ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt trụ, khối trụ

Ta có: $S_{ABCD}=AB.AD=2rh=10.$

$\Rightarrow S_{xq}=2\pi rh=10\pi .$
Đáp án cần chọn là: A

Ta có hình trụ có diện tích đáy là $S=\pi R^2=900\pi \iff R=30cm$.

Diện tích xung quanh hình trụ là $S=2\pi Rh=2\pi \mathrm{.30.60}=60\pi .60\left(c{m}^2\right).$

 Vậy cần miếng kim loại hình chữ nhật chiều dài $60\pi cm$ và chiều rộng 60cm

Đáp án cần chọn là: B

Kẻ CE vuông góc vưới AB (E thuộc AB).

Thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng tổng thể tích hai khối tròn xoay khi quay hình vuông ADCE và tam giác vuông ECB quanh trục AB.

Quay hình vuông ADCE ta được khối trụ tròn xoay có chiều cao h=AE=1, bán kính đáy r=AD=1

$\Rightarrow V_{TR}=\pi r^2.h=\pi$ (đvtt)

Quay tam giác vuông ECB quanh AB được khối nón có chiều cao h’=EB=3-1=2, bán kính đáy r’=EC=1.

$\Rightarrow V_N=\frac{1}{3}.\pi r^{\text{'}2}{h}^{\text{'}}=\frac{2}{3}\pi$ (đvtt).

Vậy thể tích của khối tròn xoay là $V=V_{TR}+V_N=\pi +\frac{2}{3}\pi =\frac{5}{3}\pi$ (đvtt).

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: A

Gọi độ dài đường cao của ống trụ là 10x (cm)(x > 0)

Chia ống trụ thành 10 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài đường sinh là x(cm).

Trải phẳng mỗi ống trụ nhỏ ta được 1 hình chữ nhật có hai kích thước là x và $2\pi .R=2\pi .\frac{2}{\pi }=4\left(cm\right)$

Khi đó độ dài đường chéo của hình chữ nhật là $\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{x^2+16}$, và độ dài đường chéo chính bằng độ dài của 1 vòng.

Tam giác BCD là tam giác đều cạnh 4 $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}SBCD=4\sqrt{3}\\ p=12\end{array}\right.$

 Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp ta có: $R=\frac{2S}{p}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD $\Rightarrow AO\perp \left(BCD\right)\Rightarrow \text{Δ}ABO$ vuông tại O có

Khi đó diện tích xung quanh hình trụ có $h=\frac{4\sqrt{6}}{3};R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$  là $S=2\pi Rh=\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}$
Đáp án cần chọn là: A

Gọi R,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Giả sử thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, ta có AB = 2R và AD = h.

Chu vi thiết diện chứa trục bằng 12 $\Rightarrow 2R+h=6\Rightarrow h=6-2R$

Khi đó thể tích khối trụ:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $R=6-2R\iff R=2.$

Vậy thể tích khối trụ lớn nhất là $8\pi$ khi R = 2.

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1: Xác định các hình khối khi quay hình quanh cạnh BN

Khi quay hình trên quanh cạnh BN ta được một khối tròn xoay gồm một khối trụ có bán kính đáy bằng 2dm, chiều cao bằng 4dm và một khối nón cụt có bán kính hai đáy lần lượt là 2dm và 3dm, chiều cao bằng 2dm.

Bước 2: Tính thể tích của từng hình (trụ+nón cụt) rồi tính tổng.

Thể tích khối trụ là $V_T=4\pi .4$

Thể tích khối nón cụt là: $V_N=\frac{2}{3}(4\pi +9\pi +\sqrt{4\pi .9\pi }$

Do đó thể tích của khối tròn xoay là

Bước 1: Gọi chiều cao của hình trụ là x(cm). Khi trải phẳng ống trụ và nhận xét kích thước.

Gọi chiều cao của hình trụ là x(cm)

Khi trải phẳng ống trụ tròn đều ta được một hình chữ nhật có chiều rộng là chu vi của mặt đáy còn chiều dài là chiều dài của trụ, mỗi vòng quấn của dây dài 5cm là đường chéo của hình chữ nhật có kích thước lần lượt bằng chu vi đáy trụ (5cm) và $\frac{1}{10}$ chiều dài trụ.

