = 2πr.
Do chu vi đường tròn (O; r2) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r1)
\[ \Rightarrow 2\pi {r_2} = 2.2\pi {r_1} \Leftrightarrow {{\rm{r}}_2} = 2{{\rm{r}}_1}.\]
…
Do chu vi đường tròn ( O; rn) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; rn – 1) nên:
\[2\pi {r_n} = 2.2\pi {r_{n - 1}} \Leftrightarrow {{\rm{r}}_{\rm{n}}} = 2{{\rm{r}}_{{\rm{n}} - 1}}.\]
Þ Dãy số r1; r2; r3....; rn là cấp số nhân có u1 = r1 = 2 và công bội q = 2.
\[ \Rightarrow {{\rm{r}}_{\rm{n}}} = {{\rm{r}}_1} \cdot {2^{{\rm{n}} - 1}} = 2.256 = 512\]
\[ \Rightarrow {r_{n - 1}} = {r_n}:2 = 256\].
Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?
Hòa vốn;
Thua 20 000 đồng;
Thắng 20 000 đồng;
Thua 40 000 đồng.
Đáp án đúng là: C
Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u1 = 20 000 và công bội q = 2.
Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:
\[{S_9} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {p^9}} \right)}}{{1 - p}} = 10\,\,220\,\,000\]
Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là \[{u_{10}} = {u_1} \cdot {p^9} = 10\,\,240\,\,000\].
Ta có \[{u_{10}} - {S_9} = 20\,\,000 > 0\] nên du khách thắng 20 000 đồng.
Vậy du khác trên thắng 20 000 đồng.
Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7 000 000 đồng một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.
Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)
53 296 000 đồng;
53 297 000 đồng;
53 298 000 đồng;
53 290 000 đồng
Đáp án đúng là: C
Đặt a = 7 000 000 đồng;\[m = 20\% \,;\,\,n = 0,3\% \,;\,\,t = 7\% .\]
Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là \[{T_1} = am{(1 + n)^1}\].
Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
\[{T_2} = \left( {{T_1} + am} \right)\left( {1 + n} \right) = am{\left( {1 + n} \right)^2} + am{\left( {1 + n} \right)^1}.\]
Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
\[{T_{36}} = {\mathop{\rm am}\nolimits} {\left( {1 + n} \right)^{36}} + {\mathop{\rm am}\nolimits} {\left( {1 + n} \right)^{35}} + \ldots + am\left( {1 + n} \right)\]
\[ = am \cdot \left( {1 + n} \right)\frac{{{{\left( {1 + n} \right)}^{36}} - 1}}{n}\]
Thay số ta được \[{T_{36}} \approx 53\,\,297\,\,648,73{\rm{ }}\] (đồng).
Vậy sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là 53 298 000 đồng.
Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: ''Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai,… cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô''. Hỏi người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 100 hạt thóc nặng 20 gam).
370 tỉ tấn;
369 tỉ tấn;
360 tỉ tấn;
36 tỉ tấn.
Đáp án đúng là: B
Tổng số hạt thóc phần thưởng là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân với u1 = 1, q = 2.
Suy ra: \[{S_{64}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {2^{64}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{64}} - 1\] (hạt thóc)
Quy đổi: 100 hạt thóc nặng 20 gam suy ra 50 000 000 hạt nặng 1 tấn.
Suy ra 264 − 1 hạt thóc nặng \[\frac{{{2^{64}} - 1}}{{50\,\,000\,\,000}}\] (tấn) \[ \approx \] 369 (tỉ tấn).
Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền cọc trước. Người đó thua 9 lần liên liếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách trên thắng hay thua bao nhiêu?
Hòa vốn.
Thắng 20000 đồng.
Thua 20000 đồng.
Thua 40000 đồng
Đáp án đúng là: B
Số tiền du khách đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u1 = 20000 và công bội q = 2.
Do khách thua 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:
\({S_9} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000\)
Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là u10 = u1.q9 = 10240000.
Ta có: u10 - S9 = 20000 > 0 nên du khách thắng 20000 đồng.
Người ta thiết kế một cái tháp 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12288 m2. Tính diện tích mặt trên cùng.
8 m2.
6 m2.
10 m2.
12 m2.
Đáp án đúng là: B
Gọi a0, a1, a2,...,a11 lần lượt là diện tích mặt trên của đế tháp, tầng 1, tầng 2,.. tầng 11.
Khi đó ta có: a0 = 12288, an = \(\frac{1}{2}\)an - 1 = a0\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\,\,\,(n = 1,2,...,11)\)
Diện tích mặt trên tầng trên cùng là: \({a_{11}} = {a_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11}} = 12288{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11}} = 6\)(m2).
Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000 con.
10.
11.
26.
50.
Đáp án đúng là: A
Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (un) với công bội q = 2.
