Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
\[A.\frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}\];
\[B.\;{3^{30}} - 1\];
\[C.\frac{{2\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{3}\];
\[D.10 \cdot \left( {{3^{20}} - 3} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{S}} = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + \ldots + {3^{20}}\]
Nhận xét: Dãy số 3; 32; 33; 34; ... ; 320 là cấp số nhân với số hạng đầu là u1 = 3 và công bội q = 3.
Do đó, tổng 20 số hạng của dãy số là: \[S = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {3^{20}}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}\].
1
–1;
0;
20,5.
Đáp án đúng là: B
Ta có dãy số (–1); (–1)2; (–1)3; …; (–1)41 là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u1 = −1 và công bội q = −1.
Do đó \[S = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 - {{( - 1)}^{41}}} \right]}}{{1 - ( - 1)}} = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 + 1} \right]}}{{1 + 1}} = - 1\].
k = 4;
k = 5;
k = 7;
k = 6.
Đáp án đúng là: D
Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.
Ta có: \[{S_k} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^k}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)\]
Theo giả thiết, ta có: \[3\left( {{2^{\rm{k}}} - 1} \right) = 189\]
\[ \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} - 1 = 63 \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} = 64 \Leftrightarrow {\rm{k}} = 6\].
\[A.1 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\quad \];
\[B.\frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\];
\[C.3.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\];
\[D.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\].
Đáp án đúng là: B
Ta có dãy số \[\frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{{4^2}}}\,;\,\,\frac{1}{{{4^3}}}\,;\,\, \ldots \,;\,\,\frac{1}{{{4^n}}}\] theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng, với \[{u_1} = \frac{1}{4}\,;\,\,q = \frac{1}{4}\].
Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:
\[{S_n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\].
\[\frac{{10}}{{21}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
\[\frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
\[\frac{{10}}{9}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
Đáp án khác
Đáp án đúng là: B
Nhận xét: \[9\left( {5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots 5} \right)\]
\[ = 5.\left( {9 + 99 + 999 + 9999 \ldots 9} \right)\]
Do đó: \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + . + 555 \ldots 5\]
\[ = \frac{5}{9}\left( {9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9} \right)\]
\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + .. + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]\]
\[ = \frac{5}{9}\left[ {\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + .. + {{10}^n}} \right) - n} \right]\]
\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {10 \cdot \frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right] = \frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\].
Ta có 10 + 102 + 103 + ..+ 10n là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu u1 =10 và công bội q = 10.
Do đó \[10 + {10^2} + {10^3} + .. + {10^{\rm{n}}} = \frac{{10 \cdot \left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}}\].
2;
3;
4;
5.
Đáp án đúng là: A
Theo đề bài ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_n} = 728}\\{{u_n} = 486}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 728}\\{{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)}\\{{u_1} \cdot {q^n} = 486q}\end{array}} \right.\]
Thay q= 3 vào (*) ta được :
\[ \Rightarrow {{\rm{u}}_1} - 486{\rm{q}} = 728\left( {1 - q} \right)\]
\[{{\rm{u}}_1} - 486.3 = 728.(1 - 3)\]\[ \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2\]
\[\frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\];
\[\frac{{7\left( {{{10}^n} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\];
\[\frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{9}\];
\[\frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{{81}}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n\,{\rm{ số \, 7}}}\]
\[ \Leftrightarrow B = 7\left( {1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số }}\,1}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{B}{7} = 1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số\, }}1}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace {{\rm{99}}...{\rm{9 }}}_{n\,{\rm{ số\, 9}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = (10 - 1) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + \cdots + \left( {{{10}^n} - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + \cdots + {{10}^n}} \right) - (1 + 1 + \underbrace {......}_{n{\rm{ \,số\, }}1} + 1)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} - n\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{9}\]
\[ \Leftrightarrow B = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\].
