Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là một cấp số nhân?
un = 2n + 10;
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \frac{9}{{{u_n}}}\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 6\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Xét dãy số (un): \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \frac{9}{{{u_n}}}\end{array} \right.\) ta có:
\[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{9}{{{u_n}}}:\frac{9}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = {{\rm{u}}_{{\rm{n}} - 1}}{\rm{ }}\forall n \ge 2.{\rm{ }}\]
Do đó có: u1 = u3 = u5 = … = u2n+ 1 = ... (1)
Và u2 = u4 = u6 = ... = u2n = ... (2)
Theo đề bài có \[{{\rm{u}}_1} = 3 \Rightarrow {u_2} = \frac{9}{{{u_1}}} = 3 \,\, \left( 3 \right)\]
Từ (1), (2) ,(3) suy ra u1 = u2 = u3 =...= u2n = u2n+ 1 =....
Vậy (un) là cấp số nhân với công bội q = 1.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
\({u_n} = \frac{{10}}{{{8^n}}};\)
un = 8n;
un = 2n + 3;
un = n3 – 1.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{u_{n + 1}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}\]
Xét tỉ số: \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}:\frac{{10}}{{{8^n}}} = \frac{1}{8}\] (không đổi)
Do đó, dãy số (un) là cấp số nhân với \[q = \frac{1}{8}\].
Cho các dãy số (1): –31; –34; –37; –40; … ;
(2): 1; 3; 5; 7; 9; … ;
(3): 1; 4; 9; 16; 25; …
(4): –2; 2; –2; 2; –2; … .
Dãy số nào là một cấp số nhân?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: D
Ta có: u2 = u1.(–1); u3 = u2.(–1); u4 = u3.(–1); …
Do đó, dãy số (4) là một cấp số nhân có q = –1.
Cho các dãy số như dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
\({u_n} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 10}}\);
un = n5 + 1;
un = 10 + 9n;
un = n(n + 10).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 1 + 10}} = {\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)^{n + 11}}\)
Xét tỉ số: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 11}}:{\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 10}} = \frac{{ - 1}}{5}{\rm{ }}\) (không đổi)
Do đó, dãy số (un) là cấp số nhân.
Cho các dãy số: vn = 10n + 10; \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{{( - 3)}^{2 - n}}}}\); tn= n.2n; wn = 5–n. Trong các dãy số này, có bao nhiêu dãy số là cấp số nhân?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
•Xét dãy số un, ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - (n + 1)}}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}\)
⇒\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}:\frac{{{2^n}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - n}}}} = - 6\) (không đổi)
Do đó, dãy (un) là cấp số nhân.
•Xét dãy số wn = 5–n, ta có: wn + 1 = 5– n – 1
⇒ wn+1 = 5–1.wn
⇒ (wn) là cấp số nhân.
Cho dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9}\end{array}} \right.\). Dãy số nào dưới đây là một cấp số nhân?
vn= un + 3;
vn= un;
vn= un + 4;
vn= un + 1;
Ta có: vn = un+ 3 ( 1) nên vn + 1 = un + 1 + 3 (2).
Theo đề bài: un + 1 = 4un + 9 ⇒ un + 1 + 3 = 4un + 9 + 3 = 4(un + 3) (3)
Thay (1) và (2) vào (3) được: vn + 1 = 4vn ∀n ≥ 1
\( \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4\) (không đổi).
Vậy (vn) là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v1 = u1 + 3 = 5.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
128; –64; 32; –16; 8; …
\(\sqrt 2 \); 2; 4; 4\(\sqrt 2 \); …
5; 6; 7; 8; …
15; 5; 1; \(\frac{1}{5}\); …
Đáp án đúng là: A
Xét dãy số: 128; –64; 32; –16; 8; …
Có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = ... = \frac{1}{2}\) là một số không đổi.
Suy ra dãy số 128; –64; 32; –16; 8; … là một cấp số nhân.
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
1; –1; 1; –1; …
3; 32; 33; 34; …
a; a3; a5; a7; … (a ≠ 0)
\(\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...\)
Đáp án đúng là: D
Xét dãy số: \(\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...\)
Có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\left( {\frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}}} \right)\).
Do đó: \(\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...\) không là một cấp số nhân.
Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
\({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\);
\({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\);
un = (n + 2).3n;
un = n2.
Đáp án đúng là: A
•Với \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\), ta có: \[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{3^{n - 3}}}}:\frac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 3\] là một số không đổi.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát: \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\) là một cấp số nhân.
•Với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\), ta có: \[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}\] không phải là một số không đổi.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát: \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\) không là một cấp số nhân.
