Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 39)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ và giải bất phương trình mũ.

Lời giải

Đặt ẩn phụ \(t = {3^x} > 0\), bất phương trình trở thành

\({t^2} + 2t - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < - 3}&{\left( {KTM} \right)}\\{t > 1\,\,\,\,}&{\left( {TM} \right)\,\,\,}\end{array} \Rightarrow {3^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0} \right.\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;6;5} \right),\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1; - 8; - 9} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {14; - 14;14} \right)\).

Như vậy \(d\left( {d,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overline {\overrightarrow {{u_d}} } ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {14; - 14;14} \right).\left( {2;0;2} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {14; - 14;14} \right)} \right|}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Viết số hạng tổng quát của dãy số.

Lời giải

Đặt \({v_n} = {u_n} - 3\) với \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Ta có: \({v_1} = {u_1} - 3 = 8 - 3 = 5\).

Vì \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 3 = 4{u_n} - 9 - 3 = 4{u_n} - 12 = 4\left( {{u_n} - 3} \right) = 4{v_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) nên dãy số là một cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = 5\), công bội \(q = 4\).

Suy ra \({v_n} = {5.4^{n - 1}},{u_n} = 3 + {v_n} = 3 + {5.4^{n - 1}}\).

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải

Ta có:

 

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + x = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 3 - {x^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{( - x)\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2}\left( {1 - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) + 3}}{{( - x)\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 0\].

Vậy \(y =  - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số thỏa mãn yêu cầu. Nghĩa là, \(P = {( - 1)^2} + 0 = 1\).

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân.

Lời giải

Gọi \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có công sai \(d\), do tổng 3 số hạng liên tiếp của dãy số cộng là 21 nên

\({u_1} + {u_2} + {u_3} = 21\)

\( \Rightarrow 3{u_2} = 21\)

\( \Rightarrow {u_2} = 7\).

Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân thì \({u_1},{u_2} - 1,{u_3} + 1\) hay \(7 - d,7 - 1,\left( {7 + d} \right) + 1\) lập thành một cấp số nhân.

Theo tính chất của cấp số nhân ta có

\({6^2} = \left( {7 - d} \right)\left( {8 + d} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d =  - 5 \Rightarrow {u_1} = 12,{u_2} = 7,{u_3} = 2}\\{d = 4 \Rightarrow {u_1} = 3,{u_2} = 7,{u_3} = 11}\end{array}} \right.\).

Vậy có 2 bộ số cần tìm: \(\left( {12,7,2} \right),\left( {3,7,11} \right)\).

Đáp án đúng là "-1/2"

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về cấp số nhân.

Lời giải

Điều kiện: \({\rm{cos}}\alpha  \ne 0 \Leftrightarrow \alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{\;}}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: \({\cos ^2}\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{6}.{\rm{tan}}\alpha  \Leftrightarrow 6{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = \frac{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}\).

\( \Leftrightarrow 6{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}\alpha  - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 0 \Leftrightarrow 6{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha  = \frac{1}{2}\).

Ta có: \({\rm{cos}}2\alpha  = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - 1 = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 1 =  - \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ, đưa về bài toán xét tính đơn điệu của hàm số cơ bản.

Lời giải

Đặt \(t = {\rm{cos}}x\), vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;0} \right)\).

Lưu ý: Nhận thấy \({\rm{cos}}x\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\), do vậy để hàm số \(y = \frac{{{\rm{cos}}x - 3}}{{{\rm{cos}}x - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) thì hàm số \(y = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\). Tức là, phải thay đổi tính đơn điệu.

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\) trên \(\left( { - 1;0} \right)\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{ - m + 3}}{{{{(t - m)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - m > 0}\\{m \notin \left( { - 1;0} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 0}\\{m \le  - 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 1\left]  \cup  \right[0;3} \right)} \right.} \right.\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp.

Lời giải

Ta có \(y'\left( t \right) = y'\left( x \right).x'\left( t \right) \Rightarrow y'\left( x \right) = \frac{{y'\left( t \right)}}{{x'\left( t \right)}} = \frac{{ - 5{e^{ - t}}{\rm{cos}}2t - 10{e^{ - t}}{\rm{sin}}2t}}{{8{e^{2t}}}} = \frac{{ - 5{\rm{cos}}2t - 10{\rm{sin}}2t}}{{8{e^{3t}}}}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến.

