ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối chóp

Vì M là trung điểm của SD nên $\frac{V_{SABM}}{V_{SABD}}=\frac{SM}{SD}=\frac{1}{2}$

Mà $\frac{V_{SABD}}{V_{SABCD}}=\frac{1}{2}\Rightarrow V_{SABD}=\frac{1}{2}.4a^3=2a^3$

$\Rightarrow V_{SABM}=a^3=\frac{1}{3}.d\left(M;\left(SAB\right)\right).S_{SAB}\iff d\left(M;\left(SAB\right)\right)=\frac{3a^3}{a^2}=3a$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$\left.\begin{array}{c}AC\perp AB\\ AC\perp SB(SB\perp (ABC\left)\right)\end{array}\right\}\Rightarrow AC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow AC\perp SA$

⇒SA là hình chiếu vuông góc của SC trên

$\left(SAB\right)\Rightarrow \widehat{\left(SC;\left(SAB\right)\right)}=\widehat{\left(SC;SA\right)}=\widehat{CSA}={30}^0$

$\left.\begin{array}{c}\left(SAC\right)\cap \left(ABC\right)=AC\\ \left(SAC\right)\supset SA\perp AC\\ \left(ABC\right)\supset AB\perp AC\end{array}\right\}\Rightarrow \left(\right(SA\widehat{C);(A}BC\left)\right)=\left(S\widehat{A;A}B\right)=\widehat{SAB}={60}^0$

$SB\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SB\perp AB\Rightarrow \text{Δ}SAB$  vuông tại B

$\Rightarrow AB=SB.\cot {60}^0=a.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow SA=\sqrt{S{B}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông SAC ta có: $AC=SA.\tan {30}^0=\frac{2a}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2a}{3}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{2a}{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{9}$
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SB.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{9}=\frac{a^3\sqrt{3}}{27}$

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

$\left.\begin{array}{c}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)\\ \left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SAD\right)=SA\end{array}\right\}\Rightarrow SA\perp \left(ABCD\right)$

⇒AC là hình chiếu vuông góc của SC trên

$\left(ABCD\right)\Rightarrow \widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{\left(SC;AC\right)}=\widehat{SCA}={45}^0$

(vì $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AC\Rightarrow \text{Δ}SAC$ vuông tại $A\Rightarrow \widehat{SCA}<{90}^o$)

$\Rightarrow SA=AC=a\sqrt{2}$
$S_{ABCD}=a^2$
$S_{AMN}=\frac{1}{2}AM.AN=\frac{1}{2}\frac{a}{2}\frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}$
$S_{BCM}=\frac{1}{2}BM.BC=\frac{1}{2}\frac{a}{2}.a=\frac{a^2}{4}$
$\Rightarrow S_{MCDN}=S_{ABCD}-S_{AMN}-S_{BCM}=a^2-\frac{a^2}{8}-\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{8}$
$\Rightarrow V_{S.MCDN}=\frac{1}{3}SA.S_{MCDN}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{5a^2}{8}=\frac{5a^3\sqrt{2}}{24}$

Đáp án cần chọn là: D

$\text{Δ}ABC$ là tam giác đều cạnh aa nên có diện tích $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ta có $AM=\frac{A{A}_1}{2}=\frac{a}{2}$

Hai tứ diện $MABC$ và $M{A}_{1}BC$ có chung đỉnh C, diện tích hai đáy MAB và $M{A}_{1}B$ bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra

$V_{M.BC{A}_1}=V_{M.ABC}=\frac{1}{3}AM.S_{ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$
Đáp án cần chọn là: B

Thể tích khối bát diện đều $V=2V_{S.ABCD}$

Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$

Vì ABCD là hình vuông nên $AC=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp OA\Rightarrow \text{Δ}SOA$ vuông tại O

$\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$
$\Rightarrow V=2\frac{a^3\sqrt{2}}{6}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Trong mp(SBC) kẻ $SH\perp BC\left(H\in BC\right)\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right),H$ là trung điểm BC

Xét tam giác vuông ABC có $BC=\sqrt{a^2+3a^2}=2a\Rightarrow \text{Δ}SBC$ đều cạnh 2a

$\Rightarrow SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\text{Δ}ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{1}{2}{a}^3$

Dễ thấy $\text{Δ}SAB=\text{Δ}SAC\left(c.g.c\right)$ nên $SB=SC$ hay tam giác $\text{Δ}SBC$ cân.

