ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Ứng dụng thể tích các khối đa diện vào thực tế

Bước 1: Gọi chiều rộng bể cá là x, tính chiều dài và chiều cao của bế cá theo x.

Gọi chiều rộng của bể cá là x (m) x>0⇒ Chiều dài của bể cá là 2x(m)2x(m)

Gọi h là chiều cao của bể cá ta có

2x2+2xh+4xh=5⇔2x2+6xh=5⇔h=5−2x26x

Bước 2: Tính thể tích của bể cá theo x, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của thể tích bể cá.

Khi đó thể tích của bể cá là 2x2.5−2x26x=135x−2x3=13fx

Xét hàm số fx=5x−2x3  x>0 có f'x=5−6x2=0⇔x=56.

Lập BBT:

⇒max0;+∞fx=f56

⇒Vmax=13f56=55027≈1,01m3

Bước 1: Tính diện tích tam giác ABH

Hình thoi ABCD có BCD^=120∘

⇒ABC^=60∘

Do đó ABC là tam giác đều

⇒SABC=a234

⇒SABH=12SABC=a238.

Bước 2: Sử dụng công thức liên hệ giữa diện tích hình chiếu của đa giác và đa giác ban đầu.

Tam giác ABH là hình chiếu của tam giác A′BH

Gọi góc giữa (ABB′A′) và (ABCD) là

Khi đó ta có SABH=SABA'cosφ⇒cosφ=SABHSABA'=12⇒φ=60∘

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1: Gọi M là trung điểm AB,I là trung điểm AM. Tính góc A’IH

Ta có SABCD=2SABC=a232

Gọi M là trung điểm AB,I là trung điểm AM

Khi đó HI⊥AB⇒ góc giữa (ABB′A′) và (ABCD) là góc A'IH^=60∘

Bước 2: Tính VABCD⋅A'B'C'D'

Ta có

IH=12CM=a34⇒A'H​=IH⋅tan60∘=3a4

⇒VABCD⋅A'B'C'D'=A'H⋅SABCD​=3a4⋅a232=3a338.

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD.  Gọi O=AC∩BD đặt AB=x  x>0  tính SO theo x.

Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD. Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥ABCD

Đặt AB=x  x>0 ta có SABCD=x2

⇒VS.ABCD=13SO.SABCD=13SO.x2=16⇔SO=48x2

Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD.  Tính SM theo x, từ đó tính SΔSCD  theo x.

Gọi M là trung điểm của CD ta có CD⊥OMCD⊥SO⇒CD⊥(SOM)⇒CD⊥SM

Ta cóOM=12AD=12AB=x2  áp dụng định lí Pytago ta có:

SM=SO2+OM2=48x22+x24
⇒SΔSCD=12SM.CD=1248x22+x24.x=12482x2+x44

Bước 3: Tìm GTNN của diện tích mạ vàng

Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì SΔSCD  nhỏ nhất ⇒482x2+x44  đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có 482x2+x44=1152x2+1152x2+x44≥31152x2.1152x2.x443≥3.3317763 (BĐT Cô-si).

Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là 4.3.3317763≈831 cm3

Bước 1: Gọi x(m),3x(m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể. Tính chiều cao của bể.

Gọi x(m),3x(m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể, h là chiều cao của bể.

Theo bài ra ta có: V=x.3x.h=6⇒h=63x2=2x2  m

Bước 2: Tính tổng diện tích các mặt làm bê tông.

Khi đó tổng diện tích các mặt bể được làm bê tông là:

2x.2x2+2.3x.2x2+2x.3x−x.3x.29=16x23+16x

Bước 3: Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương để tính số tiền ít nhất cần tìm

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

16x23+16x=16x23+8x+8x≥316x23.8x.8x3=8183

Dấu “=” xảy ra khi 16x23=8x⇔x=323

Vậy số tiền ít nhất mà cô Ngọc cần bỏ ra là 8183.106≈21.000.000d

Ta có AB=SP=2MN=10cm

AD=MR=2.52−522=53
⇒SABCD=AB.AD=503  cm2
V=SABCD.h=503.15=7503 cm3

Đáp án cần chọn là: D