Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 36)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát và đánh giá

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + {x^2} - x\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Đạo hàm: \(g'\left( x \right) = - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) \ge - \frac{1}{2}\left( {1 - 2x} \right)\) (*)

Đặt: \(t = 1 - 2x,t \in \mathbb{R}\), Bất phương trình (*) trở thành: \(f'\left( t \right) \ge - \frac{1}{2}t\)

Từ đồ thị ta có: \(f'\left( t \right) \ge - \frac{1}{2}t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le t \le 0}\\{t \ge 4}\end{array}} \right.\)

Do đó: \(g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le 1 - 2x \le 0}\\{1 - 2x \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}}\\{x \le - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát và đánh giá

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\)

Có: \(g'\left( x \right) = 3.f'\left( {x + 3} \right) - 3{x^2}\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 3.\left[ {1 - {{(x + 3)}^2}} \right]\left( {x + 3 - 5} \right) = 3\left( {1 - {x^2} - 6x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\( = 3\left( { - {x^2} - 6x - 8} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{ - {x^2} - 6x - 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 2}\\{x = - 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 4; - 2} \right)\) và (2;\( + \infty \))

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Đặt \({\rm{sin}}x = t\), khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)

Lời giải

Đặt \({\rm{sin}}x = t\)

\(x \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Yêu cầu bài toán tương ứng với tìm điều kiện của \(m\) để hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}}\) đồng biến trênkhoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}}\). Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( t \right) > 0}\\{m \notin \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m + 2 > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};2} \right)} \right.} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Lập hệ phương trình

Lời giải

Xét hàm số: \(y = a{x^3} + b{x^2} + c\)

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx\)

Theo bài: Hai điểm \(A\left( {0;1} \right)\) và \(B\left( { - 1;2} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + c \Rightarrow x = 0\) và \(x =  - 1\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\)

\( \Rightarrow 3a - 2b = 0\)(1)

Vì \(A\left( {0;1} \right)\) và \(B\left( { - 1;2} \right)\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + c\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{.0}^3} + b{{.0}^2} + c = 1}\\{ - a + b + c = 2}\end{array}} \right.\) (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a - 2b = 0}\\{c = 1}\\{ - a + b + c = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1}\\{a = 2}\\{b = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy: \(a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Chia các trường hợp của \(m\). Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt

Lời giải

Trường hợp 1: \(m = 0\)

Thay \(m = 0\) vào phương trình hàm số ta có: \(y = {x^2} - 1\)

Xét hàm số: \(y = {x^2} - 1\)

\(y' = 2x,y' = 0 \Rightarrow x = 0\)

Hàm số \(y = {x^2} - 1\) có 1 cực trị \(x = 0\) nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: \(m \ne 0\)

Xét hàm số: \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình

\(m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\) (*) có ba nghiệm phân biệt.

Ta có: \(m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m{x^3} - 2m{x^2} + {x^2} + 2mx - m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {{x^3} - 2{x^2} + 2x - 1} \right) + {x^2} - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {m{x^2} - mx + m + x + 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0}\end{array}} \right.\)

Để phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \(m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} > 0}\\{m{{.1}^2} - \left( {m - 1} \right).1 + 1 + 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m - 1)}^2} - 4m\left( {m + 1} \right) > 0}\\{3 \ne 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow - 3{m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3} < m < \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 3} \right) \ge 0}\\{x + 3 > 0}\end{array} \Leftrightarrow - 3 < x \le 6} \right.\)

Bất phương trình tương đương:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{16}^x} - {{65.4}^x} + 64 \le 0}\\{2 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 3} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le {4^x} \le 64}\\{x = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 3}\\{x = 6}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Kết hợp với điều kiện xác định ta được: \(0 \le x \le 3\).

Vậy có 3 số nguyên dương thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là "2024"

Phương pháp giải

Hàm số có hai cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\left( {1 - {m^2}} \right)x + 1\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + 3\left( {1 - {m^2}} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3\left( {1 - {m^2}} \right) = 0\)

Để hàm số có hai cực trị \( \Rightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow {\rm{\Delta '}} > 0\)

\( \Rightarrow {3^2} - 3.3.\left( {1 - {m^2}} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow 9 - 9 + 9{m^2} > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} > 0 \Rightarrow m \ne 0\)

Kết hợp với yêu cầu bài toán \(m \in \left[ {1;2024} \right] \Rightarrow \) Có 2024 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Lời giải

Nếu \(2n < 0\) thì phương trình vô nghiệm (loại)

Nếu \(n = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = m\) có tối đa 3 nghiệm (loại)

Nếu \(n > 0 \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - m} \right| = 2n \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) - m = 2n}\\{f\left( x \right) - m =  - 2n}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = m + 2n\,\,(1)}\\{f\left( x \right) = m - 2n\,\,(2)}\end{array}} \right.} \right.\)

Đường thẳng \(y = m + 2n\) song song và nằm phía trên đường thẳng \(y = m - 2n\).

Vì vậy phương trình có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 3 nghiệm hoặc ngược lại.

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 2n = 11}\\{ - 5 < m - 2n < 11}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5 < m + 2n < 11}\\{m - 2n =  - 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 11 - 2n}\\{ - 5 < (11 - 2n) - 2n < 11}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5 < (2n - 5) + 2n < 11}\\{m = 2n - 5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 11 - 2n}\\{0 < n < 4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < n < 4}\\{m = 2n - 5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow \left( {m;n} \right) = \left( {9;1} \right);\left( {7;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( { - 3;1} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {1;3} \right)\)

Vậy có 6 cặp số nguyên \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số cộng. Đặt \(x = {\rm{sin}}t,y = {\rm{cos}}t\)

Lời giải

Do \({x^2};\frac{1}{2};{y^2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \({x^2} + {y^2} = 2.\frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\) (1)

Đặt \(x = {\rm{sin}}t,y = {\rm{cos}}t,t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow P = \sqrt 3 \sin t.{\rm{cos}}t + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}t = \frac{{\sqrt 3 {\rm{sin}}3t + {\rm{cos}}2t + 1}}{2} = {\rm{sin}}\left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) = P - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow - 1 \le P - \frac{1}{2} \le 1 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{2} \le P \le \frac{3}{2}\)

Ta có \(:M = \frac{3}{2}\) khi \({\rm{sin}}\left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\) mà \(m = \frac{{ - 1}}{2}\) khi \({\rm{sin}}\left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1\)

Vậy \(S = M + m = 1\)

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đánh giá hoặc khảo sát hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m\)

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Khi đó: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy \(f\left( 0 \right) = m,f\left( 1 \right) = m - 2,f\left( 2 \right) = m + 2\).

