ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt nón, khối nón
31 câu hỏi
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là
Sxq=13πrl
Sxq=πr2l
Sxq=πrl+πr2
Sxq=πrl
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: Sxq=πrl
Đáp án cần chọn là: D
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r, độ dài đường cao h và độ dài đường sinh l là:
Stp=πrl+πr2
Sxq=πrl+2πr2
Sxq=πrh+πr2
Sxq=2πrh
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: Stp=πrl+πr2
Đáp án cần chọn là: A
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h là:
V=13πrl
V=13πr2l
V=13πr2h
V=13πrh
Công thức tính thể tích khối nón: V=13πr2h
Đáp án cần chọn là: C
Công thức tính thể tích khối nón biết diện tích đáy Sd và đường sinh l là:
V=13Sd.l
V=13Sdh2−r2
V=13Sdl2−r2
V=Sdl2−r2
Ta có: l2=r2+h2⇒h=l2−r2⇒V=13Sd.h=13Sd.l2−r2
Đáp án cần chọn là: C
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r = 3cm và độ dài đường sinh 4cm là:
12(m2)
12π(cm3)
12π(cm2)
4π(cm2)
Áp dụng công thức Sxq=πrl ta được: Sxq=π.3.4=12πcm2
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình nón có các kích thước r = 1cm; l = 2cm với r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:
2π(cm2)
4π(cm2)
3π(cm2)
6π(cm2)
Áp dụng công thức Stp=πrl+πr2 ta được:
Stp=πrl+πr2=π.1.2+π.12=3πcm2
Đáp án cần chọn là: C
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
πa224
2πa223
πa222
πa22
Thiết diện qua trục của hình nón là ΔSAB vuông cân tại S và có SA=SB=a.
⇒l=SA=a.
Ta có: ΔSABvuông cân tại S⇒AB=SA2=a2
⇒r=OA=12AB=a22.
⇒ Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: Sxq=πrl=π.a22.a=πa222.
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 1200 và đường cao bằng 2. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
163π
83π
43π
8π
Gọi S là đỉnh hình nón, AB là 1 đường kính của hình nón và O là tâm đường tròn đáy của hình nón.
Khi đó ta có ∠ASB=1200 và h=SO=2
Ta có: ΔSAB cân tại S suy ra SO là phân giác của ∠ASB
⇒∠ASO=12∠ASB=600
Xét tam giác vuông SOA có:r=OA=SO.tan600=23
l=SA=SOcos600=4
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq=πrl=π.23.4=83π
Đáp án cần chọn là: B
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = 2. Biết diện tích xung quanh của hình nón là 25π. Tính thể tích khối nón.
π
53π
43π
23π
Ta có : Sxq=πRl⇒25π=π.2l⇔l=5
Lại có l2=R2+h2⇔52=22+h2⇔h2=1⇔h=1
Vậy thể tích khối nón là : V=13πR2h=13π.22.1=43π
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình nón có các kích thước r = 1; h = 2 với r,hr,h lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:
3π
1+5π
3+1π
5+1π
Ta có: l2=r2+h2=r2+h2=12+22=5
Do đó Stp=πrl+πr2=π.1.5+π.12=1+5π
Đáp án cần chọn là: D
Thể tích khối nón có bán kính đáy r = 2cm và h = 3cm là:
4πcm3
43πcm3
2πcm3
6πcm3
Áp dụng công thức tính thể tích khối nón V=13πr2h=13π.22.3=4πcm3
Đáp án cần chọn là: A
Cho tam giác ABO vuông tại O, có góc BAO^=300,AB=a. Quay tam giác ABO quanh trục AO ta được một hình nón có diện tích xung quanh bằng:
πa234
2πa2
πa22
πa24
Hình nón thu được có đường sinh l = AB = a; bán kính đáy
r=OB=AB.sin30∘=a2và diện tích xung quanh là
Sxq=πrl=πa22
Đáp án cần chọn là: C
Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng 9π. Khi đó chiều cao h của hình nón bằng:
h=3
h=33
h=32
h=33
r=9ππ=3⇒l=2r=6;h=l2−r2=33
Đáp án cần chọn là: D
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a = 3 . Tính độ dài đường cao của hình nón.