•Với un = (n + 2).3n, ta có: \[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ 3}}} \right){{.3}^{n + 1}}}}{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){{.3}^n}}} = \frac{{3(n + 3)}}{{n + 2}}\] không phải là một số không đổi.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát: un = (n + 2).3n không là một cấp số nhân.
•Với un = n2, ta có: \[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ 1}}} \right)}^2}}}{{{n^2}}} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^2}\] không phải là một số không đổi.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát: un = n2 không là một cấp số nhân.
Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
un = 7 – 3n;
un = 7 – 3n;
un = \(\frac{7}{{3n}}\);
un = 7.3n.
Đáp án đúng là: D
•Với un = 7 – 3n, ta có:
\[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 - 3\left( {n + 1} \right)}}{{7 - 3n}} = \frac{{4 - 3n}}{{7 - 3n}}\] không phải là một số không đổi.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát un = 7 – 3n không là một cấp số nhân.
•Với un = 7 – 3n, ta có:
\[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 - {3^{n + 1}}}}{{7 - {3^n}}} = 1 - \frac{{{{2.3}^n}}}{{7 - {3^n}}}\] không phải là một số không đổi.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát: un = 7 – 3n không là một cấp số nhân.
•Với un =\(\frac{7}{{3n}}\), ta có:
\[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{7}{{3\left( {n + 1} \right)}}:\frac{7}{{3n}} = \frac{n}{{n + 1}}\] không phải là một số không đổi.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát: un = \(\frac{7}{{3n}}\)không là một cấp số nhân.
•Với un = 7.3n, ta có:
\[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{7.3}^{n + 1}}}}{{{{7.3}^n}}} = 3\] là một số không đổi.
Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát: un = 7.3n là một cấp số nhân.
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
1; -1; 1; -1.
1; -3; 9; 10.
1; 0; 0; 0.
32; 16; 8; 4.
Đáp án đúng là: B
Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có: un + 1 = unq => q = \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).
A, là cấp số nhân với q = -1.
B, không là cấp số nhân.
C, là cấp số nhân với q = 0.
D, là cấp số nhân với q = \(\frac{1}{2}\).
Cho câp số nhân (un) với u1 = -2 và q = 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
-2; 10; 50; -250.
-2; 10; -50; 250.
-2; -10; -50; -250.
-2; 10; 50; 250.
Đáp án đúng là: B
.
Trong dãy các số (un) sau, dãy nào là cấp số nhân?
un = 3n.
un = 2n.
un = \(\frac{1}{n}\).
un = 2n + 1.
Đáp án đúng là: B
Ta thấy, với ∀n ≥ 2, n ∈ ℕ, dãy số (un) = 2n có tính chất \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{2^n}}}{{{2^{n - 1}}}} = 2\) là cấp số nhân với công bội q = 2, u1 = 2.
Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un, dãy số nào là một cấp số nhân?
\({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}} - 1\).
\({u_n} = n + \frac{1}{3}\).
\({u_n} = {n^2} - \frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Dãy số \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 9 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\) là cấp số nhân có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
un = (-1)nn.
un = n2.
un = 2n.
un = \(\frac{n}{{{3^n}}}\).
Đáp án đúng là: C
Lập tỉ số \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).
A. \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} \cdot \left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot n}} = - \frac{{n + 1}}{n}\) => (un) không phải là cấp số nhân.
B. \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}}}\)=> (un) không phải là cấp số nhân,
C. \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2\)=> un + 1 = 2un => (un) là cấp số nhân có công bội bằng 2.
D. \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}\) => (un) không phải là cấp số nhân.
Cho các dãy số an = n2 + n + 1; bn = (n + 2).3n; \(\left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 2\\{c_{n + 1}} = \frac{6}{{{c_n}}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\); dn = (-4)2n + 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
(an) không phải là cấp số nhân.
(bn) không phải là cấp số nhân.
(cn) là một cấp số nhân.
(dn) là một cấp số nhân.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{{n^2} + n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), không phải là hằng số nên (an) không phải cấp số nhân.
b) Đúng. \(\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = \frac{{\left( {n + 3} \right) \cdot {3^{n + 1}}}}{{\left( {n + 2} \right) \cdot {3^n}}} = \frac{{3\left( {n + 3} \right)}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), không phải là hằng số nên (bn) không phải là cấp số nhân.
c) Sai. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra c1 = 2; c2 = 3; c3 = 2; c4 = 3;...