Do đó:

\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \left| {m + 2} \right| \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {m + 2} \right| = 3}\\{\left| {m + 2\left|  \ge  \right|m - 2} \right|}\\{\left| {m + 2} \right| \ge \left| m \right|}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 0}\\{m \ge  - 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m =  - 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow m = 1\)

\(\mathop {\max }\limits_{[0;2]} y = |m| \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|m|\, \ge \,|m + 2|}\\{|m|\, \ge \,|m - 2|}\\{|m|\, = \,\,3}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le  - 1}\\{m \ge 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m =  - 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Rightarrow m \in \emptyset } \right.\)

Vậy tập hợp \(S\) có hai phần tử là \(m = 1,m =  - 1\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(A,B\) là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do \({\rm{\Delta }}IAB\) vuông tại \(I\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp \({\rm{\Delta }}IAB\) là

\(R = \frac{1}{2}AB = \sqrt 2 \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 2 \)

Ta có: \(IA.IB = 4,AB = \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} \ge \sqrt {2IA.IB} = 2\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(IA = IB\). Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến \(k = \pm 1\)

Mặt khác \(k = y'\left( a \right) = \frac{{ - 1}}{{{{(a - 1)}^2}}} < 0 \Rightarrow k = - 1\).

Ta có: \(\frac{{ - 1}}{{{{(a - 1)}^2}}} = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{a = 2}\end{array}} \right.\)

Do \(a > 0 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = 3\)

Vậy \(a + 2b = 8\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lập hàm và khảo sát hàm, tìm GTNN của hàm

Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là \(x\left( m \right)\), khi đó độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{{6 - 3x}}{4}\)

Tổng diện tích khi đó là:

\(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + {\left( {\frac{{6 - 3x}}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{16}}\left[ {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36} \right]\)

Xét hàm số \(y = \frac{1}{{16}}\left[ {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36} \right]\), hàm số là hàm bậc 2 với hệ số \(a = \frac{1}{{16}}.\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right) > 0\), nên đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới

\( \Rightarrow \) Diện tích nhỏ nhất khi \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\)

\({\rm{\Delta }} \subset \left( P \right) \Rightarrow d{(A,d)_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right]\)

Lời giải

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\) khi đó \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Khi đó \({\rm{\Delta }} \subset \left( P \right) \Rightarrow d{(A,d)_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right]\)

\(\overrightarrow {AM} = \left( {0;4; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right] = \left( { - 24;12; - 24} \right) = - 12\left( {2; - 1;2} \right)\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Gọi \({\rm{H}},{\rm{K}}\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\left( P \right),\left( d \right)\).

Khi đó: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = MH \le MK \Rightarrow d{(M;\left( P \right))_{{\rm{max}}}} = MK\)

Lời giải

Gọi \({\rm{H}},{\rm{K}}\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\left( P \right),\left( d \right)\).

Khi đó: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = MH \le MK \Rightarrow d{(M;\left( P \right))_{{\rm{max}}}} = MK\)

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và chứa đường thẳng \(d\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_d}} }\\{\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {MA} } \right]} \right.\) với \(A\left( { - 2;1;2} \right) \in d\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {MA} } \right]} \right]\).

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;1;2} \right)}\\{\overrightarrow {MA} = \left( {0; - 2;1} \right)}\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {0;12; - 6} \right) = 6\left( {0;2; - 1} \right)} \right.\)

Phương trình mặt phẳng: \(\left( P \right):0\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2y - z - 4 = 0\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Xét \(y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\)

\(y' = 3{x^2} - 6x + m\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + m \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge - 3{x^2} + 6x,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Đặt \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x \Rightarrow m \ge f\left( x \right),\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\(f'\left( x \right) = - 6x + 6,f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên:

\( \Rightarrow m \ge 3\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Ta có:

\(3\overrightarrow {SG} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \frac{{SA}}{{SA'}}\overrightarrow {SA'} + \frac{{SB}}{{SB'}}\overrightarrow {SB'} + \frac{{SC}}{{SC'}}\overrightarrow {SC'} \).

Mà \(G,A',A',C'\) đồng phẳng nên \(\frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} = 3 \Leftrightarrow \frac{a}{{SA'}} + \frac{b}{{SB'}} + \frac{c}{{SC'}} = 3\)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\left( {\frac{1}{{S{{A'}^2}}} + \frac{1}{{S{{B'}^2}}} + \frac{1}{{S{{C'}^2}}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {\frac{a}{{SA'}} + \frac{b}{{SB'}} + \frac{c}{{SC'}}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{S{{A'}^2}}} + \frac{1}{{S{{B'}^2}}} + \frac{1}{{S{{C'}^2}}} \ge \frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{1}{{aSA'}} = \frac{1}{{bSB'}} = \frac{1}{{cSC'}}\), kết hợp với \(\frac{a}{{SA'}} + \frac{b}{{SB'}} + \frac{c}{{SC'}} = 3\) ta được

\(SA' = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3a}},SB' = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3b}},SC' = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3c}}\)

Vậy GTNN của \(\frac{1}{{S{{A'}^2}}} + \frac{1}{{S{{B'}^2}}} + \frac{1}{{S{{C'}^2}}}\) là \(\frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng của tích phân

Lời giải

Nửa đường tròn \(\left( T \right)\) có phương trình \(y = \sqrt {2 - {x^2}} \)

Xét parabol \(\left( P \right)\) có trục đối xứng \(Oy\) nên có phương trình dạng: \(y = a{x^2} + c\)

\(\left( P \right)\) cắt \(Oy\) tại điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) nên ta có: \(c = - 1\)

\(\left( P \right)\) cắt \(\left( T \right)\) tại điểm \(\left( {1;1} \right)\) thuộc \(\left( T \right)\) nên ta được \(a + c = 1 \Rightarrow a = 2\)

Phương trình của \(\left( P \right)\) là: \(y = 2{x^2} - 1\)

Diện tích miền phẳng \(D\) (tô màu trong hình) là:

Xét , đặt \(x = \sqrt 2 {\rm{sin}}t,t \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = \sqrt 2 {\rm{cos}}tdt\).