3
334
32
332
Độ dài đường cao của hình nón cũng chính là chiều cao của tam giác đều
⇒h=a32=332
Đáp án cần chọn là: D
Một hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao nón bằng 2. Khi đó góc ở đỉnh của nón là 2φ thỏa mãn
tanφ=55
cotφ=55
cosφ=255
sinφ=255
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là ΔABC cân tại A với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy của nón.
Gọi H là tâm đáy nón ⇒H là trung điểm BC,AH⊥BC
Ta có HB=HC=1,AH=2. Ta có
2φ=∠BAC⇒φ=∠HACAC=AH2+HC2=5cosφ=AHAC=25=255
Đáp án cần chọn là: C
Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là:
8a3
2a
22a
4a3
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là ΔABC với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón.
Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón, O1,O2 lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, D1,D2 lần lượt là tiếp điểm của AC với (O1) và (O2).
Vì O1D1//O2D2 (cùng vuông góc với AC) nên theo hệ thức Ta – let ta có:
⇒AO2AO1=O2D2O1D1=a2a=12⇒O2 là trung điểm của
AD1⇒AO1=2O1O2=2a+2a=6a
⇒AH=AO1+O1H=6a+2a=8a
Xét tam giác vuông AO1D1 có: AD1=AO12−O1D12=36a2−4a2=42a
Dễ thấy:
ΔAO1D1~ΔACH g.g⇒HCO1D1=AHAD1⇒HC=O1D1.AHAD1=2a.8a42a=22a=r
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3πa2 và bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.
l=5a2
l=22a
l=3a2
l = 3a .
Ta có: Sxq=πrl=3πa2=πal⇒l=3a
Đáp án cần chọn là: D
Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h (h > R). Tìm hh để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.
h=R3
h=R2
h=4R3
h=2R3
Ta có: Gọi bán kính (C) với tâm là I là r thì dễ có S phải thuộc OI và :
OI=R2−r2→h=R2−r2+RV=13πr2h=13πr2(R2−r2+R)
Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:
f(r)=r2(R2−r2+R)
=r2R2−r2+r2R
⇒f'(r)=(r2R2−r2+r2R)'
=r2R2−r2'+(r2R)'
=(r2)'R2−r2+r2(R2−r2)'+2rR
=2rR2−r2+r2.−2r2R2−r2+2rR
=2rR2−r2−r3R2−r2+2rR
=r(2R2−r2−r2R2−r2+2R)
f'(r)=0⇔2R2−r2+2R−r2R2−r2=0⇔2(R2−r2)−r2+2RR2−r2=0
⇔(2R2−3r2)2=(2RR2−r2)2
⇔r2=89R2→h=4R3.
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, góc ở đỉnh là 1350. Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định và điểm M di động. Tìm số vị trí M để diện tích SAM đạt giá trị lớn nhất
Vô số
3
2
1
Ta có:
SSAM=12SA.SMsinASM^=12SA2sinASM^≤12SA2⇒maxSSAM=12SA2
Dấu “=” xảy ra khi sinASM^=1⇔ASM^=900
Có 2 điểm M như vậy (hai điểm đối xứng với nhau qua AB).
Đáp án cần chọn là: C
Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số hr.
hr=3
hr=2
hr=43
hr=163
Theo đầu bài ta có bán kính của khối cầu và khối nón đều bằng r.
Từ dữ kiện đầu bài ta suy ra :Vnon=34.Vcau⇔13πr2h=34.43πr3⇔hr=3
Đáp án cần chọn là: A
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD,BC; AD = 3BC = 3a, AB = a,SA=a3. Điểm I thỏa mãn AD→=3AI→; M là trung điểm SD, H là giao điểm của AM và SI. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD).
V=πa325
V=πa35
V=πa3105
V=πa355
Xét tam giác SAD vuông tại A có SA=a3,AD=3a⇒SDA^=300⇒MAI^=300
Lại có tam giác SAI vuông tại A cóSA=a3,AI=a⇒SIA^=600 nên tam giác AHI có H^=900 hay AH⊥SI
Mà AH⊥IC do IC//BA⊥SAD nên AH⊥SIC⇒AH⊥SC
Ngoài ra, AE⊥SB,AE⊥BCBC⊥SAB⇒AE⊥SBC⇒AE⊥SC
Mà AF⊥SC nên SC⊥AEFH và AEFH là tứ giác có E^=H^=900 nên nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm AF đường kính AF.
