ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối hộp

Dựng khối hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ ta có: $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$

Khối hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$có hai đáy là $AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$và $CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.h$

Trong đó $h=d\left(\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right);\left(CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\right)=d\left(C{C}^{\text{'}};\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=7$

$\Rightarrow V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=4.7=28$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.28=14$

Đáp án cần chọn là: C

Vì $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABC\right)\Rightarrow AB$  là hình chiếu vuông góc của A′B lên

$\left(ABC\right)\Rightarrow \widehat{\left(A^{\text{'}}B;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{\left(A^{\text{'}}B;AB\right)}=\widehat{A^{\text{'}}BA}={30}^0$

 Xét tam giác vuông ABC có $AB=BC.\tan 60=a\sqrt{3}$

$A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABC\right)\supset AB\Rightarrow A{A}^{\text{'}}\perp AB\Rightarrow \text{Δ}AB{A}^{\text{'}}$ vuông tại A

$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=AB.\tan \widehat{A^{\text{'}}BA}=a\sqrt{3}.\tan 30=a\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}=a$

$S_{\text{Δ}ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}a\sqrt{3}.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{\text{Δ}ABC}=a.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$
Đáp án cần chọn là: A

Gọi D là trung điểm của BC ta có:

Tam giác ABC đều nên $AD\perp BC$ và $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABC\right)\Rightarrow A{A}^{\text{'}}\perp BC$

$\Rightarrow BC\perp \left(A{A}^{\text{'}}D\right)\Rightarrow BC\perp A^{\text{'}}D\Rightarrow \text{Δ}{A}^{\text{'}}BC$ cân tại A’

 Tam giác ABC đều cạnh $a=4\Rightarrow AD=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

$S_{\text{Δ}{A}^{\text{'}}BC}=\frac{1}{2}{A}^{\text{'}}D.BC\Rightarrow A^{\text{'}}D=\frac{2S_{\text{Δ}{A}^{\text{'}}BC}}{BC}=\frac{2.8}{4}=4$

Xét tam giác vuông  AA’D có: $A{A}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{16-12}=2$

$S_{ABC}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{ABC}=2.4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
Đáp án cần chọn là: B

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:

$AM\perp BC$ (do $\text{Δ}ABC$ đều)

$BC\perp A{A}^{\text{'}}\left(gt\right)$

$\Rightarrow BC\perp \left(A{A}^{\text{'}}M\right)\Rightarrow BC\perp A^{\text{'}}M$

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}(A\text{'}BC)\cap \left(ABC\right)=BC\\ AM\subset \left(ABC\right),AM\perp BC\\ A\text{'}M\subset (A\text{'}BC),A\text{'}M\perp BC\end{array}\right.$

$\Rightarrow \angle \left(\left(A^{\text{'}}BC\right);\left(ABC\right)\right)=\angle \left(A^{\text{'}}M;AM\right)=\angle A^{\text{'}}MA={60}^0$

Vì $\text{Δ}ABC$ đều cạnh a nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $S_{\text{Δ}ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Xét tam giác vuông $A^{\text{'}}AM$có: $A{A}^{\text{'}}=AM.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{\text{Δ}ABC}=\frac{3a}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi thể tích  ABC.A′B′C′ là V.

Gọi M là trung điểm của B′C′ ta có: $S_{\text{Δ}AEF}=\frac{1}{2}{S}_{A{A}^{\text{'}}MF}$

$\Rightarrow V_{B^{\text{'}}.AEF}=\frac{1}{2}{V}_{B^{\text{'}}.A{A}^{\text{'}}MF}$

Mà $V_{B^{\text{'}}.A{A}^{\text{'}}MF}=\frac{2}{3}{V}_{ABF.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}M}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{3}V$

$\Rightarrow V_{B^{\text{'}}.AEF}=\frac{1}{2}{V}_{B^{\text{'}}.A{A}^{\text{'}}MF}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}V=\frac{1}{6}V$

Vậy $\frac{V_1}{V}=\frac{1}{6}$
Đáp án cần chọn là: C

Gọi H là tâm tam giác đều ABC . Vì $A^{\text{'}}A=A^{\text{'}}B=A^{\text{'}}C$ nên hình chóp $A^{\text{'}}.ABC$  là đều nên 
$A^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$

Gọi I là trung điểm của AB.