Đổi cận:

\( \Rightarrow S = {I_1} + {I_2} = \frac{5}{3} + \frac{\pi }{2}{m^2}\)

Số tiền trồng hoa tối thiểu là: \(250000\left( {\frac{5}{3} + \frac{\pi }{2}} \right) \approx 809365\) đồng

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dùng công thức tích vô hướng giữa hai vecto

Lời giải

Ta có: \(AH = A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AH \bot BC,A'H \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\) hay \(BC \bot BB'\)

Do đó: \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.

Khi đó: \(CC' = AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow BM = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}.6}}{{16}}} = a\frac{{\sqrt {22} }}{4}\)

Xét: \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AA'} .\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CM} } \right) = 0 + AA'.CM = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {AA',BM} \right) = \frac{{\left| {\frac{{3{a^2}}}{4}} \right|}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{a\sqrt {22} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định phương trình mặt phẳng, áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Lời giải

Do \(M,N,P\) không trùng với gốc tọa độ nên \(m \ne 0,n \ne 0,p \ne 0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là: \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{m}x + \frac{1}{n}y + \frac{1}{p}z - 1 = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \({m^2},{n^2},{p^2}\) và ba số dương \(\frac{1}{{{m^2}}},\frac{1}{{{n^2}}},\frac{1}{{{p^2}}}\) ta có:

\({m^2} + {n^2} + {p^2} \ge 3\sqrt[3]{{{m^2}{n^2}{p^2}}}\) và

\(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{m^2}{n^2}{p^2}}}}}\)

\( \Rightarrow \left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \ge \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy \(d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right) \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow {m^2} = {n^2} = {p^2} = 1\)

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng cần tìm và hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)

Lời giải

Ta có \(:{d_1}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - {t_1}}\\{y = 3}\\{z = - 4 + 2{t_1}}\end{array}} \right.\) và \({d_2}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2{t_2}}\\{y = 2 + 3{t_2}}\\{z = 4 - {t_2}}\end{array}} \right.\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \({\rm{\Delta }}\)

Giả sử đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) cắt đường thẳng \({d_1}\) và \({d_1}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\)

\( \Rightarrow A\left( { - {t_1};3; - 4 + 2{t_1}} \right),B\left( {3 - 2{t_2};2 + 3{t_2};4 - {t_2}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 2{t_2} + {t_1};3{t_2} - 1;8 - {t_2} - 2{t_1}} \right)\)

Vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left( { - 1;3; - 4} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AB} \) và \(\vec n\) cùng phương nên: \(\frac{{3 - 2{t_2} + {t_1}}}{{ - 1}} = \frac{{3{t_2} - 1}}{3} = \frac{{8 - {t_2} - 2{t_1}}}{{ - 4}}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{3 - 2{t_2} + {t_1}}}{{ - 1}} = \frac{{3{t_2} - 1}}{3}}\\{\frac{{8 - {t_2} - 2{t_1}}}{{ - 4}} = \frac{{3{t_2} - 1}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{t_1} - 3{t_2} = - 8}\\{ - 6{t_1} + 9{t_2} = - 20}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{ - 44}}{3}}\\{{t_2} = - 12}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {\frac{{44}}{3};3;\frac{{ - 100}}{3}} \right),B\left( {27; - 34;16} \right)\)

Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(B\left( {27; - 34;16} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\vec n = \left( {37; - 111;148} \right)\) là: \(\frac{{x - 27}}{{37}} = \frac{{y + 34}}{{ - 111}} = \frac{{z - 16}}{{148}}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right)\).

Thật vậy: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OC \bot OA}\\{OC \bot OB}\end{array} \Rightarrow OC \bot AB} \right.\](1)

Mà \(CM \bot AB\) (vì \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\)) (2)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AB \bot \left( {OMC} \right) \Rightarrow AB \bot OM\) (*)

Tương tự \(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OM\) (**)

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right)\)

Khi đó mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có bán kính \(R = OM = \sqrt {4 + 1 + 9} = \sqrt {14} \)

Vậy mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Vẽ bảng biến thiên của hàm số \(P\left( R \right) = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) rồi dựa vào bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất của \(P\).

Lời giải

Xét hàm số \(P\left( R \right) = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(P'\left( R \right) = {E^2}\frac{{{{(R + r)}^2} - 2R\left( {R + r} \right)}}{{{{(R + r)}^4}}}\)

\(P'\left( R \right) = 0 \Leftrightarrow {E^2}\frac{{{{(R + r)}^2} - 2R\left( {R + r} \right)}}{{{{(R + r)}^4}}} = 0 \Rightarrow {(R + r)^2} - 2R\left( {R + r} \right) = 0\)

\( \Rightarrow {R^2} - {r^2} = 0 \Rightarrow R = {r_{\left( n \right)}} \vee R = - {r_{\left( l \right)}}\)

BBT

Dựa vào BBT, ta có đạt được tại \(R = r\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dựa vào đường tròn lượng giác biện luận số nghiệm

Lời giải

\(\left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x} \right) = m{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + {\rm{cos}}x} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x} \right) - m\left( {1 - {\rm{cos}}x} \right)\left( {1 + {\rm{cos}}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + {\rm{cos}}x} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x - m\left( {1 - {\rm{cos}}x} \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + {\rm{cos}}x} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}x = - 1}\\{{\rm{cos}}2x = \frac{m}{4}}\end{array}} \right.\)

Với \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right] \Rightarrow \) phương trình \({\rm{cos}}x = - 1\) có một nghiệm \(x = \pi \)

Vậy để phương trình đã cho có đúng một nghiệm trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\) thì phương trình \({\rm{cos}}2x = \frac{m}{4}\) vô nghiệm trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\)

Với \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]\).

