Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 41)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

TH 1: \(m = 0:f\left( x \right) = 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

TH 2: Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta '}} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{{m^2} - 4m < 0}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( {0;4} \right)} \right.} \right.\).

Vậy \(m \in \left[ {0;4} \right)\).

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Áp dụng định lý: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( P \right) \bot \left( Q \right)}\\{\left( P \right) \cap \left( Q \right) = {\rm{\Delta }}}\\{d \in \left( P \right)}\\{d \bot {\rm{\Delta }}}\end{array}} \right\} \Rightarrow d \bot \left( Q \right)\)

Lời giải

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(OP \bot AB\).

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \Rightarrow OP \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OP.}\\{AB \bot OP \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = 2a}\\{BC = 2a\sqrt 2 }\\{OD = a\sqrt 3 }\end{array} \Rightarrow A{B^2} + A{D^2} = 4{a^2} + 8{a^2} = 12{a^2} = {{(2OD)}^2} = B{D^2}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta BAD\) vuông tại \(A\), trên \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OP \bot AB}\\{AD \bot AB}\end{array} \Rightarrow OP//AD} \right.\).

Mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow OP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.2a\sqrt 2  = a\sqrt 2  \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \frac{d}{a} = \sqrt 2  \Rightarrow {\left( {\frac{d}{a}} \right)^2} = 2\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tồn tại Max hay Min của biểu thức \(P\) tức là tồn tại 2 giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất mà ở đó ta luôn tìm được tối thiểu là 1 cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn.

Chuyển vế \(P\) và đưa về phương trình bậc hai ẩn \(x\).

Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai.

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\)

Dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Tồn tại Max hay Min của biểu thức P tức là tồn tại 2 giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất mà ở đó ta luôn tìm được tối thiểu là 1 cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn.

Ta có: \(P = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y - P = 0\) và ta coi đây là một hàm số bậc hai ẩn \(x\).

\( \Rightarrow \) Để tồn tại nghiệm thì \({\rm{\Delta }} = 4{y^2} - 4\left( {2{y^2} + y - P} \right) \ge 0\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow - 4{y^2} - 4y + 4P \ge 0\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow {{\rm{\Delta }}_y} = 16 - 4\left( { - 4} \right)\left( {4P} \right) = 16 + 64P \ge 0\)

\( \Leftrightarrow P \ge - \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow a + b = 5\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Gọi \(F,F'\) là các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).

Với \(M \in \left( E \right) \Rightarrow MF + MF' = 2a\).

Lời giải

\(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{63}} = 1\) nên \(a = \sqrt {144} = 12;b = \sqrt {63} = 3\sqrt 7 \).

Gọi \(F,F'\) là các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).

Khi đó \(MF + MF' = 2a = 2.12 = 24\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dựng đường thẳng \({\rm{d'}}\) qua A và vuông góc với d

Tìm giao điểm H của d' và d

Tìm tọa độ điểm \({\rm{A'}}\) dựa trên tính chất đối xứng: H là trung điểm của \({\rm{AA'}}\)

Lời giải

Đường thẳng d có vtpt \(\vec n\left( {1;2} \right)\)

Đường thẳng \({\rm{d'}}\) qua A và vuông góc với d là: \(2\left( {x - 2} \right) - y = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0\)

Giao điểm H của d và \({\rm{d'}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + 2y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{11}}{5}}\\{y = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.} \right.\)

Do H là trung điểm của \({\rm{AA'}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2.\frac{{11}}{5} - 2 = \frac{{12}}{5}}\\{{y_{A'}} = 2.\frac{2}{5} - 0 = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\)

\(S = 5.\frac{{12}}{5} + 10.\frac{4}{5} = 12 + 8 = 20\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng vào bài toán tối ưu

Lời giải

Gọi \(x,y\) lần lượt số bánh chưng và bánh ống gói được \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\).

Số điểm thưởng đạt được là: \(5x + 7y\) (điểm)

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,4x + 0,6y \le 10}\\{0,05x + 0,075y \le 2}\\{0,1x + 0,15y \le 5}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 50}\\{2x + 3y \le 80}\\{2x + 3y \le 100}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 50}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( I \right)\) để \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất.

+) Miền nghiệm của \(\left( I \right)\) là tam giác \(OAB\) (kể cả biên)

+) \(A\left( {0;\frac{{50}}{3}} \right),B\left( {25;0} \right),O\left( {0;0} \right)\)

+) \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\)

\(F\left( A \right) = \frac{{350}}{3};F\left( B \right) = 125;F\left( O \right) = 0\)

\( \Rightarrow {\rm{max}}F\left( {x;y} \right) = F\left( B \right) = 125 \Leftrightarrow x = 25;y = 0\)

Vậy cần phải gói 25 cái bánh chưng để nhận được số điểm thưởng lớn nhất.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức

Lời giải

Ta có \({a_n} = - {(n - 2)^2} + 15 \le 15,\forall n \ge 1\). Dấu bằng xảy ra khi \(n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đổi biến, đổi dãy để có tính chất đặc biệt:

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = u_n^2 + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Chứng minh dãy mới là một cấp số nhân hoặc một cấp số cộng.

Tìm cấp số nhân

Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy

Lời giải

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = u_n^2 + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Ta có: \({v_{n + 1}} = u_{n + 1}^2 + 1 = 3u_n^2 + 2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right) = 3{v_n};\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)

\( \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 + 1 = 2\) và công bội \(q = 3\).