Gọi M là trung điểm BC ta có: $AM\perp BC,SM\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SAM\right)$

Gọi H là hình chiếu của S trên AM thì $SH\perp AM,SH\perp BC$ nên SH là đường cao của hình chóp.

Xét tam giác SAB có:

$S{B}^2=S{A}^2+A{B}^2-2SA.AB\cos {30}^0=16\Rightarrow SB=4\Rightarrow SC=4$

Do đó $S{M}^2=\frac{S{B}^2+S{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}=15\Rightarrow SM=\sqrt{15}$

Tam giác ABC có $A{M}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}=15\Rightarrow AM=\sqrt{15}$

Khi đó $S_{SAM}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=6$

Do đó: $SH=\frac{2S_{SAM}}{AM}=\frac{2.6}{\sqrt{15}}=\frac{4\sqrt{15}}{5}$

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AM.BC.SH=\frac{1}{6}.\sqrt{15}\mathrm{.2.}\frac{4\sqrt{15}}{5}=4$
Đáp án cần chọn là: C

Lại có $\widehat{SBH}={45}^0\Rightarrow HB=HS,\tan \widehat{SDH}=\frac{1}{3}=\frac{SH}{HD}$

$\Rightarrow \frac{HB}{HD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{HB}{BD}=\frac{1}{4}$

Mà $BD=a\sqrt{2}\Rightarrow HB=\frac{a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{4}.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$
Đáp án cần chọn là: D

Xét tam giác ABC, giả sử $AB=6,BC=8,AC=10$ ta có

$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2\left(=100\right)$ nên tam giác ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo)

$\Rightarrow S_{\text{Δ}ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8}=24$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) và giả sử SA hợp với đáy góc 60⁰ ⇒HA là hình chiếu của SA lên (ABC) nên

$\angle \left(SA;\left(ABC\right)\right)=\angle \left(SA;HA\right)=\angle SAH={60}^0$
$\Rightarrow SH=SA.\sin {60}^0=4.\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\text{Δ}ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt{3}.24=16\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Giả sử khối chóp ABCD có $AB=a,AC=2a,AD=3a$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC), khi đó ta có: $DH\perp \left(ABC\right)$ và $DH\le AD$

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC\le \frac{1}{2}AB.AC$

Vây $V_{ABCD}=\frac{1}{3}DH.S_{\text{Δ}ABC}\le \frac{1}{3}AD.\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{6}AB.AC.AD=\frac{1}{6}.a.2a.3a=a^3$
Dấu “=” xảy ra $\iff AD\perp \left(ABC\right),AB\perp AC$ hay AB,AC,AD đôi một vuông góc.

Gọi D là giao điểm của MB và EN thì D là trung điểm của MB.

Ta có: $V_{MNEF}=V_{M.NEF}=\frac{1}{3}{S}_{NEF}.d\left(M,\left(NEF\right)\right)$

Do D là trung điểm của MB và MB cắt (EFN) tại D nên $d\left(M,\left(NEF\right)\right)=d\left(B,\left(NEF\right)\right)$

$\Rightarrow V_{MNEF}=\frac{1}{3}{S}_{NEF}.d\left(B,\left(NEF\right)\right)=V_{B.NEF}$

Mà $\frac{V_{B.NEF}}{V_{B.CAS}}=\frac{BN}{BC}.\frac{BE}{BA}.\frac{BF}{BS}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow V_{B.NEF}=\frac{1}{6}{V}_{B.CAS}=\frac{1}{6}{V}_{S.ABC}$

Vì $SA=SB=SC$ nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà ABC vuông cân nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Do đó

$SM\perp \left(ABC\right)$

Diện tích tam giác ABC là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.4.4}=8$

Tam giác ABC vuông cân tại B nên

$\begin{array}{l}AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}\\ =\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\\ \Rightarrow AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\end{array}$

Tam giác SMA vuông tại M nên theo Pitago ta có: $SM=\sqrt{S{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{{12}^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=2\sqrt{34}$

Thể tích khối chóp S.ABC là: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SM=\frac{1}{3}\mathrm{.8.2}\sqrt{34}=\frac{16\sqrt{34}}{3}$

Thể tích khối tứ diện MNEF là: $V_{MNEF}=\frac{1}{6}.V_{S.ABC}=\frac{1}{6}.\frac{16\sqrt{34}}{3}=\frac{8\sqrt{34}}{9}$

Đáp án cần chọn là: A