Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 37)

Đáp án đúng là "-1/2"

Phương pháp giải

Phân tích vecto

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AO'}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OO'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \)

\(\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {C'B}  = \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {CB}  =  - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} \)

Mà \(\overrightarrow {AO'}  = m\overrightarrow {DB}  + n\overrightarrow {C'B} \)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = m(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ) + n\left( { - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} = m}\\{\frac{1}{2} =  - m - n}\\{1 =  - n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{1}{2}}\\{n =  - 1}\\{\frac{{ - 1}}{2} + 1 = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(m + n = \frac{{ - 1}}{2}\)

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Công thức tọa độ vecto trong không gian

Lời giải

\[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {DD'}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 0}\\{{y_{A'}} = 0}\\{{z_{A'}} =  - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow A'\left( {0;0; - 3} \right)\]

\[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {DD'}  \to  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{B'}} - 3 = 0}\\{{y_{B'}} = 0}\\{{z_{B'}} =  - 3}\end{array}\quad  \Rightarrow B'(3;0; - 3)} \right.\]

\[\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 3}\\{{y_C} = 3}\\{{z_C} = 0}\end{array} \Rightarrow C(3;3;0)} \right.\]

\[\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{C'}} = 3}\\{{y_{C'}} = 3}\\{{z_{C'}} =  - 3}\end{array}\quad  \Rightarrow C'(3;3; - 3)} \right.\]

G là trọng tâm tam giác \(A'B'C' \Rightarrow G\left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \left( {2;1; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c = 0\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right)\)

Lời giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - 4,f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 2\)

\[g(x) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\]

\[ \Rightarrow g'(x) = \left( {3{x^2} - 3} \right).f'\left( {{x^3} - 3x} \right)\]

\[g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - 3 = 0}\\{f'({x^3} - 3x) = 0}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 1}\\{{x^3} - 3x = 2}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 cực trị

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó

Lời giải

Theo tính chất đường phân giác trong ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)

Ta có \(:\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 2;4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {14} \)

\(\overrightarrow {BC} = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {14} \)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt {14} }} = 2\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {DC} \)

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \left( {3 - x;1 - y; - 2 - z} \right)\)

\(\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - y; - 1 - z} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x = 2 + 2x}\\{1 - y = 2y}\\{ - 2 - z = 2 + 2z}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{y = \frac{1}{3}}\\{z = \frac{{ - 4}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy điểm \(D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(I\left( {a,b,c} \right)\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = 0\)

Theo bài ra ta có:

\(T = \left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} + 5\overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {MI} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {IC} \left| = \right|2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\)

\( \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow M{I_{{\rm{min}}}} \Rightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Xác định tọa độ điểm \(I\):

\(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right)\)

\(\overrightarrow {IB} = \left( {4 - a;1 - b;1 - c} \right) \Rightarrow - 4\overrightarrow {IB} = \left( { - 16 + 4a; - 4 + 4b; - 4 + 4c} \right)\)

\(\overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;1 - b;5 - c} \right) \Rightarrow 5\overrightarrow {IC} = \left( {5 - 5a;5 - 5b;25 - 5c} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = 0\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - a - 16 + 4a + 5 - 5a = 0}\\{1 - b - 4 + 4b + 5 - 5b = 0}\\{1 - c - 4 + 4c + 25 - 5c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a - 10 = 0}\\{ - 2b + 2 = 0}\\{ - 2c + 22 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 5}\\{b = 1}\\{c = 11}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Rightarrow I( - 5;1;11)\]

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.\)

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{x - y + z - 10 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{ - 5 + t - (1 - t) + 11 + t - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{t = \frac{{ - 5}}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 20}}{3}}\\{y = \frac{8}{3}}\\{z = \frac{{28}}{3}}\\{t = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 20}}{3};\frac{8}{3};\frac{{28}}{3}} \right)\]

\[ \Rightarrow a + b + c = \frac{{16}}{3}\]

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác suất toàn phần

Lời giải

Gọi \(A\): "Kết quả xét nghiệm dương tính"

B: "Kết quả xét nghiệm âm tính"

C: "Người mắc bệnh"

D: "Người không mắc bệnh"

Tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là: \(P\left( C \right) = 0,02 \Rightarrow P\left( D \right) = 1 - 0,02 = 0,98\)

Xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương và người đó bị bệnh là: \(P\left( {A\mid C} \right) = 0,9\)

Xác suất để xét nghiệm âm tính và người đó không bị bệnh là: \(P\left( {B\mid D} \right) = 0,95\)

Xác suất để xét nghiệm dương tính nhưng người đó không bị bệnh là:

\(P\left( {A\mid D} \right) = 1 - 0,95 = 0,05\)

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {A|C} \right).P\left( C \right) + P\left( {A|D} \right).P\left( D \right) = \left( {0,9.0,2} \right) + \left( {0,05.0,98} \right) = 0,067\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Thay tọa độ điểm vào đường thẳng và nhận xét

Lời giải

Đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {1; - 2;3} \right)\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Nhận diện đồ thị, biến đổi \(a,b,c,d\) theo \(e\)

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có hai tiệm cận là

Tiệm cận đứng: \(x = 1\)

Tiệm cận xiên: \(y = - x + 1\) (1)

\( \Rightarrow \frac{{ - e}}{d} = 1 \Rightarrow d = - e\)

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0;2} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{c}{e} = 2 \Rightarrow c = 2e\)

Ta có: phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là:

\(y = \frac{a}{d}x + \frac{{bd - ae}}{{{d^2}}}\) (2)

Từ (1) ; (2) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{d} = - 1}\\{\frac{{bd - ae}}{{{d^2}}} = 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - d}\\{bd - ae = {d^2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = e}\\{ - be - {e^2} = {e^2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = e}\\{b = - 2e}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy: \(a + b + c + d + e = e - 2e + 2e - e + e = e\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Dựa vào bảng biến thiên nhận xét

Lời giải

Dựa vào BBT, phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}\) có 4 nghiệm phân biệt thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right),\left( { - 2;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2; + \infty } \right)\) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 5}}\) có 4 đường tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là "20"

Phương pháp giải

Điều kiện đơn điệu trên khoảng của hàm phân thức

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{m}{2}} \right\}\)

Xét hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - m + 5}}{{2x - m}}\)

\(y' = \frac{{ - 2{x^2} + 2mx - 10}}{{{{(2x - m)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2{x^2} + 2mx - 10 \ge 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)}\\{\frac{m}{2} \notin \left( {1;3} \right)}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5}}{x}\) trên \(\left( {1;3} \right)\)

\(y' = \frac{{ - \left( {3{x^2} + 5} \right)}}{{{x^2}}} < 0,\forall x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên R.

\( \Rightarrow m \ge 6\)

Đáp án đúng là "3/2"

Phương pháp giải

Tính chất của tích phân

Lời giải

Ta có:

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Số cực trị là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)

Lời giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị là \(x = 0\) và \(x = 3\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi đi qua hai điểm này \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 0 \right) = 0}\\{f'\left( 3 \right) = 0}\end{array}} \right.\).

Xét hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right) + m} \right)\) có đạo hàm \(y' = g'\left( x \right).f'\left( {g\left( x \right) + m} \right)\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = 0}\\{f'\left( {g\left( x \right) + m} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1}}\\{x = 0}\\{x = {x_2}}\\{g\left( x \right) + m = 0}\\{g\left( x \right) + m = 3}\end{array}{\rm{\;}}} \right.} \right.\)(1) với \({x_1};0;{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Để hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right) + m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có đúng 7 nghiệm phân biệt.

Để phương trình (1) có đúng 7 nghiệm phân biệt thì \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( x \right) + m = 0}\\{g\left( x \right) + m = 3}\end{array}} \right.\) (2) có đúng 4 nghiệm phân biệt và 4 nghiệm này phải khác \({x_1};0;{x_2}\).

Từ (2) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( x \right) =  - m}\\{g\left( x \right) =  - m + 3}\end{array}} \right.\).

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m \ge  - 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5 <  - m + 3 <  - 1}\\{ - m \le  - 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 < m < 8}\\{m \ge 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 1}\\{5 \le m < 8}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

Vậy có 4 giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.    

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định phương trình mặt phẳng \(\left( {\rm{Q}} \right)\) đi qua M và song song với mp \(\left( {\rm{P}} \right)\)

Lời giải

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 5 = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right) \Rightarrow {\rm{\Delta }} \subset \left( Q \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;3; - 1} \right)\)

\(d{(N,{\rm{\Delta }})_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]} \right] = \left( { - 6; - 3;6} \right) = - 3\left( {2;1; - 2} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng

Lời giải

Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bất phương trình tương đương với:

\(4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {y{x^6}} \right) + 1 \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\rm{log}}_2^2x + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {y{x^6}} \right) + 2 \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + \left( {{\rm{log}}_2^2x + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4y{x^6}} \right) \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4y{x^6}} \right) \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right) \Leftrightarrow f\left( {4y{x^6}} \right) \ge f\left( {{2^{{\rm{log}}_2^22x}}} \right)\) (1).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t,t > 0\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} > 0\) với \(t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t,t > 0\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} > 0\) với \(t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó ta được:

(1) \( \Leftrightarrow 4y{x^6} \ge {2^{{\rm{log}}_2^22x}} \Leftrightarrow 2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y + 6{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x \ge {\rm{log}}_2^22x\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y \ge {\rm{log}}_2^2x - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1 = g\left( x \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{2}{{x{\rm{ln}}2}}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - \frac{4}{{x{\rm{ln}}2}} = \frac{2}{{x{\rm{ln}}2}}\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x = 2 \Leftrightarrow x = 4\).

Để tập \(S\) có nhiều nhất 32 phần tử thì \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y < g\left( {33} \right) \Leftrightarrow 0 < y < {2^{g\left( {33} \right)}} \Rightarrow 0 < y \le 19\).

Vậy có 19 giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Dùng tính chất của tích phân

Lời giải

\[ \Rightarrow  - \int\limits_1^2 {f'(x)dx}  + \int\limits_2^5 {f'(x)dx}  = 5\]

\[ \Leftrightarrow  - [f(2) - f(1)] + [f(5) - f(2)] = 5\]

\[ \Leftrightarrow f(5) = 3\]

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lập hàm và khảo sát hàm vừa nhận được

Lời giải

Giả sử giá bán thay đổi \(x\) lần, mỗi lần thay đổi 2000 đồng ( \(x \in \mathbb{Z},x > 0\) là tăng giá, \(x < 0\) là giảm giá). Theo thực tế \( - 10 < x < 45\). (giá bán trên 0 đồng và còn ít nhất 1 khách). Tổng tiền thu được sau khi thay đổi là:

\(T = \left( {90 - x} \right)\left( {60 - 5x} \right)\left( {20 + 2x - 2,2} \right) = 10{x^3} - 931{x^2} + 1772x + 96120\)

Xét hàm số \(T = 10{x^3} - 931{x^2} + 1772x + 96120\)

\(T' = 30\left( {{x^2} - 62,0667x + 57,4} \right)\)

\(T' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx 1}\\{x \approx 61}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên \( \Rightarrow {T_{{\rm{max}}}}\) khi \(x = 1\). Tức là ta chỉ tăng giá 1 lần. Vậy giá đưa ra để lợi nhuận cao nhất là: 22000 đồng/kg.

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Đặt \(t = {\rm{cos}}x\), khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)

Lời giải

Xét hàm số: \(y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x - 1\)

\( \Rightarrow y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - 3\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 - m{\rm{cos}}x - 1\)

\(y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x + 5{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - m{\rm{cos}}x - 5\)

Đặt \(t = {\rm{cos}}x \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow y = {t^3} + 5{t^2} - mt - 5\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) hàm số \(y = {t^3} + 5{t^2} - mt - 5\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)

Ta có: \(y' = 3{t^2} + 10t - m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(y' \ge 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 10t - m \ge 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 10t \ge m,\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + 10t,f'\left( t \right) = 6t + 10 \Rightarrow t = \frac{{ - 5}}{3} \notin \left[ {0;1} \right]\)

\(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = 13\)

Vậy                                                            

Kết hợp với yêu cầu bài toán \( \Rightarrow m \in \left( { - 2025;0} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024; - 2023; \ldots ;0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Cấp số cộng

Lời giải

Trong năm năm đầu, quần thể tăng trưởng đều với cấp số cộng:

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right).d\) với \(1 \le n \le 5\)

\({u_n} = 200 + \left( {n - 1} \right).30\)

\( \Rightarrow {u_5} = 200 + \left( {5 - 1} \right).30 = 320\).

Từ năm thứ 6 trở đi công sai d bắt đầu giảm theo cấp số nhân:

\({d_{k + 1}} = {d_k}\left( {1 - r} \right)\).

Với \({d_5} = 30,r = 10{\rm{\% }} = 0,1\)

\( \Rightarrow {d_6} = 30.0,9 = 27,{d_7} = 27.0,9 = 24,3,\)...

Từ năm thứ 6 trở đi đến năm thứ 10, số lượng cá thể tăng thêm mỗi năm là:

\[{u_{n + 1}} = {u_n} + {d_{n + 1}}\]

\[{u_6} = {u_5} + {d_6} = 320 + 27 = 347\]

\[{u_7} = {u_6} + {d_7} = 347 + 24,3 = 371,3\]

\[{u_8} = {u_7} + {d_8} = 371,3 + 21,87 = 393,17\]

\[{u_9} = {u_8} + {d_9} = 393,17 + 19,683 = 412,853\]

\[{u_{10}} = {u_9} + {d_{10}} = 412,853 + 17,7147 = 430,5677 \approx 431\]

Vậy số lượng cá thể năm thứ 10 là: 431.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

GTLN-GTNN cơ bản

Lời giải

Xét hàm số: \(T\left( r \right) = {T_0}{\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)^p} = {15.10^6}{\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)^p}\)

Nhiệt độ lớn nhất \( \Leftrightarrow \) Khi \(r = 0\) (tâm Mặt Trời), nhiệt độ Mặt Trời lớn nhất:

\({T_{{\rm{max}}}} = T\left( 0 \right) = {T_0}{\left( {1 - \frac{0}{R}} \right)^p} = {15.10^6}\left( K \right)\)

Nhiệt độ nhỏ nhất \( \Leftrightarrow r = R\) (Bề mặt Mặt Trời):

\({T_{{\rm{min}}}} = T\left( R \right) = {T_0}{\left( {1 - \frac{R}{R}} \right)^p} = 0\left( K \right)\)

(Các giá trị này là lý thuyết, thực tế bề mặt Mặt Trời có nhiệt độ khoảng \(5500\left( K \right)\))

\( \Rightarrow M + m = {15.10^6}\left( K \right)\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) và mặt cầu \(\left( {\rm{S}} \right)\)

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1;3} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 + 2.3 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 2 < R = 4\)

\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(O\) là tâm đường tròn giao tuyến \( \Rightarrow O\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ tâm đường tròn giao tuyến là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{x - 2y + 2z - 15 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{9t - 6 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\\{t = \frac{2}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{5}{3}}\\{y = \frac{{ - 7}}{3}}\\{z = \frac{{13}}{3}}\\{t = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow O\left( {\frac{5}{3};\frac{{ - 7}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\]

Bán kính đường tròn tâm \(O\) là: \(r = \sqrt {{R^2} - d\left( {I;\left( P \right)} \right)} = \sqrt {16 - 4} = 2\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Gọi giao điểm của đường thẳng cần tìm với các đường thẳng d₁, d₂, tham số hóa tọa độ các điểm đó và dùng điều kiện 3 điểm thẳng hàng

Lời giải

Gọi đường thẳng cần tìm là \({\rm{\Delta }}\)

Gọi \(M\) là giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và \({d_1} \Rightarrow M\left( {1 + t;2t; - 1 - t} \right)\)

\(N\) là giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và \({d_2} \Rightarrow N\left( {2t';1 + 2t';2 + 3t'} \right)\)

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua 3 điểm \(M,N,A \Rightarrow \overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {NA} \)

\(\overrightarrow {MA} = \left( { - 1 - t; - 2 - 2t;2 + t} \right)\)

\(\overrightarrow {NA} = \left( { - 2t'; - 3 - 2t'; - 1 - 3t'} \right)\)

Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 - t = k\left( { - 2t'} \right)}\\{ - 2 - 2t = k\left( { - 3 - 2t'} \right)}\\{2 + t = k\left( { - 1 - 3t'} \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{ - 23}}{{17}}}\\{t' = \frac{3}{2}}\\{k = \frac{{ - 2}}{{17}}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 6}}{{17}};\frac{{ - 46}}{{17}};\frac{6}{{17}}} \right),N\left( {3;4;\frac{{13}}{2}} \right)\)

\(\overrightarrow {NA} = \left( { - 3; - 6;\frac{{ - 11}}{2}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(A\) và nhận vecto \(\overrightarrow {NA} \) là vecto chỉ phương

Chọn lại vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {6;12;11} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6{t_1}}\\{y = - 2 + 12{t_1}}\\{z = 1 + 11{t_1}}\end{array}} \right.\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Đánh giá

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 3;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M,N\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = - 1 - 3t}\\{z = 1 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.\)

Gọi \(H\left( {2 - t; - 1 - 3t;1 + t} \right) \in MN\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) trên đường thẳng \(MN\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {PH} = \left( { - 3 - t; - 1 - 3t;5 + t} \right),\overrightarrow {{u_{MN}}} = \left( { - 1; - 3;1} \right)\)

Vì \(PH \bot MN \Rightarrow \overrightarrow {PH} .\overrightarrow {{u_{MN}}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 1.\left( { - 3 - t} \right) - 3\left( { - 1 - 3t} \right) + \left( {1 + t} \right) = 0\\ \Rightarrow 3 + t + 3 + 9t + 1 + t = 0\\ \Rightarrow 11t + 7 = 0\\ \Rightarrow t = - \frac{7}{{11}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {PH} = \left( { - \frac{{26}}{{11}};\frac{{10}}{{11}};\frac{{48}}{{11}}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(d\left( {P,\left( \alpha \right)} \right) \le PH\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow PH \bot \left( \alpha \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \overrightarrow {PH} = \left( {\frac{{ - 26}}{{11}};\frac{{10}}{{11}};\frac{{48}}{{11}}} \right) = \frac{2}{{11}}\left( { - 13;5;24} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:

\( - 13\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 24\left( {z - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 13x + 5y + 24z + 7 = 0\)

Vậy \(T = \frac{{\left| {a + b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| { - 13 + 5 + 24 + 7} \right|}}{{\sqrt {{{13}^2} + {5^2} + {{24}^2}} }} = \frac{{23\sqrt {770} }}{{770}}\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đổi biến, tính nguyên hàm

Lời giải

Theo đề bài ta có:

\(f'\left( x \right) = {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} \Rightarrow f\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} dx\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 6} \Rightarrow {t^2} = {x^3} + 6 \Rightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{2t}}{3}dt\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\sqrt {{x^3} + 6} dx = \mathop \smallint \nolimits^ t.\frac{{2t}}{3}dt = \frac{2}{3}.\frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{2{t^3}}}{9} + C = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} + C\)

Vì \(M\) trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên \(f\left( 0 \right) = 0\)

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) = \frac{{2\sqrt {{6^3}} }}{9} + C = 0 \Rightarrow c = - \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy hàm \(f\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} + 6} \right)}^3}} }}{9} - \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là "15"

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)

\[f'(x) = {(x - 1)^2}x(x - 2)\]

\[ \Rightarrow g'(x) = (2x - 8).f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\]

\[ = (2x - 8){\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\left( {{x^2} - 8x + m - 2} \right)\]

\[g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{{{\left( {{x^2} - 8x + m - 1} \right)}^2} = 0\,\,\,(1)}\\{\left( {{x^2} - 8x + m} \right) = 0\,\,\,(2)}\\{\left( {{x^2} - 8x + m - 2} \right) = 0\,\,(3)}\end{array}} \right.\].

Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một và nếu có các nghiệm thì nghiệm ấy cũng là nghiệm bội chẵn.

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\left( 3 \right)\) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{16 - m > 0}\\{16 - m + 2 > 0}\\{16 - 32 + m \ne 0}\\{16 - 32 + m - 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 16}\\{m < 18}\\{m \ne 16}\\{m \ne 18}\end{array} \Rightarrow m < 16} \right.} \right.\)

Vì \(m\) nguyên dương và \(m < 16\) nên có 15 giá trị \(m\) cần tìm

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Xác định phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc (C)

Lời giải

Gọi điểm \(A\left( {a;{a^3} + 3{a^2} + 4} \right) \in \left( C \right)\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) là:

\(y = \left( {3{a^2} + 6a} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} + 3{a^2} + 4\)

Do tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {m;4} \right)\) nên ta có: \(\left( {3{a^2} + 6a} \right)\left( {m - a} \right) + {a^3} + 3{a^2} + 4 = 4\)

\( \Leftrightarrow a\left( { - 2{a^2} - 3a + 3am + 6m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{ - 2{a^2} + a\left( {3m - 3} \right) + 6m = 0\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\)

Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) ta có 2 trường hợp:

TH1: Phương trình (1) có nghiệm kép khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6m \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} = {{(3m - 3)}^2} + 48m = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{9{m^2} + 30m + 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 3}\\{m = \frac{{ - 1}}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Th2: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 nghiệm bằng 0

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{9{m^2} + 30m + 9 > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >  - \frac{1}{3}}\\{m <  - 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow m = 0} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là "29/5"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{x - 3}}{{x - 2}} = 3x + m \Leftrightarrow x - 3 = \left( {x - 2} \right)\left( {3x + m} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + mx - 6x - 2m - x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + mx - 7x - 2m + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + \left( {m - 7} \right)x - 2m + 3 = 0\)(1)

Để đồ thị hai hàm số có hai giao điểm thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 + 2\left( {m - 7} \right) - 2m + 3 \ne 0}\\{{m^2} + 10m + 13 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m <  - 5 - 2\sqrt 3 }\\{m >  - 5 + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Theo hệ thức Viet ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{7 - m}}{3}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2m + 3}}{3}}\end{array}} \right.\)

Giả sử: \(A\left( {{x_1};3{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};3{x_2} + m} \right)\)

Ta có:

\[AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {3{x_2} - 3{x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {10{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \]

\[ = \sqrt {10{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {10{{\left( {\frac{{7 - m}}{3}} \right)}^2} - 4\left( {\frac{{ - 2m + 3}}{3}} \right)} \]

\[ = \sqrt {\frac{{10}}{9}{m^2} - \frac{{116}}{9}m + \frac{{454}}{9}} \]

\(AB\) nhỏ nhất khi \(m = \frac{{29}}{5}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Lời giải

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA}\end{array} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)} \right.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của CD

Vì \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AM \bot CD\)

Xét \(CD\) và mặt phẳng (SAM) có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot CD}\\{CD \bot SA}\\{SA,AM \subset \left( {SAM} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AK \bot SM\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SM}\\{AK \bot CD}\\{CD,SM \subset \left( {SAM} \right)}\end{array} \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)} \right.\)

\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AK\)

Vì \(AM\) là đường cao trong \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\) có \(AK\) là đường cao

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Lời giải

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O = AC \cap BD\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(ON//SD \Rightarrow N\) là trung điểm \(SB\)

\( \Rightarrow \left( {AC,SD} \right) = \left( {AO,ON} \right) = \widehat {AON}\)

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow NO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) vì \(NO\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\)

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có \(AN\) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow AN = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = a \Rightarrow AO = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác \(AON\) có: \({\rm{cos}}\widehat {AON} = \frac{{N{O^2} + A{O^2} - N{A^2}}}{{2.NO.AO}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính thể tích theo công thức

Lời giải

Ta có: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}}\)

\(BO\) là đường cao trong tam giác đều \(ABC \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .\frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Xét khai triển \({\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}} + {\left( {{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{10}}\)

Ta tìm các số hạng có cùng lũy thừa của \(x\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le m \le 10,\,\,0 \le k \le 10}\\{20 - 3k = 30 - 4m \Leftrightarrow 4m - 3k = 10}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {k;m} \right) = \left( {2;4} \right);\left( {6;7} \right);\left( {10;10} \right)\)

Vậy khai triển đã cho có tất cả \(21 + 11 = 29\) số hạng.

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đánh giá và biện luận

Lời giải

Ta có:

Để giới hạn đã cho bằng \(5 \Rightarrow {a^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow a =  \pm 1\)

Trường hợp 1: \(a =  - 1\) loại vì khi tính giới hạn ra mẫu bằng 0

Trường hợp2:

\( \Rightarrow \frac{{2b + 6}}{2} = 5 \Rightarrow 2b + 6 = 10 \Rightarrow b = 2\)

Vậy tích \(a.b = 2\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của xác suất

Lời giải

Máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu có nhiều nhất một trong 4 động cơ bị hỏng thì xảy ra hai trường hợp sau đây:

TH1: Cả 4 động cơ đều hoạt động bình thường

\({P_1} = {(1 - 0,05)^4} = 0,8145\)

TH2: Có một động cơ bị hỏng, 3 động cơ khác hoạt động bình thường

\({P_2} = 0,05.{(1 - 0,05)^3}.4 = 0,1715\)

Vậy xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn là:

\(P = {P_1} + {P_2} = 0,8145 + 0,1715 \approx 0,986\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định phương trình elip

Lời giải

Theo bài tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn là \(\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow c = \frac{2}{3}a\)

Mà \({b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow {b^2} = {a^2} - \frac{4}{9}{a^2} = \frac{5}{9}{a^2}\)

Phương trình elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{5}{9}{a^2}}} = 1\)

Elip đi qua điểm \(M\left( {2;\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{\frac{{25}}{9}}}{{\frac{5}{9}{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{5}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 9 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{a = - 3\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow b = \sqrt 5 \)

Phương trình elip cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất của xác suất

Lời giải

Ta có: \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)\)

Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) \Rightarrow m = a.P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{m}{a}\)

\( \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \cap B} \right) - P\left( A \right) - P\left( B \right) = m - a - \frac{m}{a}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Dùng giới hạn dãy số để tính

Lời giải

Vì số lượng cá thể đạt trạng thái cân bằng khi thời gian đủ dài nên số lượng cá thể của quần thể khi đó là:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm

Lời giải

Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Xét \(\frac{n}{2} = 50\)

50 thuộc \(\left[ {160;170} \right)\) nên nhóm chứa trung vị là nhóm 3

\( \Rightarrow {M_e} = 160 + \frac{{50 - 30}}{{40}}.10 = 165\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng

Lời giải

\(C'M \cap \left( {A'BC} \right) = C\), suy ra \(\frac{{d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{C'M}}{{C'C}} = \frac{1}{2}\).

Ta có \({V_{C'.A'BC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.C'C.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Lại có \(A'B = a\sqrt 2 ,CB = a,A'C = a\sqrt 2 \Rightarrow {S_{A'BC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).

Suy ra \(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{C'.A'BC}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}A'BC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Ứng dụng hàm số mũ-hàm số loga

Lời giải

Theo bài ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k.{a^2} = 3{\rm{\% }}}\\{k.{a^5} = 10{\rm{\% }}}\end{array}} \right.\) (1). Ta cần tìm \(t\) sao cho \(k.{a^t} = 20{\rm{\% }}\)

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow k = \frac{{3{\rm{\% }}}}{{{a^2}}}\) và \({a^3} = \frac{{10}}{3} \Rightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{3{\rm{\% }}}}{{{a^2}}}{a^t} = 20{\rm{\% }} \Rightarrow {a^{t - 2}} = \frac{{20}}{3} \Rightarrow t - 2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\frac{{20}}{3} \Rightarrow t = 2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}}}}\frac{{20}}{3} \approx 6,7\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định chu kì của hàm số

Lời giải

Ta có: chu kì tuần hoàn của \({\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{{18}}} \right)\) là \({T_1} = \pi \)

Chu kì tuần toàn của \({\rm{sin}}\left( {\frac{x}{5} + \frac{\pi }{{12}}} \right)\) là \({T_2} = 10\pi \)

Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số là: \(10\pi \)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính chất, công thức logarit

Lời giải

\(T = {a^{{\rm{log}}_2^25}} + \frac{1}{7}{b^{{\rm{log}}_3^27}} + {a^{{\rm{log}}_5^29}}\)

\( = {\left( {{a^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}}} \right)^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}} + \frac{1}{7}{\left( {{b^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7}}} \right)^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7}} + {\left( {{c^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}9}}} \right)^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}9}}\)

\( = {32^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}} + \frac{1}{7}{9^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7}} + {(\sqrt 5 )^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}9}}\)

\( = {5^5} + \frac{1}{7}{.7^2} + 3 = 3135\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Hàm đặc trưng

Lời giải

Điều kiện xác định \(x > \frac{5}{6}\).

\({7^{x - 1}} - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}{(6x - 5)^3} = 1\)

\( \Leftrightarrow {7^{x - 1}} - 16{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {6x - 5} \right) = 1\)

Đặt \(u = x - 1,v = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {6x - 5} \right) \Rightarrow 6x - 5 = {7^v}\)

\( \Rightarrow 6\left( {x - 1} \right) + 1 = {7^v} \Rightarrow 1 = {7^v} - 6u\)

Ta có phương trình: \({7^u} - 6v = {7^v} - 6u \Leftrightarrow {7^u} + {6^u} = {7^v} + 6v\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {7^t} + 6t\)

\(f'\left( t \right) = {7^t}.{\rm{ln}}7 + 6 > 0,\forall t \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f\left( u \right) = f\left( v \right) \Rightarrow 1 = {7^u} - 6u\)

Xét hàm số: \(g\left( t \right) = {7^t} - 6t\) có:

\(g'\left( t \right) = 7{\rm{ln}}7 - 6 = 0 \Rightarrow {t_0} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{6}{{{\rm{ln}}7}}\)

\(g''\left( t \right) = {7^t}{({\rm{ln}}7)^2} > 0\)

Do đó \({t_0}\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Mà \(g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = 1\) nên phương trình \(1 = {7^u} - 6u\) có đúng 2 nghiệm \(u = 0,u = 1 \Rightarrow x = 1,x = 2\left( {{\rm{tm}}} \right)\)

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính thể tích trực tiếp

Lời giải

Gọi \({G_1},{G_2},{G_3},{G_4}\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta SAB,\Delta SBC,\Delta SCD,\Delta SDA\).

\(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA\).

Ta có \({S_{MNPQ}} = 4{S_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = 4.\frac{4}{9}{S_{EFGH}} = 4.\frac{4}{9}.\frac{1}{2}EG.HF = \frac{{8{a^2}}}{9}\).

\(d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = d\left( {S',\left( {ABCD} \right)} \right) + d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) + 2d\left( {O,\left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)} \right)\)

\( = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) + \frac{2}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{5}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{5a\sqrt {14} }}{6}\)

Vậy \({V_{S'.MNPQ}} = \frac{1}{3}.\frac{{5a\sqrt {14} }}{6}.\frac{{8{a^2}}}{9} = \frac{{20{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Phương trình được biến đổi về dạng:

\({(x - 3)^{3{x^2} - 5x + 2}} = {\left[ {{{(x - 3)}^2}} \right]^{{x^2} + x - 4}}\)

\( \Leftrightarrow {(x - 3)^{3{x^2} - 5x + 2}} = {(x - 3)^{2\left( {{x^2} + x - 4} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x - 3 \ne 1}\\{3{x^2} - 5x + 2 = 2{x^2} + 2x - 8}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 3 \ne 4}\\{{x^2} - 7x + 10 = 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{x = 5}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có:

\({\rm{sin}}x - \sqrt 3 {\rm{cos}}x = 2{\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{2}.\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.{\rm{cos}}x} \right) = 2.{\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}\sin x - \cos \frac{\pi }{6}.{\rm{cos}}x = {\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow - {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = {\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\pi - x - \frac{\pi }{6}} \right) = {\rm{cos}}2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\pi - x - \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi }\\{\pi - x - \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi }\end{array},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{ - 5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Chia lượng nước trong bể khi bể đầy làm 3 phần, thì lượng nước của vòi thứ nhất chảy ra chiếm 2 phần, vòi thứ 2 chiếm 1 phần, tức là vòi thứ nhất chảy \(\frac{2}{3}\) bể nước, còn vòi thứ hai được \(\frac{1}{3}\) bể nước.

Vòi thứ nhất chảy một mình thì mất 23 phút đầy bể nên cần \(\frac{2}{3}.23 = \frac{{46}}{3}\) phút để chảy được \(\frac{2}{3}\)

Vòi thứ hai chảy một mình thì mất 16 phút đầy bể nên cần \(\frac{1}{3}.16 = \frac{{16}}{3}\) phút để chảy được \(\frac{1}{3}\) bể

Vì hai vòi được đóng cùng lúc khi đầy bể nên vòi thứ nhất cần mở trước \(\frac{{46}}{3} - \frac{{16}}{3} = 10\) phút.

Đáp án đúng là "-64"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi 3 số cần tìm là \({u_1},{u_2},{u_3}\) đôi một khác nhau

Vì \({u_1},{u_2},{u_3}\) tạo thành cấp số cộng với công sai \(d \ne 0\) nên \({u_2} = {u_1} + d,{u_3} = {u_1} + 2d\)

Mà \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Rightarrow 3{u_1} + 3d = 6 \Rightarrow {u_1} + d = 2\)

Vì \({u_2},{u_1},{u_3}\) tạo thành cấp số nhân nên \({u_1} + d;{u_1};{u_1} + 2d\) cũng tạo thành cấp số nhân

\( \Rightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = {u_1}^2\)

\( \Rightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_1} =  - 4}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 0\left( {{\rm{ktm}}} \right)}\\{d = 6}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy ba số cần tìm là:\( - 4;2;8\).

Tích 3 số là -64

Đáp án đúng là "71"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi số hồng là \(x\) quả \(x > 0,x \in \mathbb{Z}\)

Số người là \(y\) người, \(y > 0,y \in \mathbb{Z}\)

Theo đề ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5y + 5 = x}\\{\left( {y - 1} \right).6 = x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5y + 5 = 6y - 6}\\{5y + 5 = x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 11}\\{x = 60}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Căn cứ vào nghĩa của từ, ta có:

+ Hồi phục: trở lại hoặc làm cho trở lại như cũ sau thời kì bị sút kém.

+ Bình phục: (người bị đau ốm) trở lại trạng thái sức khoẻ bình thường, sau khi được điều trị.

+ Phục hồi: khôi phục cái đã mất đi hoặc đã giảm sút đi.

+ Hồi sinh: sống hoặc làm cho sống trở lại.

=> Các từ hồi phục, bình phục, phục hồi đều liên quan đến liên quan đến việc trở lại trạng thái ban đầu sau khi bị tổn thương hay ốm đau. Riêng từ hồi sinh thường mang nghĩa khôi phục sự sống, liên quan đến cái chết và sự sống lại.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Căn cứ vào nghĩa của từ, ta có:

+ Bỗng không: bỗng nhiên, không duyên cớ.

+ Bỗng nhiên: (hành động, quá trình xảy ra) một cách tự nhiên và bất ngờ, không lường trước được.

+ Bỗng dưng: bỗng nhiên, không rõ vì sao.

+ Bỗng chốc: bỗng nhiên, trong chốc lát.

=> Các từ bỗng nhiên, bỗng dưng, bỗng chốc đều mang nghĩa liên quan đến sự xảy ra đột ngột, bất ngờ. Riêng từ bỗng không lại có nghĩa là không có lý do hay nguyên nhân rõ ràng

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Căn cứ vào nghĩa của từ, ta có:

+ Chăm chút: trông nom, chăm sóc tỉ mỉ, chu đáo.

+ Chăm sóc: săn sóc thường xuyên.

+ Chăm chắm: nhìn thẳng và rất tập trung, tưởng như không rời.

+ Chăm nom: để ý, trông nom thường xuyên.

=> Các từ chăm chút, chăm sóc, chăm nom đều liên quan đến việc trông nom và chăm sóc ai đó hoặc cái gì đó một cách chu đáo. Riêng từ chăm chắm mang nghĩa nhìn tập trung, không liên quan đến việc chăm sóc.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Căn cứ vào nghĩa của từ, ta có:

+ Chặn: giữ hẳn lại, làm cho sự hoạt động theo một hướng nào đó phải ngừng hẳn.

+ Chèn: cản lại, ngáng lại, không cho vượt lên.

+ Ngáng: chắn ngang, làm cản trở sự hoạt động.

+ Ngang: có chiều song song với mặt đất, mặt nước hoặc theo chiều rộng.

=> Các từ chặn, chèn, ngáng liên quan đến việc cản trở hoặc gây trở ngại cho một hành động hoặc một lối đi. Riêng từ ngang có nghĩa liên quan đến vị trí hoặc hướng đi.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức cấu tạo từ

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Trong các từ đã cho, từ dụ dỗ là từ ghép vì các tiếng trong từ này đều có nghĩa liên quan đến dụ dỗ. Còn các từ dỗ dành, gạ gẫm, rủ rê là từ láy vì chỉ có một từ có nghĩa liên quan đến từ chứa nó.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nghĩa của từ và nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Câu văn nói về ảnh hưởng của vi nhựa đối với môi trường và đời sống của con người. Các chỗ trống yêu cầu điền các kết từ để nối kết các đối tượng bị ảnh hưởng bởi vi nhựa trong câu.

- Phân tích, loại trừ:

+ Đáp án A sai vì từ “và” ở vị trí thứ hai làm cho câu mắc lỗi lặp từ, dẫn đến giảm hiệu quả diễn đạt (và đất, và nhiều con sông, và đại dương).

+ Đáp án B sai vì từ “sẽ có” không phù hợp với ngữ cảnh vì không có ý nghĩa về sự tồn tại hay sự phát triển trong câu này. Câu muốn nhấn mạnh rằng ô nhiễm vi nhựa đã có mặt ở nhiều nơi, không phải là điều sẽ xảy ra trong tương lai.

+ Đáp án C sai vì “xem” và “ngắm” thường liên quan đến hành động quan sát hoặc thưởng thức một cái gì đó, trong khi câu đang nói về ô nhiễm vi nhựa, một vấn đề nghiêm trọng không thể “xem” hay “ngắm” theo cách đó.

+ Đáp án D đúng vì các từ này diễn tả sự lan tỏa và tạo ra một câu có nghĩa mạch lạc, giúp người đọc dễ dàng hiểu rằng ô nhiễm vi nhựa không chỉ tồn tại ở một nơi mà đã phổ biến ra nhiều khu vực khác nhau.

=> Từ/cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: từ/ đến.

Câu hoàn chỉnh: Các nghiên cứu đã cho thấy ô nhiễm vi nhựa đã lan ra cả hành tinh, từ tuyết và đất ở Bắc cực đến nhiều con sông và đại dương sâu nhất, hay các loại thức ăn của con người như muối, mật ong, sữa, bia…

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Câu văn đề cập đến những vấn đề mà trí tuệ của con người đem lại:

+ Vị trí điền thứ nhất: là một vấn đề tích cực mà trí tuệ đem lại (nhận biết bằng từ “đạt nhiều”).

+ Vị trí điền thứ hai: là vấn đề tiêu cực vì đi kèm nó là “làm nhiễu động cân bằng sinh thái”.

- Phân tích các đáp án:

+ Đáp án A sai vì “thay đổi” không phản ánh được mức độ tiêu cực hay thiệt hại do trí tuệ gây ra, không phù hợp với ngữ cảnh của câu.

+ Đáp án B sai vì “may mắn” không phản ánh đúng nội dung về trí tuệ và thành công, và “ảo tưởng” không thể hiện được tác động tiêu cực rõ ràng. Câu cần nhấn mạnh sự thật về những thành tựu và hậu quả nghiêm trọng, chứ không phải là cảm giác hay quan điểm.

+ Đáp án C đúng vì nó thể hiện rõ ràng sự đối lập giữa những thành công đạt được và những hậu quả tiêu cực mà trí tuệ có thể mang lại, phù hợp với thông điệp của câu.

+ Đáp án D sai vì “mong muốn” không hợp logic, nó không thể hiện được một điều gì đã đạt được; nó chỉ thể hiện một khát khao hoặc nguyện vọng.

=> Từ/cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: thành tựu/ hủy hoại.

Câu hoàn chỉnh: Trí tuệ là một con dao hai lưỡi, chúng ta đã đạt nhiều thành tựu, đồng thời cũng tự hủy hoại chính mình do chạy đua vũ khí hạt nhân và do làm nhiễu động cân bằng sinh thái của hành tinh này.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ ngữ cảnh về nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Câu văn nói về vai trò của niềm tin và hi vọng trong cuộc sống.

- Phân tích các đáp án:

+ Đáp án A sai vì “khát khao” không diễn tả được đầy đủ sức mạnh và động lực để hành động.

+ Đáp án B đúng vì nó hợp logic “niềm tin” của con người vào tương lai; “động lực to lớn” thể hiện rằng niềm tin này không chỉ là một cảm xúc mà còn là động lực để hành động và tiến lên, phù hợp với thông điệp tích cực mà câu đang truyền tải.

+ Đáp án C sai vì “mong ước” không thể hiện sự thúc đẩy, hành động như nghĩa của từ “động lực” đem lại.

+ Đáp án D sai vì “thôi thúc” không hợp cấu trúc câu vì sau từ “là” trong ngữ cảnh trên phải là một danh từ.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: tương lai/ động lực.