Vậy \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots + u_{2022}^2\)\( = {v_1} - 1 + {v_2} - 1 + {v_3} - 1 + \ldots + {v_{2022}} - 1\)

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2\)

Hàm số \(y = \left| {{x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị khi \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2\)

Ta có:

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 9x - 2 - mx + 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 1 - m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - 4x + 1 - m = 0}\end{array}} \right.\).

Hàm số \(y = \left| {{x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị khi \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \({x^2} - 4x + 1 - m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} = 4 - \left( {1 - m} \right) > 0}\\{{2^2} - 4.2 + 1 - m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - 3}\\{m \ne 3}\end{array}} \right.} \right.\).

Do \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 5;5} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;4;5} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

\(\sqrt A = B \Rightarrow A = {B^2}\) (1)

Giải phương trình (1) tìm ra \(x\) và thay vào phương trình ban đầu để thử lại.

Lời giải

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 7x + 10} = 5 - \frac{x}{2}\)

\( \Rightarrow {x^2} - 7x + 10 = \frac{{{x^2}}}{4} - 5x + 25\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^2} - 2x - 15 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{x = - \frac{{10}}{3}}\end{array}} \right.\)

Kiểm tra lại, ta thấy \(x = 6,x = - \frac{{10}}{3}\) đều là nghiệm của phương trình (*).

Vậy tổng giá trị các nghiệm của phương trình (*) là \(6 + \left( { - \frac{{10}}{3}} \right) = \frac{8}{3}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2016}\\{x = 2017}\end{array}} \right.\)

Chỉ có \(x = 2017\) là nghiệm bội lẻ nên hàm số đạt cực trị tại \(x = 2017\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Hàm số xác định\(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m{\rm{log}}_3^2x - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + m + 3 \ne 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) (*).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x,t \in \mathbb{R}\).

(*) \( \Leftrightarrow m{t^2} - 4t + m + 3 = 0\) vô nghiệm.

Trường hợp 1:\(m = 0\). Phương trình có nghiệm (loại \(m = 0\)).

Trường hợp 2:\(m \ne 0\). Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

\({\rm{\Delta '}} < 0 \Leftrightarrow 4 - m\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m < - 4\) hoặc \(m > 1\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) nên\(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5;2;3; \ldots 8;9} \right\}\).

Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Đặt \(t = {x^2} + 4x + 5\), khi đó \(t \ge 1\).

Thế vào phương trình đã cho ta được phương trình sau:

\({2^{t - {m^2}}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{t + 1}}\left( {{m^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{2^t}}}{{{2^{{m^2}}}}} = \frac{{{\rm{ln}}\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{\rm{ln}}\left( {t + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow {2^t}{\rm{ln}}\left( {t + 1} \right) = {2^{{m^2}}}{\rm{ln}}\left( {{m^2} + 1} \right)\) (*)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( u \right) = {2^u}.{\rm{ln}}\left( {u + 1} \right)\) có:

\(f'\left( u \right) = \frac{{{2^u}}}{{u + 1}} + {2^u}.{\rm{ln}}\left( {u + 1} \right) \ge 0,\forall u \ge 0 \Rightarrow f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow t = {m^2} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = {m^2}\).

Vậy để phương trình \({2^{{x^2} + 4x + 5 - {m^2}}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{x^2} + 4x + 6}}\left( {{m^2} + 1} \right)\) có đúng 1 nghiệm thì phương trình \({x^2} + 4x + 5 - {m^2} = 0\) có đúng 1 nghiệm

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\).

Vậy tổng tất cả các giá trị \(m\) bằng 0.

Đáp án đúng là "4949"

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \(f\left( x \right) - \frac{5}{3}{x^3} < m - {x^5} \Leftrightarrow f\left( x \right) - \frac{5}{3}{x^3} + {x^5} < m\)

Xét \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{5}{3}{x^3} + {x^5}\) có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 5{x^2} + 5{x^4} = f'\left( x \right) + 5{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\)

Xét trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\), từ đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right) \le 0\).

Mà \(5{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) \le 0\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\) nên \(g'\left( x \right) \le 0\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Vậy để bất phương trình \(g\left( x \right) < m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì \(m \ge  - \frac{4}{3}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

Lời giải

Ta có \(2{\rm{sin}}x - \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \vee x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \).

Vậy nghiệm được biểu diễn bởi các điểm C, D.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Rút gọn hàm số

Lời giải

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm hàm số biểu diễn tiền vốn \(h(x)\) công ty bỏ ra, có: \(h(x) = f(x) - g(x)\).

Khảo sát hàm số \(h(x)\), tìm giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Ta có tiền vốn bỏ ra cho bởi hàm số \(h(x) = f(x) - g(x) = {x^2} - 30000x + {10^9}\) với \(x > 0\).

Khi đó \({h^\prime }(x) = 2x - 30000\). Cho \({h^\prime }(x) = 0 \Rightarrow 2x - 30000 = 0 \Rightarrow x = 15000\).

Bảng biến thiên:

Vậy giá bán mỗi kg rau là \(x = 15000\) (đồng) thì cửa hàng bỏ ra vốn ít nhất.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác suất để quả bóng lấy ra lần hai ghi số lẻ biết quả bóng lấy ra lần đầu ghi số chẵn là:

\(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).

Lời giải

Ta có:

\({\rm{\Omega }} = \left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {1,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,1} \right),\left( {3,2} \right),\left( {3,4} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,2} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\)

\(A = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,2} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\)

\(B = \left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {2,1} \right),\left( {3,1} \right),\left( {4,1} \right),\left( {1,3} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,3} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\)

\(A \cap B = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\)

Ta có: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = A_4^2 = 12\).

\(n\left( A \right) = 2.3 = 6 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).