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên $CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HI=\frac{1}{3}CI=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Tam giác A′AB  cân tại A′  nên $A^{\text{'}}I\perp AB\Rightarrow \text{Δ}{A}^{\text{'}}AI$ vuông tại

$I\Rightarrow A^{\text{'}}I=\sqrt{A{A}^{\text{'}2}-A{I}^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{12}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$

$A^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)\Rightarrow A^{\text{'}}H\perp HI\Rightarrow \text{Δ}{A}^{\text{'}}HI$ vuông tại

$H\Rightarrow A^{\text{'}}H=\sqrt{A^{\text{'}}{I}^2-H{I}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{12}}=\frac{a}{2}$

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A^{\text{'}}H.S_{ABC}=\frac{a}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$
Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.\sin 120=\frac{1}{2}{a}^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}{B}^{\text{'}}K.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\\ \Rightarrow B^{\text{'}}K=\frac{2S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{array}$

$A{B}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\Rightarrow A{B}^{\text{'}}\perp B^{\text{'}}K\Rightarrow \text{Δ}A{B}^{\text{'}}K$ vuông tại B’

$\Rightarrow A{B}^{\text{'}}=B^{\text{'}}K.tan30=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{2}$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{B}^{\text{'}}.S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi O là tâm hình bình hành $AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$.Ta có $CO\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow CO\perp OA;CO\perp OB$

$\text{Δ}COA=\text{Δ}COB\left(c.g.c\right)\Rightarrow OA=OB\Rightarrow A{B}^{\text{'}}=A^{\text{'}}B\Rightarrow AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình chữ nhật.

Lại có $AB=B{B}^{\text{'}}=a\Rightarrow AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình vuông

Khi đó $OA=OB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Xét tam giác vuông OAC có: $OC=\sqrt{A{C}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{C.A^{\text{'}}AB}=\frac{1}{3}OC.S_{A^{\text{'}}AB}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Mà $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}.d\left(A^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)=3.\frac{1}{3}{S}_{ABC}.d\left(A^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)=3.V_{A^{\text{'}}.ABC}$
Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=3V_{C.A^{\text{'}}AB}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$
Đáp án cần chọn là: C

Kẻ $A^{\text{'}}H\perp \left(ABCD\right);HM\perp AB;HN\perp AD$

Ta có: $\left.\begin{array}{c}A\text{'}H\perp AB\\ HM\perp AB\end{array}\right\}\Rightarrow AB\perp (A\text{'}HM)\Rightarrow AB\perp A\text{'}M$

$\left.\begin{array}{c}(ABB\text{'}A\text{'})\cap \left(ABCD\right)=AB\\ (ABB\text{'}A\text{'})\supset A\text{'}M\perp AB\\ \left(ABCD\right)\supset HM\perp AB\end{array}\right\}\Rightarrow \left(\right(ABB\text{'}\widehat{A\text{'});(A}BCD\left)\right)=(A\text{'}\widehat{M;H}M)=\widehat{A\text{'}MH}={45}^o$

Chứng minh tương tự ta có $\widehat{A^{\text{'}}NH}={60}^0$

Đặt $A^{\text{'}}H=x$ khi đó ta có:

$A^{\text{'}}N=\frac{x}{\sin 60}=\frac{2x}{\sqrt{3}},AN=\sqrt{A{A}^{\text{'}2}-A^{\text{'}}{N}^2}=\sqrt{1-\frac{4x^2}{3}}=HM$

Mà $HM=x.\cot 45=x$

$\Rightarrow x=\sqrt{1-\frac{4x^2}{3}}\iff x^2=1-\frac{4x^2}{3}\iff \frac{7x^2}{3}=1\Rightarrow x^2=\frac{3}{7}\Rightarrow x=\sqrt{\frac{3}{7}}$
$S_{ABCD}=\sqrt{3}.\sqrt{7}=\sqrt{21}$

Vậy $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=A^{\text{'}}H.S_{ABCD}=\sqrt{\frac{3}{7}}.\sqrt{21}=3$

Đáp án cần chọn là: A

Gọi D là trung điểm của AB. Trong (CC′D) kẻ $OH\perp C{C}^{\text{'}}\Rightarrow OH=a$

$\left.\begin{array}{c}CD\perp AB\\ C\text{'}O\perp AB\end{array}\right\}\Rightarrow AB\perp (CC\text{'}D)\Rightarrow AB\perp CC\text{'}$

Trong (ABC), qua O kẻ $EF//AB\left(E\in BC;F\in AC\right)$

Ta có: $\left.\begin{array}{c}EF\perp CC\text{'}\\ OH\perp CC\text{'}\end{array}\right\}\Rightarrow CC\text{'}\perp \left(EFH\right)\Rightarrow CC\text{'}\perp HE;CC\text{'}\perp HF$

Ta có:

$\left.\begin{array}{c}(ACC\text{'}A\text{'})\cap (BCC\text{'}B\text{'})=CC\text{'}\\ (ACC\text{'}A\text{'})\supset HF\perp CC\text{'}\\ (BCC\text{'}B\text{'})\supset HE\perp CC\text{'}\end{array}\right\}\Rightarrow \left(\right(ACC\text{'}\widehat{A\text{'});(B}CC\text{'}B\text{'}\left)\right)=\left(H\widehat{F;H}E\right)={90}^0\Rightarrow HE\perp HF$