Lời giải

Ta có \(y'\left( 1 \right) = \frac{5}{9},y\left( 1 \right) = \frac{2}{3}\).

Do đó \(y = \frac{5}{9}\left( {x - 1} \right) + \frac{2}{3} = \frac{5}{9}x + \frac{1}{9} \Leftrightarrow 5x - 9y + 1 = 0\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng vectơ trong mặt phẳng.

Lời giải

Lắp hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc tọa độ trùng với chất điểm như sau:

Xét lực \(\vec a\left( {\left| {\vec a} \right| = 40} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_a} = - 40{\rm{cos}}{{60}^ \circ } = - 20}\\{{y_a} = 40{\rm{sin}}{{60}^ \circ } = 20\sqrt 3 }\end{array} \Rightarrow \vec a\left( { - 20;20\sqrt 3 } \right)} \right.\).

Xét lực \(\vec b\left( {\left| {\vec b} \right| = 10} \right):\vec b\left( {10;0} \right)\).

Xét lực \(\vec c\left( {\left| {\vec c} \right| = 50} \right):\vec c\left( {0; - 50} \right)\).

Vậy \(\vec F + \vec a + \vec b + \vec c = \vec 0 \Rightarrow \vec F = \left( {10;50 - 20\sqrt 3 } \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F = 10\sqrt {38 - 20\sqrt 3 } }\\{\theta = {\rm{arctan}}\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}\end{array} \Rightarrow \frac{F}{\theta }} \right. \approx 0,32\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

Yêu cầu đề bài tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{\Delta '}} = {m^2} + \left( {m - 2} \right) < 0}\\{m - 2 < 0}\end{array} \Leftrightarrow - 2 < m < 1} \right.\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng bài toán đếm.

Lời giải

Cứ 2 đường thẳng phân biệt tạo thành 1 giao điểm, vậy có \(C_{10}^2 = 45\) giao điểm.

Cứ 2 đường tròn phân biệt tạo thành 2 giao điểm, vậy có \(2.C_{10}^2 = 90\) giao điểm.

Cứ 1 đường thẳng và 1 đường tròn tạo thành 2 giao điểm, vậy có \(2.10.10 = 200\) giao điểm.

Kết hợp lại, ta có tối đa \(200 + 45 + 90 = 335\) giao điểm.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp.

Lời giải

Ta có .Gọi \({a_k} = C_{15}^k{.2^k}\) là hệ số của \({x^k}\).

Ta có \({a_k} > {a_{k + 1}} \Leftrightarrow C_{15}^k{.2^k} > C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}} \Leftrightarrow k > \frac{{29}}{3}\). Tức là \({a_{10}} > {a_{11}} > \ldots > {a_{15}}\).

Ta có \({a_k} < {a_{k + 1}} \Leftrightarrow C_{15}^k{.2^k} < C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}} \Leftrightarrow k < \frac{{29}}{3}\). Tức là \({a_0} < {a_1} < \ldots < {a_{10}}\).

Vậy max \({a_k} = {a_{10}} = C_{15}^{10}{.2^{10}} = {3003.2^{10}}.\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lũy thừa.

Lời giải

\(P = \sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = {\left( {{x^{2 + \frac{1}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\left( {2 + \frac{1}{3}} \right).\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tìm tập xác định của hàm số.

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{27 - 3{x^2} > 0}\\{x - 1 > 0}\\{x - 4 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow 1 < x < 3} \right.\).

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Tính giới hạn của dãy số.

Lời giải

\({\rm{lim}}\frac{{{{2025}^{n + 1}} + {{3.2024}^n}}}{{{{45}^{2n}} - {{2026.2024}^{n + 1}}}} = {\rm{lim}}\frac{{2025 + 3.{{\left( {\frac{{2024}}{{2025}}} \right)}^n}}}{{1 - 2026.2024.{{\left( {\frac{{2024}}{{2025}}} \right)}^n}}} = 2025\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng tính liên tục của hàm số.

Lời giải

Hàm số liên tục tại \(x = - 2\) khi và chỉ khi

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số hợp.