\(n\left( {A \cap B} \right) = 4 \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\)

Vậy \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Số chữ số của một số tự nhiên \(N\) được tính theo công thức: \(\left[ {{\rm{log}}N} \right] + 1\).

Lời giải

Vì số \({5^{2a + 1}}{.4^{a + 3}}\) có 2025 chữ số nên:

\(\left[ {{\rm{log}}\left( {{5^{2a + 1}}{{.4}^{a + 3}}} \right)} \right] + 1 = 2025\)

\( \Leftrightarrow \left[ {{\rm{log}}\left( {{5^{2a + 1}}{{.4}^{a + 3}}} \right)} \right] = 2024\)

\( \Rightarrow 2024 \le {\rm{log}}\left( {{5^{2a + 1}}{{.4}^{a + 3}}} \right) < 2025\)

\( \Leftrightarrow 2024 \le {\rm{log}}\left( {{{100}^a}.320} \right) < 2025\)

\( \Leftrightarrow 2024 \le 2a + {\rm{log}}320 < 2025\)

\( \Rightarrow 1010,7 \le a < 1011,2\)

Vậy a = 101.1

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dùng định lí sin để tính cạnh tam giác.

\(\Delta ABC\), ta có: \(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}}\)

Lời giải

Vì \(\widehat {ACB} + \widehat {ACx} = {180^ \circ }\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^ \circ } - {75^ \circ } = {105^ \circ }\)

Trong \(\Delta ABC\) ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat B + \widehat A = {180^ \circ }\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \widehat A = {180^ \circ } - \widehat {ACB} - \widehat B = {180^ \circ } - {105^ \circ } - {30^ \circ } = {45^ \circ }\).

Áp dụng định lí sin vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}}\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = \frac{{BC.\sin \widehat {ACB}}}{{\sin A}} = \frac{{8,5.\sin {{105}^ \circ }}}{{\sin {{45}^ \circ }}} \approx 11,61({\rm{m}})}\\{AC = \frac{{BC.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{8,5.\sin {{30}^ \circ }}}{{\sin {{45}^ \circ }}} \approx 6,01({\rm{m}})}\end{array}} \right.\]

Chiều dài của cây tre là:

\(d = AB + AC \approx 11,61 + 6,01 = 17,62\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy chiều dài của cây tre xấp xỉ \(17,62{\rm{\;m}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Gọi \(D'\) là trung điểm của \(B'C'\).

Kẻ \(B'H \bot BD'\).

Chứng mình \(d\left( {A'B;C'D} \right) = B'H\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính \(B'H\).

Lời giải

Gọi \(D'\) là trung điểm của \(B'C'\), ta có \(BDC'D'\) là hình bình hành

\( \Rightarrow C'D//BD' \Rightarrow C'D//\left( {A'BD'} \right)\).

Kẻ \(B'H \bot BD'\).

Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{A'D' \bot B'C'}\\{A'D' \bot BB'}\end{array}} \right\} \Rightarrow A'D' \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow A'D' \bot B'H\).

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{B'H \bot BD'}\\{B'H \bot A'D'}\end{array}} \right\} \Rightarrow B'H \bot \left( {A'BD'} \right)\).

Suy ra, \(d\left( {A'B,C'D} \right) = d\left( {C'D;\left( {A'BD'} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {A'BD'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {A'BD'} \right)} \right) = B'H\).

Ta có: \(B'D' = \frac{a}{2};BB' = 2a\).

Xét \({\rm{\Delta }}BB'D'\) vuông tại \(B'\) ta có:

\(\frac{1}{{B'{H^2}}} = \frac{1}{{B{{B'}^2}}} + \frac{1}{{B'{{D'}^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{2a}}{{\sqrt {17} }}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức

Lời giải

Dễ thấy hai điểm \(A,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) suy ra \({A_1}\left( {1; - 3; - 2} \right)\).

Gọi mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({A_1}\) và song song mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) suy ra \(\left( P \right):z = - 2\).

Ta gọi \({A_2}:\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {MN} \) và gọi \(K\) là hình chiếu của \(B\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow K\left( { - 2;1; - 2} \right) \Rightarrow BK = 2,K{A_1} = 5\)

Khi đó: \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {{A_2}N - BN} \right| \le {A_2}B \le \sqrt {B{K^2} + {{\left( {K{A_1} + 4} \right)}^2}} = \sqrt {85} \).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Trong \(mp\left( {ABCD} \right)\) gọi \(E,K,F\) lần lượt là giao điểm của \(MN\) với \(DA,DB,DC\).

Trong \(mp\left( {SDB} \right)\) gọi \(H = KP \cap SB\)

Trong \(mp\left( {SAB} \right)\) gọi \(T = EH \cap SA\)

Trong \(mp\left( {SBC} \right)\) gọi \(R = FH \cap SC\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in MN}\\{H \in KP}\end{array} \Rightarrow EH \subset \left( {MNP} \right)} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{T \in SA}\\{T \in EH}\end{array} \Rightarrow T = SA \cap \left( {MNP} \right)} \right.\)

Lí luận tương tự ta có \(R = SC \cap \left( {MNP} \right)\)

Thiết diện là ngũ giác \(MNRHT\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {2; - 1;0} \right)\) và qua \(N\left( {1;2; - 3} \right)\), đường thẳng \({\rm{\Delta '}}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} = \left( {2; - 1;0} \right)\) và qua \(M\left( {3;1; - 3} \right)\).

