Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 37)

Đáp án đúng là "3/2"

Phương pháp giải

Tính chất của tích phân

Lời giải

Ta có:

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Số cực trị là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)

Lời giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị là \(x = 0\) và \(x = 3\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi đi qua hai điểm này \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 0 \right) = 0}\\{f'\left( 3 \right) = 0}\end{array}} \right.\).

Xét hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right) + m} \right)\) có đạo hàm \(y' = g'\left( x \right).f'\left( {g\left( x \right) + m} \right)\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = 0}\\{f'\left( {g\left( x \right) + m} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1}}\\{x = 0}\\{x = {x_2}}\\{g\left( x \right) + m = 0}\\{g\left( x \right) + m = 3}\end{array}{\rm{\;}}} \right.} \right.\)(1) với \({x_1};0;{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Để hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right) + m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có đúng 7 nghiệm phân biệt.

Để phương trình (1) có đúng 7 nghiệm phân biệt thì \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( x \right) + m = 0}\\{g\left( x \right) + m = 3}\end{array}} \right.\) (2) có đúng 4 nghiệm phân biệt và 4 nghiệm này phải khác \({x_1};0;{x_2}\).

Từ (2) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( x \right) =  - m}\\{g\left( x \right) =  - m + 3}\end{array}} \right.\).

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m \ge  - 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5 <  - m + 3 <  - 1}\\{ - m \le  - 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 < m < 8}\\{m \ge 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 1}\\{5 \le m < 8}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

Vậy có 4 giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.    

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định phương trình mặt phẳng \(\left( {\rm{Q}} \right)\) đi qua M và song song với mp \(\left( {\rm{P}} \right)\)

Lời giải

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 5 = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right) \Rightarrow {\rm{\Delta }} \subset \left( Q \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;3; - 1} \right)\)

\(d{(N,{\rm{\Delta }})_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]} \right] = \left( { - 6; - 3;6} \right) = - 3\left( {2;1; - 2} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng

Lời giải

Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bất phương trình tương đương với:

\(4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {y{x^6}} \right) + 1 \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\rm{log}}_2^2x + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {y{x^6}} \right) + 2 \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + \left( {{\rm{log}}_2^2x + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4y{x^6}} \right) \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4y{x^6}} \right) \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right) \Leftrightarrow f\left( {4y{x^6}} \right) \ge f\left( {{2^{{\rm{log}}_2^22x}}} \right)\) (1).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t,t > 0\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} > 0\) với \(t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t,t > 0\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} > 0\) với \(t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó ta được:

(1) \( \Leftrightarrow 4y{x^6} \ge {2^{{\rm{log}}_2^22x}} \Leftrightarrow 2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y + 6{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x \ge {\rm{log}}_2^22x\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y \ge {\rm{log}}_2^2x - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1 = g\left( x \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{2}{{x{\rm{ln}}2}}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - \frac{4}{{x{\rm{ln}}2}} = \frac{2}{{x{\rm{ln}}2}}\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x = 2 \Leftrightarrow x = 4\).

Để tập \(S\) có nhiều nhất 32 phần tử thì \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y < g\left( {33} \right) \Leftrightarrow 0 < y < {2^{g\left( {33} \right)}} \Rightarrow 0 < y \le 19\).

Vậy có 19 giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Dùng tính chất của tích phân

Lời giải

\[ \Rightarrow  - \int\limits_1^2 {f'(x)dx}  + \int\limits_2^5 {f'(x)dx}  = 5\]

\[ \Leftrightarrow  - [f(2) - f(1)] + [f(5) - f(2)] = 5\]

\[ \Leftrightarrow f(5) = 3\]

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lập hàm và khảo sát hàm vừa nhận được

Lời giải

Giả sử giá bán thay đổi \(x\) lần, mỗi lần thay đổi 2000 đồng ( \(x \in \mathbb{Z},x > 0\) là tăng giá, \(x < 0\) là giảm giá). Theo thực tế \( - 10 < x < 45\). (giá bán trên 0 đồng và còn ít nhất 1 khách). Tổng tiền thu được sau khi thay đổi là:

\(T = \left( {90 - x} \right)\left( {60 - 5x} \right)\left( {20 + 2x - 2,2} \right) = 10{x^3} - 931{x^2} + 1772x + 96120\)

Xét hàm số \(T = 10{x^3} - 931{x^2} + 1772x + 96120\)

\(T' = 30\left( {{x^2} - 62,0667x + 57,4} \right)\)

\(T' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx 1}\\{x \approx 61}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên \( \Rightarrow {T_{{\rm{max}}}}\) khi \(x = 1\). Tức là ta chỉ tăng giá 1 lần. Vậy giá đưa ra để lợi nhuận cao nhất là: 22000 đồng/kg.

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Đặt \(t = {\rm{cos}}x\), khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)

Lời giải

Xét hàm số: \(y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x - 1\)

\( \Rightarrow y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - 3\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 - m{\rm{cos}}x - 1\)

\(y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x + 5{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - m{\rm{cos}}x - 5\)

Đặt \(t = {\rm{cos}}x \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow y = {t^3} + 5{t^2} - mt - 5\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) hàm số \(y = {t^3} + 5{t^2} - mt - 5\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)

Ta có: \(y' = 3{t^2} + 10t - m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(y' \ge 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 10t - m \ge 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 10t \ge m,\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + 10t,f'\left( t \right) = 6t + 10 \Rightarrow t = \frac{{ - 5}}{3} \notin \left[ {0;1} \right]\)

\(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = 13\)

Vậy                                                            

Kết hợp với yêu cầu bài toán \( \Rightarrow m \in \left( { - 2025;0} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024; - 2023; \ldots ;0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Cấp số cộng

Lời giải

Trong năm năm đầu, quần thể tăng trưởng đều với cấp số cộng:

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right).d\) với \(1 \le n \le 5\)

\({u_n} = 200 + \left( {n - 1} \right).30\)

\( \Rightarrow {u_5} = 200 + \left( {5 - 1} \right).30 = 320\).

Từ năm thứ 6 trở đi công sai d bắt đầu giảm theo cấp số nhân:

\({d_{k + 1}} = {d_k}\left( {1 - r} \right)\).

Với \({d_5} = 30,r = 10{\rm{\% }} = 0,1\)

\( \Rightarrow {d_6} = 30.0,9 = 27,{d_7} = 27.0,9 = 24,3,\)...

Từ năm thứ 6 trở đi đến năm thứ 10, số lượng cá thể tăng thêm mỗi năm là:

\[{u_{n + 1}} = {u_n} + {d_{n + 1}}\]

\[{u_6} = {u_5} + {d_6} = 320 + 27 = 347\]

\[{u_7} = {u_6} + {d_7} = 347 + 24,3 = 371,3\]

\[{u_8} = {u_7} + {d_8} = 371,3 + 21,87 = 393,17\]

\[{u_9} = {u_8} + {d_9} = 393,17 + 19,683 = 412,853\]

\[{u_{10}} = {u_9} + {d_{10}} = 412,853 + 17,7147 = 430,5677 \approx 431\]

Vậy số lượng cá thể năm thứ 10 là: 431.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

GTLN-GTNN cơ bản

Lời giải

Xét hàm số: \(T\left( r \right) = {T_0}{\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)^p} = {15.10^6}{\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)^p}\)

Nhiệt độ lớn nhất \( \Leftrightarrow \) Khi \(r = 0\) (tâm Mặt Trời), nhiệt độ Mặt Trời lớn nhất:

\({T_{{\rm{max}}}} = T\left( 0 \right) = {T_0}{\left( {1 - \frac{0}{R}} \right)^p} = {15.10^6}\left( K \right)\)

Nhiệt độ nhỏ nhất \( \Leftrightarrow r = R\) (Bề mặt Mặt Trời):

\({T_{{\rm{min}}}} = T\left( R \right) = {T_0}{\left( {1 - \frac{R}{R}} \right)^p} = 0\left( K \right)\)