Vậy \[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n{\rm{ \,số\, 7}}} = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\].
\[\frac{{3\,\,280}}{{6\,\,561}}\];
\[\frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\];
\[\frac{{25\,\,942}}{{59\,\,049}}\];
\[\frac{1}{{243}}\].
Đáp án đúng là: B
Đặt \[{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{u_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{1}{3}\;{v_{\rm{n}}}}\\{{v_1} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\]
Suy ra \[{\rm{S}} = \sum\limits_1^{10} {\;{v_{\rm{n}}}} \] trong đó là cấp số nhân với công sai \[{\rm{q}} = \frac{1}{3}\].
Do đó \[{\rm{S}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\].
4 088;
16 352;
4(212 – 1);
4(218 – 1).
Đáp án đúng là: D
Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là:
\[{S_n} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2044\]
\[ \Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} - 1 = 511 \Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} = 512 \Leftrightarrow {\rm{n}} = 9.\]
Khi đó: \[{S_{18}} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)\].
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\[A.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {3^{19}}} \right]\];
\[B.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];
\[C.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];
\[D.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {3^{20}}} \right]\].
Đáp án đúng là: C
Gọi q là công bội của cấp số nhân.
Theo giả thiết ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_1} \cdot {q^2} = 243{u_1} \cdot {q^7}}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{q^2} = 243{q^7}}\end{array}} \right.\] (vì \[{u_1} \ne 0\])
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{1 = 243{q^5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\].
Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:
\[{S_{20}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\].
S10 = -511.
S10 = 1023.
S10 = 1025.
S10 = -1025.
Đáp án đúng là: B
Ta có: S10 = \({u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - 3 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023\).
3.212 - 3.
212 - 1.
3.212 - 1.
3.212.
Đáp án đúng là: A
Gọi công bội của cấp số nhân bằng q.
Suy ra u4 = u2q2 ⇔ q = ±2.
Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2.
Ta có: \({S_{12}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{12}}}}{{1 - q}} = 3 \cdot \frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{12}} - 1} \right)\).
\(2020 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}\).
\(\frac{{4039}}{2}\).
\(2019 + \frac{1}{{{2^{2019}}}}\).
\(\frac{{6057}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
\({S_{2019}} = \underbrace {\left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + .... + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2019}}} \right]}_A + \underbrace {\left( {1 + 1 + ... + 1} \right)}_{2019\,\,s\^o }\)
Xét dãy số (vn) với vn = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).
Ta có: \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}\) nên (vn) là một cấp số nhân với v1 = \(\frac{1}{2}\) và công bội q = \(\frac{1}{2}\).
Áp dụng công thức tổng quát: \({S_n} = {v_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
Khi đó \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2019}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}\)
\({S_{2019}} = A + 2019 = \left( {1 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) + 2019 = 2020 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}\).
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: C
Từ giả thiết suy ra 3S = 3 + 2.32 + 3.33 + .... + 11.311.
Do đó: -2S = S - 3S = 1 + 3 + 32 + ... + 310 - 11.311
= \(\frac{{1 - {3^{11}}}}{{1 - 3}} - 11 \cdot {3^{11}} = - \frac{1}{2} - \frac{{21 \cdot {3^{11}}}}{2} \Rightarrow S = \frac{1}{4} + \frac{{21}}{4} \cdot {3^{11}}\)
Do đó, .
S5 = 121 hoặc S5 = \(\frac{{181}}{{16}}\).
S5 = 121 hoặc S5 = \(\frac{{35}}{{16}}\).
S5 = 114 hoặc S5 = \(\frac{{185}}{{16}}\).
S5 = 141 hoặc S5 = \(\frac{{183}}{{16}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: u3 = S3 - S2 = 9 => u1q2 = 9 => u1 = \(\frac{9}{{{q^2}}}\).
Vì S2 = 4 nên u1 + u1q = 4. Do đó \(\frac{9}{{{q^2}}} + \frac{9}{q} = 4 \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\)
Với \(q = 3\) thì u1 = 1, u6 = u1q5 = 243. Suy ra \({S_5} = \frac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - 243}}{{1 - 3}} = 121\).