Ta có đường tròn lượng giác:

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy phương trình \({\rm{cos}}2x = \frac{m}{4}\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{m}{4} > 1}\\{\frac{m}{4} < - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 4}\\{m < - 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là "782"

Phương pháp giải

Công thức tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Lời giải

Gọi \(n\) là số dãy ghế. Theo bài, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S = 30 + 32 +  \ldots  + 62 = \frac{{30 + 62}}{2}n = 46n}\\{S = \frac{{2.30 + \left( {n - 1} \right).2}}{2}n = \left( {29 + n} \right)n}\end{array}} \right.\)

Do đó ta có: \(46n = \left( {29 + n} \right)n \Leftrightarrow {n^2} + 29n - 46n = 0 \Leftrightarrow {n^2} - 17n = 0 \Rightarrow n = 17\)

Vậy có 17 dãy ghế và \(17.46 = 782\) ghế

Đáp án đúng là "10095"

Phương pháp giải

Tỉ lệ tăng dân số tự nhiên = tỉ lệ sinh+ tỉ lệ nhập cư - tỉ lệ tử vong - tỉ lệ xuất cư

Lời giải

Gọi \(n\) là số cá thể ban đầu của quần thể

Sau một năm số lượng cá thể của quần thể là:

\(n\left( {1 + \left( {12{\rm{\% }} + 3{\rm{\% }} - 8{\rm{\% }} - 2{\rm{\% }}} \right)} \right) = 11220 \Rightarrow n = 10095\)

Vậy ban đầu quần thể có 10095 cá thể

Đáp án đúng là "65/48"

Phương pháp giải

Giới hạn của hàm không xác định \(\frac{0}{0}\)

Lời giải

Ta có: \({x^3} - 5{x^2} + 8x - 4 = {(x - 2)^2}\left( {x - 1} \right)\)

Để khử được dạng \(\frac{0}{0}\), chúng ta cần triệt tiêu được \({(x - 2)^2}\) ở mẫu

\( \Rightarrow 2a{x^2} + 30 - {(bx + 5)^2} = 0\) có nghiệm kép \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {2a - {b^2}} \right){x^2} - 10bx + 5 = 0\) có nghiệm kép \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - {b^2} \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} = 0}\\{4\left( {2a - {b^2}} \right) - 20b + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a \ne {b^2}}\\{25{b^2} - 5\left( {2a - {b^2}} \right) = 0}\\{4\left( {2a - {b^2}} \right) - 20b + 5 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a \ne {b^2}}\\{2a - {b^2} = 5{b^2}}\\{4.5{b^2} - 20b + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a \ne {b^2}}\\{b = \frac{1}{2}}\\{a = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{{48}} = \frac{{65}}{{48}}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \({3^{{x^2} - 13}} < 27 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 13}} < {3^3} \Leftrightarrow {x^2} - 13 < 3 \Leftrightarrow {x^2} < 16 \Leftrightarrow \left| x \right| < 4 \Leftrightarrow - 4 < x < 4\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - 4;4} \right)\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân

Lời giải

Ta có:

\(v\left( t \right) = \mathop \smallint \nolimits^ a\left( t \right)dt = \mathop \smallint \nolimits^ \left( {\frac{{ - 1}}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}} \right)dt = \frac{{ - 1}}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3} + C\)

Tại thời điểm ban đầu vận động viên ở vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là:

\({v_0} = 0 \Rightarrow v\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\)

Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian \(t\) là: \(v\left( t \right) = \frac{{ - 1}}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3}\)

Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là \(6,51{\rm{\;m/s}}\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Hiệu chỉnh lại bảng mẫu số liệu:

Trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

\(\overline x = \frac{{42,5.7 + 47,5.12 + 52,5.9 + 57,5.10 + 62,5.8 + 67,5.4}}{{50}} = 53,7\)

Phương sai của mẫu số liệu trên là

\({s^2} = \frac{1}{{50}}\left( {7.42,{5^2} + 12.47,{5^2} + 9.52,{5^2} + 10.57,{5^2} + 62,{5^2}.8 + 67,{5^2}.4} \right) - 53,{7^2} = 57,56\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 7,59\)

Đáp án đúng là "29"

Phương pháp giải

Dùng ứng dụng của hàm số suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. Sau đó đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}3x\)

Lời giải

Ta có: \(f\left( x \right) = {2025^x} - \frac{1}{{{{2025}^x}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {2025^x} - {2025^{ - x}}\)

\(f'\left( x \right) = {2025^x}{\rm{ln}}2025 + {2025^{ - x}}{\rm{ln}}2025 > 0\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Do \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm lẻ trên \(\mathbb{R}\)

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}3x\), điều kiện \(t \in \left( {1;3} \right)\). Phương trình trở thành:

\(f\left( {t - m} \right) + f\left( {{t^3}} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {{t^3}} \right) =  - f\left( {t - m} \right) \Leftrightarrow f\left( {{t^3}} \right) = f\left( {m - t} \right)\) (vì \(y = f\left( x \right)\) là hàm lẻ trên \(\mathbb{R}\) nên ta có: \( - f\left( {t - m} \right) = f\left( {m - t} \right)\))

\( \Rightarrow {t^3} = m - t \Leftrightarrow {t^3} + t = m\)

Xét hàm số: \(g\left( t \right) = {t^3} + t\) với \(t \in \left( {1;3} \right)\), ta có: \(g'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\forall t \in \left( {1;3} \right)\). Mà \(f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;3} \right] \Rightarrow g\left( 1 \right) < g\left( t \right) < g\left( 3 \right)\forall t \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow 1 < g\left( t \right) < 30\forall t \in \left( {1;3} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {1;9} \right) \Leftrightarrow 1 < m < 30\)

\( \Rightarrow \) Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m là 29

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng hàm số giải bất phương trình

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Đặt \(t = {3^{{x^2} - 2}},\left( {t \ge 1} \right)\), khi đó bất phương trình trở thành: \({t^2} - 9\left( {m - 1} \right)t - m + 4 \ge 0\) (*)

Với \(t \ge 1\) thì \({t^2} + 9t + 4 - m\left( {9t + 1} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{t^2} + 9t + 4}}{{9t + 1}} \ge m\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 9t + 4}}{{9t + 1}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f'\left( t \right) = \frac{{9{t^2} + 2t - 27}}{{{{(9t + 1)}^2}}}\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{ - 2\sqrt {61} - 1}}{9} \notin \left[ {1; + \infty } \right)}\\{t = \frac{{2\sqrt {61} - 1}}{9} \in \left[ {1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình \(f\left( t \right) \ge m\) thì \(m \le \frac{{4\sqrt {61} + 79}}{{81}}\)

Mà \(m\) nguyên dương nên \( \Rightarrow m = 1\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Ứng dụng hàm số

Lời giải

Điều kiện: \(x > \frac{1}{3}\). Phương trình tương đương với:

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {3x - 1} \right) = - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{3x - 1}}{x} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m \Leftrightarrow m = \frac{{3x - 1}}{x} = f\left( x \right)\)

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{3x - 1}}{x};x \in \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right);f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} > 0;\forall x \in \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)

Bảng biến thiên

Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left( {0;3} \right)\), suy ra có 2 giá trị nguyên thỏa mãn

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Dùng công thức lãi kép

Lời giải

Gọi \(x;y;z\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà chị An gửi vào ngân hàng Vietcombank, Agribank, Viettinbank.