(Các giá trị này là lý thuyết, thực tế bề mặt Mặt Trời có nhiệt độ khoảng \(5500\left( K \right)\))

\( \Rightarrow M + m = {15.10^6}\left( K \right)\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) và mặt cầu \(\left( {\rm{S}} \right)\)

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1;3} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 + 2.3 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 2 < R = 4\)

\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(O\) là tâm đường tròn giao tuyến \( \Rightarrow O\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ tâm đường tròn giao tuyến là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{x - 2y + 2z - 15 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{9t - 6 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{t = \frac{2}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{5}{3}}\\{y = \frac{{ - 7}}{3}}\\{z = \frac{{13}}{3}}\\{t = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow O\left( {\frac{5}{3};\frac{{ - 7}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\]

Bán kính đường tròn tâm \(O\) là: \(r = \sqrt {{R^2} - d\left( {I;\left( P \right)} \right)} = \sqrt {16 - 4} = 2\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Gọi giao điểm của đường thẳng cần tìm với các đường thẳng d₁, d₂, tham số hóa tọa độ các điểm đó và dùng điều kiện 3 điểm thẳng hàng

Lời giải

Gọi đường thẳng cần tìm là \({\rm{\Delta }}\)

Gọi \(M\) là giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và \({d_1} \Rightarrow M\left( {1 + t;2t; - 1 - t} \right)\)

\(N\) là giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và \({d_2} \Rightarrow N\left( {2t';1 + 2t';2 + 3t'} \right)\)

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua 3 điểm \(M,N,A \Rightarrow \overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {NA} \)

\(\overrightarrow {MA} = \left( { - 1 - t; - 2 - 2t;2 + t} \right)\)

\(\overrightarrow {NA} = \left( { - 2t'; - 3 - 2t'; - 1 - 3t'} \right)\)

Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 - t = k\left( { - 2t'} \right)}\\{ - 2 - 2t = k\left( { - 3 - 2t'} \right)}\\{2 + t = k\left( { - 1 - 3t'} \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{ - 23}}{{17}}}\\{t' = \frac{3}{2}}\\{k = \frac{{ - 2}}{{17}}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 6}}{{17}};\frac{{ - 46}}{{17}};\frac{6}{{17}}} \right),N\left( {3;4;\frac{{13}}{2}} \right)\)

\(\overrightarrow {NA} = \left( { - 3; - 6;\frac{{ - 11}}{2}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(A\) và nhận vecto \(\overrightarrow {NA} \) là vecto chỉ phương

Chọn lại vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {6;12;11} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6{t_1}}\\{y = - 2 + 12{t_1}}\\{z = 1 + 11{t_1}}\end{array}} \right.\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Đánh giá

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 3;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M,N\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = - 1 - 3t}\\{z = 1 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.\)

Gọi \(H\left( {2 - t; - 1 - 3t;1 + t} \right) \in MN\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) trên đường thẳng \(MN\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {PH} = \left( { - 3 - t; - 1 - 3t;5 + t} \right),\overrightarrow {{u_{MN}}} = \left( { - 1; - 3;1} \right)\)

Vì \(PH \bot MN \Rightarrow \overrightarrow {PH} .\overrightarrow {{u_{MN}}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 1.\left( { - 3 - t} \right) - 3\left( { - 1 - 3t} \right) + \left( {1 + t} \right) = 0\\ \Rightarrow 3 + t + 3 + 9t + 1 + t = 0\\ \Rightarrow 11t + 7 = 0\\ \Rightarrow t = - \frac{7}{{11}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {PH} = \left( { - \frac{{26}}{{11}};\frac{{10}}{{11}};\frac{{48}}{{11}}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(d\left( {P,\left( \alpha \right)} \right) \le PH\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow PH \bot \left( \alpha \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \overrightarrow {PH} = \left( {\frac{{ - 26}}{{11}};\frac{{10}}{{11}};\frac{{48}}{{11}}} \right) = \frac{2}{{11}}\left( { - 13;5;24} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:

\( - 13\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 24\left( {z - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 13x + 5y + 24z + 7 = 0\)