Lời giải

Ta có \(g'(x) = 2f'(2x) - 4 = 0 \Leftrightarrow f'(2x) = 2 \Leftrightarrow 2x = a \in (2;3) \Leftrightarrow x = b \in \left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

Lập bảng biến thiên như sau:

Ta có \(g\left( { - \frac{1}{2}} \right) = f( - 1) + 2,g\left( {\frac{3}{2}} \right) = f(3) - 12\).

Ta thấy \(f'(x) = {x^3} - {x^2} - 2x\), và

\[f(3) - f( - 1) = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {f'(x)dx} = \frac{8}{3} < 2 + 12 \Rightarrow f(3) - 12 < f( - 1) + 2\]

\[ \Rightarrow g(b) < g\left( {\frac{3}{2}} \right) < g\left( { - \frac{1}{2}} \right)\].

Vậy

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay.

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường lemniscate với trục hoành \(y = 0\), ta có:

\({x^4} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Ta có

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải

Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh bằng \(a\), nên diện tích bằng \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Lấy \(H\) là trung điểm của \(B'C'\), ta thấy: \(AH \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AH \bot A'H\).

\( \Rightarrow AH = \sqrt {AA{'^2} - HA{'^2}} = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định góc nhị diện

Lời giải

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot CD\). Mà \(SH \bot CD\) nên \(CD \bot \left( {SHA} \right)\). Do đó, \(CD \bot AH\) và góc \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).

Xét tam giác \(ACD\) đều cạnh \(a\) có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tam giác \(SAH\) vuông có \(SA = \frac{a}{2}\)

Suy ra \(\widehat {SHA} = {30^ \circ }\). Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\) bằng \({30^ \circ }\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Dựng \(OH \bot SA\left( {H \in SA} \right) \Rightarrow d\left( {O,SA} \right) = OH\).

Lời giải

Dựng \(OH \bot SA\left( {H \in SA} \right) \Rightarrow d\left( {O,SA} \right) = OH\).

Ta có: \(OA = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = SO \Rightarrow {\rm{\Delta }}SOA\) vuông cân tại \(O\)

\( \Rightarrow OH = \frac{1}{2}SA = \frac{1}{2}.SO.\sqrt 2 = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy \(d\left( {O,SA} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).                 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính khoảng cách

Lời giải

\(\left( {ABC} \right):\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 4x - 3y - 12z + 12 = 0\).

Mà \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = k\left( {4; - 3; - 12} \right) = \left( {4k; - 3k; - 12k} \right)\).

Lại có \(OH = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{12}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 12)}^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}\).

Suy ra \(OH = 13\left| k \right| = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{{12}}{{169}}}\\{k = \frac{{ - 12}}{{169}}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{H\left( {\frac{{48}}{{169}};\frac{{ - 36}}{{169}};\frac{{ - 144}}{{169}}} \right) \notin \left( P \right)}\\{H\left( {\frac{{ - 48}}{{169}};\frac{{36}}{{169}};\frac{{144}}{{169}}} \right) \in \left( P \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Đáp án đúng là "-2"

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng.

Lời giải

Đặt tọa độ điểm \(C\left( {0,c,0} \right)\) khi đó tọa độ \(B\left( {2;\frac{{1 + c}}{2};1} \right) \Rightarrow 2 + \frac{{1 + c}}{2} - 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1\).

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;0; - 2} \right)\). Vậy phương trình của \(d\) có dạng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 1}\\{z = t}\end{array}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.\).

­Với \(x =  - 4 \Rightarrow t =  - 2 \Rightarrow z =  - 2\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tìm điều kiện tồn tại của phương trình mặt cầu.

Lời giải

Ta thấy \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\) không phải là phương trình mặt cầu do

\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{{ - 2}}{{ - 2}}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{{ - 2}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 4}}{{ - 2}}} \right)^2} - 10 < 0\).

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit.

Lời giải

Điều kiện: \(x > 0\).

Ta có \({\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2}} \right) - m - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{log}}_2^2x - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - m = 0\)

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x \in \left[ { - 1;4} \right]\), phương trình trở thành \( - {t^2} + 2t = m\) (*)

Khảo sát hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^2} + 2t\), ta có bảng biến thiên như sau:

​

Vậy \(m \in \left\{ { - 1} \right\} \cup \left( {3;8} \right]\). Như vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), suy ra \(SD \bot \left( {ABC} \right)\).