Bước 2: Tính diện tích xung quanh ống trụ

Theo định lý Pitago ta có:

Vậy diện tích xung quanh của trụ là: $S_{xq}=2\cdot \frac{2}{\pi }\cdot \pi \cdot 30=120\left({\text{\hspace{0.33em}cm}}^2\right)$

R=a

$h=\sqrt{{\left(3a\right)}^2-{\left(2a\right)}^2}=a\sqrt{5}$

Diện tích toàn phần là:

Đáp án cần chọn là: D

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật ABCD với AD = BC = h = 5.  

$\Rightarrow 2\left(AB+BC\right)=2\left(AB+5\right)=26\iff AB=8cm.$

Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow OH\perp AB\Rightarrow OH\perp \left(ABCD\right)$ hay $OH\perp \left(\alpha \right).$

Áp dụng định lý Pitago cho $\text{Δ}AOH$ vuông tại HH ta có:
$\begin{array}{l}OH=\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3cm.\\ \Rightarrow d\left(O{O}^{\text{'}};\left(\alpha \right)\right)=3cm.\end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD,AB và I là trung điểm của OO′.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}\left(ABCD\right)\cap (O\text{'}CD)=CD\\ IM\subset \left(ABCD\right),IM\perp CD\\ O\text{'}M\subset (O\text{'}CD),O\text{'}M\perp CD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \angle \left(\left(ABCD\right);\left(O^{\text{'}}BC\right)\right)=\angle \left(IM;O^{\text{'}}M\right)=\angle IM{O}^{\text{'}}={60}^0$

Ta có: $MN=BC=2a\Rightarrow IM=\frac{1}{2}MN=a$

Xét tam giác vuông O′IM có: $O^{\text{'}}M=IM.\cos {60}^0=\frac{a}{2}$

⇒ Chiều cao của khối trụ là $h=O{O}^{\text{'}}=2O^{\text{'}}I=a\sqrt{3}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O′CM có:

⇒ Bán kính đáy của khối trụ là $r=O^{\text{'}}C=a$

Vậy thể tích của khối trụ là: $V=\pi r^{2}h=\pi .a^2.a\sqrt{3}=\pi a^3\sqrt{3}$
Đáp án cần chọn là: A

Gọi A′,B′ lần lượt là hình chiếu của A,B lên đường tròn (O).

      C′,D′ lần lượt là hình chiếu của C,D lên đường tròn (O′).

=>AC′BD′ là hình bình hành, lại có AB = CD = C′D′ nên  AC′BD′ là hình chữ nhật.

Khi đó AC′BD′.A′CB′D là hình hộp chữ nhật.

Ta có: $V_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}.A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}=V_{ABCD}+V_{A.A^{\text{'}}CD}+V_{B.B^{\text{'}}CD}+V_{C.C^{\text{'}}AB}+V_{D.D^{\text{'}}AB}$

Ta có: $V_{A.A^{\text{'}}CD}=\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}.S_{A^{\text{'}}CD}=\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}.\frac{1}{2}{S}_{A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}=\frac{1}{6}{V}_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}.A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}$

CMTT ta có: $V_{B.B^{\text{'}}CD}=V_{C.C^{\text{'}}AB}=V_{D.D^{\text{'}}AB}=\frac{1}{6}{V}_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}.A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}$

Theo bài ra ta có: $\angle \left(AB;CD\right)={30}^0\Rightarrow \angle \left(AB;C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)={30}^0$ giả sử $\angle \left(AB;C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)=\angle AO{C}^{\text{'}}={30}^0$

Lại có  $OA=O{C}^{\text{'}}=\frac{1}{2}AB=3$

Ta có:  $V_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}.A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}=A{A}^{\text{'}}.S_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}}\Rightarrow 90=A{A}^{\text{'}}.9\iff A{A}^{\text{'}}=10$

Vậy thể tích khối trụ là  $V=\pi r^{2}h=\pi .O{A}^2.A{A}^{\text{'}}=\pi {.3}^2.10=90\pi$

Đáp án cần chọn là: B

Gọi r,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, ta có

$S_{xq}=2\pi rh\iff 16\pi =2\pi rh\iff rh=8$

Lại có thiết diện qua trục là hình vuông nên $h=2r$do đó $r.2r=8\iff r^2=4$

Theo bài ra ta có: $\angle AOB={120}^0$
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB ta có:

Vậy $C_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=2\left(AB+A{A}^{\text{'}}\right)=2\left(2\sqrt{3}+4\right)=8+4\sqrt{3}$
Đáp án cần chọn là: D

Gọi O,O′ lần lượt là tâm đường tròn đáy chứa A,B.