Số tiền lãi chị Hoa nhận được khi gửi tiền vào ngân hàng Vietcombank là:

\({t_1} = x{(1 + 1,9{\rm{\% }})^6} - x\) ( triệu đồng)

Số tiền lãi chị Hoa nhận được khi gửi tiền vào ngân hàng Agribank là:

\({t_2} = y{(1 + 0,9{\rm{\% }})^{12}} - y\) (triệu đồng)

Số tiền lãi chị Hoa nhận được khi gửi tiền vào ngân hàng Viettinbank là: \({t_3} = z{(1 + 2{\rm{\% }})^4} - z\)(triệu đồng)

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 500}\\{x{{(1 + 1,9)}^6} - x + y{{(1 + 0,9{\rm{\% }})}^{12}} - y = 34,8386842}\\{y{{(1 + 0,9{\rm{\% }})}^{12}} - y + z{{(1 + 2{\rm{\% }})}^4} - z = 35,78307674}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 130}\\{y = 170}\\{z = 200}\end{array}} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định thiết diện của hình chóp sau đó tính diện tích thiết diện đó

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\{AB \subset \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow SA \bot AB} \right.\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB,\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CI \bot AB\)

Từ \(M\) kẻ \(MN//SA,N \in AC \Rightarrow MN \bot AB\)

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right) = MN\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(NP \bot AB,P \in AB\)

\( \Rightarrow NP \bot AB \Rightarrow NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(PQ//SA \Rightarrow PQ \bot AB \Rightarrow PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\)

Vậy thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (\(\alpha \)) và hình chóp \(S.ABC\) là tứ giác \(MNPQ\)

Tứ giác \(MNPQ\) có \(MN//PQ\) và \(MN \bot NP,PQ \bot NP \Rightarrow \) Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang vuông

Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(SAC\) có \(MN//SA\):

\(\frac{{MC}}{{SC}} = \frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{MN}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{1}{3}SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Tương tự trong tam giác \(AIC\) có \(IC//NP\):

\(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{IC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PN}}{{IC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow PN = \frac{2}{3}IC\)

\(IC\) là đường cao trong tam giác đều \( \Rightarrow IC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow PN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Trong tam giác \(SAB\) có \(PQ//SA \Rightarrow \frac{{PB}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{SB}} = \frac{{PQ}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{PQ}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PQ = \frac{1}{3}a\sqrt 2 \)

Vậy diện tích thiết diện cần tìm là:

\(S = \frac{{MN + PQ}}{2}.NP = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + \frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{9}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên đáy \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AB\)

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(S\) có \(SH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}SAB\) vuông cân tại \(S \Rightarrow SH = \frac{1}{2}AB = a\)

Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(CD,HN \cap BD = \left\{ O \right\},HC \cap BD = \left\{ I \right\}\)

Ta có \(OH//BC\), theo định lý Thales \(\frac{{IH}}{{IC}} = \frac{{OH}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{IH}}{{IC}} = \frac{1}{2}\)

Lại có

\(HC \cap \left( {SBD} \right) = \left\{ I \right\} \Rightarrow \frac{{d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{IH}}{{IC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), từ \(H\) kẻ \(HP \bot BD\) tại \(P\) (1)

Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BD\) (2)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow BD \bot \left( {SHP} \right)\) (3). Mặt khác \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) (4)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right) \Rightarrow \left( {SHP} \right) \bot \left( {SBD} \right)\) theo giao tuyến \(SP\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SHP} \right)\), hạ \(HQ \bot SP\) tại \(Q \Rightarrow HQ \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HQ\)

Xét \(\Delta HPB\) vuông tại \(P\), có \(\sin \widehat {HBP} = \frac{{HP}}{{HB}} \Rightarrow HP = HB.{\rm{sin}}{45^ \circ } = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét \({\rm{\Delta }}SHP\) vuông tại \(H\), có đường cao \(HQ \Rightarrow HQ = \frac{{HS.HP}}{{\sqrt {H{S^2} + H{P^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = 2HQ = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt {16 - 7} = 2.3 = 6\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính thể tích thông thường

Lời giải

Gọi \(O\) là tâm của mặt đáy \(ABCD\).

Dễ dàng chứng minh được: Góc giữa \(SD\) và \(\left( {SAC} \right)\) là góc \(\widehat {OSD}\). Suy ra \(\widehat {OSD} = {30^ \circ }\).

Đặt \(BC = x(x > 0)\). Ta tính được: \(OA = OD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A:SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \).

Xét \(\Delta SOD\) vuông tại \(O\)

\({\rm{tan}}\widehat {OSD} = \frac{{OD}}{{SO}} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}:\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{x\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{1}{3}\left( {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right) \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \). Diện tích mặt đáy \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = A{B^2} = 2{a^2}\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .2{a^2} = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án đúng là "3/5"

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác

Lời giải

Xét biểu thức \(P = \frac{{\sqrt 2 {\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x}}{{{{\cos }^3}x + \sqrt 2 \sin x.{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x.{\rm{cos}}x}}\)

Vì \({\rm{tan}}x\) xác định nên \({\rm{cos}}x \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu cho \({\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x\) ta được:

\(P = \frac{{\sqrt 2 \tan x.\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} - \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}}}{{1 + \sqrt 2 .{\rm{tan}}x + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x}} = \frac{{\sqrt 2 .\tan x.\left( {1 + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x} \right) - \left( {1 + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x} \right)}}{{1 + \sqrt 2 .{\rm{tan}}x + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x}}\)

\( = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt 2 \left( {1 + 2} \right) - \left( {1 + 2} \right)}}{{1 + \sqrt 2 .\sqrt 2  + 2}} = \frac{3}{5}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Do \(n\) là số lẻ nên ta đặt \(n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Số phần tử không gian mẫu \(n\left( A \right) = C_{2k + 1}^3\)

Gọi A: 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù

Giả sử tam giác \(ABC\) có \(\widehat A,\,\,\widehat B\) là góc nhọn còn \(\widehat C\) là góc tù.

Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh \( \Rightarrow \) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(2k + 1\) cách chọn

Khi đó còn lại \(2k\) đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm 2, mỗi bên là k đỉnh

Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại phải được chọn từ \(k\) đỉnh cùng thuộc một phía so với điểm đã chọn do đó có \(C_k^2 + C_k^2\) cách chọn

Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại 2 lần nên:

\(n\left( A \right) = \frac{{\left( {C_k^2 + C_k^2} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{{2!}} = C_k^2\left( {2k + 1} \right)\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{C_k^2\left( {2k + 1} \right)}}{{C_{2k + 1}^3}} = \frac{{45}}{{62}}\)

\( \Leftrightarrow 62\frac{{k!}}{{\left( {k - 2} \right)!.2!}}\left( {2k + 1} \right) = 45\frac{{\left( {2k + 1} \right)!}}{{\left( {2k - 2} \right)!.3!}}\)

\( \Leftrightarrow 62.\frac{{k\left( {k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{2} = 45.\frac{{2k.\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right)}}{6}\)

\( \Leftrightarrow 62{k^3} - 31{k^2} - 31k = 60{k^3} - 15k\)

Giải phương trình trên ta được \(k = 16\)

Vậy \(n = 33\)

\( \Rightarrow \) Các ước nguyên dương của \(n\) là \(\left\{ {1;3;11;33} \right\}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đánh giá

Lời giải

Vî tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2

Đáp án đúng là "1/4"

Phương pháp giải

Phân tích vecto

Lời giải

Vì \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow {PI}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD} } \right)\)

Vậy \(k = \frac{1}{4}\)

Đáp án đúng là \({\bf{A}}\)

Phương pháp giải                              

 Công thức tính xác suất toàn phần

Lời giải

Gọi các biến cố:

\({B_1}\)"Lô lấy ra là lô I"

\({B_2}\)"Lô lấy ra là lô II"

Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt

Ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {{B_1}} \right).P\left( {A\mid {B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right).P\left( {A\mid {B_2}} \right)\)

\(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{1}{2},P\left( {{B_2}} \right) = \frac{1}{2},P\left( {A\mid {B_1}} \right) = \frac{{20}}{{30}} = \frac{2}{3},P\left( {A\mid {B_2}} \right) = \frac{{15}}{{30}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{7}{{12}}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Công thức Bayes

Lời giải

Gọi các biến cố:

\({B_1}\)"Lô lấy ra là lô I"

\({B_2}\)"Lô lấy ra là lô II"

Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt

Ta có: \(P\left( {{B_2}} \right) = \frac{1}{2},P\left( {A\mid {B_2}} \right) = \frac{{15}}{{30}} = \frac{1}{2},P\left( A \right) = \frac{7}{{12}}\)

Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm ở lô thứ hai và là sản phẩm tốt là:

\(P\left( {{B_2}\mid A} \right) = \frac{{P\left( {{B_2}} \right).P\left( {A\mid {B_2}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}}{{\frac{7}{{12}}}} = \frac{3}{7}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Công thức Bayes

Lời giải

Xác suất để lấy ra sản phẩm lỗi là: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{7}{{12}} = \frac{5}{{12}}\)

Ta có: \(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{1}{2},P\left( {\overline A \mid {B_1}} \right) = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\)

Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm ở lô thứ nhất và là sản phẩm bị lỗi là:

\(P\left( {{B_2}\mid \overline A } \right) = \frac{{P\left( {{B_1}} \right).P\left( {\overline A \mid {B_1}} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}}{{\frac{5}{{12}}}} = \frac{2}{5}\)

Đáp án đúng là "1/2"

Phương pháp giải

Lời giải

Từ giả thiết

\( \Rightarrow {\left( {kF\left( {2x + 2025} \right)} \right)} = k.F'\left( {2x + 2025} \right) = 2k.f\left( {2x + 2025} \right)\)

\( \Rightarrow 2k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Để xác định ai khỏe nhất trong số 4 học sinh dựa vào các kết quả kéo co, ta phân tích từng lần như sau:

Lần 1:

\(B\) thắng \(A\) và \(C\) gộp lại.

Điều này chứng tỏ sức mạnh của \(B\) lớn hơn tổng sức mạnh của \(A\) và \(C\).

\(B > A + C\)

Lần 2:

\(A\) và \(B\) đấu với \(C\) và \(D\), kết quả không phân thắng bại.

Điều này chứng tỏ tổng sức mạnh của A và B bằng tổng sức mạnh của C và D.

\(A + B = C + D\)

Lần 3:

Khi \(A\) và \(C\) đổi chỗ cho nhau so với lần 2, tức là \(D\) và \(A\) đấu với \(B\) và \(C\), thì \(D\) và \(A\) thắng dễ dàng.

Điều này chứng tỏ tổng sức mạnh của D và A lớn hơn tổng sức mạnh của B và C.

\(D + A > B + C\)

Vậy:

Từ lần 2:

\(A + B = C + D\), suy ra \(B = C + D - A\).

Từ lần 1:

\(B > A + C\), thay \(B\) từ trên:

\(C + D - A > A + C\)

\(D > 2A\)

Từ lần 3:

\(D + A > B + C\), thay \(B\) từ trên:

\(D + A > \left( {C + D - A} \right) + C\)

\(D + A > 2C + D - A\)

\(2A > 2C\)

\(A > C\)

Sắp xếp sức mạnh:

Từ các bất đẳng thức:

\(D > 2A > 2C\), suy ra \(D > A > C\).

Từ lần 1, \(B > A + C\), suy ra \(B\) là người khỏe nhất.

Kết luận:

Người khỏe nhất là B.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Căn cứ vào nghĩa của từ, ta có:

+ Khoan thai: có dáng điệu thong thả, không vội vã.

+ Dìu dặt: lúc nhanh lúc chậm một cách nhịp nhàng và êm nhẹ (thường nói về âm thanh).

+ Thư thái: ở trạng thái cảm thấy nhẹ nhàng, dễ chịu trong lòng, không có điều gì phải suy nghĩ căng thẳng.

+ Ung dung: có dáng điệu, cử chỉ tỏ ra bình tĩnh, thư thái, không có gì lo lắng, hoặc vội vã.

=> Các từ khoan thai, thư thái, ung dung liên quan đến sự bình tĩnh, thong thả. Riêng từ dìu dặt thường liên quan đến sự nhẹ nhàng, uyển chuyển hơn, không hoàn toàn tương đồng với cảm giác thư thái hay ung dung.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức cấu tạo từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Đề bài hỏi về loại từ, tức hỏi về các loại từ phức, từ đơn, từ ghép, từ láy.