Lời giả

 

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), suy ra \(SD \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có \(SD \bot AB\) và \(SB \bot AB\) (gt) suy ra \(AB \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow BA \bot BD\).

Tương tự có \(AC \bot DC\) hay tam giác \(ACD\) vuông ở \(C\).

Dễ thấy \(\Delta SBA = \Delta SCA\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra \(SB = SC\). Từ đó ta chứng minh được \({\rm{\Delta }}SBD = \Delta SCD\) nên cũng có \(DB = DC\).

Vậy \(DA\) là đường trung trực của \(BC\) nên cũng là đường phân giác của góc \(\widehat {BAC}\).

Ta có \(\widehat {DAC} = {30^ \circ }\), suy ra \(DC = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\). Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SBD} = {60^ \circ }\), suy ra \(\tan \widehat {SBD} = \frac{{SD}}{{BD}} \Rightarrow SD = BD.\tan \widehat {SBD} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 = a\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SD = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giái

Tính số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải

Ta lập được bảng sau:

Số trung vị: \({M_e} = 9 + \frac{{12,5 - \left( {2 + 4} \right)}}{9}.2 \approx 10,4\).

 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tính các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải

Xét mẫu số liệu ghép nhóm của hai bạn:

Vậy (I) sai, (II) đúng, (III) đúng.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm.

Lời giải

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Tìm các giá trị bất thường của mẫu số liệu không ghép nhóm.

Lời giải

Ta có \({Q_1} - 1,5.{\rm{\Delta }}Q = 22,5,\,\,{Q_3} + 1,5.{\rm{\Delta }}Q = 18,5\), do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu đã cho là 8.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính số trung vị của mẫu số liệu không ghép nhóm.

Lời giải

Do kích thước mẫu là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của 2 giá trị đứng thứ \(\frac{N}{2} = 50\) và \(\frac{N}{2} + 1 = 51\), do đó \({M_e} = \frac{{6 + 7}}{2} = 6,5\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân xác suất cho biến cố độc lập.

Lời giải

Gọi biến cố thắng một ván cờ vua là \(X\). Vậy \(\mathbb{P}\left( X \right) = 40{\rm{\% }},\mathbb{P}\left( {\overline X } \right) = 60{\rm{\% }}\).

Giả sử số ván cờ vua là \(n \Rightarrow 1 - {\left[ {\mathbb{P}\left( {\overline X } \right)} \right]^n} = 1 - 0,{6^n} > 0,95 \Leftrightarrow n > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,6}}0,05\).

Vậy \(n = 6\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính xác suất có điều kiện.

Lời giải

Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là biến cố "học sinh giỏi Toán" và biến cố "học sinh giỏi Văn".

Ta có \(\mathbb{P}\left( A \right) = \frac{3}{5},\mathbb{P}\left( B \right) = \frac{2}{5},\mathbb{P}\left( {B\mid A} \right) = \frac{4}{9} \Rightarrow \mathbb{P}\left( {A\mid B} \right) = \frac{{\mathbb{P}\left( {B|A} \right).\mathbb{P}\left( A \right)}}{{\mathbb{P}\left( B \right)}} = \frac{{\frac{4}{9}.\frac{3}{5}}}{{\frac{2}{5}}} = \frac{2}{3}\).

Đáp án đúng là "1250"

Phương pháp giải

Tư duy logic.

Lời giải

Ta xét trường hợp tổng quát: \(n = {a^r}.{b^s}\), với \(a,b\) là các số nguyên tố.

Số ước của \({n^2} = {a^{2r}}.{b^{2r}}:\left( {2r + 1} \right).\left( {2s + 1} \right)\).

Với mỗi ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\), ta thấy tồn tại một ước của \({n^2}\) lớn hơn \(n\).

Như vậy, số ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\) là \(\frac{{\left( {2r + 1} \right).\left( {2s + 1} \right) - 1}}{2} = 2.r.s + r + s\).

Số ước của \(n = {a^r}.{b^r}:\left( {r + 1} \right).\left( {s + 1} \right)\).

Như vậy, số ước của \(n\) nhỏ hơn \(n\) là \(\left( {r + 1} \right).\left( {s + 1} \right) - 1 = r.s + r + s\).