Ta có: u6 = 64000 => u1q5 = 64000 => u1 = 2000.
Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un+1.
un+1 = 2048000 => u1.qn = 2048000 => 2000.2n = 2048000 => n = 10.
Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.
Do ảnh hưởng của dịch Covid 19 nên doanh thu 6 tháng đầu năm của công ty A không đạt kế hoạch. Cụ thể, doanh thu 6 tháng đầu năm đạt 20 tỷ đồng, trong đó tháng 6 đạt 6 tỷ đồng. Để đảm bảo doanh thu cuối năm đạt được kết hoạch năm, công ty đưa ra chỉ tiêu: kể từ tháng 7 mỗi tháng phải tăng doanh thu so với tháng kề trước 10%. Hỏi theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được bao nhiêu tỷ đồng (làm tròn đến một chữ số thập phân)?
56,9.
70,9.
66,3.
80,3.
Đáp án đúng là: B
Ta có:
Doanh thu của công ty trong tháng 7: T7 = 6.(1 + 10%);
Doanh thu của công ty trong tháng 8: T8 = 6.(1 + 10%)2;.
...
Doanh thu của công ty trong tháng 12: T12 = 6.(1 + 10%)6;.
Do đó, theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là:
T = 20 + 6.(1 + 10%) + 6.(1 + 10%)2 + ... + 6.(1 + 10%)6
= 20 + 6.(1 + 10%).\(\frac{{{{\left( {1 + 10\% } \right)}^6} - 1}}{{10\% }} \approx 70,9\).
Nhà bạn Minh cần khoan một cái giếng nước. Biết rằng giá tiền của mét khoan đầu tiên là 200 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá tiền của mỗi mét sau tăng thêm 7% so với giá triền của mét khoan ngay trước nó. Hỏi nếu nhà bạn An khoan cái giếng 30 m thì hết bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn)?
18895000 đồng.
1422851 đồng.
18892000 đồng.
18892200 đồng.
Đáp án đúng là: C
Gọi Sn là giá tiền khoan n mét giếng.
Ta có:
S2 = S1 + S1r = S1(1 + r)
S3 = S2 + S2r= S2(1 + r) = S1(1 + r)2
.....
S30 = S1(1 + r)29
Nhận thấy dãy số Sn là cấp số nhân với S1 = 200 000 đồng và công bội q = 1 + r = 1 + 7% = 1,07.
Áp dụng tổng n số hạng đầu tiên của câp số nhân là \({S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\) vào cấp số nhân có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 200000\\q = 1,07\end{array} \right.\] thì \({S_{30}} = 200000 \cdot \frac{{1 - 1,{{07}^{30}}}}{{1 - 1,07}} = 18892157,26\).
Tương truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: “Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt thóc, ô thứ hai thì gấp đôi ô đầu, ô thứ ba thì lại gấp đôi ô thứ hai,.. cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt ở 64 ô.” Biết rằng khối lượng của 100 hạt thóc là 20 gam.
Số hạt thóc ở 64 ô là một cấp số nhân có u1 = 2; q = 2.
Số hạt thóc ở ô thứ tám là 28.
Tổng khối lượng thóc của 64 ô trên bàn cờ vua là 364 tỉ tấn.
Giả sử người đó muốn chở số thóc ở trên 32 ô đầu tiên về bằng tàu thủy, biết rằng mỗi chuyến tàu chở tối đa 10 tấn hàng hóa. Khi đó, người đó cần tối thiểu 85 chuyến tàu để chở hết số thóc đó.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Số hạt thóc ở 64 ô là một cấp số nhân có u1 = 1; q = 2. Khi đó số hạt thóc ở ô thứ 8 là u8 = u1q7 = 27.
b) Sai. Khi đó số hạt thóc ở ô thứ 8 là u8 = u1q7 = 27.
c) Sai. Tổng số hạt thóc của 64 ô là: S64 = 1 + 2 + 22 + ... + 263 = 264 - 1 hạt thóc, do đó tổng khối lượng thóc trên 64 ô trên bàn cờ là: \(\left( {{2^{64}} - 1} \right) \cdot \frac{{20}}{{100}} \approx 369 \cdot {10^{16}}(g) = 3690\) tỉ tấn
Vậy tổng khối lượng thóc của 64 ô trên bàn cờ vua là 3690 tỉ tấn.
d) Sai. Khối lượng thóc của 32 ô đầu tiên là: \(\left( {{2^{32}} - 1} \right) \cdot \frac{{20}}{{100}} = 858993459 \approx 859\) (tấn).
Cần 86 tàu để chở 859 tấn.
Trong một hồ sen, số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen.
Nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 8 hồ sẽ đầy lá sen.