Vì \(\frac{{{c_3}}}{{{c_2}}} \ne \frac{{{c_2}}}{{{c_1}}}\) nên (cn) không phải là cấp số nhân.
d) Đúng. \(\frac{{{d_{n + 1}}}}{{{d_n}}} = \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^{2\left( {n + 1} \right) + 1}}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}}} = 16,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy (dn) là một cấp số nhân có công bội q = 16.
Cho bốn số hạng đầu tiên của một dãy số hữu hạn là 2; 6; 18; 54. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?
Tỉ số của số hạng thứ hai và số hạng thứ nhất là \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 3\).
Tỉ số của số hạng đứng sau và số hạng đứng trước trong mỗi cặp số hạng liên tiếp của dãy đều bằng 3.
Bốn số hạng trên lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3.
Số hạng tiếp theo của cấp số nhân này theo quy luật trên bằng 165.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{2} = 3\).
Vậy tỉ số của số hạng thứ hai và số hạng thứ nhất là \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 3\).
b) Đúng. Xét các tỉ số: \(\frac{{{u_2}}}{{u_1^{}}} = \frac{6}{2} = 3\); \(\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{18}}{6} = 3\); \(\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{{54}}{{18}} = 3\).
Các tỉ số đều bằng 3 nên tỉ số của hai số hạng liên tiếp bất kì trong bốn số hạng trên luôn bằng 3.
c) Đúng. Theo câu b), ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3\) với mọi cặp số hạng liên tiếp đã cho.
Do đó, dãy số là cấp số nhân với u1 = 2, công bội q = 3.
d) Sai. Ta có: u5 = u4q = 54.3 = 162.
Vậy số hạng tiếp theo của cấp số nhân này theo quy luật trên bằng 162.
Xét một dãy số (un) được cho dưới dạng hệ thức truy hồi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 3{u_n},\forall n \ge 1\end{array} \right.\). Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?
Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 2; 6; 18.
Hiệu un + 1 - un= 4.
Vì các số hạng của dãy đều tăng nên dãy số đã cho là một cấp số cộng.
Dãy số đã cho là một cấp số nhân có công bội q = 3.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: u2 = 3u1 = 3.2 = 6; u3 = 3u2 = 3.6 = 18.
Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy là 2; 6; 18.
b) Sai. Ta có un + 1 = 3un nên un + 1 - un = 3un - un = 2un.
Vậy hiệu giữa hai số hạng liên tiếp của dãy được xác định bởi công thức un + 1 - un = 2un, ∀n ≥ 1.
c) Sai. Theo định nghĩa, một dãy số là cấp số cộng khi hiệu của hai số hạng liên tiếp không đổi. Với dãy đã cho: u2 - u1 = 4; u3- u2 = 12; u4 - u3 = 36.
Các hiệu này không bằng nhau nên dãy số không phải là cấp số cộng.
d) Đúng. Theo giả thiết, un + 1= 3un, ∀n ≥ 1. Suy ra \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3,\forall n \ge 1\).
Do tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng 3, nên dãy số (un) là một cấp số nhân có công bội q = 3.
Xét dãy số (un) được xác định bởi: un = sin\(\frac{\pi }{6}\).2n (∀n ≥ 1). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Số hạng đầu tiên của dãy là u1 = 1.
\[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 4\].
Dãy số (un) là một cấp số nhân có công bội q = 2.
Nếu vn = \(u_n^2\) thì dãy (vn) là một cấp số nhân có công bội bằng 4.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. u1 = sin\(\frac{\pi }{6}\).21 = 1.
b) Sai. Ta có: \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^{n + 1}}}}{{\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^n}}} = 2\].
Vậy tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp của dãy bằng 4.
c) Đúng. Vì \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^{n + 1}}}}{{\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^n}}} = 2\] là hằng số nên (un) là cấp số nhân với công bội
q = 2.
d) Đúng. Đặt vn = \(u_n^2\).
Khi đó: \({v_n} = {\left( {\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^n}} \right)^2} = \frac{1}{4} \cdot {4^n}\)
Suy ra \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4\).
Do đó (vn) là cấp số nhân có công bội q = 4.
Xét dãy số (un) có các số hạng đầu: 81; 27; 9; 3;.. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?
Từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng \(\frac{1}{9}\) số hạng đứng ngay trước nó.
Dãy số trên là một cấp số cộng có công sai bằng -54.
Các số hạng của dãy đều dương.
Số hạng thứ năm của dãy số bằng 1.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Xét \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{27}}{{81}} = \frac{1}{3}\); \(\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{9}{{27}} = \frac{1}{3}\); \(\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
Vậy mỗi số hạng bằng \(\frac{1}{3}\) số hạng đứng trước nó.
b) Sai. Xét u2 - u1 = 27 - 81 = -54; u3 - u2 = 9 - 27 = -18; u4 - u3 = 3 - 9 = -6.
