Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Tổng \[{\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}\] có giá trị là
\[A.\frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}\];
\[B.\;{3^{30}} - 1\];
\[C.\frac{{2\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{3}\];
\[D.10 \cdot \left( {{3^{20}} - 3} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{S}} = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + \ldots + {3^{20}}\]
Nhận xét: Dãy số 3; 32; 33; 34; ... ; 320 là cấp số nhân với số hạng đầu là u1 = 3 và công bội q = 3.
Do đó, tổng 20 số hạng của dãy số là: \[S = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {3^{20}}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}\].
Tổng \[S = \left( { - 1} \right) + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^3} + \cdots + {\left( { - 1} \right)^{41}}\] có giá trị là
1
–1;
0;
20,5.
Đáp án đúng là: B
Ta có dãy số (–1); (–1)2; (–1)3; …; (–1)41 là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u1 = −1 và công bội q = −1.
Do đó \[S = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 - {{( - 1)}^{41}}} \right]}}{{1 - ( - 1)}} = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 + 1} \right]}}{{1 + 1}} = - 1\].
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 và công bội là số nguyên tố bé nhất, biết Sk = 189. Hỏi k bằng bao nhiêu?
k = 4;
k = 5;
k = 7;
k = 6.
Đáp án đúng là: D
Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.
Ta có: \[{S_k} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^k}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)\]
Theo giả thiết, ta có: \[3\left( {{2^{\rm{k}}} - 1} \right) = 189\]
\[ \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} - 1 = 63 \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} = 64 \Leftrightarrow {\rm{k}} = 6\].
Tổng \[{S_n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + .. + \frac{1}{{{4^n}}}\] có giá trị là
\[A.1 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\quad \];
\[B.\frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\];
\[C.3.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\];
\[D.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\].
Đáp án đúng là: B
Ta có dãy số \[\frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{{4^2}}}\,;\,\,\frac{1}{{{4^3}}}\,;\,\, \ldots \,;\,\,\frac{1}{{{4^n}}}\] theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng, với \[{u_1} = \frac{1}{4}\,;\,\,q = \frac{1}{4}\].
Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:
\[{S_n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\].
Cho biết \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots .5\]. Giá trị của Sn là
\[\frac{{10}}{{21}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
\[\frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
\[\frac{{10}}{9}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
Đáp án khác
Đáp án đúng là: B
Nhận xét: \[9\left( {5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots 5} \right)\]
\[ = 5.\left( {9 + 99 + 999 + 9999 \ldots 9} \right)\]
Do đó: \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + . + 555 \ldots 5\]
\[ = \frac{5}{9}\left( {9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9} \right)\]
\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + .. + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]\]
\[ = \frac{5}{9}\left[ {\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + .. + {{10}^n}} \right) - n} \right]\]
\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {10 \cdot \frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right] = \frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\].
Ta có 10 + 102 + 103 + ..+ 10n là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu u1 =10 và công bội q = 10.
Do đó \[10 + {10^2} + {10^3} + .. + {10^{\rm{n}}} = \frac{{10 \cdot \left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}}\].
Cấp số nhân cho bởi công bội q = 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486. Phần tử đầu tiên của cấp số nhân là
2;
3;
4;
5.
Đáp án đúng là: A
Theo đề bài ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_n} = 728}\\{{u_n} = 486}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 728}\\{{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)}\\{{u_1} \cdot {q^n} = 486q}\end{array}} \right.\]
Thay q= 3 vào (*) ta được :
\[ \Rightarrow {{\rm{u}}_1} - 486{\rm{q}} = 728\left( {1 - q} \right)\]
\[{{\rm{u}}_1} - 486.3 = 728.(1 - 3)\]\[ \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2\]
Giá trị của \[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n\,{\rm{ số \,7}}}\]là
\[\frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\];
\[\frac{{7\left( {{{10}^n} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\];
\[\frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{9}\];
\[\frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{{81}}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có:\[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n\,{\rm{ số \, 7}}}\]
\[ \Leftrightarrow B = 7\left( {1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số }}\,1}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{B}{7} = 1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số\, }}1}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace {{\rm{99}}...{\rm{9 }}}_{n\,{\rm{ số\, 9}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = (10 - 1) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + \cdots + \left( {{{10}^n} - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + \cdots + {{10}^n}} \right) - (1 + 1 + \underbrace {......}_{n{\rm{ \,số\, }}1} + 1)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} - n\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{9}\]
\[ \Leftrightarrow B = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\].
Vậy \[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n{\rm{ \,số\, 7}}} = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\].
Cho dãy số (un) xác định bởi \[{u_1} = \frac{1}{3}\,{\rm{ và }}\,{{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{\rm{n}} + 1}}{{3{\rm{n}}}}{u_{\rm{n}}}\].
Tổng \[{\rm{S}} = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + \ldots + \frac{{{u_{10}}}}{{10}}\] có giá trị bằng
\[\frac{{3\,\,280}}{{6\,\,561}}\];
\[\frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\];
\[\frac{{25\,\,942}}{{59\,\,049}}\];
\[\frac{1}{{243}}\].
Đáp án đúng là: B
Đặt \[{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{u_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{1}{3}\;{v_{\rm{n}}}}\\{{v_1} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\]
Suy ra \[{\rm{S}} = \sum\limits_1^{10} {\;{v_{\rm{n}}}} \] trong đó là cấp số nhân với công sai \[{\rm{q}} = \frac{1}{3}\].
Do đó \[{\rm{S}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\].
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: u1 = 4; q = 2 và Sn = 2 044. Giá trị của S2n là
4 088;
16 352;
4(212 – 1);
4(218 – 1).
Đáp án đúng là: D
Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là:
\[{S_n} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2044\]
\[ \Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} - 1 = 511 \Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} = 512 \Leftrightarrow {\rm{n}} = 9.\]
Khi đó: \[{S_{18}} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)\].
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\]. Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là
\[A.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {3^{19}}} \right]\];
\[B.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];
\[C.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];
\[D.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {3^{20}}} \right]\].
Đáp án đúng là: C
Gọi q là công bội của cấp số nhân.
Theo giả thiết ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_1} \cdot {q^2} = 243{u_1} \cdot {q^7}}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{q^2} = 243{q^7}}\end{array}} \right.\] (vì \[{u_1} \ne 0\])
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{1 = 243{q^5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\].
Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:
\[{S_{20}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\].
Cho cấp số nhân (un) có u1 = -3 và q = -2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
S10 = -511.
S10 = 1023.
S10 = 1025.
S10 = -1025.
Đáp án đúng là: B
Ta có: S10 = \({u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - 3 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023\).
Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn u2 = 6, u4 = 24. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
3.212 - 3.
212 - 1.
3.212 - 1.
3.212.
Đáp án đúng là: A
Gọi công bội của cấp số nhân bằng q.
Suy ra u4 = u2q2 ⇔ q = ±2.
Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2.
Ta có: \({S_{12}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{12}}}}{{1 - q}} = 3 \cdot \frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{12}} - 1} \right)\).
Cho dãy (un) với \({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính S2019 = u1 + u2 + u3 + ... + u2019, ta được kết quả:
\(2020 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}\).
\(\frac{{4039}}{2}\).
\(2019 + \frac{1}{{{2^{2019}}}}\).
\(\frac{{6057}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
\({S_{2019}} = \underbrace {\left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + .... + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2019}}} \right]}_A + \underbrace {\left( {1 + 1 + ... + 1} \right)}_{2019\,\,s\^o }\)
Xét dãy số (vn) với vn = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).
Ta có: \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}\) nên (vn) là một cấp số nhân với v1 = \(\frac{1}{2}\) và công bội q = \(\frac{1}{2}\).
Áp dụng công thức tổng quát: \({S_n} = {v_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
Khi đó \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2019}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}\)
\({S_{2019}} = A + 2019 = \left( {1 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) + 2019 = 2020 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}\).
Biết rằng S = 1 + 2.3 + 3.32 + .... + 11.310 = a + \(\frac{{21 \cdot {3^b}}}{4}\). Tính \(P = a + \frac{b}{4}\).
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: C
Từ giả thiết suy ra 3S = 3 + 2.32 + 3.33 + .... + 11.311.
Do đó: -2S = S - 3S = 1 + 3 + 32 + ... + 310 - 11.311
= \(\frac{{1 - {3^{11}}}}{{1 - 3}} - 11 \cdot {3^{11}} = - \frac{1}{2} - \frac{{21 \cdot {3^{11}}}}{2} \Rightarrow S = \frac{1}{4} + \frac{{21}}{4} \cdot {3^{11}}\)
Do đó, .
Cho cấp số nhân (un) có S2 = 4 và S3 = 13. Tìm S5.
S5 = 121 hoặc S5 = \(\frac{{181}}{{16}}\).
S5 = 121 hoặc S5 = \(\frac{{35}}{{16}}\).
S5 = 114 hoặc S5 = \(\frac{{185}}{{16}}\).
S5 = 141 hoặc S5 = \(\frac{{183}}{{16}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: u3 = S3 - S2 = 9 => u1q2 = 9 => u1 = \(\frac{9}{{{q^2}}}\).