Xét \(\left[ {\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} ,\overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} } \right] = \vec 0\) suy ra \({\rm{\Delta }}\) và \({\rm{\Delta '}}\) có thể song song hoặc trùng. (Có thể dùng \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} \))

Thay tọa độ \(N\left( {1;2; - 3} \right)\) vào \({\rm{\Delta '}}\) ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 3 + 2t'}\\{2 = 1 - t'}\\{ - 3 = - 3}\end{array} \Leftrightarrow t' = - 1} \right.\) hay \(N\left( {1;2; - 3} \right)\) thuộc\({\rm{\Delta '}}\).

Vậy \({\rm{\Delta }} \equiv {\rm{\Delta '}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác suất cổ điển

Lời giải

Mỗi bước đi quân vua có thể đi đến 8 ô xung quanh, từ đó suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {8^3}\).

Cách 1.

Gắn hệ trục \(Oxy\) vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ \(\left( {x;y} \right)\). Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm \(\left( {x;y} \right)\) đến điểm có tọa độ \(\left( {x + {x_0};y + {y_0}} \right)\) trong đó \({x_0};{y_0} \in \left\{ { - 1;0;1} \right\};\,\,{x_0}^2 + {y_0}^2 \ne 0\). Ví dụ nếu \({x_0} = 1;{y_0} = 0\) thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, \({x_0} = - 1;{y_0} = - 1\) thì di chuyển xuống ô đường chéo.

Giả sử tọa độ ban đầu là \(\left( {0;0} \right)\), thế thì sau 3 bước đi thì tọa độ của quân vua là

\(\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3};{y_1} + {y_2} + {y_3}} \right);{x_1},{x_2},{x_3},{y_1},{y_2},{y_3} \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Để về vị trí ban đầu thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} + {x_3} = 0}\\{{y_1} + {y_2} + {y_3} = 0}\end{array}} \right.\). Suy ra các bộ \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) và \(\left\{ {{y_1};{y_2};{y_3}} \right\}\) là một hoán vị của

\(\left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

+) \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) có 6 cách chọn, với mỗi cách chọn \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) có 4 cách chọn \(\left\{ {{y_1};{y_2};{y_3}} \right\}\) vì \(\left( {{x_i};{y_i}} \right),i = \overline {1;3} \) không đồng thời bằng 0.

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là \(p = \frac{{24}}{{{8^3}}} = \frac{3}{{64}}\)

Cách 2.

Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau 3 bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong 8 ô xung quanh ô ban đầu.

Trường hợp 1.Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung cạnh với ô ban đầu.

Từ đây quân vua có 4 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo).

Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.

Vậy số cách đi ở TH1: \(4 \times 4 \times 1 = 16\) cách.

Trường hợp 2. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung đỉnh với ô ban đầu.

Từ đây quân vua chỉ có 2 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc).

Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.

Vậy số cách đi ở TH2: \(4 \times 2 \times 1 = 8\) cách.

Xác suất cần tìm: \(p = \frac{{16 + 8}}{{{8^3}}} = \frac{3}{{64}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Phương pháp tịnh tiến đồ thị

Lời giải

Ta có \(y = {\rm{sin}}x = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\).

* Tịnh tiến đồ thị \(y = {\rm{cos}}x + 1\) sang phải \(\frac{\pi }{2}\) đơn vị ta được đồ thị hàm số\(y = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + 1\).

* Tiếp theo, tịnh tiến đồ thị \(y = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + 1\) xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số\(y = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = {\rm{sin}}x\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính cosin giữa hai đường thẳng

Lời giải

\({\rm{cos}}\left( {\widehat {AC,BM}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AC} \left| . \right|\overrightarrow {BM} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CB} } \right)} \right|}}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\)

\( = \frac{{|\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} |}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\left| {a.\frac{a}{2}\cos {{120}^^\circ } - a.a.\cos {{120}^^\circ }} \right|}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right|}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án đúng là “3/4”

Phương pháp giải

Tỷ lệ diện tích

Lời giải

​

Hai hình vuông trên minh họa cho một ô vuông (trắng hoặc đen)

Từ hình minh họa trên, ta thấy nếu tâm đồng xu nằm trên cạnh của hình vuông nhỏ (nét đứt) thì đồng xu sẽ tiếp xúc với một hoặc hai cạnh của hình vuông lớn.

Còn nếu tâm đồng xu nằm trong hình vuông nhỏ thì đồng xu sẽ nằm hoàn toàn bên trong hình vuông lớn (không tiếp xúc cạnh nào)

Nếu tâm đồng xu thuộc vào phần màu xanh thì nó sẽ chạm cả hai ô vuông đen và ô vuông trắng.

Vậy xác suất để đồng xu chạm vào cả ô trắng và ô đen khi tâm đồng xu rơi vào phần màu xanh.

Khi đó ta có:

Diện tích ô vuông là \(2 \times 2 = 4\)

Diện tích ô vuông nhỏ là \(1 \times 1 = 1\)

Diện tích phần tô màu xanh là \(4 - 1 = 3\)

Vậy xác suất để đồng xu chạm vào cả ô trắng và ô đen là \(\frac{3}{4}\)

Đáp án đúng là "-10"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi toạ độ giao điểm của \(d\) và \(\left( {Oxz} \right)\) là \(I\left( {a;0;c} \right)\).

Khi đó ta có: \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{0 + 2}}{{ - 1}} = \frac{{c + 1}}{3}\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 3}\\{c =  - 7}\end{array}} \right.\).

Vậy \(I\left( { - 3;0; - 7} \right)\). Nên \(S = \left( { - 3} \right) + 0 + \left( { - 7} \right) =  - 10\).

Đáp án đúng là "1/3"

Phương pháp giải

Phân chia khối hộp ra các phần, lập tỉ số thể tích.