Vậy \(T = \frac{{\left| {a + b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| { - 13 + 5 + 24 + 7} \right|}}{{\sqrt {{{13}^2} + {5^2} + {{24}^2}} }} = \frac{{23\sqrt {770} }}{{770}}\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đổi biến, tính nguyên hàm

Lời giải

Theo đề bài ta có:

\(f'\left( x \right) = {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} \Rightarrow f\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} dx\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 6} \Rightarrow {t^2} = {x^3} + 6 \Rightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{2t}}{3}dt\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} dx = \mathop \smallint \nolimits^ t.\frac{{2t}}{3}dt = \frac{2}{3}.\frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{2{t^3}}}{9} + C = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} + C\)

Vì \(M\) trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên \(f\left( 0 \right) = 0\)

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) = \frac{{2\sqrt {{6^3}} }}{9} + C = 0 \Rightarrow c = - \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy hàm \(f\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} - \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là "15"

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)

\[f'(x) = {(x - 1)^2}x(x - 2)\]

\[ \Rightarrow g'(x) = (2x - 8).f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\]

\[ = (2x - 8){\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\left( {{x^2} - 8x + m - 2} \right)\]

\[g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{{{\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)}^2} = 0\,\,\,(1)}\\{\left( {{x^2} - 8x + m} \right) = 0\,\,\,(2)}\\{\left( {{x^2} - 8x + m - 2} \right) = 0\,\,(3)}\end{array}} \right.\].

Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một và nếu có các nghiệm thì nghiệm ấy cũng là nghiệm bội chẵn.

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\left( 3 \right)\) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{16 - m > 0}\\{16 - m + 2 > 0}\\{16 - 32 + m \ne 0}\\{16 - 32 + m - 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 16}\\{m < 18}\\{m \ne 16}\\{m \ne 18}\end{array} \Rightarrow m < 16} \right.} \right.\)

Vì \(m\) nguyên dương và \(m < 16\) nên có 15 giá trị \(m\) cần tìm

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Xác định phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc (C)

Lời giải

Gọi điểm \(A\left( {a;{a^3} + 3{a^2} + 4} \right) \in \left( C \right)\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) là:

\(y = \left( {3{a^2} + 6a} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} + 3{a^2} + 4\)

Do tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {m;4} \right)\) nên ta có: \(\left( {3{a^2} + 6a} \right)\left( {m - a} \right) + {a^3} + 3{a^2} + 4 = 4\)

\( \Leftrightarrow a\left( { - 2{a^2} - 3a + 3am + 6m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{ - 2{a^2} + a\left( {3m - 3} \right) + 6m = 0\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\)

Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) ta có 2 trường hợp:

TH1: Phương trình (1) có nghiệm kép khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6m \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} = {{(3m - 3)}^2} + 48m = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{9{m^2} + 30m + 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 3}\\{m = \frac{{ - 1}}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Th2: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 nghiệm bằng 0

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{9{m^2} + 30m + 9 > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >  - \frac{1}{3}}\\{m <  - 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow m = 0} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là "29/5"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{x - 3}}{{x - 2}} = 3x + m \Leftrightarrow x - 3 = \left( {x - 2} \right)\left( {3x + m} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + mx - 6x - 2m - x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + mx - 7x - 2m + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + \left( {m - 7} \right)x - 2m + 3 = 0\)(1)

Để đồ thị hai hàm số có hai giao điểm thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 + 2\left( {m - 7} \right) - 2m + 3 \ne 0}\\{{m^2} + 10m + 13 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m <  - 5 - 2\sqrt 3 }\\{m >  - 5 + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Theo hệ thức Viet ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{7 - m}}{3}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2m + 3}}{3}}\end{array}} \right.\)

Giả sử: \(A\left( {{x_1};3{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};3{x_2} + m} \right)\)

Ta có:

\[AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {3{x_2} - 3{x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {10{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \]

\[ = \sqrt {10{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {10{{\left( {\frac{{7 - m}}{3}} \right)}^2} - 4\left( {\frac{{ - 2m + 3}}{3}} \right)} \]

\[ = \sqrt {\frac{{10}}{9}{m^2} - \frac{{116}}{9}m + \frac{{454}}{9}} \]