Vì mỗi ước của \(n\) cũng là ước của \({n^2}\) nên số ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\) nhưng không là ước của \(n\) là

\(\left( {2.r.s + r + s} \right) - \left( {r.s + r + s} \right) = r.s\)

Áp dụng vào trường hợp này: \(n = {20^{25}} = {2^{50}}{.5^{25}} \Rightarrow r.s = 1250\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.

Lời giải

Đặt \(f\left( x \right) = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\). Lập bảng biến thiên cho \(f\left( x \right)\) như sau:

Do hàm số \(f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị nên hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có 7 điểm cực trị khi phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m - 5 < 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m < 5} \right.\).

Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là "-15"

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình

Lời giải

Tâm đường tròn là \(I\left( { - \frac{p}{2}; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng \(x + 2y = 10\) là tiếp tuyến của đường tròn nên hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + px + 2y + q = 0}\\{x + 2y = 10}\end{array}} \right.\) có nghiệm duy nhất, mà \(A\left( {4;3} \right)\) là tiếp điểm nên \(\left( {4;3} \right)\) là nghiệm duy nhất của hệ.

Suy ra \(25 + 4p + 6 + q = 0 \Leftrightarrow 4p + q =  - 31\).

Lại có \(IA = d\left( {I,\left( d \right)} \right)\)

\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( { - \frac{p}{2} - 4} \right)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}}  = \frac{{\left| { - \frac{p}{2} - 2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{p}{2} + 4} \right)^2} + 16 = \frac{{{{\left( {\frac{p}{2} + 12} \right)}^2}}}{5}\)

\( \Leftrightarrow p =  - 4\)

\( \Rightarrow q =  - 15\).

Đáp án đúng là "280"

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có lợi nhuận

\(L\left( x \right) = \left( {2000x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + 1440x + 50} \right) - tx =  - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50\) (nghìn đồng).

\(L'\left( x \right) =  - 4x + \left( {560 - t} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 140 - \frac{t}{4}\). Mà \(0 < t < 300\) nên \(x = 140 - \frac{t}{4} \in \left( {65;140} \right)\).

Lập bảng biến thiên:

Vậy

Xét tổng tiền thuế \(T = tx = t\left( {140 - \frac{t}{4}} \right) =  - \frac{{{t^2}}}{4} + 140t\).

Dễ thấy \({\rm{max}}T = T\left( { - \frac{{140}}{{2.\left( { - \frac{1}{4}} \right)}}} \right) = T\left( {280} \right)\).

Vậy \(t = 280\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức đạo hàm của hàm hợp và hàm số lượng giác.

Lời giải

Ta có: \(y = {\rm{sin}}\left( {2x + 1} \right) - {\rm{cos}}\left( {1 - x} \right)\)

\( \Rightarrow y' = {\left[ {{\rm{sin}}\left( {2x + 1} \right) - {\rm{cos}}\left( {1 - x} \right)} \right]}\)

         \( = {(2x + 1)}{\rm{cos}}\left( {2x + 1} \right) + {(1 - x)}{\rm{sin}}\left( {1 - x} \right)\)

         \( = 2{\rm{cos}}\left( {2x + 1} \right) - {\rm{sin}}\left( {1 - x} \right)\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

Từ “hỏa tốc, siêu tốc, thần tốc” đều nhấn mạnh mức độ di chuyển rất nhanh của sự vật. Từ “vận tốc” là khái niệm để đo tốc độ của sự vật, không nhấn mạnh tính nhanh.

=> Từ “vận tốc” không cùng nhóm với các từ còn lại.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Các từ “bồi hồi, bổi hổi, xao xuyến” đều chỉ trạng thái có những cảm xúc, ý nghĩ trở đi trở lại, làm xao xuyến không yên (thường là khi nghĩ đến việc đã qua).

- “Bịn rịn” là trạng thái thường diễn ra khi chia tay để chỉ sắc thái dùng dằng, lưu luyến, không dứt ra được vì nặng tình, nặng nghĩa giữa kẻ ở người đi.

Vậy nên từ “bịn rịn” có nghĩa khác với các từ còn lại.

 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức về cấu tạo từ (từ ghép, từ láy toàn phần, từ láy bộ phận).

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Từ “rào rào” là từ láy toàn phần.

- Các từ “tấp nập, rối rít, xôn xao” là các từ láy âm đầu và vần.

=> Từ “rào rào” không cùng nhóm với các từ còn lại.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức về từ loại (danh từ, động từ, tính từ).