Lời giải

​

Gọi \(V\) là thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

Ta có: \({V_{A.A'BD}} = {V_{B'.A'BC'}} = {V_{C.BDC'}} = {V_{D'.A'C'D}} = \frac{1}{6}V\)

Mà

\[V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V_{BDA'C'}} + {V_{AA'BD}} + {V_{B'A'BC'}} + {V_{CBDC'}} + {V_{D'A'C'D}}\]

\[ = {V_{BDA'C'}} + \frac{4}{6}V\].

\( \Rightarrow {V_{BDA'C'}} = \frac{1}{3}V \Rightarrow \frac{{{V_{BDA'C'}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{1}{3}\).

Đáp án đúng là "3/16"

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc cộng và nhân xác suất.

Lời giải

Gọi \({A_i}\) là biến cố "cầu thủ sút phạt vào vị trí \(i\)"

\({B_i}\) là biến cố "thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ \(i\)"

Và \(C\) là biến cố "Cú sút phạt không vào lưới"

Dễ thấy \(P\left( {{A_i}} \right) = P\left( {{B_i}} \right) = \frac{1}{4}\).

Ta có:

\(P\left( C \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right)P\left( {{B_2}} \right) + \frac{1}{2}P\left( {{A_3}} \right)P\left( {{B_3}} \right) + \frac{1}{2}P\left( {{A_4}} \right)P\left( {{B_4}} \right)\)

          \( = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{3}{{16}}.\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trung điểm \(SA\).

- Gọi \(N\) là trung điểm \(SA\).

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng (\(MBC\)) và \(\left( {ABCD} \right)\).

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải

Gọi \(H\) là trung điểm \(SA\).

Gọi \(N\) là trung điểm \(SA\).

Ta có: \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {MBC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {NBA}\)

Khi đó \({\rm{cos}}\alpha = {\rm{cos}}\widehat {NBA} = {\rm{cos}}{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân xác suất.

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: "Lần đầu lấy được bi đỏ".

\(B\) là biến cố: "Lần hai lấy được bi trắng".

Vì \(n\left( A \right) = 8\) nên \(P\left( A \right) = \frac{8}{{13}}\).

Nếu \(A\) xảy ra tức là lần đầu lấy được bi đỏ thì trong hộp có 12 viên bi với 5 bi trắng.

Vậy \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{5}{{12}}\).

Theo công thức nhân xác suất: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{8}{{13}}.\frac{5}{{12}} = \frac{{10}}{{39}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: \(2;3;5;5;7;10;13\).

Vì cỡ mẫu là \(n = 8\), là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:\({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {5 + 7} \right) = 6\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(2;3;5;5\). Do đó \({Q_1} = 4\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(7;10;13;15\). Do đó \({Q_3} = 11,5\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xét 2 trường hợp:

TH1: Chia đều thời gian tắm.

TH2: Chia thời gian sao cho thời gian mỗi phòng gần nhau nhất.

Lời giải

Tổng thời gian mà 6 người dùng là: \(8 + 10 + 12 + 17 + 21 + 22 = 90\)

Để tất cả họ dùng xong sớm nhất \( \Rightarrow \) chia đều thời gian dùng cho 2 phòng tắm.

Tốt nhất: \(90:2 = 45\)

Tuy nhiên không có cách sắp xếp nào để có 3 người có tổng thời gian sử dụng là 45 phút.

\( \Rightarrow \) Không thể chia đều.

Chia làm sao tổng thời gian mỗi bên gần nhau nhất: \(90 = 44 + 46\)

\(8 + 17 + 21 = 46\)

\(10 + 12 + 22 = 44\)

Cách sắp xếp:

Phòng 1: ba người 8, 17, 21 dùng.

Phòng 2: ba người 10, 12, 22 dùng.

Thời gian xong sớm nhất là lúc: 7 giờ 46 phút.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Đường tròn lớn của bán kính bằng bán kính mặt cầu.

Chu vi đường tròn bán kính R là \(C = 2\pi R\).

Lời giải

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I\left( {2; - 1;a} \right)}\\{R = \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {a^2} - 10a} = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} }\end{array}} \right.\)

ĐКХĐ: \({a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 5 + 2\sqrt 5 }\\{a < 5 - 2\sqrt 5 }\end{array}} \right.\).

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).

\( \Rightarrow \) Chu vi: \(C = 2\pi R = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).

Mà \(C = 8\pi \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 8\pi \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 4\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{a = 11}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow S = \left\{ { - 1;11} \right\}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa.

Lời giải

Ta có: \(y' = {\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{e}{2}}}} \right)^'} = \frac{e}{2}.2x{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{e}{2} - 1}} = ex{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{e}{2} - 1}} = ex\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{e - 2}}} \)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đặt ẩn là chiều rộng của hình chữ nhật, khi đó ta có diện tích là phương trình bậc hai.

Lời giải

Gọi \(x\left( {cm} \right)\) là chiều rộng của hình chữ nhật. Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là \(\left( {20 - x} \right)\left( {cm} \right)\)

Ta có \(0 < x \le 20 - x \Rightarrow 0 < x \le 10\). (1)

Diện tích hình chữ nhật là: \(S = x\left( {20 - x} \right)\).

Theo giả thiết đề bài ta có:

\(S = x\left( {20 - x} \right) \ge 40 \Leftrightarrow - {x^2} + 20x - 40 \ge 0 \Leftrightarrow 10 - 2\sqrt {15} \le x \le 10 + 2\sqrt {15} \)

Kết hợp với điều kiện (1) ta có: \(10 - 2\sqrt {15} \le x \le 10\)

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng từ 2,25 cm đến 10 cm.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Nguyên hàm có điều kiện.

Lời giải

Ta có: \(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ {e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C,\,\,F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).

Khi đó \(F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}.{e^{2{\rm{ln}}3}} - \frac{1}{2} = 4\).                 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định giao điểm với trục \(Ox\)

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm là cực trị của đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\).

Đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm là cực trị của đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\).

Từ đó ta có đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),y = f'\left( x \right),y = f''\left( x \right)\) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong: \(\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_3}} \right)\)

Đáp án đúng là "39"

Phương pháp giải

Quy tắc cộng

Lời giải

Để chọn 2 điểm trong 18 điểm đã cho nối lại cắt hai trục toạ độ thì hai điểm đó phải thuộc hai góc phần tư đối đỉnh với nhau.

TH1: Chọn 1 điểm ở góc phần tư thứ I và 1 điểm ở góc phần tư thứ III

Số đoạn thẳng tạo thành: \(3.5 = 15\).

TH2: Chọn 1 điểm ở góc phần tư thứ II và 1 điểm ở góc phần tư thứ IV

Số đoạn thẳng tạo thành: \(4.6 = 24\).

Theo quy tắc cộng ta có \(24 + 15 = 39\) đoạn thẳng.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

­­Lời giải

Cái săm được coi như là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình tròn bán kính \(R = \frac{{31 - 21}}{2} = 5\left( {{\rm{cm}}} \right)\) quanh trục \(Ox\) (hình vẽ)

Phương trình đường tròn \({x^2} + {(y - 26)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 26 + \sqrt {25 - {x^2}} }\\{y = 26 - \sqrt {25 - {x^2}} }\end{array}} \right.\)

Vậy thể tích khối không khí trong cái săm là:

\( = \pi \int\limits_{ - 5}^5 {104\sqrt {25 - {x^2}} dx} = 1300{\pi ^2}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Công thức tính tứ phân vị thứ nhất: \({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).

Lời giải

Cỡ mẫu \(n = 56\). Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}\), do \({x_{14}},{x_{15}}\) thuộc nhóm \(\left[ {12,5;15,5} \right)\)

nên \({Q_1}\) thuộc nhóm này.

Có \(p = 2;{a_2} = 12,5;{m_2} = 12;{m_1} = 3;{a_3} - {a_2} = 3\)

\( \Rightarrow {Q_1} = 12,5 + \frac{{\frac{{56}}{4} - 3}}{{12}}.3 = 15.25\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số.

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 6{x^2} + 126x + 130,5\,\,\left( {x \in \left[ {1;14} \right]} \right)\).

Có \(f'\left( x \right) = - 12x + 126\). Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10,5\).

Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy khối lượng cá tối đa có thể thu hoạch được ở ao A là \(f\left( {10,5} \right) = 792\) (kg).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số.

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = - 2{x^3} + 30{x^2} + 66x + 49,5\,\,\left( {x \in \left[ {1;14} \right]} \right)\).

Có \(g'\left( x \right) = - 6{x^2} + 60x + 66\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 \notin \left[ {1;14} \right]}\\{x = 11}\end{array}} \right.\)

Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy để thu hoạch được khối lượng cá lớn nhất ở ao B thì cần thả 11 kg cá giống ở ao B, tức là phải thả \(15 - 11 = 4\) (kg) cá giống ở ao A. Lúc này, khối lượng cá giống thu hoạch được ở ao A là \(f\left( 4 \right) = 538,5\) (kg).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số.

Lời giải

Gọi \(x\,\,\left( {x \in \left[ {1;14} \right]} \right)\)(kg) là khối lượng cá thả vào ao B, khi đó khối lượng cá thả vào ao A là \(15 - x\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Khi đó, tổng khối lượng cá thu hoạch được ở cả hai ao là:

\(h\left( x \right) = f\left( {15 - x} \right) + g\left( x \right)\)

\(h\left( x \right) = \left[ { - 6{{(15 - x)}^2} + 126\left( {15 - x} \right) + 130,5} \right] + \left[ { - 2{x^3} + 30{x^2} + 66x + 49,5} \right]\)

\(h\left( x \right) = \left( { - 6{x^2} + 54x + 670,5} \right) + \left( { - 2{x^3} + 30{x^2} + 66x + 49,5} \right)\)

\(h\left( x \right) = - 2{x^3} + 24{x^2} + 120x + 720\)

Có \(h'\left( x \right) = - 6{x^2} + 48x + 120\). Cho \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 \notin \left[ {1;14} \right]}\\{x = 10}\end{array}} \right.\).

Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy để thu hoạch được tổng khối lượng cá lớn nhất ở hai ao thì cần thả 10 kg cá giống ở ao B. Lúc này, khối lượng cá giống thu hoạch được ở ao B là \(g\left( {10} \right) = 1709,5\) (kg).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Các từ “thông minh, thông thái, thông tuệ” đều dùng để nói về sự nhanh nhạy, hiểu biết, dùng để chỉ đặc tính con người.

- Riêng từ “thông suốt” là thông từ đầu đến cuối, không bị gián đoạn, vướng mắc (hiểu rõ từ đầu đến cuối).

=> Từ “thông suốt” không cùng nhóm với các từ còn lại.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- “Lề lối”: Cách thức đã trở thành thói quen.

- “Lề thói”: Thói quen chung từ lâu đã thành nếp. 

- “Lề luật”: Là những nguyên tắc điều tiết và cách thức hành xử của các thành viên trong hội đoàn hay tổ chức nào đó.

- “Nền nếp”: Là những thói quen, quy định để duy trì những cách làm việc hợp lí, có trật tự, có tổ chức.