\(AB\) nhỏ nhất khi \(m = \frac{{29}}{5}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Lời giải

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA}\end{array} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)} \right.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của CD

Vì \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AM \bot CD\)

Xét \(CD\) và mặt phẳng (SAM) có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot CD}\\{CD \bot SA}\\{SA,AM \subset \left( {SAM} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AK \bot SM\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SM}\\{AK \bot CD}\\{CD,SM \subset \left( {SAM} \right)}\end{array} \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)} \right.\)

\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AK\)

Vì \(AM\) là đường cao trong \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\) có \(AK\) là đường cao

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Lời giải

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O = AC \cap BD\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(ON//SD \Rightarrow N\) là trung điểm \(SB\)

\( \Rightarrow \left( {AC,SD} \right) = \left( {AO,ON} \right) = \widehat {AON}\)

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow NO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) vì \(NO\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\)

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có \(AN\) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow AN = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = a \Rightarrow AO = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác \(AON\) có: \({\rm{cos}}\widehat {AON} = \frac{{N{O^2} + A{O^2} - N{A^2}}}{{2.NO.AO}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính thể tích theo công thức

Lời giải

Ta có: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}}\)

\(BO\) là đường cao trong tam giác đều \(ABC \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .\frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Xét khai triển \({\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}} + {\left( {{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{10}}\)

Ta tìm các số hạng có cùng lũy thừa của \(x\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le m \le 10,\,\,0 \le k \le 10}\\{20 - 3k = 30 - 4m \Leftrightarrow 4m - 3k = 10}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {k;m} \right) = \left( {2;4} \right);\left( {6;7} \right);\left( {10;10} \right)\)

Vậy khai triển đã cho có tất cả \(21 + 11 = 29\) số hạng.

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đánh giá và biện luận

Lời giải

Ta có:

Để giới hạn đã cho bằng \(5 \Rightarrow {a^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow a =  \pm 1\)

Trường hợp 1: \(a =  - 1\) loại vì khi tính giới hạn ra mẫu bằng 0

Trường hợp2:

\( \Rightarrow \frac{{2b + 6}}{2} = 5 \Rightarrow 2b + 6 = 10 \Rightarrow b = 2\)

Vậy tích \(a.b = 2\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của xác suất

Lời giải

Máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu có nhiều nhất một trong 4 động cơ bị hỏng thì xảy ra hai trường hợp sau đây:

TH1: Cả 4 động cơ đều hoạt động bình thường

\({P_1} = {(1 - 0,05)^4} = 0,8145\)

TH2: Có một động cơ bị hỏng, 3 động cơ khác hoạt động bình thường

\({P_2} = 0,05.{(1 - 0,05)^3}.4 = 0,1715\)

Vậy xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn là:

\(P = {P_1} + {P_2} = 0,8145 + 0,1715 \approx 0,986\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định phương trình elip

Lời giải

Theo bài tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn là \(\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow c = \frac{2}{3}a\)

Mà \({b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow {b^2} = {a^2} - \frac{4}{9}{a^2} = \frac{5}{9}{a^2}\)

Phương trình elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{5}{9}{a^2}}} = 1\)

Elip đi qua điểm \(M\left( {2;\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{\frac{{25}}{9}}}{{\frac{5}{9}{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{5}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 9 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{a = - 3\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow b = \sqrt 5 \)

Phương trình elip cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất của xác suất

Lời giải

Ta có: \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)\)

Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) \Rightarrow m = a.P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{m}{a}\)

\( \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \cap B} \right) - P\left( A \right) - P\left( B \right) = m - a - \frac{m}{a}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Dùng giới hạn dãy số để tính

Lời giải

Vì số lượng cá thể đạt trạng thái cân bằng khi thời gian đủ dài nên số lượng cá thể của quần thể khi đó là:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm

Lời giải

Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Xét \(\frac{n}{2} = 50\)

50 thuộc \(\left[ {160;170} \right)\) nên nhóm chứa trung vị là nhóm 3

\( \Rightarrow {M_e} = 160 + \frac{{50 - 30}}{{40}}.10 = 165\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng

Lời giải

\(C'M \cap \left( {A'BC} \right) = C\), suy ra \(\frac{{d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{C'M}}{{C'C}} = \frac{1}{2}\).

