Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 40)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số sơ cấp.

Lời giải

Ta có \(f'(x) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\)

Suy ra \(f'(1) = \frac{1}{{\ln 2}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có:

\(P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 1 - \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} = 1 - \frac{{0,3}}{{0,6}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lập dãy số theo yêu cầu đầu bài.

Giả sử số đầu tiên là \(a\), số thứ hai là \(b\).

Ta có dãy số: \(a;b;ab;a{b^2};{a^2}{b^3};{a^3}{b^5}; \ldots \)

Số thứ 6 bằng 4000, hay \({a^3}{b^5} = 4000 = {5^3}{.2^5}\).

Suy ra \(a = 5\).

Vậy số đầu tiên của dãy số là 5.

Đáp án đúng là "32/55"

Phương pháp giải

Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.

Lời giải

Không gian mẫu: \(\Omega  = C_{12}^4.C_8^4.C_4^4\).

Vì mỗi bạn được 4 phần quà và đều có cả 2 loại quà nên có một bạn có 2 phần quà loại I.

Giả sử:

Bạn thứ nhất có 1 phần quà loại I và 3 phần quà loại II: \(C_4^1.C_8^3\).

Bạn thứ hai có 1 phần quà loại I và 3 phần quà loại II: \(C_3^1.C_5^3\).

Bạn thứ ba có 2 phần quà loại I và 2 phần quà loại II: \(C_2^2.C_2^2\).

Vậy \(P(A) = \frac{{3.C_4^1.C_8^3.C_3^1.C_5^3C_2^2.C_2^2}}{{C_{12}^4.C_8^4.C_4^4}} = \frac{{32}}{{55}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình

\({x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 4 = 0}\end{array}} \right.\)

Do đó, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} = {m^2} - 4 > 0}\\{g\left( { - 1} \right) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\2m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{ - \frac{5}{2} \ne m < - 2}\end{array}.} \right.} \right.\)

Phương pháp giải

Đưa về tương giao đồ thị

Lời giải

Ta có \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)}\\{x = {x_2} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = {x_3} \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\)

Khi đó: \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) - 1 = {x_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = {x_2} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = {x_3} \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 1 + {x_1} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{f\left( x \right) = 1 + {x_2} \in \left( {0;1} \right)}\\{f\left( x \right) = 1 + {x_3} \in \left( {2;3} \right)}\end{array}} \right.\)

+ Ta thấy hai phương trình \(f\left( x \right) = 1 + {x_1} \in \left( { - 1;0} \right);f\left( x \right) = 1 + {x_2} \in \left( {0;1} \right)\) đều có ba nghiệm phân biệt.

Phương trình \(f\left( x \right) = 1 + {x_3} \in \left( {2;3} \right)\) có một nghiệm.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Đường tròn lớn của bán kính bằng bán kính mặt cầu.

Chu vi đường tròn bán kính R là \(C = 2\pi R\).

Lời giải

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I\left( {2; - 1;a} \right)}\\{R = \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {a^2} - 10a} = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} }\end{array}} \right.\)

ĐКХĐ: \({a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 5 + 2\sqrt 5 }\\{a < 5 - 2\sqrt 5 }\end{array}} \right.\).

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).

\( \Rightarrow \)Chu vi \(C = 2\pi R = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).

Mà \(C = 8\pi \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 8\pi \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 4\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{a = 11}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow S = \left\{ { - 1;11} \right\}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn:

\({s^2} = \frac{{{m_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + \ldots + {m_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}}}{n};\,\,s = \sqrt {{s^2}} \)

Lời giải

Cỡ mẫu \(n = 3 + 6 + 3 + 5 + 3 = 20\).

\(\overline x = \frac{1}{{20}}\left[ {3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161} \right] = 124,1\).

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left[ {{{3.89}^2} + {{6.107}^2} + {{3.125}^2} + {{5.143}^2} + {{3.161}^2}} \right] - 124,{1^2} = 566,19\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {566,19} \approx 23,79\).    

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Dựa vào biểu đồ, điểm 7 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là 7.

Lời giải

Dựa vào biểu đồ, điểm 7 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là 7.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Bài toán yêu cầu tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp hình tròn có bán kính bằng 4.

Đặt trục tọa độ với tâm đường tròn trùng với gốc tọa độ. Lập phương trình đường tròn và biểudiễn hàm diện tích của hình chữ nhật.

Tính đạo hàm của hàm diện tích và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải

Đặt trục tọa độ sao cho tâm đường tròn (tâm hình chữ nhật) trùng gốc tọa độ và điểm \(\left( {x,y} \right)\) như hình:

Ta có phương trình đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 16\) hay \(y = \pm \sqrt {16 - {x^2}} \).

Khi đó chiều dài của cửa sổ hình chữ nhật là \(2x\), chiều rộng là \(2y\), với \(x > 0,y > 0\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\)

Diện tích cửa sổ hình chữ nhật là \(S = 2x.2y = 4xy = 4x\sqrt {16 - {x^2}} \)

Xét hàm số \(S\left( x \right) = 4x\sqrt {16 - {x^2}} \) với \(0 \le x \le 4\)

Có \(S'\left( x \right) = 4\sqrt {16 - {x^2}} - \frac{{4{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{ - 8{x^2} + 64}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\).

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 8{x^2} + 64 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2\sqrt 2 }\\{x = - 2\sqrt 2 \left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có \(S\left( 0 \right) = 0;\,\,S\left( 4 \right) = 4.4.\sqrt {16 - {4^2}} = 0\); \(S\left( {2\sqrt 2 } \right) = 4.2\sqrt 2 \cdot \sqrt {16 - {{(2\sqrt 2 )}^2}} = 32\).

Vậy cửa sổ hình chữ nhật lớn nhất nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 4 sẽ có hình vuông với diện tích 32, chiều dài và chiều rộng bằng \(2\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên \(\left( P \right)\) có dạng: \(6x + 3y + 2z + d = 0{\rm{\;}}\left( {d \ne - 12} \right)\)

Vì \(\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên ta có:

\(d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( P \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left| {36 + d\left| = \right|12 + d} \right|\)

\( \Leftrightarrow d = - 24\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(6x + 3y + 2z - 24 = 0\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi A là biến cố: "Lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank",

\(B\) là biến cố: "Lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của BIDV".

Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố \(B\) đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{4}{9}\)

Đáp án đúng là \({\bf{A}}\)

Phương pháp giải

Giải phương trình bậc hai tìm \(f\left( x \right)\)

Lời giải

\({2^x}{f^2}\left( x \right) - \left( {{4^x} + 1} \right)f\left( x \right) + {2^x} = 0\)

Có \({\rm{\Delta }} = {\left( {{4^x} + 1} \right)^2} - {4.2^x}{.2^x} = {4^{2x}} + {2.4^x} + 1 - {4.4^x} = {\left( {{4^x} - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \frac{{{4^x} + 1 + {4^x} - 1}}{{{{2.2}^x}}} = {2^x}}\\{f\left( x \right) = \frac{{{4^x} + 1 - {4^x} + 1}}{{{{2.2}^x}}} = \frac{1}{{{2^x}}} = {2^{ - x}}}\end{array}} \right.\)

Từ đồ thi ta thấy phương trình có tất cả 7 nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là "35/2"

Phương pháp giải

Gọi số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \({u_1},{u_2},{u_3}\)

Lập hệ phương trình chứa \({u_1},{u_2},{u_3}\) từ các giả thiết.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Lời giải

Gọi số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \({u_1},{u_2},{u_3}\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{u_2}{u_3} = 125}\\{2\left( {{u_1}{u_2} + {u_2}{u_3} + {u_3}{u_1}} \right) = 175}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}.{u_1}q.{u_1}{q^2} = 125}\\{2\left( {{u_1}.{u_1}q + {u_1}q.{u_1}{q^2} + {u_1}{q^2}.{u_1}} \right) = 175}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{u_1}q} \right)}^3} = 125}\\{2u_1^2q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 175}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}q = 5}\\{2.5{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 175}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{q}}\\{10\frac{5}{q}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 175}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{q}}\\{2{q^2} + 2q + 2 = 7q}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{q}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 2}\\{q = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{2}}\\{q = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 10}\\{q = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{2}}\\{{u_2} = 5}\\{{u_3} = 10}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 10}\\{{u_2} = 5}\\{{u_3} = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Suy ra số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(\frac{5}{2};5;10\)

Vậy tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(\frac{{35}}{2}\).

Đáp án đúng là A

Lời giải

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với \(a = m = 0\) thì:

\(f\left( x \right) = 4x - 3\), do đó không thể có \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R\)

Trường hợp 2: Với \(a = m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai nên để \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R\) điều kiện là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{{(m - 2)}^2} - m\left( {m - 3} \right) \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 3m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{4 - m \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.\).

Vậy không tồn tại \(m\) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đưa về tính diện tích bằng tích phân

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Hàm \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) là parabol đi qua \(\left( {0,20} \right),\,\,\left( {20,0} \right) \Rightarrow y = - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20\)

Phương trình đường thẳng cắt cánh hoa là \(y = - x + 20\)

Diện tích 1 cánh hoa bằng \(I = 2\int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right)dx} = \frac{{400}}{3}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 400}\\{b = 3}\end{array} \Rightarrow a + b = 403} \right.\)

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Tính \(g'\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

Lời giải

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1\),

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình \(f'\left( x \right) = 1\) có nghiệm \(x = 0\) và \(x = 2\).

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trong \(\left( {0;2} \right)\).

Vậy \(a = 0\). 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lập bảng biến thiên và so sánh

Lời giải

Dựa vào đồ thị của hàm \(f'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên.

Vậy giá trị lớn nhất \(M = f\left( 2 \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) nên \(f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) > 0\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;4} \right)\) nên \(f\left( 2 \right) > f\left( 3 \right) = > f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) > 0\).

Theo giả thuyết: \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right)\).

\( \Leftrightarrow f\left( 0 \right) - f\left( 4 \right) = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) > f\left( 4 \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất \(m = f\left( 4 \right)\)

Đáp án đúng là "8/3"

Phương pháp giải

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.

Xác định tọa độ điểm A, B, độ dài \({\rm{OA}},{\rm{OB}}\).

Tính diện tích tam giác vuông \(OAB\).

Lời giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 6;\,\,y\left( 1 \right) = {1^3} + {3.1^2} - 6.1 + 1 =  - 1\); \(y'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 6.1 - 6 = 3\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(y = 3x - 4\)

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 3x - 4\) với hai trục tọa độ là:

Với \(x = 0\) thì \(y =  - 4\) nên \(A\left( {0; - 4} \right)\).

Với \(y = 0\) thì \(3x - 4 = 0\) suy ra \(x = \frac{4}{3}\) nên \(B\left( {\frac{4}{3};0} \right)\).

Tam giác OAB là tam giác vuông tại \(O\) có \(OA = \sqrt {{0^2} + {{( - 4)}^2}}  = 4;OB = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {0^2}}  = \frac{4}{3}\).

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.4.\frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác.

Tính tích phân của hàm số sơ cấp.

Lời giải

Ta có:

Vì \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + 2x + 4\).

Vậy

\( = \left. {\left( { - \frac{1}{4}{\rm{cos}}2x + {x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi  + 4}}{{16}} \approx 4\).

Đáp án đúng là "-1"

Phương pháp giải

Gọi tọa độ điểm C.

\(H\) là trực tâm \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0}\\{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Gọi tọa độ điểm C là \(C\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {CH}  = \left( { - a;1 - b} \right)}\\{\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2} \right)}\\{\overrightarrow {AH}  = \left( { - 1;0} \right)}\\{\overrightarrow {BC}  = \left( {a + 1;b - 3} \right){\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)

\(H\) là trực tâm \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0}\\{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 2\left( {1 - b} \right) = 0}\\{ - \left( {a + 1} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 1}\\{b = 0}\end{array} \Rightarrow C\left( { - 1;0} \right)} \right.} \right.\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính y' và tìm số nghiệm \(y' = 0\). Lưu ý cực trị là các điểm mà \(y'\) đi qua đổi dấu

Lời giải

\(y = f\left( x \right) - 2x \Rightarrow y' = f'\left( x \right) - 2\)

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2\)

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(f'\left( x \right) = 2\) có 4 nghiệm nhưng tại \(x = 2\) không là cực trị do \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu khi đi qua 2 nên hàm số \(y = f\left( x \right) - 2x\) có 3 điểm cực trị

Đáp án đúng là "4/3"

Phương pháp giải

Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\sqrt {2x}  = \frac{{{x^2}}}{2} \Leftrightarrow 2x = \frac{{{x^4}}}{4} \Leftrightarrow {x^4} - 8x = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 0}\end{array}} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = \sqrt {2x} \) và \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\) là

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {2x}  - \frac{{{x^2}}}{2}} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {2x}  - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\sqrt 2 .\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_0^2\) \( = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}{.2^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{2^3}}}{6} = \frac{4}{3}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Áp dụng công thức xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A\mid \overline B } \right)\).

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố "khách mua hàng tại cửa hiệu mua vớ".

Gọi \(B\) là biến cố "khách khách mua hàng tại cửa hiệu mua giày".

Theo đề ta có

\(P\left( B \right) = 75{\rm{\% }} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 1 - 75{\rm{\% }} = 25{\rm{\% }}\);

\(P\left( {A\mid B} \right) = 60{\rm{\% }},P\left( {\overline A \mid \overline B } \right) = 90{\rm{\% }} \Rightarrow P\left( {A\mid \overline B } \right) = 1 - 90{\rm{\% }} = 10{\rm{\% }}\)

Vậy xác suất để khách mua hàng tại cửa hiệu mua vớ là:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 75{\rm{\% }}.60{\rm{\% }} + 25{\rm{\% }}.10{\rm{\% }} = 47,5{\rm{\% }}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

\(\int f (x)dx = F(x) \Rightarrow f(x) = F'(x)\)

Lời giải

\(\mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)dx = {e^{2x}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = {\left( {{e^{2x}} + C} \right)} = 2{e^{2x}}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

- Tính góc \(\angle CBA\).

- Tính góc \(\angle BCA\).

- Tính AC dựa vào định lí sin trong tam giác CBA.

- Tính CD dựa vào tam giác CAD vuông tại D.

Lời giải

Ta có: \(\widehat {CBA} = \widehat {CBE} + \widehat {EBA} = {90^ \circ } + {15^0} = {105^0}\)

\(\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = {90^ \circ } - {35^ \circ } = {55^ \circ }\)

\( \Rightarrow \angle BCA = {180^ \circ } - \left( {\angle CBA + \angle BAC} \right) = {20^ \circ }\)

Áp dụng định lý hàm sin cho \(\Delta CBA\) ta có

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\left( {BCA} \right)}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}\left( {CBA} \right)}} \Rightarrow AC = \frac{{AB.{\rm{sin}}\left( {CBA} \right)}}{{{\rm{sin}}\left( {BCA} \right)}} = \frac{{60.{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{20}^ \circ }}} = 169,4506909\left( {\rm{m}} \right)\)

Xét \(\Delta CAD\) vuông tại \(D\), ta có \(CD = AC.{\rm{sin}}\left( {\widehat {CAD}} \right) \approx 97,193\left( m \right)\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \({\vec n_P} = \left( {1;0; - 1} \right),{\vec u_{\rm{d}}} = \left( { - 1;0;1} \right) \Rightarrow d \bot \left( P \right)\) và \(d \cap \left( P \right) = M\left( {0;2; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \left( {2; - 1;2} \right) \Rightarrow MA = 3\)

Gọi \(H;K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \({d_1}\) và \({d_2}\), ta có:

\(d\left( {{d_1};d} \right) = d\left( {M;{d_1}} \right) = MH,d\left( {{d_2};d} \right) = d\left( {M;{d_2}} \right) = MK \Rightarrow MH = MK = \sqrt 6 \)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}\widehat {MAK} = {\rm{sin}}\widehat {MAH} = \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {2.\widehat {MAH}} \right)} \right| = \left| {1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\widehat {MAH}} \right| = \left| {1 - \frac{4}{3}} \right| = \frac{1}{3}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Bước 1: Lấy điểm \(B\left( {0; - 1;2} \right)\) thuộc d.

Bước 2: Tìm giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\left( P \right)\)

Bước 3: Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên (\(P\)), \(B'\) là điểm đối xứng \(B\) qua (\(P\)). Tìm d'

Lời giải

Bước 1: Lấy điểm \(B\left( {0; - 1;2} \right)\) thuộc d.

Bước 2: Tìm giao điểm A của d và \(\left( {\rm{P}} \right)\)

Gọi A là giao điểm của d và \(\left( {\rm{P}} \right)\).

Khi đó \(A\left( {t; - 1 + 2t;2 - t} \right)\). Thay vào \(\left( {\rm{P}} \right)\) ta được: \(t - 1 + 2t + 2 - t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)\( \Rightarrow A\left( {1;1;1} \right)\)

Bước 3: Tìm d'

Gọi H là hình chiếu của B lên \(\left( {\rm{P}} \right)\), \({\rm{B'}}\) là điểm đối xứng B qua \(\left( P \right)\).

Khi đó H là trung điểm của \({\rm{BB'}}\)

Đường thẳng BH đi qua \({\rm{B}}\left( {0; - 1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) làm vecto chỉ phương có phươngtrình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow H\left( {t; - 1 + t;2 + t} \right)\). Thay vào \(\left( {\rm{P}} \right)\) ta được: \(t - 1 + t + 2 + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow H\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right) \Rightarrow B'\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)

Vecto chỉ phương của \({\rm{AB'}}\) là: \(AB' = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\)

Đường thẳng \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{7}\)

Đáp án đúng là "385/4"

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân để tính quãng đường.

Lời giải

Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi.

Sau 5s ô tô đạt vận tốc là \(v\left( 5 \right) = 35\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Sau khi phanh vận tốc ô tô là \(v\left( t \right) = 35 - 70\left( {t - 5} \right)\).

Ô tô dừng tại thời điểm \(t = 5,5{\rm{\;s}}\).

Quãng đường ô tô đi được là:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

\(v\left( t \right) = 200 \Leftrightarrow {t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow {t^2} + 10t - 200 = 0 \Leftrightarrow t = 10\).

Quãng đường máy bay đã đi chuyển trên đường băng là:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Xét \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\).

Khi đó \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(BD\).

Xét (\(SAC\)), gọi \(AM\) cắt \(SO\) tại \(N\).

Ta thấy \(N \in AM\) và \(N \in SO \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(AM\) cắt (\(SBD\)) tại \(N\).

Xét tam giác \(SAC\) có \(SO,AM\) là hai trung tuyến cắt nhau tại \(N\) là trọng tâm tam giác nên ta có \(\frac{{NM}}{{NA}} = 0,5\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên

Lời giải

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng: \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta có:

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y = x\)

Đáp án đúng là \({\bf{B}}\)

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {x^2} - 4x\), với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\) (*).

- Xác định mỗi nghiệm \(t\) cho bao nhiêu nghiệm \(x\) trên từng khoảng cụ thể.

- Tìm điều kiện về số nghiệm của phương trình (*) để phương trình ban đầu có ít nhất 5 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Đặt \(t = {x^2} - 4x\), với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\), khi đó phương trình trở thành\(3f\left( t \right) = m + 5 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{m + 5}}{3}\)   (*).

Ta có \(t'\left( x \right) = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left( {0; + \infty } \right)\).

BBT:

Dựa vào BBT đề bài cho, ta thấy phương trình \(f\left( t \right) = \frac{{m + 5}}{3}\) có tối đa 4 nghiệm, mỗi nghiệm \(t \in \left( { - 4;0} \right)\) cho 2 nghiệm \(x\) phân biệt, mỗi nghiệm \(t \in \left[ {0; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 4} \right\}\) cho 1 nghiệm \(x\).

Để phương trình ban đầu có ít nhất 5 nghiệm thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì phương trình (*):

TH1: Có 1 nghiệm \(t \in \left( { - 4;0} \right)\) và 3 nghiệm \(t \in \left[ {0; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 4} \right\}\) (ktm).

TH1: Có 2 nghiệm \(t \in \left( { - 4;0} \right)\) và 1 nghiệm \(t \in \left[ {0; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 4} \right\}\) (ktm).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < \frac{{m + 5}}{3} \le 2}\\{ - 3 \le \frac{{m + 5}}{3} \ne - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 6 < m + 5 \le 5}\\{ - 9 \le m + 5 \ne - 6}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 11 < m \le 0}\\{ - 14 \le m \ne  - 11}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left[ { - 14;0} \right]\backslash \left\{ { - 11} \right\}} \right.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Có 14 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là "108/5"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác tính \({\rm{sin}}2\alpha \).

Thay các giá trị đã có để tính khoảng cách \(d\).

Lời giải

Ta có \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}\alpha  = \frac{4}{5}}\\{{\rm{sin}}\alpha  =  - \frac{4}{5}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \sin 2\alpha  = 2.\frac{3}{5}.\frac{4}{5} = \frac{{24}}{{25}}\)

Thay vào công thức, ta được \(d = \frac{{v_0^2{\rm{sin}}2\alpha }}{g} = \frac{{{{15}^2}.\frac{{24}}{{25}}}}{{10}} = \frac{{108}}{5}\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Mặt cầu \(\left( {\rm{S}} \right)\) có tâm \(I\left( {0;1;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:

\(MI = \sqrt 2 = R;\,\,NI = 0 < R,\,\,PI = \sqrt 3 > R,\,\,QI = 1 < R\).

Do đó điểm \(P\) nằm ngoài mặt cầu.

Đáp án đúng là "-1"

Phương pháp giải

Gọi \(P'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \({\rm{\Delta }}\).

\(MP + MQ\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,P',Q\) thẳng hàng.

Lời giải

Gọi \(P'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \({\rm{\Delta }}\).

Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là \(\overrightarrow {{n_{\rm{\Delta }}}}  = \left( {2; - 1} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(PP'\) là \(\overrightarrow {{n_{PP'}}}  = \left( {1;2} \right)\).

Phương trình \(PP':x - 1 + 2\left( {y - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 13 = 0\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(PP'\) và \({\rm{\Delta }}\).

Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 1 = 0}\\{x + 2y - 13 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 5}\end{array} \Rightarrow I\left( {3;5} \right)} \right.} \right.\).

Suy ra \(P'\left( {5;4} \right);\overrightarrow {QP'}  = \left( {8;8} \right)\)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(QP'\) là \(\overrightarrow {{n_{QP'}}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(QP':x - 5 - \left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\).

Ta có \(P,Q\) nằm về cùng phía của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) nên \(MP + MQ = MP' + MQ \ge QP'\).

Suy ra \(MP + MQ\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,P',Q\) thẳng hàng.

Hay \(M\) là giao điểm của \(QP'\) và \({\rm{\Delta }}\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 1 = 0}\\{2x - y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 1.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy tung độ điểm \(M\) là -1.     

Đáp án đúng là "10"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \({u_i}\) là số que diêm của tháp có \(i\) tầng, ta thấy

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{{u_2} = {u_1} + 4 + 3}\\{{u_3} = {u_2} + 6 + 5}\\ \cdots \\{{u_n} = {u_{n - 1}} + 2n + 2n - 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{{u_2} = {u_1} + 4.2 - 1}\\{{u_3} = {u_2} + 4.3 - 1}\\ \cdots \\{{u_n} = {u_{n - 1}} + 4n - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Cộng vế với vế, ta được

\({u_n} = 3 + 4\left( {2 + 3 + 4 +  \ldots  + n} \right) - 1\left( {n - 1} \right) = 4 - n + 4.\frac{{\left( {2 + n} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} = 212\)

\( \Rightarrow n \approx 10,05\).

Vậy với 212 que diêm bạn Nam có thể xếp được tháp cao tối đa 10 tầng.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Gọi tọa độ điểm C.

\(H\) là trực tâm \(\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0}\\{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2} + 3} = 2\).

Nhận thấy: \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng vuông góc với \(AI\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Kẻ một tiếp tuyến \(AB\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) với \(B\) là tiếp điểm.

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là chân đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác \(ABI\). Khi đó \(H \in \left( \alpha \right)\).

Ta có: \(IA = 3\). Tam giác \(ABI\) vuông tại \(B\) nên \(AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

Ta có: \(I{B^2} = IH.IA \Rightarrow IH = \frac{{I{B^2}}}{{IA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow IH = \frac{4}{9}.IA\).

Suy ra \(\overrightarrow {IH} = \frac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 0 = \frac{4}{9}.2}\\{y - 0 = \frac{4}{9}.2}\\{z - 1 = \frac{4}{9}.1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{9}}\\{y = \frac{8}{9}}\\{z = \frac{{13}}{9}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{8}{9};\frac{8}{9};\frac{{13}}{9}} \right)} \right.} \right.\).

Do đó \(\left( \alpha \right):2.\left( {x - \frac{8}{9}} \right) + 2.\left( {y - \frac{8}{9}} \right) + 1.\left( {z - \frac{{13}}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác tính \({\rm{sin}}2\alpha \).

Thay các giá trị đã có để tính khoảng cách \(d\).

Lời giải

Vì \(SC \cap \left( {SAG} \right) = S\) nên \(\frac{{d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{CS}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right)\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(CB \bot AI\) và \(CB \bot SG \Rightarrow CB \bot \left( {SAG} \right)\) và \(CB \cap \left( {SAG} \right) = I\).

Do đó \(d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right) = CI = \frac{1}{2}BC = \frac{{3a}}{2}\).

Vậy \(d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right) = \frac{{3a}}{4}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Công thức tính tứ phân vị thứ nhất: \({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).

Lời giải

Cỡ mẫu \(n = 56\). Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}\), do \({x_{14}},{x_{15}}\) thuộc nhóm \(\left[ {12,5;15,5} \right)\)nên \({Q_1}\) thuộc nhóm này.

Có \(p = 2;{a_2} = 12,5;{m_2} = 12;{m_1} = 3;{a_3} - {a_2} = 3\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có \(f'\left( x \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^{2024}}{(x - 1)^{2025}}\left( {2 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {{{(2{\rm{tan}}x + {\rm{cot}}x)}^2}{\rm{d}}x}  = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {4{{\tan }^2}x + 4\tan x.{\rm{cot}}x + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x} \right){\rm{d}}x} \)

\( = \left( {4{\rm{tan}}x - {\rm{cot}}x - x} \right)\left| \begin{array}{l}{{\rm{\;}}^{\frac{\pi }{4}}}\\_{\frac{\pi }{6}}\end{array} \right. = 3 + \frac{{ - 1}}{3}.\sqrt 3  + \frac{{ - 1}}{{12}}.\pi \)

Vậy \(a = 3,b = \frac{{ - 1}}{3},c = \frac{{ - 1}}{{12}}\).

Do đó \(a + 3b + 12c = 3 - 1 - 1 = 1\).

Phương pháp giải

Gọi \(P'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \({\rm{\Delta }}\).

\(MP + MQ\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,P',Q\) thẳng hàng.

Lời giải

Gọi \(A\): "Hai chiếc bút lấy ra đều là chiếc món"

\({B_0}\) "Lấy ra một chiếc bút cũ" và \({B_1}\) "Lấy ra một chiếc bút mới"

Nên \({B_0},{B_1}\) là hệ biến cố đầy đủ.

Từ 15 chiếc bút có 9 chiếc bút mới và 6 chiếc bút cũ

Ta có: \(P\left( {{B_0}} \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{2}{5},P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{C_9^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{3}{5}\)

\(P\left( {A\mid {B_0}} \right) = \frac{{C_9^2}}{{C_{15}^2}} = \frac{{12}}{{35}}\) và \(P\left( {A\mid {B_1}} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{15}^2}} = \frac{4}{{15}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( A \right) = P\left( {A\mid {B_0}} \right).P\left( {{B_0}} \right) + P\left( {A\mid {B_1}} \right).P\left( {{B_1}} \right)\)

\( = \frac{{12}}{{35}}.\frac{2}{5} + \frac{4}{{15}}.\frac{3}{5} = \frac{{52}}{{175}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất.

Lời giải

Xét các biến cố:

\(A\): "Người được chọn mắc bệnh \(X\)";

\(B\): "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm \({\rm{Y}}\)".

Theo giả thiết ta có: \(P\left( A \right) = 0,002;P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,002 = 0,998\); \(P\left( {B\mid A} \right) = 1;P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,06\).

Theo công thức Bayes, ta có:

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\mid \overline A } \right)}}\)

\( = \frac{{0,002.1}}{{0,002.1 + 0,998.0,06}} \approx 0,03\).

Đáp án đúng là "5"

Phương pháp giải

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm.

Lời giải

Giả sử phương trình đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0\), \(M\left( {2; - 2} \right),N\left( {3; - 1} \right),P\left( { - 1; - 3} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 2b + c =  - 8}\\{3a - b + c =  - 10}\\{ - a - 3b + c =  - 10}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b =  - 4}\\{c =  - 20}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính \(R = IM = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Giải phương trình mũ cơ bản.

Lời giải

Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó \(A = 150\).

Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên \(t = 3;S\left( 3 \right) = 450\).

Từ đó ta có phương trình:

\(150.{e^{3r}} = 450 \Leftrightarrow {e^{3r}} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{{{\rm{ln}}3}}{3} \approx 0,37\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Giải phương trình mũ cơ bản.

Lời giải

Gọi \({t_1}\) là thời điểm số lượng vi khuẩn gấp 9 lần ban đầu.

Khi đó: \(S\left( {{t_1}} \right) = 1350\) con.

Ta có phương trình:

\(150.{e^{\frac{{{\rm{ln}}3}}{3}.{t_1}}} = 1350 \Leftrightarrow {e^{\frac{{{\rm{ln}}3}}{3}.{t_1}}} = 9 \Leftrightarrow \frac{{{\rm{ln}}3}}{3}{t_1} = {\rm{ln}}9 \Leftrightarrow {t_1} = 6\).

Vậy thời điểm số lượng vi khuẩn X gấp 9 lần số lượng vi khuẩn ban đầu là 6 giờ sau hay vào lúc 12 giờ.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Viết công thức tính số lượng vi khuẩn Y.

Giải phương trình mũ.

Lời giải

Gọi sau \(x\) giờ thì số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y.

Khi đó:

Số lượng vi khuẩn \(X\) là: \({S_X} = 150.{e^{\frac{{{\rm{ln}}3}}{3}x}}\).

Số lượng vi khuẩn \(Y\) là: \({S_Y} = 300{(1 + 5{\rm{\% }})^x}\).

Để số lượng vi khuẩn \(X\) bằng số lượng vi khuẩn \(Y\) thì \({S_X} = {S_Y}\).

\( \Leftrightarrow 150.{e^{\frac{{{\rm{ln}}3}}{3}x}} = 300.{(1 + 5{\rm{\% }})^x}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{e^{\frac{{{\rm{ln}}3}}{3}}}}}{{1 + 5{\rm{\% }}}}} \right)^x} = 2 \Rightarrow x \approx 2,18\).

Vậy sau 2,18 giờ hay vào lúc 8 giờ 11 phút thì số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Lời giải

Các từ “rạng rỡ, mờ mịt, le lói” đều là những từ cùng nhóm miêu tả ánh sáng, trong đó “rạng rỡ” là ánh sáng rực rỡ còn “mờ mịt, le lói” là ánh sáng yếu ớt. Còn từ “rạng đông” lại là từ dùng để chỉ khoảng thời gian trước lúc mặt trời mọc, lúc bầu trời ở phía đông bắt đầu hửng sáng.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Lời giải

Từ “nam” trong “nam cao”, “nam trung”, “nam trầm” cùng nhóm chỉ chất giọng (người đàn ông), ba từ này là thuật ngữ xác định quãng giọng trong âm nhạc (cao, trung, thấp). Còn “nam bình” là tên một điệu ca Huế.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Lời giải

Nghĩa của bốn từ được hiểu như sau:

- Cải tiến: sửa đổi cho tiến bộ hơn.

- Cải tạo: làm cho chất lượng thay đổi về căn bản, theo hướng tốt.

- Cải thiện: làm cho tình hình có sự chuyển biến, phần nào có tốt hơn.

- Cải tổ: tổ chức lại cho khác hẳn trước.

=> Như vậy có thể thấy các từ “cải tiến, cải tạo, cải thiện” là những từ nói về sự thay đổi, sửa đổi để tốt hơn còn “cải tổ” chỉ là thay đổi bộ máy cho khác đi còn kết quả có tốt hay không là điều không thể nói trước.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Lời giải

Nghĩa của bốn từ được hiểu như sau:

- Găng: ở trạng thái có những sự phát triển hoặc những hoạt động được đẩy đến cao độ, tạo nên mâu thuẫn gay gắt.

- Gắng: đưa sức ra nhiều hơn bình thường để làm gì đó.

- Cố: đưa sức, đưa trí ra nhiều hơn bình thường để làm việc gì đó.

- Ráng: là phương ngữ giống như từ “cố” (cố gắng).

Như vậy, “Găng” có nghĩa khác biệt rõ rệt so với ba từ còn lại, do nó không mang nghĩa của việc nỗ lực hay cố gắng mà nói về tình trạng căng thẳng, mâu thuẫn.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Lời giải

Trong các từ ở đề bài, “nhỏ nhắn, nhỏ con, nhỏ xíu” đều là từ miêu tả hình dáng bé nhỏ của con người. Trong khi đó “nhỏ nhẹ” lại miêu tả (nói năng) nhỏ giọng và nhẹ nhàng, dễ nghe.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Vế sau của câu văn có đề cập tới việc “các quốc gia Đông Âu và cả châu Âu bước qua nhiều trở ngại để bảo tồn và khai thác khối di sản kiến trúc XHCN ở Đông Âu”, việc các nước đã bước qua được chứng tỏ vế phía trước phải là một thái độ, tinh thần tích cực. Vì đó, đáp án D là không chính xác => bị loại trừ.

- Xét tới nghĩa của từ phù hợp thì có thể thấy:

+ Đối với quá khứ, con người không thể song hành cùng => đáp án A không chính xác.

+ Về vấn đề di sản kiến trúc, trong quá khứ thường sẽ có nhiều góc khuất, nhiều bí ẩn, vậy nên thái độ tốt nhất là “đối diện” để giải mã => Đáp án C là chính xác.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài điền từ

Lời giải

Với nội dung vế sau của câu là biến rác thực phẩm thành "phân bón hữu cơ" hoặc "môi trường đất giàu dinh dưỡng", đây là hoạt động đặc trưng của lối sống xanh =>Đáp án đúng là A.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: sống xanh.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Theo nội dung của câu văn, khi không muốn tiền cạn túi thì thường không được mua sắm quá đà, không được quá thoải mái, dễ dàng, hồn nhiên và tùy tiện => Cả bốn đáp án đều có thể điền đúng vị trí thứ nhất. Như vậy, chỉ có ô trống thứ hai để quyết định đáp án chính xác nhất. Với những biển quảng cáo tràn lan xung quanh cuộc sống hiện nay, đề bài dùng cụm từ không nên áp lực đến mức…. từ đó có thể thấy 2 vế của câu văn phải có cách dùng từ và nghĩa tương phản nhau. Một bên là không được mua sắm quá đà thì một bên sẽ không áp lực đến mức nghi ngờ mọi thứ => đáp án B là chính xác.

- Phân tích, loại trừ:

+ Không dùng từ khó khăn vì sự kết hợp từ khó khăn với biển quảng cáo là không hợp lí.

+ Không dùng từ khó chịu hay căn ke vì hai từ này cũng sẽ không hợp nghĩa với vế sau.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: hồn nhiên/đa nghi.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa của từ.

Dạng bài điền từ

Lời giải

Vì câu văn là định nghĩa về “di sản bất hòa” mà “bất hòa” là một từ hàm chứa ý nghĩa xung đột, mâu thuẫn, không hòa hợp. Bởi vậy:

- Đáp án A sai vì lặp lại từ khác biệt trong 1 vế câu.

- Đáp án B có từ mâu thuẫn nêu được ý nghĩa của vị trí trống số 1 nhưng từ “đồng đều” không diễn tả được sự xung đột.

- Đáp án C sai vì từ riêng biệt và kết hợp đều không diễn tả được sự xung đột.

- Đáp án D đúng vì một bên là ẩn chứa sự xung đột, một bên là thiếu sự đồng thuận cũng là xung đột.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: sự xung đột/ sự đồng thuận.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ về nghĩa của từ. 

Dạng bài điền từ

Lời giải

Trong câu văn, căn cứ vào nội dung của hai vế, vế thứ nhất đề cập đến việc tái chế nhựa vô cùng quan trọng, tuy nhiên vế thứ hai lại đề cập đến nếu tái chế không đảm bảo thì các hóa chất độc hại sẽ quay trở lại trong sản phẩm mới. Tức là hai vế đang cho thấy mối quan hệ có phần tương phản: biết nó quan trọng nhưng cần lưu ý hậu quả => từ thích hợp để điền là “Mặc dù”, câu bị khuyết từ “nhưng”.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: Mặc dù.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

Trong câu văn có liệt kê các bước theo các giai đoạn khác nhau để chứng minh vai trò của rừng đa dạng sinh học bao gồm: phân tích, thực tế, công nhận. Tuy nhiên trong ba bước có thể thấy “thực tế” là khái niệm không phù hợp vì không để chỉ một giai đoạn, đáng lẽ nên dùng từ “thực nghiệm” tức là đưa vào kiểm nghiệm thử trong thực tế thì sẽ chính xác.

=> Câu đã sửa: Vai trò của rừng giàu đa dạng sinh học trong giảm lũ lụt, lũ quét đã được phân tích, có thực nghiệm và được công nhận từ hàng nửa thế kỷ nay. 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

Trong câu văn có một lỗi chính tả mà mọi người thường rất hay nhầm lẫn trong cuộc sống đó là từ “chuẩn đoán”. Trong y học, các bác sĩ thường không dùng khái niệm chuẩn đoán vì không có khái niệm này xuất hiện, chỉ có từ “chẩn đoán”.

Chẩn đoán bản thân là một từ Hán Việt từ ghép lại từ “chẩn” và từ” đoán”. Trong đó từ “chẩn” được hiểu theo nghĩa là xác định, phân biệt dựa trên những triệu chứng, dấu hiệu có sẵn; “đoán” lại có nghĩa dựa vào những có sẵn,  đã biết để tìm ra, suy ra những điều  còn chưa rõ hoặc chưa xảy ra.

Như vậy “chẩn đoán” theo y học có nghĩa là thông qua biểu hiện cách triệu chứng, kết quả xét nghiệm từ đó đưa ra được kết luận về bệnh đó.

=> Câu đã sửa: Để chăm sóc bệnh nhân hiệu quả, bác sĩ phải hiểu cách biến đổi khí hậu tác động đến sức khỏe và sẵn sàng áp dụng kiến thức đó thông qua chăm sóc, phòng ngừa, chẩn đoán và tư vấn giảm thiểu rủi ro.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

Hình ảnh cây tre gắn liền với đời sống của con người Việt Nam. Nói đến hình ảnh tre nên vách nên thành thì đây là hình ảnh không chính xác do thành lũy hay nên lũy nên thành mới là hình ảnh gắn liền với giá trị bảo vệ Tổ quốc của cây tre như trong bài “Tre Việt Nam” của Nguyễn Duy:

“Tre xanh Xanh tự bao giờ

Chuyện ngày xưa… đã có bờ tre xanh

Thân gầy guộc, lá mong manh

Mà sao nên lũy nên thành tre ơi

=> Câu đã sửa: Khi tre nên lũy nên thành, nó có giá trị sinh thái như bảo tồn nước, ngăn ngừa rò rỉ nước và xói mòn đất, làm sạch không khí, giá trị sử dụng rất phong phú và đa dạng.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào ngữ pháp, ngữ nghĩa, logic, phong cách

Dạng bài tìm lỗi sai

Lời giải

Trong văn bản có xuất hiện đối tượng cây xanh thường được xem là cơ sở hạ tầng chứ không phải thượng tầng của xã hội (hạ tầng là toàn bộ các hệ thống công trình (như đường bộ, đường cấp điện, cấp nước, thoát nước và các chất thải, v.v.) nói trong mối quan hệ với các công trình, nhà cửa được xây dựng ở khu vực đó; thượng tầng là toàn bộ nói chung những quan điểm về triết học, pháp luật, tôn giáo, nghệ thuật, vv và những tổ chức tương ứng với các quan điểm đó; phân biệt với cơ sở hạ tầng).

=> Câu đã sửa: Cây xanh là cơ sở hạ tầng quan trọng giúp các thành phố chịu đựng các tác động của biến đổi khí hậu bằng cách cung cấp bóng mát, hấp thụ nước mưa và lọc ô nhiễm không khí.