=> Như vậy có thể thấy, các từ “lề lối, lề thói, nền nếp” đều để chỉ những thói quen mà xã hội đã ngầm công nhận với nhau, riêng “lề luật” lại chỉ những nguyên tắc, quy định được thống nhất, có sự công nhận của mọi người một cách chính thống.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức về nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại 

Lời giải

- Các từ “kín đáo”, “kín kẽ”, “kín tiếng” đều chỉ tính cách của con người (cố tình giấu đi để tránh tác động từ bên ngoài).

- Còn từ “kín mít” (rất kín, không có một chỗ hở nào) thường chỉ đặc điểm, trạng thái bên ngoài của sự vật/con người. Vậy nên từ “kín mít” mang nghĩa khác các từ còn lại.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức về loại từ (từ ghép, từ láy).

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

Từ “ngán ngẩm” là từ láy. Trong đó, các từ còn lại “tóc tai, ngon ngọt, râu ria” đều là từ ghép.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức phân loại từ (từ ghép tổng hợp, từ ghép phân loại).

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Các từ “tàu thuyền, xe cộ, tàu phà” đều là các từ ghép tổng hợp chỉ phương tiện giao thông.

- “xe máy” là từ ghép phân loại, chỉ một loại phương tiện giao thông cụ thể.

=> Từ “xe máy” không cùng nhóm với các từ còn lại.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nghĩa của từ và câu.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Ở vị trí cần điền thứ nhất:

Vế câu này đề cập đến các trạng thái của lưu huỳnh. Chú ý đến cụm từ “chảy qua” => Đáp án B và D không phù hợp vì chất khí và chất rắn không thể “chảy qua”. 

- Ở vị trí cần điền thứ hai:

Chú ý đến cụm từ “thành cặn” => không thể hoá khí thành cặn. => Đáp án A sai.

=> Đáp án C đúng.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, từ loại, logic, phong cách.

Dạng bài điền từ

Lời giải

Dựa vào ngữ cảnh của câu văn thì các đáp án ở vị trí cần điền thứ nhất đều hợp lí.

Ở vị trí điền từ thứ hai:

- “đánh dấu” nghĩa là làm một dấu hiệu để dễ nhận ra khi cần.

- “dự báo” nghĩa là báo trước về tình hình có nhiều khả năng sẽ xảy ra, dựa trên cơ sở những số liệu, thông tin đã có.

- “mở đầu” nghĩa là bắt đầu diễn ra một quá trình, một sự kiện nào đó.

- “báo hiệu” nghĩa là báo cho biết bằng hiệu lệnh, tín hiệu.

Dựa vào hình ảnh so sánh “tiếng sét trên cánh đồng chữ nghĩa” => Đáp án B và D phù hợp. Tuy nhiên, tiếng sét là yếu tố báo cho biết bằng tín hiệu (tiếng sét) => Đáp án D phù hợp hơn cả.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: cằn khô - báo hiệu.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ và câu.

Dạng bài điền từ

Lời giải

Ở vị trí điền từ thứ nhất: 

- “đặc biệt là” và “nhất là” biểu thị ý nghĩa nhấn mạnh một điều quan trọng. Câu này nhắc đến “tháng Giêng” và thời gian của Tết (Tết Nguyên đán) thuộc tháng Giêng (theo âm lịch). Như vậy; kỉ niệm về Tết là những điều thuộc về tháng Giêng được nhấn mạnh. => 2 đáp án này phù hợp.

- “cùng với đó là” biểu thị mối quan hệ song hành; trong khi thời gian tháng Giêng và Tết không tồn tại độc lập, song hành => Đáp án B sai.

- “không chỉ là” ý biểu thị rằng sự việc, đối tượng hoặc ý kiến không dừng lại ở một khía cạnh cụ thể mà còn bao gồm những yếu tố khác. => phù hợp.

Ở vị trí điền từ thứ hai: Cần chú ý đến mối quan hệ giữa các từ. 

- “dung dị và mộc mạc” hợp lí. Tuy nhiên, hai từ này cùng chung một ý nghĩa nên sử dụng cả 2 từ ở đây không cần thiết.

- “đẹp đẽ và xa vời” không phù hợp trong ngữ cảnh này. Vì tác giả nhớ về những kỉ niệm trong khoảnh khắc nhìn thấy những đứa trẻ vui đùa. Đây là khung cảnh thường thấy nên từ “đẹp đẽ” sử dụng trong bối cảnh này không phù hợp.

- “giản đơn và lắng đọng” phù hợp. Vì “giản đơn” thể hiện được ý của cả “dung dị và mộc mạc”; để cho thấy những kỉ niệm về ngày Tết rất gần gũi, thân thuộc nhưng cũng rất “lắng đọng” , sâu sắc và không dễ phai mờ trong kí ức của chủ thể. 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nội dung câu văn, nghĩa của từ.

Dạng bài điền từ

Lời giải

Ở vị trí điền từ thứ nhất: chú ý nghĩa bao quát của toàn câu văn. 

- “luận điểm” chưa phù hợp. Từ này thường được dùng với những thao tác lập luận, bình luận, bàn luận về vấn đề chứ không thuộc về vấn đề => Đáp án A sai.

- “quyết định” chưa phù hợp. Từ này được dùng theo cách “quyết định cho một việc nào đó”; không phải của một “vấn đề” (tức là tự thân vấn đề đó không tồn tại “quyết định” được) => Đáp án C sai.

- Tương tự như đáp án C, đáp án D sai.

=> Đáp án B phù hợp.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: góc độ - đột phá.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào hiểu biết về nghĩa của từ, suy luận logic.