Với q = \( - \frac{3}{4}\) thì u1 = 16, u6 = \( - \frac{{243}}{{64}}\). Suy ra \({S_5} = \frac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \frac{{181}}{{16}}\).
Số hạng u1 = 3.
Số hạng u4 = 48.
Số 12288 là số hạng thứ 12 của cấp số nhân (un).
Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân là 765.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\,\,(2)\end{array} \right.\).
Nếu u1 = 0 hay q = 0 thì (1) và (2) đều không thỏa mãn. Do đó, ta có: u1q 0.
Chia (2) cho (1) ta được q = 2.
Thay q = 2 vào (1) suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).
b) Sai. Công thức tổng quát của cấp số nhân là: un = 3.2n - 1 => u4 = 3.23 = 24
c) Sai. Xét un = 12288 ⇔ 3.2n - 1 = 12288 ⇔ 2n - 1 = 212 ⇔ n = 13.
Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.
d) Đúng. Ta có: \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\).
Số hạng u1 = 2; u2 = \(\frac{2}{3}\).
u5 - u3 = \( - \frac{{16}}{{81}}\).
Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 8 của cấp số nhân.
Tổng 9 số hạng đầu của cấp số nhân là số lớn hơn 3.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Gọi q là công bội của cấp số nhân (un).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\).
Năm số hạng đầu của (un) là: \({u_1} = 2;\,\,{u_2} = \frac{2}{3};\,\,{u_3} = \frac{2}{9};\,\,{u_4} = \frac{2}{{27}};\,\,{u_5} = \frac{2}{{81}}\).
b) Đúng. Ta có: u5 - u3 = \(\frac{2}{{81}} - \frac{2}{9} = - \frac{{16}}{{81}}\).
c) Sai. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un = u1qn - 1 = \(\frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).
Xét un = \(\frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\).
Vậy số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân (un).
d) Sai. Ta có: \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2 \cdot \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,9985 < 3\).
Tổng 9 số hạng đầu của cấp số nhân là số nhỏ hơn 3.
Số hạng u1 = 2.
Gọi q là công bội của cấp số nhân, thì ba số q; 1; 3 tạo thành một cấp số cộng.
Số -486 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân.
Tổng của 21 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng \(\frac{{1 + {3^{21}}}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi q là công bội và S21 là tổng của 21 số hạng đầu của cấp số nhân (un).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_6} = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_3} + {u_5}} \right)q = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}180q = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1}{\left( { - 3} \right)^2} + {u_1}{\left( { - 3} \right)^4} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1}\left( {9 + 81} \right) = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1} = 2\end{array} \right.\).
b) Sai. -3; 1; 3 không thể tạo thành một cấp số cộng.
c) Sai. Ta có -486 = 2.(-3)5 nên số -486 là số hạng thứ 6.
d) Đúng. Ta có: \({S_{21}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{21}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{\left( { - 3} \right)}^{21}}} \right]}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{1 + {3^{21}}}}{2}\)
Công bội của cấp số nhân là q = -2.
Số hạng thứ 25 của cấp số nhân đó bằng -3.224.
Tổng 101 số hạng đầu của cấp số nhân đó bằng 1 - 2101.
\({u_{55}} = \sqrt {{u_{54}} \cdot {u_{56}}} \).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì dãy số (un) là một cấp số nhân nên u3 = u1q2 => 3.q2 = 12 => q = -2 (vì q < 0).
b) Sai. Ta có: u25 = u1q24 = 3.(-2)24 = 3.224.
c) Sai. \({S_{101}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{101}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{101}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1 + {2^{101}}\)
d) Đúng. Ta có: \(\sqrt {{u_{54}} \cdot {u_{56}}} = \sqrt {\frac{{{u_{55}}}}{q} \cdot {u^{55}} \cdot q} = \sqrt {{{\left( {{u_{55}}} \right)}^2}} = \left| {{u_{55}}} \right| = {u_{55}}\) \(\left( {{u_{55}} = {u_1} \cdot {q^{54}} > 0} \right)\)
Số hạng thứ năm của dãy số là 685.
Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{3}\) thì (vn) là cấp số nhân.
Số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} + \frac{1}{3}\).
Tổng của 8 số hạng đầu tiên của dãy số (vn) xấp xỉ bằng 58253.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Cho dãy số (un), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 1\end{array} \right.\) (với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Số hạng thứ năm của dãy số là 683.
Ta có: u2 = 4u1 - 1 = 4.3 - 1 = 12 - 1 = 11
u3 = 4u2 - 1 = 4.11 - 1 = 43.
u4 = 4u3 - 1 = 4.43 - 1 = 171.
u5 = 4u4 - 1 = 4.171 - 1 = 683.
Vậy số hạng thứ năm của dãy là 683.
b) Đúng. Ta có: un+1 = 4un - 1 ⇔ \({u_{n + 1}} - \frac{1}{3} = 4\left( {{u_n} - \frac{1}{3}} \right)\).
Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{3}\). Ta có: vn + 1 = 4vn. Suy ra (vn) là cấp số nhân
c) Đúng. Ta có: vn + 1 = 4vn. Suy ra (vn) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}q = 4\\{v_1} = {u_1} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Suy ra \({v_n} = {v_1}{q^{n - 1}} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} + \frac{1}{3}\)
d) Đúng. \({S_8} = {v_1} \cdot \frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{{1 - {4^8}}}{{1 - 4}} \approx 58253\).
Đáp án: 4094.
Tỉ số \(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1}}} = \frac{{16}}{2} \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2\).
Ta có: 2048 = 2.2n - 1 => 2n = 2048 = 211 => n = 11.
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng:
\({S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} \Rightarrow {S_{11}} = 2 \cdot \frac{{1 - {2^{11}}}}{{1 - 2}} = 2 \cdot 2047 = 4094\).
Đáp án: 21.
Theo bài ra ta có: \({u_1} = \frac{1}{2},\,\,{u_4} = 32\) và \({u_n} = 131072\)
\({u_4} = {u_1}{q^3} \Rightarrow 32 = \frac{1}{2} \cdot {q^3} \Rightarrow q = 4\)
\({u_n} = 131072 \Rightarrow {u_1}{q^{n - 1}} = 131072 \Rightarrow {4^{n - 1}} = {4^9} \Rightarrow n = 10\)
Khi đó tổng của cấp số nhân có 10 số hạng là:
\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {{2^{20}} - 1} \right)}}{3} = \frac{{{2^{20}} - 1}}{6}\).
Suy ra b = 20; c = 1. Do đó b + c = 21.
Đáp án: 1023.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_4} = 576\\{u_2} - {u_1} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^4}{u_1} - {q^3}{u_1} = 576\\q{u_1} - {u_1} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^3}{u_1}\left( {q - 1} \right) = 576\\{u_1}\left( {q - 1} \right) = 9\end{array} \right. \Rightarrow {q^3} = \frac{{576}}{9} \Leftrightarrow q = 4\)
Cấp số nhân với các số hạng dương => q > 0. Do đó q = 4 thỏa mãn.
Khi đó u1 = 3.
Ta có: \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {{q^5} - 1} \right)}}{{q - 1}} = 1023\).
Đáp án: 2.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{S_n} = 728\\{u_n} = 486\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 728\\{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) = 728\left( {1 - q} \right)\\{u_1} \cdot {q^n} = 486q\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)\\{u_1} \cdot {q^n} = 486q\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} - 486q = 728\left( {1 - q} \right)\)
Do đó u1 - 486.3 = 728(1 - 3) => u1 = 2.
Đáp án: 6.
Áp dụng công thức cấp số nhân, ta có:
\({S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 3 \cdot \frac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = 4095 \Leftrightarrow 1 - {4^n} = - 4095\) \( \Leftrightarrow {4^n} = 4096 = {4^6} \Leftrightarrow n = 6\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