$\Rightarrow \text{Δ}HEF$ vuông tại H

$\text{Δ}HCE=\text{Δ}HCF\left(c.g.v-c.h\right)\Rightarrow HE=HF\Rightarrow \text{Δ}HEF$ vuông cân tại H $\Rightarrow EF=2HO=2a$

Ta có: $\frac{EF}{AB}=\frac{CO}{CD}=\frac{2}{3}\Rightarrow AB=\frac{3}{2}EF=\frac{3}{2}.2a=3a$

$\Rightarrow S_{\text{Δ}ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}$
$CD=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CO=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$C^{\text{'}}O\perp \left(ABC\right)\Rightarrow C^{\text{'}}O\perp CO\Rightarrow \text{Δ}C{C}^{\text{'}}O$ vuông tại O

$\Rightarrow \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{C^{\text{'}}{O}^2}+\frac{1}{C{O}^2}\Rightarrow \frac{1}{C^{\text{'}}{O}^2}=\frac{1}{O{H}^2}-\frac{1}{C{O}^2}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{3a^2}=\frac{2}{3a^2}\Rightarrow C^{\text{'}}O=\frac{\sqrt{6}}{2}a$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=C^{\text{'}}O.S_{\text{Δ}ABC}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27a^3\sqrt{2}}{8}$
Đáp án cần chọn là: D

Gọi D là trung điểm của AA′  ta có ID là đường trung bình của tam giác

$A{A}^{\text{'}}B\Rightarrow ID//A^{\text{'}}B$

Mà $A^{\text{'}}B\perp A{B}^{\text{'}}$ (do ABB′A′ là hình vuông)

$\Rightarrow ID\perp A{B}^{\text{'}}$

Tam giác ABC vuông cân tại C nên $IC\perp AB$ Mà $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABC\right)\Rightarrow A{A}^{\text{'}}\perp IC$

$\Rightarrow IC\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow IC\perp A{B}^{\text{'}}$
$\Rightarrow A{B}^{\text{'}}\perp \left(ICD\right)$

⇒ Mặt phẳng qua I và vuông  góc với AB′  là (ICD)

Tam giác ABC vuông cân tại C nên

$AC=BC=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC=\frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{2}}\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^2}{4}$

ABB′A′ là hình vuông $\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=AB=a$

$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=AB=a$

Ta có:

$V_{D.ACI}=\frac{1}{3}AD.S_{ACI}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}A{A}^{\text{'}}.\frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{1}{12}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{12}.\frac{a^3}{4}=\frac{a^3}{48}=V_1$

$\Rightarrow V_2=V-V_1=\frac{a^3}{4}-\frac{a^3}{48}=\frac{11a^3}{48}$
Đáp án cần chọn là: C

Chọn $AD=BE=CF=\frac{5}{3}$ thì đa diện là hình lăng trụ đứng ABC.DEF có diện tích đáy $S_{ABC}=10$ và chiều cao$AD=\frac{5}{3}$

Thể tích $V=S_{ABC}.AD=10.\frac{5}{3}=\frac{50}{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Đặc biệt hóa, coi $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là khối lập phương cạnh bằng 1

$\Rightarrow V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=1=V$

Dễ thấy MNPQEF là khối bát diện đều cạnh cạnh $QE=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $V_{MNPQEF}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{6}=\frac{V}{6}$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi M là trung điểm của B′C′. Vì $\text{Δ}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$đều nên $A^{\text{'}}M\perp B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}A\text{'}M\perp B\text{'}C\text{'}\\ A\text{'}M\perp BB\text{'}(BB\text{'}\perp (A\text{'}B\text{'}C\text{'}\left)\right)\end{array}\right.\Rightarrow A^{\text{'}}M\perp \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$

⇒BM là hình chiếu của A′M lên (BCC′B′)

$\Rightarrow \angle \left(A^{\text{'}}B;\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\right)=\angle \left(A^{\text{'}}B;MB\right)=\angle A^{\text{'}}BM={30}^0$

Theo bài ra ta có$\text{Δ}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ đều cạnh a nên $A^{\text{'}}M=\frac{a\sqrt{3}}{2}$và $S_{\text{Δ}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ta có:$A^{\text{'}}M\perp \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\Rightarrow A^{\text{'}}M\perp BM\Rightarrow \text{Δ}{A}^{\text{'}}BM$ vuông tại M

$\Rightarrow BM=A^{\text{'}}M.\cot {30}^0=\frac{3a}{2}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BB′M ta có:

$B{B}^{\text{'}}=\sqrt{B{M}^2-B{B}^{\text{'}2}}=\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=a\sqrt{2}$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=B{B}^{\text{'}}.S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=a\sqrt{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$
Đáp án cần chọn là: B