Dạng bài điền từ

Lời giải

Ở vị trí cần điền thứ nhất: 

- Vị trí này cần một tính từ chỉ mối quan hệ giữa hai đối tượng => từ “ổn định” không phù hợp vì nó mang ý nghĩa ở trạng thái yên ổn, không còn có những biến động, thay đổi đáng kể; thuộc về một đối tượng => Đáp án A sai.

- Từ “thoải mái” thường để chỉ cảm giác dễ chịu của bản thân, không phải giữa hai đối tượng. => Đáp án C sai.

Ở vị trí cần điền thứ hai: 

- “an phận” nghĩa là chấp nhận vị trí, hoàn cảnh của mình mà không đòi hỏi hay tham vọng vượt quá giới hạn hiện tại.

- “bằng lòng” nghĩa là cảm thấy vừa ý, cho là ổn, là được.

Hai từ có nét nghĩa tương đồng. Tuy nhiên, “an phận” thường dùng để miêu tả lối sống hoặc thái độ chấp nhận vị trí hiện tại một cách lâu dài, ổn định. Còn “bằng lòng” thể hiện sự đồng ý, chấp nhận một điều gì đó trong một tình huống cụ thể. Tình huống ở đây là việc “họ cho rằng (điều đó) chưa xứng đáng”.

=> Từ “bằng lòng” phù hợp hơn.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu trên là: cân bằng - bằng lòng.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

- Cụm từ sai là: người nghệ nhân. Vì từ “nghệ nhân” là từ có yếu tố Hán Việt, nghĩa là “người chuyên nghề biểu diễn một bộ môn nghệ thuật hoặc chuyên làm một nghề thủ công mĩ nghệ, có tài nghệ cao”. Trong đó, từ “nhân” có nghĩa là “người” nên từ “người” đứng ở đầu câu không cần thiết.

=> Sửa lại: Nghệ nhân không chỉ góp phần bảo vệ di sản mà còn giúp cho di sản trở nên sống động trong đời sống đương đại.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ, ngữ cảnh.

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

- Động từ và tính từ thường đi kèm với từ “sự” ở phía trước để được sử dụng như một danh từ.

- Tuy nhiên, từ “ý thức” đã là một danh từ, có nghĩa là “sự nhận thức đúng đắn, biểu hiện bằng thái độ, hành động cần phải có” (trong trường hợp này). Như vậy, việc sử dụng từ “sự” ở phía trước là không hợp lí.

Sửa lại: Hoạ sĩ Đoàn Hoà cho rằng: với những người làm nghệ thuật, việc khắc phục tình trạng sao chép đạo nhái tác phẩm phải đến từ ý thức, sự tự trọng của người làm nghề.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào lỗi sai về nghĩa của từ, logic.

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

- Từ sai ở đây là “lúng túng”. “Lúng túng” được hiểu là “không làm chủ được tình hình nên không biết hành động, xử trí như thế nào”. Trong khi đó, “chúng ta” đã, đang “tự mình đi tìm”, tức là có hành động chứ không phải không biết hành động như thế nào.

- Từ “loay hoay” (từ gợi tả dáng vẻ cặm cụi thử đi thử lại hết cách này đến cách khác để cố làm cho được) sẽ phù hợp hơn.

=> Sửa lại: Có những ngày, chúng ta dễ nhầm lẫn rung động của mình trước một ai đó là tình yêu, rồi loay hoay tự mình đi tìm đáp án thật sự.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

Từ “khốn khổ” có nghĩa là (cuộc sống) rất vất vả, rất khổ sở, thiếu thốn mọi bề. Tuy nhiên, để đạt đến mức độ biểu đạt “cận kề bên cái chết” thì từ này chưa phù hợp.

=> Sửa lại: Trong hoàn cảnh khốn cùng, dù cận kề bên cái chết nhưng những con người ấy không nghĩ đến cái chết mà vẫn hướng tới sự sống, vẫn hy vọng, tin tưởng ở tương lai.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào lỗi sai về ngữ pháp/ngữ nghĩa/logic/phong cách.

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

Từ “vãn cảnh” được hiểu là cảnh chiều hôm/cảnh về già. Trong khi ở đây cần từ biểu đạt theo ý nghĩa: đến thăm/đi chơi… Từ đúng ở đây là “vãng cảnh” (“vãng” có nghĩa là đến).

=> Sửa lại: Ngồi đò trên dòng suối Yến là trải nghiệm không thể bỏ qua với du khách vãng cảnh chùa Hương, nhất là mùa lễ hội đầu năm.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nội dung văn bản.

Dạng bài đọc hiểu văn bản - Câu hỏi kết hợp

Lời giải

- Đáp án A sai vì bộ nhớ làm việc không có chức năng lưu trữ lâu dài, mà chỉ hỗ trợ việc xử lý thông tin tạm thời. Trí nhớ dài hạn mới là nơi lưu giữ thông tin lâu dài.

- Đáp án B đúng vì theo văn bản, Baddeley & Hitch đã chỉ ra rằng bộ nhớ làm việc có một trung tâm điều hành giúp kiểm soát sự chú ý, quyết định thông tin nào quan trọng, và có hệ thống xử lý âm thanh, hình ảnh. Điều này cho thấy nó không chỉ là nơi lưu trữ mà còn có chức năng xử lý thông tin.

- Đáp án C sai vì bộ nhớ làm việc không phải là một phần của bộ nhớ dài hạn, mà nó chỉ hỗ trợ việc chuyển thông tin vào bộ nhớ dài hạn thông qua quá trình xử lý.

- Đáp án D sai vì văn bản nhấn mạnh rằng bộ nhớ làm việc cần có sự chú ý để thông tin không bị lãng quên.