Gọi A′ là hình chiếu của A lên đường tròn đáy chứa điểm B.

Ta có $A{A}^{\text{'}}\parallel O{O}^{\text{'}}\Rightarrow O{O}^{\text{'}}\parallel \left(A{A}^{\text{'}}B\right)\supset AB$

Gọi H là trung điểm của A′B, ta có $O^{\text{'}}H\perp A^{\text{'}}B$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Khi đó ta có:$\left\{\begin{array}{c}O\text{'}H\perp A\text{'}B\\ O\text{'}H\perp AA\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow O\text{'}H\perp (AA\text{'}B)\Rightarrow d\left(O{O}^{\text{'}};AB\right)=OH=\frac{1}{2}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O′HB có

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  có:

Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi {.1}^2.\sqrt{3}=\pi \sqrt{3}$
Đáp án cần chọn là: C

Dựa vào dữ kiện bài toán và hình vẽ ⇒ Hình trụ có chiều cao h = 2r và bán kính đáy R = 2r .

⇒ Thể tích khối trụ là $V=\pi {\left(2r\right)}^{2}2r=8\pi r^3=120\iff r^3=\frac{120}{8\pi }=\frac{15}{\pi }$

Vậy thể tích mỗi khối cầu là $V_c=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{15}{\pi }=20\left(c{m}^3\right)$

Đáp án cần chọn là: B

Tam giác OAO′ vuông tại O nên:

$O^{\text{'}}A=\sqrt{O{A}^2+O^{\text{'}}{O}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$

Tam giác AO′B có:

$O^{\text{'}}{A}^2+O^{\text{'}}{B}^2=A{B}^2$ nên tam giác AO′B vuông tại O′

Ta có $\left\{\begin{array}{c}O\text{'}B\perp OO\text{'}\\ O\text{'}B\perp AO\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow O\text{'}B\perp (AOO\text{'})$
$S_{\text{Δ}AO{O}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}OA.OO=\frac{1}{2}\mathrm{.4.4}=8$

$\Rightarrow V_{AO{O}^{\text{'}}B}=\frac{1}{3}{S}_{\text{Δ}AO{O}^{\text{'}}}.O^{\text{'}}B=\frac{1}{3}\mathrm{.8.4}=\frac{32}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Gọi thể tích của khối trụ bị cắt bỏ là V₁ và phần tô đậm của (T) là V₂

Mà thiết diện khi lăng trụ bị cắt là tam giác AEF với E và F lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’

Khi đó $\frac{V_{ABCFE}}{V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{V_1}{V_1+V_2}$

Ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1: Xét thiết diện qua trục.

Thiết diện qua trục là một tam giác cân có cạnh bên là 8cm và cạnh đáy là 10 cm (tam giác SAB)

Bước 2: Xác định vị trí của viên bi thỏa mãn bài toán

Viên bi bị cắt theo chính thiết diện đó thì sẽ tiếp xúc với hai cạnh bên.

Viên bi càng tiến gần đáy thì càng lớn.

Để viên bị có đường kính lớn nhất thì viên bi phải tiếp xúc với mặt trên của cốc nước (miễn là viên bi không cao hơn miệng cốc)

Bước 3: Tính đường kính viên bi

$p=\frac{8+8+10}{2}=13$

$\begin{array}{l}r=\frac{S}{p}=\frac{5\sqrt{8^2-5^2}}{13}=\frac{5\sqrt{39}}{13}\\ d=2r=\frac{10\sqrt{39}}{13}\left(cm\right)\end{array}$

Đáp án cần chọn là: C