- Trong những từ đã cho, xét về loại từ thì từ chắt chiu, dành dụm, phung phí đều thuộc từ láy vì chúng chứa một âm tiết không có nghĩa liên quan đến từ. Riêng từ gom góp là từ ghép vì cả 2 tiếng “gom” và “góp” đều có nghĩa là để dành, liên quan đến nghĩa của từ “gom góp”.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức từ loại.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Đề bài hỏi về từ loại, tức hỏi về danh từ, động từ, tính từ, lượng từ,…

- Căn cứ vào nghĩa của từ, ta có:

+ Diễn văn: bài phát biểu tương đối dài đọc trong dịp long trọng (danh từ).

+ Diễn thuyết: nói trước công chúng về một vấn đề gì, thường nhằm mục đích tuyên truyền, thuyết phục (động từ).

+ Diễn từ: lời phát biểu trong dịp long trọng (danh từ).

+ Diễn viên: người diễn xuất hoặc biểu diễn nghệ thuật trên sân khấu hay trên phim ảnh (danh từ).

=> Trong những từ đã cho, các từ diễn văn, diễn từ, diễn viên đều là các danh từ. Riêng từ diễn thuyết là động từ chỉ việc nói trước công chúng về một vấn đề gì, thường nhằm mục đích tuyên truyền, thuyết phục.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức từ loại.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Căn cứ vào nghĩa của từ, ta có:

+ Dũng cảm: có dũng khí, dám đương đầu với khó khăn và nguy hiểm (tính từ).

+ Dũng khí: khí phách dám đương đầu với khó khăn, nguy hiểm để làm những việc nên làm (danh từ).

+ Dũng mãnh: dũng cảm và mạnh mẽ một cách phi thường (tính từ).

+ Anh dũng: dũng cảm quên mình (tính từ).

=> Các từ dũng cảm, dũng mãnh, anh dũng đều là các tính từ. Riêng từ dũng khí là danh từ chỉ khí phách của con người.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Căn cứ vào nghĩa của từ, ta có:

+ Xinh xắn: xinh và rất ưa nhìn.

+ Diễm lệ: đẹp một cách rực rỡ, lộng lẫy.

+ Mĩ lệ: đẹp một cách trang trọng (thường nói về cảnh vật).

+ Kiều diễm: có vẻ đẹp lộng lẫy, khiến người ta phải trầm trồ, thán phục.

=> Các từ diễm lệ, mĩ lệ, diều diễm đều mang nghĩa thể hiện vẻ đẹp sang trọng và quyến rũ. Riêng từ xinh xắn thường chỉ vẻ đẹp dễ thương, nhỏ nhắn và bình dị hơn.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nghĩa của từ và nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Câu văn nói về việc cha mẹ làm thay con cái nhiều thứ, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến cuộc sống của con cái.

- Phân tích, loại trừ:

+ Đáp án A sai vì “chiếm đoạt” thường được dùng trong ngữ cảnh pháp lý hoặc tài sản, không hoàn toàn phù hợp với việc mô tả quyền tự do phát triển; “con người” lại có phạm vi quá rộng.

+ Đáp án B sai vì “học sinh” chỉ một nhóm nhỏ, không bao quát đủ (cha mẹ cũng có thể can thiệp đến các bạn không đi học hoặc là sinh viên).

+ Đáp án C sai vì “em bé” quá hạn chế về độ tuổi, không bao gồm những trẻ lớn hơn.

+ Đáp án D đúng vì “tước đoạt” mang ý nghĩa chiếm đoạt một cái gì đó một cách không hợp pháp hoặc không công bằng, phù hợp với ý nghĩa của câu về việc cha mẹ lấy đi quyền tự do phát triển của trẻ; từ “đứa trẻ” là từ chung và phù hợp để chỉ đối tượng bị ảnh hưởng (vì trong mắt cha mẹ con mình dù lớn hay nhỏ vẫn luôn là những đứa trẻ).

=> Từ/cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: tước đoạt/ đứa trẻ.

Câu hoàn chỉnh: Trên danh nghĩa tình thương, cha mẹ tự cho mình cái quyền được làm thay nhiều thứ mà không biết rằng đó chính là sự tước đoạt quyền tự do phát triển của những đứa trẻ.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Phân tích câu văn: câu văn nói về việc nhà lãnh đạo thành công cần làm.

- Phân tích các đáp án:

+ Đáp án A sai vì từ “khuyến khích” không phản ánh quá trình “trở thành” một nhà lãnh đạo. Nó chỉ đơn thuần là động viên hoặc hỗ trợ ai đó.

+ Đáp án B sai vì “đánh giá” không phản ánh mục tiêu phát triển mà ngược lại, nó mang tính phân tích và đánh giá hơn.

+ Đáp án C đúng vì “trở thành” thể hiện quá trình phát triển, chuyển biến từ trạng thái này sang trạng thái khác; trong bối cảnh này, nó nhấn mạnh mục tiêu đạt được vị trí và vai trò của một nhà lãnh đạo thành công. Từ “phát triển” là từ ngữ rất phù hợp khi nói về việc cải thiện hoặc nâng cao khả năng của cá nhân; trong câu, nó nói đến việc bồi dưỡng kĩ năng cho nhóm và từng thành viên, phù hợp với mục tiêu gia tăng năng suất.

+ Đáp án D sai vì “quản lý” thể hiện việc điều hành hoặc kiểm soát, không nói lên quá trình trở thành lãnh đạo.

=> Từ/cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: trở thành/ phát triển.

Câu hoàn chỉnh: Để trở thành nhà lãnh đạo thành công, mục tiêu chính của chúng ta là bồi dưỡng và phát triển kĩ năng, gia tăng năng suất của toàn bộ nhóm và từng thành viên.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Câu văn nói về trách nhiệm của con người đối với cộng đồng.

- Phân tích các đáp án:

+ Đáp án A sai vì câu văn đang nói về những yếu tố mà con người cần có để góp sức cho cộng đồng, cụm từ “có lối sống tập thể” không thể hiện được “lối sống đẹp” mà câu văn đang hướng tới.

+ Đáp án B đúng vì từ “xã hội” phản ánh rõ ràng khái niệm về một tập hợp các cá nhân sống và tương tác với nhau, tạo nên mối quan hệ gắn bó; từ “lành mạnh” nhấn mạnh đến một lối sống tích cực, giúp con người phát triển tốt cả về thể chất lẫn tinh thần, từ này rất phù hợp trong chuỗi liệt kê những điều con người cần rèn luyện để phát triển bản thân và cộng đồng.