Ta có \({V_{C'.A'BC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.C'C.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Lại có \(A'B = a\sqrt 2 ,CB = a,A'C = a\sqrt 2 \Rightarrow {S_{A'BC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).

Suy ra \(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{C'.A'BC}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}A'BC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Ứng dụng hàm số mũ-hàm số loga

Lời giải

Theo bài ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k.{a^2} = 3{\rm{\% }}}\\{k.{a^5} = 10{\rm{\% }}}\end{array}} \right.\) (1). Ta cần tìm \(t\) sao cho \(k.{a^t} = 20{\rm{\% }}\)

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow k = \frac{{3{\rm{\% }}}}{{{a^2}}}\) và \({a^3} = \frac{{10}}{3} \Rightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{3{\rm{\% }}}}{{{a^2}}}{a^t} = 20{\rm{\% }} \Rightarrow {a^{t - 2}} = \frac{{20}}{3} \Rightarrow t - 2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\frac{{20}}{3} \Rightarrow t = 2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}}}}\frac{{20}}{3} \approx 6,7\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định chu kì của hàm số

Lời giải

Ta có: chu kì tuần hoàn của \({\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{{18}}} \right)\) là \({T_1} = \pi \)

Chu kì tuần toàn của \({\rm{sin}}\left( {\frac{x}{5} + \frac{\pi }{{12}}} \right)\) là \({T_2} = 10\pi \)

Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số là: \(10\pi \)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính chất, công thức logarit

Lời giải

\(T = {a^{{\rm{log}}_2^25}} + \frac{1}{7}{b^{{\rm{log}}_3^27}} + {a^{{\rm{log}}_5^29}}\)

\( = {\left( {{a^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}}} \right)^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}} + \frac{1}{7}{\left( {{b^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7}}} \right)^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7}} + {\left( {{c^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}9}}} \right)^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}9}}\)

\( = {32^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}} + \frac{1}{7}{9^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7}} + {(\sqrt 5 )^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}9}}\)

\( = {5^5} + \frac{1}{7}{.7^2} + 3 = 3135\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Hàm đặc trưng

Lời giải

Điều kiện xác định \(x > \frac{5}{6}\).

\({7^{x - 1}} - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}{(6x - 5)^3} = 1\)

\( \Leftrightarrow {7^{x - 1}} - 16{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {6x - 5} \right) = 1\)

Đặt \(u = x - 1,v = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {6x - 5} \right) \Rightarrow 6x - 5 = {7^v}\)

\( \Rightarrow 6\left( {x - 1} \right) + 1 = {7^v} \Rightarrow 1 = {7^v} - 6u\)

Ta có phương trình: \({7^u} - 6v = {7^v} - 6u \Leftrightarrow {7^u} + {6^u} = {7^v} + 6v\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {7^t} + 6t\)

\(f'\left( t \right) = {7^t}.{\rm{ln}}7 + 6 > 0,\forall t \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f\left( u \right) = f\left( v \right) \Rightarrow 1 = {7^u} - 6u\)

Xét hàm số: \(g\left( t \right) = {7^t} - 6t\) có:

\(g'\left( t \right) = 7{\rm{ln}}7 - 6 = 0 \Rightarrow {t_0} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{6}{{{\rm{ln}}7}}\)

\(g''\left( t \right) = {7^t}{({\rm{ln}}7)^2} > 0\)

Do đó \({t_0}\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Mà \(g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = 1\) nên phương trình \(1 = {7^u} - 6u\) có đúng 2 nghiệm \(u = 0,u = 1 \Rightarrow x = 1,x = 2\left( {{\rm{tm}}} \right)\)

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính thể tích trực tiếp

Lời giải

Gọi \({G_1},{G_2},{G_3},{G_4}\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta SAB,\Delta SBC,\Delta SCD,\Delta SDA\).

\(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA\).

Ta có \({S_{MNPQ}} = 4{S_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = 4.\frac{4}{9}{S_{EFGH}} = 4.\frac{4}{9}.\frac{1}{2}EG.HF = \frac{{8{a^2}}}{9}\).

\(d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = d\left( {S',\left( {ABCD} \right)} \right) + d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) + 2d\left( {O,\left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)} \right)\)

\( = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) + \frac{2}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{5}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{5a\sqrt {14} }}{6}\)

Vậy \({V_{S'.MNPQ}} = \frac{1}{3}.\frac{{5a\sqrt {14} }}{6}.\frac{{8{a^2}}}{9} = \frac{{20{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Phương trình được biến đổi về dạng:

\({(x - 3)^{3{x^2} - 5x + 2}} = {\left[ {{{(x - 3)}^2}} \right]^{{x^2} + x - 4}}\)

\( \Leftrightarrow {(x - 3)^{3{x^2} - 5x + 2}} = {(x - 3)^{2\left( {{x^2} + x - 4} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x - 3 \ne 1}\\{3{x^2} - 5x + 2 = 2{x^2} + 2x - 8}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 3 \ne 4}\\{{x^2} - 7x + 10 = 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{x = 5}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có:

\({\rm{sin}}x - \sqrt 3 {\rm{cos}}x = 2{\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{2}.\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.{\rm{cos}}x} \right) = 2.{\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}\sin x - \cos \frac{\pi }{6}.{\rm{cos}}x = {\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow - {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = {\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\pi - x - \frac{\pi }{6}} \right) = {\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\pi - x - \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi }\\{\pi - x - \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi }\end{array},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{ - 5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Chia lượng nước trong bể khi bể đầy làm 3 phần, thì lượng nước của vòi thứ nhất chảy ra chiếm 2 phần, vòi thứ 2 chiếm 1 phần, tức là vòi thứ nhất chảy \(\frac{2}{3}\) bể nước, còn vòi thứ hai được \(\frac{1}{3}\) bể nước.

Vòi thứ nhất chảy một mình thì mất 23 phút đầy bể nên cần \(\frac{2}{3}.23 = \frac{{46}}{3}\) phút để chảy được \(\frac{2}{3}\)

Vòi thứ hai chảy một mình thì mất 16 phút đầy bể nên cần \(\frac{1}{3}.16 = \frac{{16}}{3}\) phút để chảy được \(\frac{1}{3}\) bể

Vì hai vòi được đóng cùng lúc khi đầy bể nên vòi thứ nhất cần mở trước \(\frac{{46}}{3} - \frac{{16}}{3} = 10\) phút.

Đáp án đúng là "-64"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi 3 số cần tìm là \({u_1},{u_2},{u_3}\) đôi một khác nhau

Vì \({u_1},{u_2},{u_3}\) tạo thành cấp số cộng với công sai \(d \ne 0\) nên \({u_2} = {u_1} + d,{u_3} = {u_1} + 2d\)

Mà \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Rightarrow 3{u_1} + 3d = 6 \Rightarrow {u_1} + d = 2\)

Vì \({u_2},{u_1},{u_3}\) tạo thành cấp số nhân nên \({u_1} + d;{u_1};{u_1} + 2d\) cũng tạo thành cấp số nhân

\( \Rightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = {u_1}^2\)

\( \Rightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_1} =  - 4}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 0\left( {{\rm{ktm}}} \right)}\\{d = 6}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy ba số cần tìm là:\( - 4;2;8\).

Tích 3 số là -64

Đáp án đúng là "71"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi số hồng là \(x\) quả \(x > 0,x \in \mathbb{Z}\)

Số người là \(y\) người, \(y > 0,y \in \mathbb{Z}\)

Theo đề ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5y + 5 = x}\\{\left( {y - 1} \right).6 = x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5y + 5 = 6y - 6}\\{5y + 5 = x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 11}\\{x = 60}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)