Gọi O là trung điểm AC thì OK//SC, mà SC⊥AEFH nên OK⊥AEFH hay O chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính AF.
Ta tính AF,OK.
Xét tam giác SAC vuông tại A đường cao AF nên
AF=SA.ACSC=SA.ACSA2+AC2=a65;OK=12CF=12.CA2CS=a5
Vậy thể tích V=13πr2h=13π.a5.12.a652=πa3105
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm AB. Cho tứ giác AMCD và các điểm trong của nó quay quanh trục AD ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
7π3
7π6
14π3
14π9
Kéo dài CM cắt DA tại E. Quay hình thang vuông AMCD quanh trục AD ta được hình nón cụt như hình vẽ.
Quay tam giác EDC quanh trục ED ta được hình nón.
Dễ thấy Vnc=V1−V2 V1V1 là thể tích khối nón đỉnh E, bán kính đáy DC = 2DC = 2 và V2 là thể tích khối nón đỉnh E, bán kính đáy AM = 1
Có EAED=AMDC=12⇒EA=AD=2⇒ED=4
⇒V1=13πDC2.ED=13π.22.4=16π3
V2=13πAM2EA=13π.12.2=2π3
Vậy V=V1−V2=16π3−2π3=14π3
Đáp án cần chọn là: C
Cho tam giác ABC đều, có diện tích bằng s1 và AH là đường cao. Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được hình nón có diện tích xung quanh bằng s2. Tính s1s2.
23π
32π
3π
4π3
Giả sử tam giác ABC đều cạnh a ⇒s1=SABC=a234
Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được hình nón có đường sinh l=AB=a bán kính đáy r=BC2=a2 do đó diện tích xung quanh của hình nón bằng: s2=πrl=π.a2.a=πa22
Vậy s1s2=a234πa22=32π
Đáp án cần chọn là: B
Một cái phễu có dạng hình nón có chiều cao 15(cm). Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng 13 chiều cao ban đầu của cái phễu (hình 1). Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên (hình 2) thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn).
0,577(cm)
0,216(cm)
0,325(cm)
0,188(cm)
Gọir1 là bán kính đáy phễu,r2 là bán kính đáy phần nước, h1 và h2 là chiều cao phễu và chiều cao cột nước ta có r2r1=h2h1=515=13⇒r2=13r1
Khi úp phễu xuống thì thể tích của phần nón không chứa nước là:
13πr12h1−13πr22h2=5πr12−53πr132=13027πr12=13πr2h
với r,h là bán kính và chiều cao của hình nón không chứa nước ⇒r2h=1309r12
Ta có
rr1=hh1⇒r=r1h15⇒r12h3225=1309r12⇔h=14,812 cm
Vậy chiều cao của nước sau khi úp phếu xuống là 15–14,812=0,188(cm)
Đáp án cần chọn là: D
Một cái phễu có dạng hình nón. Chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?
2073−10cm
1073cm
20−1073cm
2073cm
Gọi thể tích của phễu là V, bán kính đáy phễu là R, bán kính của cột nước có dạng khối nón trong H1 là R1
Ta có: 1020=R1R=12
Gọi V1 là thể tích của nước ta có:
V1V=13πR12.1013πR2.20=12R1R2=18⇒V1=18V
Sau khi úp ngược phễu lên, thể tích của phần không có nước có dạng khối nón có thể tích là V2=V−V1=78V
Gọi h,R2 là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước ở H2 ta có
R2R=h20 và :V2V=13πR22h13πR2.20=78⇒R2R2.h20=78⇔h3203=78⇒h=1073
⇒ Chiều cao của cột nước trong H2 là 20−1073cm
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), ABC là tam giác vuông tại B.B. Biết BC=a, AB=a3, AD=3a.. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng
83πa33.
33πa316.
53πa316.
43πa316.
* Xét mặt phẳng (ABD):
Gọi C’ là điểm ở trong (ABD) sao cho: C’B vuông góc AB và C’B = BC = a.