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Các từ “giáo viên, giảng viên, nghiên cứu sinh” đều là các danh từ từ chỉ nghề nghiệp, chức danh. Từ “nghiên cứu” là động từ nên đây là từ không cùng nhóm.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

Tiếng “nhân” trong các từ: nhân hậu, nhân nghĩa, nhân văn đều mang ý nghĩa là con người

+ Nhân hậu: có lòng thương người, là lòng tốt của con người đối với nhau.

+ Nhân nghĩa: lòng thương người và tôn trọng lẽ phải, điều phải

+ Nhân văn: là sự hiểu biết và lòng nhân ái đối với con người khác, đồng thời là khả năng đặt mình vào tình huống của họ và cảm thông với họ.

Tiếng “nhân” trong “nhân quả” là nguyên nhân.

Nhân quả: nói khái quát của nguyên nhân, kết quả; Nhân (theo nghĩa đen là hạt giống), là nguyên nhân; quả (theo nghĩa đen là trái cây), là kết quả. Nói cách khác, mọi sự vật, hiện tượng trong thế giới đều do nguyên nhân của nó sinh ra.

Như vậy, từ “nhân quả” có nghĩa khác với các từ còn lại.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nghĩa của từ, ngữ cảnh.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Ở vị trí cần điền thứ nhất:

+ Từ “khác biệt” không phù hợp vì nó thường nhấn mạnh sự so sánh giữa các đối tượng để chỉ ra sự không giống nhau. Trong khi đó, nội dung câu văn này đề cập đến sự chuyển hóa, thay đổi theo thời gian (của làng quê). 

=> Đáp án C sai. 

+ Các từ trên đều có chung đặc điểm: chỉ sự thay đổi, không còn giống với trước đây. 

+ Trong ngữ cảnh của văn bản, đáp án A không phù hợp vì từ “biến đổi” nghĩa là  thay đổi mang tính toàn diện hoặc có sự chuyển hóa từ trạng thái này sang trạng thái khác.

=> Đáp án A sai.

- Ở vị trí cần điền thứ hai:

Cần chú ý đến “hạnh phúc muốn trở về” và phần sau chỗ cần điền: “càng muốn” => nghĩa của từ cần điền sẽ đối lập trong cùng hệ quy chiếu với từ “hạnh phúc”.

=> Đáp án D không phù hợp. 

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: đổi thay - khổ đau.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, từ loại, logic, phong cách.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Chú ý đến mối quan hệ giữa 2 vế câu: được kết nối với nhau qua từ “thì” => điều kiện - kết quả. 

- Các cặp từ đáp án đều có khả năng đáp ứng ý nghĩa này.

- Ở vị trí điền từ thứ nhất: 

+ Chú ý vế “tầm nhìn bị thu hẹp về con số 0”. Nói đến tầm nhìn bị thu hẹp, đáp án A, D hợp lí. 

+ Đáp án C sai vì nghĩ khác không liên quan đến việc “thu hẹp tầm nhìn”.

- Ở vị trí điền từ thứ hai: 

+ Từ “khổ đau” không phù hợp vì thuộc “cảm nhận”. Trong khi mối quan hệ giữa từ “cảm nhận” và từ cần điền là tương đương (từ “và”). => Đáp án B sai.

+ Từ “suy ngẫm” không phù hợp vì không tương ứng về nghĩa với từ “mở ra” vì “suy ngẫm” là suy nghĩ kĩ lưỡng, thường sẽ là bề sâu.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: nhắm mắt - tưởng tượng.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ và ngữ cảnh trong câu

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Ở vị trí điền từ thứ nhất:

+ Từ “chập chững” nghĩa là “có những bước chưa vững vì mới tập đi”. Trong khi ở phần trước có đề cập “đi học, đi chăn bò” => không phù hợp về logic. => Đáp án A sai.

+ Từ “lang thang” có nghĩa là đến chỗ này rồi lại bỏ đi chỗ khác, không dừng lại ở một chỗ nào nhất định => không phù hợp với ngữ cảnh => Đáp án C sai.