+ Đáp án C sai vì từ “tiến bộ” không chỉ rõ một loại cộng đồng cụ thể mà cá nhân thuộc về, nó sẽ mang sự hiểu lầm khi phân biệt với cộng đồng nào đó không tiến bộ.

+ Đáp án D sai vì “dân cư” và “làng xã” giới hạn trong một không gian cụ thể hơn, không phản ánh được khái niệm cộng đồng đa dạng và hiện đại như “xã hội”.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: xã hội/ lành mạnh.

Câu hoàn chỉnh: Với tư cách là một thành viên của cộng đồng xã hội, con người cần rèn luyện, tu dưỡng đạo đức, hoàn thiện nhân cách, nâng cao năng lực trí tuệ, phát triển tài năng, phát huy tinh thần sáng tạo, có lối sống lành mạnh, phù hợp với lợi ích và chuẩn mực của cộng đồng, đóng góp tích cực vào sự phát triển của bản thân và cộng đồng.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Câu văn đặt trong tương quan so sánh kích thước giữa sư tử và linh cẩu, qua đó nhấn mạnh sức mạnh của chúng ngoài thế giới tự nhiên. Vế cuối câu văn có khẳng định sư tử được xem là “anh cả” còn linh cẩu được xem là “anh hai”. Điều này cho thấy sư tử có sức mạnh và kích thước vượt trội hơn so với linh cẩu.

- Phân tích các đáp án:

+ Đáp án A đúng vì từ “nhỏ hơn” nói đúng về kích thước linh cẩu đặt trong tương quan so sánh với sư tử; từ “khổng lồ” rất phù hợp khi nói về sư tử.

+ Đáp án B sai vì khẳng định linh cẩu to hơn sư tử.

+ Đáp án C sai vì “vạm vỡ” là từ ngữ chỉ người (thường chỉ người đàn ông khỏe mạnh), không phù hợp để chỉ sư tử.

+ Đáp án D sai vì từ “tương thích” thường chỉ sự thích hợp với điều gì đó, từ này không phù hợp khi nói về sư tử.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: nhỏ hơn/ khổng lồ.

Câu hoàn chỉnh: So với sư tử, linh cẩu có kích thước nhỏ hơn nhưng số lượng nhiều, sư tử là loài mèo lớn nhất ở châu Phi và có kích thước khổng lồ nên sư tử còn được gọi là anh cả của châu Phi, linh cẩu đốm còn được gọi là anh hai của châu Phi.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Phân tích, suy luận: câu văn đề cập đến ảnh hưởng của tư tưởng Nho giáo đối với văn hóa Việt Nam.

- Phân tích, loại trừ:

+ Đáp án A sai vì từ “nguy hiểm” quá nặng nề, không phù hợp khi nói về một hệ tư tưởng lớn như Nho giáo. Hệ tư tưởng Nho giáo vốn đem lại nhiều lợi ích cho xã hội nhưng nó vẫn tồn tại những điều chưa tiến bộ, điều đó không thể coi là nguy hiểm.

+ Đáp án B sai vị trí điền thứ hai liên quan đến việc “kìm hãm sự phát triển của dân tộc”, điều này không thể là điều tốt.

+ Đáp án C đúng vì “tích cực” và “tiêu cực” là những từ ngữ hợp lý để nói về Nho giáo, từ “tiêu cực” phù hợp đứng ở vị trí điền thứ hai vì sau nó có ý bổ sung “kìm hãm sự phát triển của dân tộc”.

+ Đáp án D sai vì “độc hại” cũng như “nguy hiểm” không phù hợp để nói về Nho giáo.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: tích cực/ tiêu cực.

Câu hoàn chỉnh: Nho giáo giữ địa vị thống trị trong xã hội Việt Nam hàng thế kỉ. Bên cạnh những ảnh hưởng tích cực, nó cũng để lại nhiều ảnh hưởng tiêu cực, kìm hãm sự phát triển của dân tộc ta ngày hôm nay.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

- Phân tích, suy luận: Câu văn đề cập tới việc bảo quản thực phẩm của đồng bào dân tộc thiểu số Tạng – Miến. Từ “xó bếp” dùng sai vì “xó bếp” thường có nghĩa là một góc nhỏ, tối tăm trong bếp, không phải là nơi lý tưởng để treo thực phẩm. Thực phẩm thường được treo ở nơi khô ráo và thoáng mát hơn để dùng được lâu dài. Có thể thay bằng từ “gác bếp” (khu vực ở phía trên bếp nấu trong nhà, thường được thiết kế để treo hoặc đặt các vật dụng như nồi, chảo, hoặc thực phẩm đã được chế biến để bảo quản).

=> Sửa lại câu: Để giữ thực phẩm dùng lâu dài, các tộc người nhóm Tạng – Miến thường treo đầu lợn, ướp thịt lợn, thịt dê với muối rồi treo trên gác bếp.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

- Phân tích, suy luận: Câu văn đề cập tới việc con người dễ bỏ qua những biểu hiện nhỏ của chính bản thân mình.

- Phân tích các từ ngữ:

+ Từ “vi tế” là một từ Hán Việt, từ này dùng đúng, hợp logic vì nó được hiểu là những điều nhỏ bé mầu nhiệm ẩn tàng sâu xa phía dưới một hình thức, một trạng thái hay một hoạt động gì đó.

+ Từ “quan trọng” dùng đúng vì việc phát hiện và hiểu bản thân mình là một điều quan trọng.

+ Từ “bản ngã” dùng đúng và hợp logic vì nó được hiểu là bản năng cá nhân của mỗi con người.

+ Từ “nhìn thấy” thường được sử dụng trong ngữ cảnh vật lý, chỉ hành động quan sát điều gì đó bằng mắt. Trong khi đó, “biểu hiện” và “bản ngã” liên quan đến các khía cạnh tinh thần và tâm lý, thường không thể “nhìn thấy” một cách trực tiếp. Thay vào đó, có thể sử dụng từ “nhận ra” hoặc “cảm nhận” để diễn đạt ý này một cách phù hợp hơn về mặt ngữ nghĩa.

=> Sửa lại câu: Có nhiều biểu hiện khá vi tế và dễ dàng bị bỏ qua của bản ngã ở trong bạn mà bạn có thể cảm nhận ở người khác, và quan trọng hơn nữa là ở trong chính bạn.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai