Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 35)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2} \right)\)

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2} \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( {{x^2} + 2} \right) = 0}\\{2x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2 = 0}\\{{x^2} + 2 = \frac{1}{2}}\\{{x^2} + 2 = 1}\\{{x^2} + 2 = 3}\\{2x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Bảng xét dấu kết hợp bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\)

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\)

\[g'(x) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right),g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.{\left( {{x^2}} \right)^2}\left( {{x^2} - 9} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0\]

\[ \Rightarrow 2{x^5}(x - 3)(x + 3){(x - 2)^2}{(x + 2)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 3}\\{x = - 3}\\{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\]

Hai nghiệm \(x = 2,x = - 2\) là nghiệm kép nên \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu khi x đi qua hai điểm này

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;0} \right);\left( {3; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

\(y' = \frac{{{{\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}.\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|}} = \frac{{\left( {3{x^2} + {2^x}.{\rm{ln}}2 + 6x} \right).\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) + {m^2} + 2\)

\(g'\left( x \right) = \left( {2{\rm{sin}}x.{\rm{cos}}x + 3{\rm{cos}}x} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) = {\rm{cos}}x\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right)\)

\(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\).

Theo giả thiết: \(f'\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le - 3}\end{array}} \right.\), ta có:

\[f'\left( {{{\sin }^2}x + 3\sin x - m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x + 3\sin x - m \ge 1,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\\{\sin ^2}x + 3\sin x - m \le - 3,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x \ge m + 1,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x \le m - 3,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)}\end{array}} \right.\) (1)

Xét hàm số \(u\left( x \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x\) trên \(\left[ {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\), ta có

, do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 3 \ge \frac{{3 + 6\sqrt 3 }}{4}}\\{m + 1 \le \frac{7}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{{15 + 6\sqrt 3 }}{4}}\\{m \le \frac{3}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Kết hợp với \(m \in \mathbb{Z}\) và thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) ta được \(m \in \left\{ { - 10, - 9, \ldots ,0,7, \ldots ,10} \right\}\).

Vậy có 15 số nguyên \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi nghiệm tử số và mẫu số không trùng nhau

Lời giải

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì \(f\left( x \right) = {x^2} + mx + n = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 1 \right) \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2 + n \ne 0}\\{1 - n > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n \ne - 3}\\{n < 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Khi đó phương trình \({x^2} + 2x + n = 0\) có hai nghiệm \(x = {x_1},x = {x_2}\)

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}.{x_2} = n}\end{array}} \right.\)

Theo bài ra: \({x_1} - {x_2} = 5\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} - {x_2} = 5}\\{{x_1} + {x_2} = - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{3}{2}}\\{{x_2} = \frac{{ - 7}}{2}}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = n \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{{\left( { - 7} \right)}}{2} = \frac{{ - 21}}{4}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Xét bất phương trình \(3{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x - 5{\rm{sin}}3x - 36{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 15{\rm{sin}}x + 36 + 24m \ge 0\)

\[3{\sin ^3}x - 5\left( {3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right) - 36\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 15\sin x + 36 + 24m \ge 0\]

\[3{\sin ^3}x - 15\sin x + 20{\sin ^3}x - 36 + 36{\sin ^2}x - 15\sin x + 36 + 24m \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow 23{\sin ^3}x + 36{\sin ^2}x - 30\sin x + 24m \ge 0\]

Đặt \(t = {\rm{sin}}x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Bất phương trình trở thành: \(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0\)

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì bất phương trình

\(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0 \Leftrightarrow 23{t^3} + 36{t^2} - 30t \ge - 24m \Leftrightarrow \frac{{ - 23}}{{24}}{t^3} - \frac{{36}}{{24}}{t^2} + \frac{{30}}{{24}}t \le m\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{ - 23}}{{24}}{t^3} - \frac{3}{2}{t^2} + \frac{5}{4}t\),

\(f'\left( t \right) = - \frac{{23}}{8}{t^2} - 3t + \frac{5}{4},f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{\sqrt {374} - 12}}{{23}}}\\{t = \frac{{ - \sqrt {374} - 12}}{{23}} \notin \left[ { - 1;1} \right]}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Để

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 5;5} \right]\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Xác định hệ số góc của hai tiếp tuyến tại giao điểm với trục \(Ox\)

Lời giải

Điều kiện xác định: \(x \ne \left\{ {\frac{m}{2}} \right\}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{{x^2} + 2x - m + 5}}{{2x - m}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x - m + 5 = 0\) (1)

Để \(\left( {Cm} \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{m}{2} - m + 5 \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{m^2}}}{4} + m - m + 5 \ne 0}\\{1 - \left( { - m + 5} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{m^2}}}{4} + 5 \ne 0}\\{m > 4}\end{array} \Rightarrow m > 4} \right.} \right.\)

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn hệ thức Viet:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - m + 5}\end{array}} \right.\) (*)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( {{\rm{Cm}}} \right)\) tại \(x = {x_1}\) và \(x = {x_2}\) có dạng:

\(d:y = y'\left( {{x_1}} \right).\left( {x - {x_1}} \right) + y\left( {{x_1}} \right)\) và \({\rm{\Delta }}:y = y'\left( {{x_2}} \right).\left( {x - {x_2}} \right) + y\left( {{x_2}} \right)\)

Để hai tiếp tuyến song song với nhau \( \Rightarrow y'\left( {{x_1}} \right) = y'\left( {{x_2}} \right)\) (2)

\[ \Rightarrow \frac{{ - 2x_1^2 + 2m{x_1} - m - 10}}{{{{\left( {2{x_1} - m} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2x_2^2 + 2m{x_2} - m - 10}}{{{{\left( {2{x_2} - m} \right)}^2}}}\]

\[ \Leftrightarrow \left( { - 2x_1^2 + 2m{x_1} - m - 10} \right){\left( {2{x_2} - m} \right)^2} = \left( { - 2x_2^2 + 2m{x_2} - m - 10} \right){\left( {2{x_2} - m} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)( - 6m - 40) + \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {2{m^3} - 4{m^2}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)( - 6m - 40) + 2{m^3} - 4{m^2}} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} - {x_2} = 0}\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)( - 6m - 40) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0}\end{array}} \right.\]

Trường hợp 1: \({x_1} - {x_2} = 0\)

Kết hợp với hệ phương trình (*) ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - m + 5}\\{{x_1} - {x_2} = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} =  - 1}\\{{x_2} =  - 1}\\{ - m + 5 = 1}\end{array} \Rightarrow m = 4} \right.} \right.\) (loại)

Trường hợp 2:

\(\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( { - 6m - 40} \right) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {6m + 40} \right) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{m^3} - 4{m^2} + 6m + 40 = 0\)

\( \Rightarrow m \approx  - 1,91\)

Mà \(m > 4\)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án đúng là "-45"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, nhẩm nghiệm và ứng dụng hệ thức Viet để giải

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\[{x^3} - (m + 2){x^2} + 3mx - 6 =  - 2{x^2} - 7x + 2m\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - (m + 2){x^2} + 3mx - 6 + 2{x^2} + 7x - 2m = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} - 2{x^2} + 3mx - 6 - 2{x^2} + 7x - 2m = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} - 4{x^2} + 3mx + 7x - 2m - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4{x^2} + 7x - 6} \right) + m\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 2)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - m(x - 1)(x - 2) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 2)\left( {{x^2} - 2x + 3 - m(x - 1)} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{{x^2} - (2 + m)x + 3 + m = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - (2 + m)x + 3 + m = 0}\end{array}} \right.\]

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 3 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \) phương trình \({x^2} - \left( {2 + m} \right)x + 3 + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 2\left( {2 + m} \right) + 3 + m \ne 0}\\{{{(2 - m)}^2} - 4\left( {3 + m} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 4 - 2\sqrt 6 }\\{m > 4 + 2\sqrt 6 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\) (1)

Khi đó phương trình \({x^2} - \left( {2 + m} \right)x + 3 + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2 + m}\\{{x_1}.{x_2} = 3 + m}\end{array}} \right.\)

Theo bài ta có: \({x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 \le 43 \Leftrightarrow {x_1}^3 + {x_2}^3 + 8 \le 43\)

\[ \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}.{x_2} + x_2^2} \right) \le 35 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}.{x_2}} \right] \le 35\]

\[ \Leftrightarrow (2 + m)\left[ {{{(2 + m)}^2} - 3.(3 + m)} \right] \le 35\]

\[ \Leftrightarrow {m^3} + 3{m^2} - 3m - 45 \le 0\]

\[ \Rightarrow m \le 3\]

Kết hợp các điều kiện ta có \(m \in \left( { - 10;4 - 2\sqrt 6 } \right)\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là: -45

Đáp án đúng là "52"

Phương pháp giải

Lời giải

Xét hàm số:

\(f\left( x \right) = TR - TC =  - 2{x^3} + 1312x - \left( {{x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000} \right) =  - {x^3} + 75{x^2} + 312x - 40000\).

Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 150x + 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 52}\\{x =  - 2\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

​

Hàm số đạt giá trị cực đại \(y = 74416\) tại \(x = 52\)

Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm \(x = 52\)

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất bằng cách sử dụng MTCT nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu chứng minh hàm luôn đơn điệu trên khoảng xác định hoặc đánh giá hai vế hoặc đặt ẩn phụ không hoàn toàn hoặc một phương pháp nào đó.

Lời giải

Phương trình đã cho xác định với mọi \(x > 2\).

Ta cô lập hai hàm số loga về hai vế và biến đổi hai vế về hai biểu thức như hai biểu thức dưới dấu loga, ta được phương trình:

\[{\log _3}\left( {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4x + 5}}} \right) - {x^2} + 7x - 10 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}(x - 2) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) + {x^2} - 7x + 10\]

\[ \Leftrightarrow {\log _3}(3x - 6) + (3x - 6) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\]

\[ \Leftrightarrow f(3x - 6) = f\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\]

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

+ Có: \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t{\rm{ln}}3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

+ Vậy hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Vậy phương trình đã cho: \( \Leftrightarrow f\left( {3x - 6} \right) = f\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) \Leftrightarrow 3x - 6 = {x^2} - 4x + 5\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{7 - \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{7 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\). (TMĐK)

Vậy: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 7\).

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về dạng: \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) và chứng minh \(f\left( t \right)\) đơn điệu trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) ta áp dụng tính chất trên để đưa phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn có thể giải được

Lời giải

Phương trình đã cho xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Ta cô lập hai hàm số mũ về hai vế và biến đổi hai vế với phép toán với số mũ hai vế (vì hệ của số mũ của \({x^2}\) trong hai hàm số mũ bằng nhau), ta được phương trình:

\({2^{{x^2} - 3x + 2}} - {2^{{x^2} - x - 2}} = 2x - 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x + 2}} + \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {2^{{x^2} - x - 2}} + \left( {{x^2} - x - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = f\left( {{x^2} - x - 2} \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\)

+ Có: \(f'\left( t \right) = {2^t}{\rm{ln}}2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\)

+ Vậy hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Vậy phương trình đã cho:

\( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = f\left( {{x^2} - x - 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = {x^2} - x - 2 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm

Đáp án đúng là "12"

Phương pháp giải

Xây dựng công thức lãi kép

Lời giải

Gọi số tiền ban đầu người đó có là \(A\) triệu đồng

Theo công thức lãi kép ta có: \(S = A{(1 + 9,2{\rm{\% }})^n}\)

Với \(S\) là số tiền người đó nhận được sau \(n\) thời gian gửi

\(n\): năm gửi

Sau một thời gian gửi người đó nhận được số tiền gấp 3 số tiền ban đầu

\( \Rightarrow A{(1 + 9,2{\rm{\% }})^n} = 3A \Leftrightarrow {(1 + 9,2{\rm{\% }})^n} = 3 \Rightarrow n = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\left( {1 + 9,2{\rm{\% }}} \right)}}3 = 12,48 \approx 12\)

Vậy sau 12 năm người đó sẽ tiết kiệm được gấp 3 lần số tiền gốc ban đầu

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta chọn A

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Xét \(BC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{BC \bot SA\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{AB,SA \subset \left( {SAB} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

\( \Rightarrow BC \bot AH\)

Ta có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot BC}\\{AH \bot SB}\\{BC,SB \subset \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\)

Mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\)

Chứng minh tương tự ta có: \(AK \bot SC\)

Dễ dàng chứng minh được \(SC \bot \left( {AHK} \right)\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng công thức: \({M_o} = r + \frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}.d\). Với \(i\) là nhóm có tần số lớn nhất

Lời giải

Dựa vào bảng số liệu ta thấy nhóm 2 là nhóm có tần số lớn nhất

\( \Rightarrow {M_o}\) nằm ở nhóm 2

\( \Rightarrow {M_o} = r + \frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}.d = 50 + \frac{{13 - 11}}{{2.13 - 11 - 9}}.5 = 51,67\)

Với: \(r\): mút trái nhóm \(i,d\): độ dài nhóm, \(n\): tần số

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

tính tứ phân vị thứ ba

Lời giải

Hiệu chỉnh lại mẫu số liệu trên ta có:

Xét: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\)

Dựa vào bảng số liệu đã hiệu chỉnh ta thấy nhóm 3 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặcbằng \(\frac{{3n}}{4} = 30\)

\( \Rightarrow \) Tứ phân vị thứ 3 nằm ở nhóm 3

Ta có \(:{Q_3} = {r_3} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - c{f_2}}}{{{n_3}}}.d = 55 + \frac{{30 - 24}}{3}.5 = 65\)

Vậy ngưỡng cân nặng để lấy được \(25{\rm{\% }}\) học sinh có cân nặng tốt nhất là 65 kg

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline x = \frac{{47,5.11 + 52,5.13 + 9.57,5 + 5.62,5 + 2.67,5}}{{40}} = 54,25\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({s^2} = \frac{{11.47,{5^2} + 13.52,{5^2} + 9.57,{5^2} + 5.62,{5^2} + 2.67,{5^2}}}{{40}} - 54,{25^2} = 33,1875\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

\(s = \sqrt {{s^2}} \approx 5,76\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính thể tích theo công thức cơ bản

Lời giải

Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật nên \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng.

\( \Rightarrow V = B.h = {S_{\Delta ABC}}.AA'\)

Hình chiếu của \(AC'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'C'B'} \right)\) là \(A'C'\)

\( \Rightarrow \left( {AC';\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AC';A'C'} \right) = \widehat {A'C'A} = {60^ \circ }\)

Xét \({\rm{\Delta }}A'C'A\) vuông tại \(A'\) ta có:

\(\tan {60^ \circ } = \frac{{AA'}}{{A'C'}} \Rightarrow AA' = A'C'.{\rm{tan}}{60^ \circ } = \sqrt 3 a\)

Vậy thể tích hình lăng trụ là: \(V = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {30^ \circ }.AA' = \frac{1}{2}.a.a.\frac{1}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Dựa vào bảng tỉ lệ kiểu gen

\( \Rightarrow \) Xác suất là người khỏe mạnh, không mang gen gây bệnh là \(25{\rm{\% }}\)

Xác suất là người khỏe mạnh, mang gen gây bệnh là \(50{\rm{\% }}\)

Xác suất bị bệnh là: \(25{\rm{\% }}\)

Gọi \(A:\) "cả ba người con không bị bệnh"

\(B\): "trong ba người con có ít nhất 1 người bị bệnh"

\( \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( A \right)\)

Để cả ba người con đều không bị bệnh thì ba người có thể mang gen \(TT\) hoặc \(Tt\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = {(0,25 + 0,5)^3} = {(0,75)^3} = \frac{{27}}{{64}}\)

\(P\left( B \right) = 1 - \frac{{27}}{{64}} \approx 57,8\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dùng truy hồi để xác định số hạng tổng quát

Lời giải

Ta sẽ chứng minh công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {(n - 1)^2} + 1\)

Hiển nhiên công thức đúng với \(n = 1;n = 2\)

Giả sử công thức đúng với \(n = k - 1,n = k\)

\( \Rightarrow {u_{k - 1}} = {(k - 2)^2} + 1,{u_k} = {(k - 1)^2} + 1\)

Khi đó:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} - {u_{k - 1}} + 2 = 2\left[ {{{(k - 1)}^2} + 1} \right] - \left[ {{{(k - 2)}^2} + 1} \right] + 2 = {k^2} + 1 = {[\left( {k + 1} \right) - 1]^2} + 1\)

Vậy công thức đúng với \(n = k + 1\).

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = {(n - 1)^2} + 1\)

\( \Rightarrow {\rm{lim}}\left[ {{{(n - 1)}^2} + 1} \right] = + \infty \)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\). Theo giả thiết ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} = 2}\\{{u_2} = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 3d = 2}\\{{u_1} + d = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 5}\\{d = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Vậy \({u_1} = 5\) và \(d = - 1\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Dựa vào công thức logarit ta chọn B

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {SC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {SC} \)

Đáp án đúng là "-9"

Phương pháp giải

Lời giải

Xét vị trí của A và B so với mặt phẳng \(\left( P \right)\):

Ta có: \(P\left( A \right) = 3.\left( { - 1} \right) - 2.\left( 2 \right) + 2 - 6 =  - 11,P\left( B \right) = 3.2 - 2 - 1 - 6 =  - 3\)

Ta thấy: \(P\left( A \right).P\left( B \right) = 33 > 0 \Rightarrow \) A và B cùng phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Để \(|MA - MB{|_{{\rm{max}}}}\) thì \(M = AB \cap \left( P \right)\)

Lập phương trình đường thẳng \(AB\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1; - 3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) có dạng: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{y = 2 - 3t}\end{array}} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\)

Tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{z = 2 - 3t}\\{3x - 2y + z - 9 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{z = 2 - 3t}\\{3\left( { - 1 + 3t} \right) - 2\left( {2 - t} \right) + 2 - 3t - 9 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5}\\{y = 0}\\{z =  - 4}\\{t = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Rightarrow M\left( { - 5;0; - 4} \right)\)

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Ta có:  Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

Xét phương trình \({f^2}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 1}\\{f\left( x \right) = 2}\end{array}} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt hai đường thẳng \(y = 1,y = 2\) lần lượt tại 2, 1 điểm

\( \Rightarrow \) Đồ thị có 3 tiệm cận đứng

Vậy tổng đồ thị hàm số đã cho có 4 tiệm cận

Lời giải

Ta có:  Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

Xét phương trình \({f^2}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 1}\\{f\left( x \right) = 2}\end{array}} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt hai đường thẳng \(y = 1,y = 2\) lần lượt tại 2,1 điểm

\( \Rightarrow \) Đồ thị có 3 tiệm cận đứng

Vậy tổng đồ thị hàm số đã cho có 4 tiệm cận

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Lời giải

Ta có: Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(f\left( { - 2} \right) = 8\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

xác suất có điều kiện

Lời giải

Gọi A: "Sinh viên gian lận"

B: "Máy báo sinh viên gian lận"

Xác suất sinh viên gian lận là \(P\left( A \right) = 0,05 \Rightarrow \) Xác suất sinh viên không gian lận là\(P\left( {\overline A } \right) = 0,95\)

Nếu sinh viên thật sự gian lận, xác suất máy báo đúng là: \(P\left( {B\mid A} \right) = 0,95\)

Nếu sinh viên không gian lận, xác suất máy báo sai là: \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0.05\)

Yêu cầu bài toán tương ứng tính xác suất sinh viên thực sự gian lận khi máy báo gian lận\(P\left( {A\mid B} \right)\)

Theo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

Xác suất máy báo do sinh viên thực sự gian lận là: \(P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) = 0,95.0.05 = 0.0475\)

Xác suất máy báo do sinh viên không gian lận là:\(P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,05.0,95 = 0,0475\)

Tổng xác suất máy báo gian lận:

\(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0.0475 + 0,0475 = 0,095\)

Vậy xác suất cần tìm \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = 0,5\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Liều lượng thuốc ban đầu là \({D_o}\)

Nồng độ thuốc trong máu tại thời điểm \(t\) là \(C\left( t \right) = {D_0}.{e^{ - kt}}\)

Theo bài nồng độ thuốc tại thời điểm t giảm đến mức \(60{\rm{\% }}\) so với liều lượng ban đầu

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0,6{D_0} = {D_0}.{e^{ - kt}}\\ \Rightarrow {e^{ - kt}} = 0,6 \Rightarrow t = - \frac{{{\rm{ln}}\left( {0,6} \right)}}{k}\end{array}\)

Tốc độ thay đổi nồng độ thuốc theo thời gian là đạo hàm của hàm \(C\left( t \right) = {D_0}.{e^{ - kt}}\)

\( \Rightarrow C'\left( t \right) = - k.{D_0}.{e^{ - kt}}\)

Tại thời điểm \(t = - \frac{{{\rm{ln}}0,6}}{k}\), nồng độ thuốc trong máu là \(C = - k.{D_0}.{e^{{\rm{ln}}\left( {0,6} \right)}} = - 0,6k.{D_0}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Mặt phẳng trung trực là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó

Lời giải

Gọi \(P\left( {3;2; - 1} \right)\) là trung điểm của \(MN\)

Mặt phẳng trung trực của \(MN\) đi qua \(P\left( {3;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;2; - 8} \right)\) làm vtpt có phương trình là: \(2\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 8\left( {z + 1} \right) = 0\) hay \(x + y - 4z - 9 = 0\).

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Xác định tọa độ hình chiếu \(H\). Cần chú ý đến vecto cùng chiều và ngược chiều

Lời giải

Đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - t}\end{array}} \right.\) có vecto chỉ phương: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\)

\(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d \Rightarrow H\left( { - 2 + t;1 + t; - t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( { - 1 + t;t - 1; - t - 1} \right)\)

Vì \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d\) nên

\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Rightarrow  - 1 + t + t - 1 - \left( { - t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)

Để ba điểm \(A,H,A'\) thẳng hàng và \({\rm{A}}{{\rm{A}}} = 3AH\) thì chúng ta có hai trường hợp

\({\rm{TH}}1:\overrightarrow {AA'}  = 3\overrightarrow {AH} \). Trường hợp này cho chúng ta tọa độ 1 điểm \({\rm{A'}}\)

\({\rm{TH}}2:\overrightarrow {AA'}  =  - 3\overrightarrow {AH} \). Trường hợp này cho chúng ta tọa độ 1 điểm \({\rm{A'}}\)

Vậy có 2 điểm \(A'\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Dùng công thức tính \({\rm{cos}}\alpha \)

Lời giải

Ta có \(:\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right),\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1;1; - 1} \right)\)

Góc \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(d\) và \({\rm{\Delta }}\). Khi đó góc \(\alpha \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(d\) và hình chiếu vuông góc của \({\rm{\Delta }}\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với nhau

Gọi \({\rm{\Delta '}}\) là hình chiếu vuông góc của \({\rm{\Delta }}\) trên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} = \overrightarrow {{u_d}} \)

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \({\rm{\Delta }}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó \({\rm{\Delta '}} = \left( Q \right) \cap \left( P \right)\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} }\\{\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right.\)(1)

Tương tự ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} }\\{\overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{\rm{\Delta '}}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right.\)(2)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{\rm{\Delta '}}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} } \right]} \right] = \left( { - 11; - 7; - 8} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) có một vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 11; - 7;8} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 11t'}\\{y = 2 - 7t'}\\{z = - 1 + 8t'}\end{array}} \right.\) với \(t' \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 11.1 - 7.1 + 8\left( { - 1} \right)} \right|}}{{3\sqrt 3 .\sqrt {26} }} = \frac{{26}}{{3\sqrt {3.26} }} = \frac{{\sqrt {78} }}{9}\)

Vì góc giữa hai đường thẳng là góc có số đo từ \({0^ \circ }\) đến \({90^ \circ }\) nên \({\rm{sin}}\alpha > 0\)

Ta có \(:{\rm{sin}}\alpha = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{{26}}{{27}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định chu kì tuần hoàn của hàm lượng giác

Lời giải

Ta biết rằng chu kì của \({\rm{sin}}ax\) là: \(\frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\), chu kì của \({\rm{tan}}bx\) là \(\frac{\pi }{{\left| b \right|}}\)

\( \Rightarrow \) Chu kì của \({\rm{sin}}\frac{x}{{10}},{\rm{tan}}\frac{x}{8}\) lần lượt là \(20\pi ,16\pi \)

\( \Rightarrow \) Chu kì của hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{sin}}\frac{x}{{10}} + {\rm{tan}}\frac{x}{8}\) là \(T = BCNN\left( {20\pi ;16\pi } \right) = 80\pi \)

Đáp án đúng là "427"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lãi kép

Lời giải

Số tiền của chị \(A\) bao gồm cả gốc và lãi sau 10 tháng gửi là: \({T_1} = 600{(1 + 0,3{\rm{\% }})^{10}}\) triệu đồng

Sau 10 tháng chị A gửi thêm 800 triệu vào ngân hàng \( \Rightarrow \) Số tiền của chị A tại thời điểm đó là:

\(S = 800 + 600{(1 + 0,3{\rm{\% }})^{10}}\) triệu đồng

Lãi suất các tháng sau tăng thành \(0,4{\rm{\% }}\). Sau đó 1 năm chị gửi thêm 500 triệu với lãi suất sau đó là \(0,3{\rm{\% }}\) một tháng

Vậy sau hai năm anh chị rút cả gốc lẫn lãi sẽ thu được:

\(S = \left( {\left( {800 + 600.1,{{003}^{10}}} \right){{\left( {1 + 0,4{\rm{\% }}} \right)}^{12}} + 500} \right).{\left( {1 + 0,3{\rm{\% }}} \right)^{14}} \approx 2073\)

Vậy sau 3 năm chị rút về cả gốc và lãi được 2 tỉ 073 triệu

\( \Rightarrow \) Chị cần vay thêm 427 triệu

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AC

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{SH \bot AC}\\{AC = \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right)}\\{SH \subset \left( {SAC} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\beta \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và (MAB)

Ta có: \({\rm{sin}}\beta = \frac{{d\left( {S,\left( {MAB} \right)} \right)}}{{d\left( {S,AB} \right)}},{\rm{sin}}\alpha = \frac{{d\left( {C,\left( {MAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C,AB} \right)}}\)

Gọi K là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\), I là trung điểm AK.

Giả sử \(AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt 3 ;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xé tam giác \(ABC\) vuông tại C có CK là đường cao. Ta có:

\(d\left( {C,AB} \right) = CK = CB.{\rm{sin}}{30^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HI = \frac{{CK}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Mà: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{SH \bot AB}\\{HI \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow SI \bot AB \Rightarrow d\left( {S,AB} \right) = SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{4}\)

Theo bài ra ta có:

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tâm của tứ diện đều là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện

Lời giải

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(OD,BC \Rightarrow M\left( {\frac{1}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right),N\left( {\frac{3}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\)

Gọi G là trọng tâm tứ diện \( \Rightarrow G\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{{12}}} \right)\)

Ta có \(:\overrightarrow {GA} = \left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 6 - \sqrt 3 }}{6};\frac{{36 - \sqrt 6 }}{{12}}} \right)\)

\( \Rightarrow G{A^2} = \frac{{99}}{8} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}} \right)^2} = \frac{{99}}{8} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Đáp án đúng là "2023"           

Phương pháp giải

Tính giới hạn và đánh giá

Lời giải

\({\rm{lim}}\sqrt {\frac{{{5^n} + {3^{n + 2}}}}{{{4^{n + 1}} + {5^{n + 2a}}}}}  = {\rm{lim}}\sqrt {\frac{{1 + 9.{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n}}}{{4.{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + {5^{2a}}}}}  = {\rm{lim}}\sqrt {\frac{1}{{{5^{2a}}}}}  = \frac{1}{{\sqrt {{5^{2a}}} }}\)

Theo đề ta có: \({\rm{lim}}\sqrt {\frac{{{5^n} + {3^{n + 2}}}}{{{4^{n + 1}} + {5^{n + 2a}}}}}  \le \frac{1}{{125}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{5^{2a}}} }} \le \frac{1}{{125}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{5^{2a}}}} \le \frac{1}{{{5^3}}} \Rightarrow {5^{2a}} \ge {5^3} \Rightarrow 2a \ge 3 \Rightarrow a \ge \frac{3}{2}\)

Mà: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \in \left( {0;2025} \right)}\\{a \in \mathbb{Z}}\end{array} \Rightarrow a \in \left\{ {2;3;4;5;..2024} \right\}} \right.\)

Vậy có 2023 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Lời giải

Tháng đầu tiên đọc được ba quyển, các tháng sau đọc thêm được 1 quyển so với tháng trước nên số sách đọc được là một cấp số cộng với \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 1\)

Theo công thức số hạng tổng quát ta có: \({u_n} = 3 + \left( {n - 1} \right).1 = 2 + n\)

Sau 5 tháng thì số sách bạn đó đọc được là: \({u_5} = 2 + 5 = 7\) quyển sách

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tổng lượng dầu có thể tính bằng tích phân của lưu lượng \(Q\left( x \right) = v\left( x \right).A\left( x \right)\) trên đoạn chiều dài trong thời gian cho trước.

Lời giải

Lưu lượng dầu tại điểm cách đầu ống dầu \(x{\rm{\;km}}\) là tích của vận tốc dòng chảy và tiết diện ống dẫn

\(Q\left( x \right) = v\left( x \right).A\left( x \right) = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}}\left( {0,5 + 0,1{\rm{sin}}x} \right) = \frac{{150 + 30{\rm{sin}}x}}{{1 + {x^2}}}\)

Lượng dầu chảy qua ống trong thời gian t là tích phân của lưu lượng \(Q\left( x \right)\) theo x và thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, do lưu lượng \(Q\left( x \right)\) phụ thuộc vào vị trí x, nên ta cần xác định khoảng cách \(x\) mà dầu đi trong 5 giờ đầu.

Tại mỗi thời điểm \(t\), vận tốc dòng chảy có thể được mô tả bởi công thức

\(v\left( x \right) = \frac{{d\left( x \right)}}{{d\left( t \right)}} \Rightarrow \frac{{d\left( x \right)}}{{d\left( t \right)}} = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}} \Rightarrow dt = \frac{{1 + {x^2}}}{{300}}dx\)

Vậy lưu lượng dầu chảy trong 5h đầu tiên là:

Đáp án đúng là "19"

Phương pháp giải

Từ diện tích tam giác \(ABC\) ta xác định được độ dài \(BC \Rightarrow B,C\) là giao điểm của đường thẳng chứa \(B,C\) và đường tròn tâm \(A\), bán kính \(AB = AC\)

Lời giải

Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\) là: \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 - 5} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC \Rightarrow BC = \frac{{2.S}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = \frac{{2.20}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AB = AC = \sqrt {{{\left( {d\left( {A,BC} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {2 + 200}  = \sqrt {202} \)

Phương trình đường tròn tâm \(A\) bán kính là \(AB\) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 202\)

Tọa độ \({\rm{B}},{\rm{C}}\) là giao điểm của đường thẳng \(x - y - 5 = 0\) và đường tròn \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 202\)

Vì B nằm trên đường thẳng: \(x - y - 5 = 0 \Rightarrow a - b - 5 = 0 \Rightarrow a = b + 5\)

B nằm trên đường tròn \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 202 \Rightarrow {(a - 1)^2} + {(b + 2)^2} = 202\)

Thay \(a = b + 5\) vào phương trình \({(a - 1)^2} + {(b + 2)^2} = 202\) ta được:

\({(b + 5 - 1)^2} + {(b + 2)^2} = 202 \Leftrightarrow 2{b^2} + 12b - 182 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 7}\\{b =  - 13}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 7 \Rightarrow a = 12}\\{b =  - 13 \Rightarrow a =  - 8 < 0\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy điểm \(B\left( {12;7} \right)\)

Tổng \(a + b = 19\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

, với \(k \in \mathbb{Z},0 \le k \le 10\)

Số hạng chứa \({x^{26}} \Rightarrow 4k - 10 = 26 \Rightarrow k = 9\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^{26}}\) là: \(C_{10}^9.2 = 20\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải

Để bó được 1 bó theo yêu cầu của bài toán, ta cần: 5 bông hồng xanh, trong mỗi bó hoa đều có các màu trắng, hồng, cam.

Chọn 5 bông từ 40 bông có: \(C_{40}^5\)

Chọn 1 bông màu cam: có 30 cách chọn

Chọn 1 bông màu đỏ: có 20 cách chọn

Chọn 1 bông màu trắng có 30 cách chọn

Vậy còn lại: 29 bông cam, 19 bông đỏ, 29 bông trắng

Chọn 7 bông hoa từ 77 bông có \(C_{77}^7\) cách chọn

Vậy có tất cả: \(C_{40}^5.30.20.30.C_{77}^7\) cách xếp hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi chiều cao của tòa nhà là \(AB\) như hình vẽ dưới đây:

Ban đầu người đó đứng ở vị trí C để quan sát tòa nhà, sau đó người ta dịch ra vị trí D. Yêu cầu bài toán tương đương tính \(BD\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B có:

\({\rm{tan}}{60^ \circ } = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow AB = {\rm{tan}}{60^ \circ }.BC = 50.\sqrt 3 = 50\sqrt 3 m\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại B có: \({\rm{tan}}\widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{BD}} \Rightarrow BD = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}45}} = 50\sqrt 3 \left( m \right)\)

Đáp án đúng là "9/4"

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm

Lời giải

Ta có:

\(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}dx = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{x + 1 - 1}}{{{{(x + 1)}^3}}}dx = \mathop \smallint \nolimits^ \left( {\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} - \frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}}} \right)dx =  - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}} + C\)

Mà \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow  - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\)

Khi đó: \(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{x + 1}} + \frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}} + 1 \Rightarrow F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = \frac{5}{8} + \frac{{13}}{8} = \frac{9}{4}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right)\).

Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm: \(|f\left( x \right){|} = \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right)} }}\)

Lời giải

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\) và \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right);f\left( { - 1} \right) = - 3;f\left( 1 \right) = - 1\);

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = {\left( {\left| {f\left( x \right)} \right|} \right)}.f'\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right) = \frac{{f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right)} }}.f'\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0;x = 2}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| - m = 0}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| - m = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0;x = 2}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = m}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2}\end{array}} \right.} \right.\) (*)

Mặt khác, \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {a_1} \in \left( { - 1;0} \right) \approx - 0.53}\\{x = {b_1} \in \left( {0;1} \right) \approx 0.65}\\{x = {c_1} \in \left( {2;3} \right) \approx 2.8}\end{array}} \right.\) nên các điểm\(x = {a_1};x = {b_1};x = {c_1}\) là các điểm cực trị của \(g\left( x \right)\).

Để hai điểm \(x = - 1;x = 1\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\) thì hai giá trị \(x\) đó phải lànghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {f\left( x \right)} \right| = m}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2}\\{\left| {f\left( { - 1} \right)} \right| = 3;\left| {f\left( 1 \right)} \right| = 1;}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m = 1}\\{m + 2 = 3}\\{m + 2 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1}\\{m = 1}\\{m = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Với \(m = 3\) thì suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {f\left( x \right)} \right| = 3}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = 5}\end{array}} \right.\), tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm \(x = - 1;x = 1\) nên ta loại

Với \(m = - 1\) thì suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {f\left( x \right)} \right| = - 1}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = 1}\end{array}} \right.\), tới đây ta nhận thấy hệ phương trình kia không cónghiệm \(x = - 1\) nên ta loại

Với \(m = 1\) thì suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {f\left( x \right)} \right| = 1}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = 3}\end{array}} \right.\). Do hệ phương trình này có hai nghiệm \(x = - 1;x = 1\)nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = 0}\\{x = 1}\\{x = b \in \left( {2;3} \right)}\\{x = 3}\\{x = - 1}\\{x = 2}\\{x = c \in \left( {3,4} \right)}\end{array}} \right.\)

Do \(x = 0,x = 2\) là nghiệm bội chẵn nên \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = 1}\\{x = b \in \left( {2;3} \right)}\\{x = 3}\\{x = - 1}\\{x = c \in \left( {3,4} \right)}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\) là 6 nghiệm bội lẻ.

Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 11 điểm cực trị thỏa đề bài.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng tính diện tích hình phẳng của tích phân

Lời giải

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 là:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định vị trí tương đối của mặt cầu so với mặt phẳng sau đó đánh giá

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R = 3\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 20 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right)\)

Ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 2 + 0 - 20} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \frac{{20}}{3} > R = 3\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\)không có điểm chung.

Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng qua \(I\left( {1;1;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t{\rm{\;}}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là nghiệm hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = t}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = t}\\{{{(1 + 2t - 1)}^2} + {{(1 - 2t - 1)}^2} + {{(t)}^2} = 9}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = t}\\{t = \pm 1}\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( {3; - 1;1} \right)}\\{Q\left( { - 1;3; - 1} \right)}\end{array}} \right.\).

\({M_1},{M_2}\) là hai điểm thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(d\left( {{M_1},\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất và \(d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {M_1},{M_2}\) là giao điểm của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Vì \(d\left( {N,\left( P \right)} \right) = \frac{{11}}{3} < d\left( {Q,\left( P \right)} \right) = \frac{{29}}{3} \Rightarrow {M_2} \equiv N;{M_1} \equiv Q\).

Suy ra \({M_1}\left( { - 1;3; - 1} \right)\) và \({M_2}\left( {3; - 1;1} \right)\).

\(T = {x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2} + {z_1} + {z_2} = - 1 + 3 + 3 - 1 - 1 + 1 = 4\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Để hàm số đạt cực đại tại \(x = 3 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y'\left( 3 \right) = 0}\\{y''\left( 3 \right) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 3}\\{m > - 4}\end{array} \Rightarrow m = - 3} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Với \(n = 1\) thì \(1! = 1 = {1^2}\) là số chính phương

Với \(n = 2\) thì \(1! + 2! = 3\) không là số chính phương

Với \(n = 3\) thì \(1! + 2! + 3! = 9 = {3^2}\) là số chính phương

Với \(n \ge 4\) ta có \(:1! + 2! + 3! + 4! = 33\) còn \(5!;6!; \ldots n!\) đều có tận cùng là 0 do đó\(:\)

\(1! + 2! + 3! + \ldots + n!\) có tận cùng là chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương.

Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(n = 1,n = 3\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa, từ loại,…

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Phân tích nghĩa của từ:

+ Len lỏi: len, lách một cách vất vả (nói khái quát).

+ Luồn lách: chen lách qua chỗ này sang chỗ nọ để cố tìm lối vượt lên.

+ Len lách: chen lách qua chỗ này sang chỗ nọ để cố tìm lối vượt lên.

+ Chen chúc: chen nhau một cách lộn xộn.

- Có thể thấy, các từ len lỏi, luồn lách, len lách đều chỉ hành động di chuyển khéo léo, luồn qua những khoảng trống nhỏ.

- Từ chen chúc lại chỉ tình trạng đông đúc, chật chội, nhiều người hoặc vật tập trung vào một chỗ, không có ý nghĩa về sự di chuyển khéo léo như các từ còn lại.

=> Từ mà nghĩa của nó KHÔNG cùng nhóm với các từ còn lại là: chen chúc.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức phần cụm từ

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Các từ đắn đo, đủng đỉnh, đèm đẹp đều là từ láy. Trong khi đó, từ đong đếm là từ ghép vì cả tiếng “đong” và “đếm” đều có nghĩa liên quan đến từ “đong đếm”.

=> Từ KHÔNG cùng nhóm với các cụm từ còn lại là: đong đếm.