Vì S2 = 4 nên u1 + u1q = 4. Do đó \(\frac{9}{{{q^2}}} + \frac{9}{q} = 4 \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\)
Với \(q = 3\) thì u1 = 1, u6 = u1q5 = 243. Suy ra \({S_5} = \frac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - 243}}{{1 - 3}} = 121\).
Với q = \( - \frac{3}{4}\) thì u1 = 16, u6 = \( - \frac{{243}}{{64}}\). Suy ra \({S_5} = \frac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \frac{{181}}{{16}}\).
Cho cấp số nhân (un), biết u1 + u5 = 51; u2 + u6 = 102. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Số hạng u1 = 3.
Số hạng u4 = 48.
Số 12288 là số hạng thứ 12 của cấp số nhân (un).
Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân là 765.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\,\,(2)\end{array} \right.\).
Nếu u1 = 0 hay q = 0 thì (1) và (2) đều không thỏa mãn. Do đó, ta có: u1q 0.
Chia (2) cho (1) ta được q = 2.
Thay q = 2 vào (1) suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).
b) Sai. Công thức tổng quát của cấp số nhân là: un = 3.2n - 1 => u4 = 3.23 = 24
c) Sai. Xét un = 12288 ⇔ 3.2n - 1 = 12288 ⇔ 2n - 1 = 212 ⇔ n = 13.
Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.
d) Đúng. Ta có: \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\).
Cho dãy số (un) là cấp số nhân thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Số hạng u1 = 2; u2 = \(\frac{2}{3}\).
u5 - u3 = \( - \frac{{16}}{{81}}\).
Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 8 của cấp số nhân.
Tổng 9 số hạng đầu của cấp số nhân là số lớn hơn 3.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Gọi q là công bội của cấp số nhân (un).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\).
Năm số hạng đầu của (un) là: \({u_1} = 2;\,\,{u_2} = \frac{2}{3};\,\,{u_3} = \frac{2}{9};\,\,{u_4} = \frac{2}{{27}};\,\,{u_5} = \frac{2}{{81}}\).
b) Đúng. Ta có: u5 - u3 = \(\frac{2}{{81}} - \frac{2}{9} = - \frac{{16}}{{81}}\).
c) Sai. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un = u1qn - 1 = \(\frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).
Xét un = \(\frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\).
Vậy số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân (un).
d) Sai. Ta có: \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2 \cdot \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,9985 < 3\).
Tổng 9 số hạng đầu của cấp số nhân là số nhỏ hơn 3.
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_6} = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right.\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Số hạng u1 = 2.
Gọi q là công bội của cấp số nhân, thì ba số q; 1; 3 tạo thành một cấp số cộng.
Số -486 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân.
Tổng của 21 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng \(\frac{{1 + {3^{21}}}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi q là công bội và S21 là tổng của 21 số hạng đầu của cấp số nhân (un).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_6} = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_3} + {u_5}} \right)q = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}180q = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1}{\left( { - 3} \right)^2} + {u_1}{\left( { - 3} \right)^4} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1}\left( {9 + 81} \right) = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1} = 2\end{array} \right.\).
b) Sai. -3; 1; 3 không thể tạo thành một cấp số cộng.
c) Sai. Ta có -486 = 2.(-3)5 nên số -486 là số hạng thứ 6.
d) Đúng. Ta có: \({S_{21}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{21}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{\left( { - 3} \right)}^{21}}} \right]}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{1 + {3^{21}}}}{2}\)
Cho dãy số (un) là một cấp số nhân có u1 = 3, u3 = 12 và công bội của cấp số nhân đó là số âm. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Công bội của cấp số nhân là q = -2.
Số hạng thứ 25 của cấp số nhân đó bằng -3.224.
Tổng 101 số hạng đầu của cấp số nhân đó bằng 1 - 2101.
\({u_{55}} = \sqrt {{u_{54}} \cdot {u_{56}}} \).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì dãy số (un) là một cấp số nhân nên u3 = u1q2 => 3.q2 = 12 => q = -2 (vì q < 0).
b) Sai. Ta có: u25 = u1q24 = 3.(-2)24 = 3.224.
c) Sai. \({S_{101}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{101}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{101}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1 + {2^{101}}\)
d) Đúng. Ta có: \(\sqrt {{u_{54}} \cdot {u_{56}}} = \sqrt {\frac{{{u_{55}}}}{q} \cdot {u^{55}} \cdot q} = \sqrt {{{\left( {{u_{55}}} \right)}^2}} = \left| {{u_{55}}} \right| = {u_{55}}\) \(\left( {{u_{55}} = {u_1} \cdot {q^{54}} > 0} \right)\)
Cho dãy số (un), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 1\end{array} \right.\) (với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Số hạng thứ năm của dãy số là 685.
Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{3}\) thì (vn) là cấp số nhân.
Số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} + \frac{1}{3}\).
Tổng của 8 số hạng đầu tiên của dãy số (vn) xấp xỉ bằng 58253.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Cho dãy số (un), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 1\end{array} \right.\) (với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Số hạng thứ năm của dãy số là 683.
Ta có: u2 = 4u1 - 1 = 4.3 - 1 = 12 - 1 = 11
u3 = 4u2 - 1 = 4.11 - 1 = 43.
u4 = 4u3 - 1 = 4.43 - 1 = 171.
u5 = 4u4 - 1 = 4.171 - 1 = 683.
Vậy số hạng thứ năm của dãy là 683.
b) Đúng. Ta có: un+1 = 4un - 1 ⇔ \({u_{n + 1}} - \frac{1}{3} = 4\left( {{u_n} - \frac{1}{3}} \right)\).
Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{3}\). Ta có: vn + 1 = 4vn. Suy ra (vn) là cấp số nhân
c) Đúng. Ta có: vn + 1 = 4vn. Suy ra (vn) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}q = 4\\{v_1} = {u_1} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Suy ra \({v_n} = {v_1}{q^{n - 1}} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} + \frac{1}{3}\)
d) Đúng. \({S_8} = {v_1} \cdot \frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{{1 - {4^8}}}{{1 - 4}} \approx 58253\).
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2, u4 = 16 và un = 2048. Tính tổng n số hạng đầu tiên của (un).
Đáp án: 4094.
Tỉ số \(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1}}} = \frac{{16}}{2} \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2\).
Ta có: 2048 = 2.2n - 1 => 2n = 2048 = 211 => n = 11.
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng:
\({S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} \Rightarrow {S_{11}} = 2 \cdot \frac{{1 - {2^{11}}}}{{1 - 2}} = 2 \cdot 2047 = 4094\).
Biết tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\), số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 131072 có dạng \(\frac{{{2^b} - c}}{6}\). (b, c ∈ ℕ).Tính giá trị b + c.
Đáp án: 21.
Theo bài ra ta có: \({u_1} = \frac{1}{2},\,\,{u_4} = 32\) và \({u_n} = 131072\)
\({u_4} = {u_1}{q^3} \Rightarrow 32 = \frac{1}{2} \cdot {q^3} \Rightarrow q = 4\)
\({u_n} = 131072 \Rightarrow {u_1}{q^{n - 1}} = 131072 \Rightarrow {4^{n - 1}} = {4^9} \Rightarrow n = 10\)
Khi đó tổng của cấp số nhân có 10 số hạng là:
\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {{2^{20}} - 1} \right)}}{3} = \frac{{{2^{20}} - 1}}{6}\).
Suy ra b = 20; c = 1. Do đó b + c = 21.
Trong một cấp số nhân gồm các số hạng dương, hiệu số giữa số hạng thứ năm và số hạng thứ tư là 576 và hiệu giữa số hạng thứ hai và số hạng đầu là 9. Tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.
Đáp án: 1023.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_4} = 576\\{u_2} - {u_1} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^4}{u_1} - {q^3}{u_1} = 576\\q{u_1} - {u_1} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^3}{u_1}\left( {q - 1} \right) = 576\\{u_1}\left( {q - 1} \right) = 9\end{array} \right. \Rightarrow {q^3} = \frac{{576}}{9} \Leftrightarrow q = 4\)
Cấp số nhân với các số hạng dương => q > 0. Do đó q = 4 thỏa mãn.
Khi đó u1 = 3.
Ta có: \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {{q^5} - 1} \right)}}{{q - 1}} = 1023\).
Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối là 486.
Đáp án: 2.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{S_n} = 728\\{u_n} = 486\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 728\\{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) = 728\left( {1 - q} \right)\\{u_1} \cdot {q^n} = 486q\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)\\{u_1} \cdot {q^n} = 486q\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} - 486q = 728\left( {1 - q} \right)\)
Do đó u1 - 486.3 = 728(1 - 3) => u1 = 2.
Một cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 3, công bội q = 4. Biết Sn = 4095. Giá trị n bằng bao nhiêu?
Đáp án: 6.
Áp dụng công thức cấp số nhân, ta có:
\({S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 3 \cdot \frac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = 4095 \Leftrightarrow 1 - {4^n} = - 4095\) \( \Leftrightarrow {4^n} = 4096 = {4^6} \Leftrightarrow n = 6\)