Số lá sen lập thành cấp số nhân (un) với u1 = 1 và công bội q = 3.
Số lá sen lập thành cấp số cộng (un) với u1= 1 và công sai d = 3.
Nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 9 hồ sẽ đầy lá sen.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ngày đầu có u1 = 1 lá sen. Do số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước nên ta có cấp số nhân (un) với u1= 1 và công bội q = 3.
Vì ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen nên ta có: u10 = u1q9 = 1.39 = 39 lá sen.
Ngày đầu có v1 = 9 lá sen.
Do số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước nên ta có cấp số nhân (vm) với v1 = 9 và công bội q = 3.
Khi đó sau m ngày thì số lá sen là vm = v1.qm - 1 = 9.3m - 1.
Ta có 9.3m - 1 = 39 \(\Leftrightarrow \) 3m + 1 = 39 \(\Leftrightarrow \) m + 1 = 9 \(\Leftrightarrow \) m = 8.
Vậy nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 8 hồ sẽ đầy lá sen.
b) Đúng. Số lá sen lập thành cấp số nhân (un) với u1 = 3 và công bội q = 3.
c) Sai. Số lá sen lập thành cấp số nhân (un) với u1 = 3 và công bội q = 3.
d) Sai. Nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 8 hồ sẽ đầy lá sen.
Một người lên kế hoạch để đọc một cuốn sách có 256 trang như sau: ngày thứ nhất đọc 1 trang sách, từ ngày thứ hai mỗi ngày đọc số trang gấp đôi số trang đã đọc của ngày liền trước đó.
Ngày thứ 5, người đó đọc 16 trang sách.
Số trang sách người đó đọc theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội là 2.
Số trang sách người đó đọc trong ngày thứ sáu bằng tổng số trang sách đã đọc trong năm ngày trước đó.
Người đó đọc hết cuốn sách trong một tuần.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Gọi số sách đọc được ngày thứ un. Ta có: u1 = 1, u2 = 2u1 = 2, u3 = 2u2 = 4, u4 = 2u3 = 8, u5 = 2u4 = 16.
Vậy ngày thứ 5 đọc được trang 16 trang sách.
b) Đúng. Ngày thứ nhất đọc được 1 trang => u1 = 1.
Từ ngày thứ hai mỗi ngày đọc số trang gấp đôi số trang đã đọc của ngày liền trước đó. => un = 2un - 1 (n > 1).
Do đó, số trang đọc được lập thành cấp số nhân với công bội là 2.
Số hạng tổng quát: un = u1qn - 1 = u12n - 1.
c) Sai. Số trang sách đọc được ngày thứ 6 là: u6 = u125 = 32.
Số sách đọc được 5 ngày trước đó là: \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 31\).
d) Sai. Số trang sách đọc được trong 1 tuần: \({S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^7}} \right)}}{{1 - 2}}\)= 127 trang.
Trực khuẩn E.Coli là loại vi khuẩn sống trong đường tiêu hóa của người. Nó có lợi ích như ngăn chặn sự tấn công của vi khuẩn vào đường tiêu hóa, kích thích hệ miễn dịch của cơ thể và một số lợi ích khác, nhưng cũng là tác nhân gây bệnh tiêu chảy. Nó sinh sản theo hình thức phân bào. Trong điều kiện thích hợp thì cứ 20 phút, số tế bào E.Coli gấp đôi. Giả sử ban đầu có 1000 tế bào E.Coli. Gọi u1, u2, u3,..;un là số tế bào E.Coli sau lần thứ nhất, thứ hai,.. thứ n phân bào. Các khẳng định su đúng hay sai?
u1, u2, ..., un lập thành cấp số nhân với công bội q = 2.
Số tế bào E.Coli sau 20 phút đầu tiên là u1 = 2000 tế bào.
Sau 5 giờ thì vi khuẩn E.Coli phân bào được 20 lần.
Trong điều kiện thích hợp thì số tế bào E.Coli sau 5 giờ 32768000 tế bào.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì cứ sau 20 phút thì số tế bào tăng gấp đôi nên un = 2un - 1 . Vậy dãy u1, u2, ..., un lập thành cấp số nhân với công bội q = 2.
b) Đúng. Số tế bào sau 20 phút đầu tiên là u1 = 1000.2 = 2000 tế bào.
c) Sai. Đổi 5 giờ = 300 phút. Cứ 20 phút tế bào E.Coli nhân đôi một lần nên ta có 15 lần nhân đôi.
d) Đúng. Số tế bào E.Coli sau 15 lần nhân đôi là u15 = u1q14 = 2000.214 = 32768000 tế bào.
Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).
Giá trị của ô tô sau 1 năm sử dụng là 768 triệu đồng.
Giá trị của ô tô sau 2 năm sử dụng là 750 triệu đồng.