Các hiệu không bằng nhau nên dãy số không phải là cấp số cộng.
c) Đúng. Các số hạng của dãy đều dương.
d) Đúng. Ta có: u5 = u4q = 3.\(\frac{1}{3}\) = 1.
Cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9,\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\). Biết dãy số (vn) là một cấp số nhân có dạng vn = un + x, n ≥ 1. Giá trị của x bằng:
Đáp án: 3.
Ta có: vn = un + x => un = vn - x => un + 1 = vn + 1- x.
Theo giả thiết ta có: un + 1 = 4un + 9
=> (vn + 1 - x) = 4(vn - x) + 9
⇔ vn + 1= 4vn - 3x + 9.
Để dãy số (vn) là cấp số nhân thì -3x + 9 = 0 => 3x = 9 ⇔ x = 3.
Vậy x = 3 để dãy số (vn) là cấp số nhân.
Cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 3{u_n} + 4,\forall n \ge 1\end{array} \right.\). Biết dãy số (vn) xác định bởi vn = un + 2 là một cấp số nhân. Tìm số hạng thứ 4 của dãy (vn).
Đáp án: 108.
Ta có: vn + 1 = un + 1 + 2 (1)
Thay un + 1= 3un + 4 vào (1) ta được: vn + 1= (3un + 4) + 2 = 3un + 6= 3(un + 2).
Vì vn = un + 2nên vn + 1= 3vn.
Do đó, (vn) là cấp số nhân với công bội q = 3.
Ta có: v1 = 4; v2 = 3v1 = 4.3 = 12; v3 = v2.3 = 12.3 = 36; v4 = 3v3 = 3.36 = 108.
Cho dãy số 3; -6; 12; -24; 48;... Tìm số hạng thứ 8 của dãy số.
Đáp án: -384.
Ta có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\); \(\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{12}}{{ - 6}} = - 2\).
Suy ra dãy số là cấp số nhân có công bội q = -2.
Do đó, \(\frac{{{u_8}}}{{{u_1}}} = {q^7} \Rightarrow \frac{{{u_8}}}{3} = {\left( { - 2} \right)^7} \Rightarrow {u_8} = - 384\).
Xét các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số nhân?
Dãy 1: un = (-3)2n + 1; Dãy 2: un = (-1)n.53n + 2;
Dãy 3: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = u_n^2\end{array} \right.\); Dãy 4: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \frac{9}{{{u_n}}}\end{array} \right.\)
Đáp án: 3.
Dãy 1. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 3}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 1}}}} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9\) nên dãy 1 là cấp số nhân.
Dãy 2. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} \cdot {5^{3\left( {n + 1} \right) + 2}}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot {5^{3n + 2}}}} = - 1 \cdot {5^3} = - 125\) nên dãy 2 là cấp số nhân.
Dãy 3. Ta có: \({u_2} = u_1^2 = 3;\,\,{u_3} = u_2^2 = 16;\,\,{u_4} = u_3^2 = 256\).
Suy ra \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{2} = 2\) và \(\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{{256}}{{16}} = 16\) => \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\) do đó, dãy 3 không phải là cấp số nhân.
Dãy 4. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{9}{{{u_n}}}}}{{\frac{9}{{{u_{n - 1}}}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_{n - 1}},\forall n \ge 2\).
Do đó, có: u1 = u3 = u5 = ... = u2n + 1... (1) và u2 = u4 = u6 = ... = u2n = .... (2)
Theo đề bài, ta có: u1 = 3 => u2 = \(\frac{9}{{{u_1}}}\) = 3 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra u1 = u2 = u3 = u4 = u5 = ... = u2n = u2n + 1. Do đó, dãy 4 là cấp số nhân với công bội q = 1.
Vậy có 4 dãy là cấp số nhân, đó là: dãy 1, dãy 2, dãy 4.
Cho dãy số (un) xác định bởi un = 3.2n + 1, ∀n ∈ ℕ*. Biết dãy số (un) là cấp số nhân. Tìm giá trị của k. Biết \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = k\)
Đáp án: 2.
Ta có: un + 1 = 3.2(n + 1) + 1.
Xét tỉ số: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{3 \cdot {2^{\left( {n + 1} \right) + 1}}}}{{3 \cdot {2^{n + 1}}}} = \frac{{3 \cdot {2^{n + 2}}}}{{3 \cdot {2^{n + 1}}}} = \frac{{{2^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}}}} = 2\). Vậy k = 2.