Gọi K=AC'∩BD, IK⊥AB (I∈AB)
Theo Ta – lét ta có:
IKBC'=IAAB=1−IBAB=1−KI3BC'⇔43KIBC'=1⇔KIBC'=34⇒IK=34a
Thể tích của phần chung là:
V=13πIK2.IA+13πIK2.IB=13πIK2.AB=13π.3a42.a3=33πa316
Đáp án cần chọn là: B
Cho hình nón N1 có chiều cao bằng 40cm. Người ta cắt hình nón N1 bằng một mặt phẳng song song với đáy của có để được một hình nón nhỏ N2 có thể tích bằng 18 thể tích N1. Tính chiều cao h của hình nón N2?
20cm.
10cm.
5cm
40cm.
(Quan sát kí hiệu trên hình vẽ)
Áp dụng định lí Ta lét ta có:
O'B'OB=O'AOA=h'h=h'40(OA=h,O'A=h'<40cm)
Tỉ số thể tích giữa 2 khối nón:
V'V=13π.O'B'2.O'A13π.OB2.OA=O'B'2.O'AOB2.OA=O'B'OB2.O'AOA=h'402.h'40=18⇒h'3=4038=203⇒h'=20 (cm)
Vậy chiều cao h của hình nón N2 là: 20cm.
Đáp án cần chọn là: A
Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2a3, góc ở đỉnh là 1200. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất Smax của thiết diện đó là bao nhiêu?
Smax=8a2
Smax=4a22
Smax=4a2
Smax=16a2
Giả sử O là tâm đáy và AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón.
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM. Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy
R=OA=2a3,ASB^=120∘ nên ASO^=60∘
Xét tam giác SOA vông tại O, ta có sin60∘=OASA⇒SA=OAsin60∘=4a
Diện tích thiết diện là
SSAM=12SA.SM.sinASM^=12.4a.4a.sinASM^=8a2.sinASM^
Do 0<sinASM^≤1 nên SSAM lớn nhất khi và chỉ khi sinASM^=1 hay khi tam giác ASM vuông cân đỉnh S (vì ASB^=120∘>90∘ nên tồn tại tam giác ASM thoả mãn).
Vậy diện tích thiết diện lớn nhất làSmax=8a2 (đvdt).
Đáp án cần chọn là: A
Cho hình hộp ABCD⋅A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD^=q. Mặt chéo ACC′A′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng thời ACC'A' là hình thoi có góc A'AC^=600.
Tính tan góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (ABCD).
23
33
3
43
Bước 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (ABCD)
Gọi M là trung điểm AD
⇒BM⊥AD(tam giác ABD I là trung điểm M D
⇒OI⊥AD⇒ góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (ABCD) bằng A'IO^
Bước 2: Tính tanA'IO^
Ta có AC=2AO=2⋅a32=a3
Xét tam giác AA′O vuông tại O có: A'O=AO⋅tan600=a32⋅3=3a2
XétΔBMD có: OI=12BM=a34
Xét tam giác A′IO vuông tại O có:tanA'IO^=A'OOI=23
Đáp án cần chọn là: A
Cho hình hộp ABCD⋅A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD^=q. Mặt chéo ACC′A′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng thời ACC'A' là hình thoi có góc A'AC^=600.
Tính thể tích khối tứ diện ACB′D′.
a333
a323
a334
a335
Bước 1: Tính SABCD;A'O
Ta có SABCD=2SABD=2⋅12AB⋅AD⋅sin600=a232;A'O=3a2
Bước 2: Tính VACB'D'=13VABCD⋅A'B'C'D'
⇒VACB'D'=13VABCD⋅A'B'C'D'=13⋅A'O⋅SABCD=13⋅3a2⋅a232=a334
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình hộp ABCD⋅A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD^=q. Mặt chéo ACC′A′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng thời ACC'A' là hình thoi có góc A'AC^=600.
Tính diện toàn phần của hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp ΔABD và chiều cao bằng chiều cao của lăng trụ.
πa2(53−1)12
πa2(53+1)13
πa2(53+1)12
πa2(53−1)13
Bước 1: Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Vì ΔABD đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác trùng với trọng tâm của tam giác
⇒ Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: r=BM3=a36
Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hình nón Sxq=πrl+πr2
Vì chiều cao của hình nón bằng chiều cao của lăng trụ nên ta có độ dài đường sinh là
l=A'O2−r2=3a22−a362=a1596
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq=πrl+πr2=πa2(53+1)12
Đáp án cần chọn là: C