Công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng là un = 800(1 - 4%)n.
Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn lại 500 triệu đồng?
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:
u1 = 800 - 800.4% = 800(1 - 4%) = 768 triệu đồng.
b) Sai. Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:
u2 = 800 - 800.4% - 800(1 - 4%).4% = 800(1 - 4%)2 = 737,28 triệu đồng.
c) Đúng. Gọi un là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.
Dãy số un tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u0 = 800 triệu đồng, công bội q = 1 - 4%.
Khi đó công thức tổng quát để tính un = 800(1 - 4%)n.
d) Sai. Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là: u10 = 800(1 - 4%)10 ≈ 531,87 (triệu đồng).
Đầu mùa thu hoạch dưa hấu, ông A đã bán cho người thứ nhất nửa số dưa hấu thu hoạch được và tặng thêm một quả, bán cho người thứ hai nửa số dưa hấu còn lại và tặng thêm 1 quả. Ông cứ tiếp tục bán như trên thì đến người thứ chín số dưa hấu của ông được bán hết. Tính số dưa hấu mà ông A thu hoạch được.
Đáp án: 1022.
Gọi số dưa hấu mà ông A thu hoạch được là x quả (x > 0).
Số quả dưa hấu mà người thứ nhất mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}x + 1 = \frac{{x + 2}}{2}\).
Số quả dưa hấu mà người thứ hai mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 2}}{2}} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{{2^2}}}\)
......
Số quả dưa hấu mà người thứ chín mua và được tặng là: \(\frac{{x + 2}}{{{2^9}}}\).
Khi đó: \(\frac{{x + 2}}{2} + \frac{{x + 2}}{{{2^2}}} + .... + \frac{{x + 2}}{{{2^9}}} = x \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) = x\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left( {x + 2} \right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = x \Leftrightarrow \frac{{511}}{{512}}\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow x = 1022\)
Vậy ông A thu hoạch được 1022 quả dưa hấu.
Theo báo cáo của Chính phủ, dân số của nước ta tính đến tháng 12 năm 2020 là 97,58 triệu đồng, nếu tỉ lệ tăng trưởng dân số trung bình hằng năm là 1,14% thì dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là bao nhiêu? (Tính theo đơn vị triệu người, làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 103.
Theo giả thiết, ta có công thức tăng trưởng dân số Pn = P0.(1 + r)n.
Trong đó P0 = 97,58 và r = 1,14%; n = 2025 - 2020 = 5.
Vậy từ năm 2020 đến năm 2025 thì dân số nước ta là: 97,58.1,01145 ≈ 103 (triệu người).
Một máy tính casio fx-580VN X mua với giá 680 nghìn đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy tính giảm 10% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị của chiếc máy tính sau 7 năm sử dụng theo đơn vị nghìn đồng. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Đáp án: 325.
Gọi un là số tiền máy tính sử dụng năm thứ n.
Giá trị máy tính giảm 10% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó.
Do đó, un là cấp số nhân với u1 = 680 nghìn đồng và công bội q = 1 - 0,1 = 0,9 nghìn đồng.
Giá trị của chiếc máy tính sau 7 năm sử dụng là: u8 = 680.0,97 ≈ 325,242 nghìn đồng.
Một khay nước có nhiệt độ 20°C được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 25% so với trước đó. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 4 giờ theo đơn vị độ C. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 6,33.
Ta có: u1 = 20;
u2 = 20 - 20.25% = 20.(1 - 25%) = 20.75%;
u3 = 20.75%.75% = 20.(75%)2;
....
Suy ra dãy (un) lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 20 và công bội q = 75%.
Do đó, số hạng tổng quát là un = 20.(75%)n - 1 độ C.
Vậy sau 4 giờ thì nhiệt độ của khay là u5 = 20.(75%)4 ≈ 6,33°C
Một khu rừng có lưu trữ lượng gỗ là 5.105 mét khối. Biết tốc độ tăng trưởng của các cây ở khu rừng đó là 5% mỗi năm. Sau 10 năm, khu rừng sẽ có trữ lượng gỗ là bao nhiêu tỷ mét khối (làm tròn đến phần mười).
Đáp án: 81,4.
Đặt u0 = 5.105 và r = 5% = 0,05. Gọi un là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ n.
Khi đó, ta có: un + 1 = un + unr = un(1 + r), n ∈ ℕ
Suy ra (un) là cấp số nhân với số hạng đầu là u0 và công bội là q = 1 + r.
Do đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) là un = u0(1 + r)n, n ∈ ℕ
Vậy sau 10 năm, khu rừng sẽ có: u10 = u0(1 + r)10 = 5.1010.(1 + 0,05)10 = 5.(10,5)10 ≈ 81,4 tỷ m3.