- Ở vị trí điền từ thứ hai:

+ Từ “tiềm thức” nghĩa là “hoạt động tâm lí của con người mà bản thân người ấy không có ý thức”. Trong khi đó, việc nhớ về những điều này thuộc về hành động có ý thức 

=> Đáp án B sai.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: lon ton - kí ức.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nội dung câu văn, nghĩa của từ.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Ở vị trí điền từ thứ nhất: chú ý từ “tạp âm”: âm thanh khác lạ có chất lượng kém xen lẫn vào, gây khó khăn cho việc nghe nhận âm thanh chính.

=> Đáp án A, C không phù hợp về nghĩa. (“chắt lọc, chọn lọc” có nghĩa là chọn lấy phần tinh tuý)

- Ở vị trí điền từ thứ hai:

Câu văn đề cập đến vấn đề “lắng nghe”. Thường trong mối quan hệ này tồn tại 2 đối tượng: người nói và người nghe. 

+ Từ “người khác” dùng ở đây chưa phù hợp vì nghĩa khái quát, không xác định. 

+ Từ “người đối diện” cụ thể, xác định hơn.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: gạn lọc – người đối diện.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào hiểu biết về nghĩa của từ, suy luận logic.

Dạng bài điền từ

Lời giải

Ở vị trí cần điền thứ nhất:

- “thiên thể” là tên gọi chung các vật thể tồn tại tự nhiên trong vũ trụ, như sao, hành tinh, vệ tinh, v.v..

- “thiên thạch” nghĩa là vật thể, phần lớn bằng đá hoặc kim loại, từ khoảng không vũ trụ rơi vào Trái Đất.

- “hành tinh” nghĩa là thiên thể không tự phát ra ánh sáng, quay xung quanh Mặt Trời hoặc một ngôi sao.

- “vũ trụ” nghĩa là khoảng không gian vô cùng tận chứa các thiên hà.

Dựa vào nội dung của phần trước vị trí cần điền: 

- Mặt Trời không phải hành tinh, không tương đương với Trái Đất theo cách hiểu đó nên từ “hành tinh” không phù hợp => Đáp án C sai.

- Từ “vũ trụ” không hợp lí vì vũ trụ bao gồm dải ngân hà chứ dải ngân hà không bao gồm vũ trụ => Đáp án D sai.

Ở vị trí cần điền thứ hai: 

Từ “gia tốc” nghĩa là độ tăng giảm vận tốc trong một đơn vị thời gian của một vật đang chuyển động. => không phù hợp với ngữ cảnh => Đáp án B sai.

=> Đáp án A đúng.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu trên là: thiên thể - tốc độ.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic.

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

- Cụm từ sai là: kết quả đạt được. Vì: "kết quả đạt được" là sự kết hợp không cần thiết vì "kết quả" đã ngụ ý đạt được.

=> Sửa lại: Anh ấy ra sức luyện tập, nhưng kết quả vẫn không được như mong đợi.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ, ngữ cảnh.

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

Phân tích:

Cần xác định rõ ngữ cảnh.

- Từ “tiến trình” thường nhấn mạnh sự phát triển hoặc sự thay đổi dần dần của sự kiện, quá trình theo một hướng nhất định. Nó có thể dùng để chỉ sự chuyển động, cải tiến, hoặc sự tiến triển của một tình trạng. 

- Trong khi câu này đề cập đến tầm quan trọng của bảng kế hoạch tổng trong việc “theo dõi” thì đó cần là một chuỗi các sự kiện, hành động hay giai đoạn diễn ra liên tục và liên kết với nhau để đạt được một kết quả cụ thể. 

=> Từ “tiến trình” dùng không hợp lí. 

Sửa lại: Bảng kế hoạch tổng rất quan trọng trong việc xác định, tổ chức thực hiện và theo dõi quá trình thi công theo kế hoạch đã lập và theo thực tế công trường.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào lỗi sai về ngữ nghĩa.

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

- Cụm từ sai là: không thể thuyết phục. Câu này có vấn đề về sự sử dụng từ ngữ không phù hợp với ngữ cảnh. Từ "thuyết phục" thường được sử dụng để diễn tả tác động khiến một người thay đổi suy nghĩ hoặc quan điểm, còn trong trường hợp này, chúng ta nói về "kết quả" của bài thi, điều mà không thể "thuyết phục".

Sửa lại:

Tất cả các em học sinh trong kì thi giữa học kì vừa qua đã làm bài thi với thái độ nghiêm túc, nhưng kết quả không đạt yêu cầu.