ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tổng hợp về khối đa diện, khối tròn xoay

Ta có mặt phẳng $\left(A^{\text{'}}AB\right)//O^{\text{'}}O$

Kẻ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}//AB$ ⇒ thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABB′A′

Kẻ $OH\perp AB,OH\perp A^{\text{'}}A\Rightarrow OH\perp \left(A^{\text{'}}AB\right)$

Mà $AH=\sqrt{O{A}^2-O{H}^2}=2\sqrt{5}\Rightarrow AB=4\sqrt{5}\Rightarrow S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=32\sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt là 5cm;12cm;13cm nên đáy là tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là 13cm. Suy ra hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng có đáy là đường tròn bán kính là $\frac{13}{2}cm$

Vậy thể tích hình trụ đó là $V=\pi {\left(\frac{13}{2}\right)}^2.8=338\pi \left(c{m}^3\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.

Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\frac{\sqrt{3}a}{3}$

 Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là $V=h.S=h.\pi .{\left(\frac{\sqrt{3}a}{3}\right)}^2=\frac{\pi a^{2}h}{3}$ (đvtt).

Đáp án cần chọn là: B

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB′C′ cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′

Do đó bán kính là $R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+{\left(2a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2}=\frac{3a}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi N,M lần lượt là trung điểm của AC;SC.

ABC là tam giác vuông tại$B,\widehat{BAC}={60}^o$ và $AB=\frac{a}{2}$  nên $NA=NB=NC$

NM là đường trung bình của tam giác SAC nên

⇒M là tâm của (S) có bán kính $MC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Diện tích của $\left(S\right):S=4\pi r^2=4\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2\pi a^2.$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có đường cao hình nón $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow R=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Gọi rr là bán kính đường tròn đáy của hình trụ và hình nón.

Theo bài ra ta có: Chu vi đáy là $C=2\pi r=20\sqrt{3}\pi \Rightarrow r=10\sqrt{3}\left(cm\right)$

Thể tích khối nón là $V_1=\frac{1}{3}\pi r^2.h_1=\frac{1}{3}\pi .{\left(10\sqrt{3}\right)}^2.10=1000\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích khối trụ là $V_2=\pi r^2.h_2=\pi .{\left(10\sqrt{3}\right)}^2.40=12000\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích của cột là $V=V_1+V_2=13000\pi \left(c{m}^3\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Theo hình vẽ ta thấy cạnh huyền: 4R, các cạnh góc vuông đều bằng a.

Theo định lý Pitago ta có:

Đáp án cần chọn là: B

Gọi M là trung điểm của AB ta có:

$OM=\sqrt{O{A}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{R^2-\frac{3R^2}{4}}=\frac{R}{2}$

Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. Ta có : IA = IB nên $\text{Δ}IAB$ cân tại I, do đó $MI\perp AB$

Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng $\widehat{IMO}={60}^0$

Xét tam giác vuông IMO có : $OI=OM.\tan 60=\frac{R\sqrt{3}}{2}<\frac{O{O}^{\text{'}}}{2}=2R$

⇒I nằm giữa O và O’. Do đó (P) không cắt đáy còn lại.Vậy hình chiếu của (P) trên (O;R′) là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB và$\text{Δ}OAB$ (phần gạch chéo).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB có :

$\cos \widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2.OA.OB}=\frac{R^2+R^2-3R^2}{2R^2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOB}={120}^0$

$\Rightarrow S_{\text{Δ}OAB}=\frac{1}{2}OA.OB.\sin 120=\frac{1}{2}{R}^2\frac{\sqrt{3}}{2}=R^2\frac{\sqrt{3}}{4}$

Gọi $S_{\stackrel{⏜}{OAB}}$ là diện tích hình quạt $\Rightarrow S_{\stackrel{⏜}{OAB}}=\frac{\frac{4\pi }{3}}{2\pi }.\pi R^2=\frac{2}{3}\pi R^2$

Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là :