ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tổng hợp về khối đa diện, khối tròn xoay
9 câu hỏi
Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là :
323cm2
163cm2
325cm2
165cm2
Ta có mặt phẳng A'AB//O'O
Kẻ A'B'//AB ⇒ thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABB′A′
Kẻ OH⊥AB,OH⊥A'A⇒OH⊥A'AB
⇒dO'O,A'AB=dO,A'ABB'=OH=4
Mà AH=OA2−OH2=25⇒AB=45⇒SABB'A'=325
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5cm,13cm,12cm. Một hình trụ có chiều cao bằng 8cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng
V=338πcm3
V=386πcm3
V=507πcm3
V=338cm3
Đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt là 5cm;12cm;13cm nên đáy là tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là 13cm. Suy ra hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng có đáy là đường tròn bán kính là 132cm
Vậy thể tích hình trụ đó là V=π1322.8=338π(cm3)
Đáp án cần chọn là: A
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
V=πa2h9
V=πa2h3
V=3πa2h
V=πa2h27
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.
Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 3a3
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là V=h.S=h.π.3a32=πa2h3 (đvtt).
Đáp án cần chọn là: B
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a và AA'=2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB′C′.
R=3a
R=3a4
R=3a2
R=2a
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB′C′ cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′
Do đó bán kính là R=12a2+2a2+2a2=3a2
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC); SA=a đáy ABC là tam giác vuông tại B, BAC^=600 và AB=a2. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai.
Diện tích của (S) là 2πa23.
Tâm của (S) là trung điểm SC.
(S) có bán kính a22.
Thể tích khối cầu là 2πa33
Gọi N,M lần lượt là trung điểm của AC;SC.
ABC là tam giác vuông tạiB,BAC^=60o và AB=a2 nên NA=NB=NC
AC=a⇒SC=a2⇒MC=a22
NM là đường trung bình của tam giác SAC nên
NM//SA⇒NM⊥ABC ⇒ MS=MC=MA=MB
⇒M là tâm của (S) có bán kính MC=a22
⇒VS=43πa223=2πa33
Diện tích của S: S=4πr2=4πa222=2πa2.
Đáp án cần chọn là: A
Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo a.
2a3
a33
2a33
a3
Ta có đường cao hình nón h=a32⇒R=23h=a33
Đáp án cần chọn là: D
Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là 203πcm. Thể tích của cột bằng:
13 000π cm3
5000π cm3
15 000π cm3
52000π cm3
Gọi rr là bán kính đường tròn đáy của hình trụ và hình nón.
Theo bài ra ta có: Chu vi đáy là C=2πr=203π⇒r=103 cm
Thể tích khối nón là V1=13πr2.h1=13π.1032.10=1000π cm3
Thể tích khối trụ là V2=πr2.h2=π.1032.40=12000π cm3
Thể tích của cột là V=V1+V2=13000π cm3
Đáp án cần chọn là: A
Ca (Canxi) có cấu trúc lập phương tâm diện, mỗi nguyên tử Ca có dạng hình cầu bán kính R. Một ô cơ sở của mạng tinh thể Ca là một hình lập phương có cạnh bằng a, mỗi mặt của hình lập phương chứa 12 nguyên tử Ca và mỗi góc chứa 18 nguyên tử Ca khác (Hình a, b)
68%
74%
72%
54%
Bước 1: Tính số nguyên tử Ca có trong một ô cơ sở
Số nguyên tử Ca trong một ô cơ sở gồm: 6 mặt mỗi mặt có12 khối cầu+8 góc18 khối cầu. Như thế số nguyên tử Ca là:6.12+8.18=4 nguyên tử.
Bước 2: Tính thể tích chiếm chỗ của Ca trong một ô cơ sở và thể tích của ô cơ sở.
Thể tích của 4 nguyên tử Ca là: VCa=4.43πR3=163πR3
Thể tích của một khối lập phương là Vlp=a3
Bước 3: Tính R theo a và độ đặc khít
Theo hình vẽ ta thấy cạnh huyền: 4R, các cạnh góc vuông đều bằng a.
Theo định lý Pitago ta có:
4R2=a2+a2
⇔16R2=2a2⇔a2=8R2⇔a=2R2⇒Ra=122
⇒VCaVlp=163π.R3a3=163π.Ra3=16π3.1223≈0,74=74%
Đáp án cần chọn là: B
Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn (O;R) và (O′;R), OO'=4R. Trên đường tròn tâm O lấy (O) lấy hai điểm A,B sao cho AB=R3. Mặt phẳng (P) đi qua A,B cắt OO′ và tạo với đáy một góc bằng 600. (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:
4π3−32R2
2π3+34R2
4π3+32R2
2π3−34R2
Gọi M là trung điểm của AB ta có:
OM=OA2−AB22=R2−3R24=R2
Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. Ta có : IA = IB nên ΔIAB cân tại I, do đó MI⊥AB
Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng IMO^=600
Xét tam giác vuông IMO có : OI=OM.tan60=R32<OO'2=2R
⇒I nằm giữa O và O’. Do đó (P) không cắt đáy còn lại.Vậy hình chiếu của (P) trên (O;R′) là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB vàΔOAB (phần gạch chéo).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB có :
cosAOB^=OA2+OB2−AB22.OA.OB=R2+R2−3R22R2=−12⇒AOB^=1200
⇒SΔOAB=12OA.OB.sin120=12R232=R234
Gọi SOAB⏜ là diện tích hình quạt ⇒SOAB⏜=4π32π.πR2=23πR2
⇒Shc=SOAB⏜+SΔOAB=23πR2+R234
Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là :
Shc=S.cos60⇒S=Shccos60=223πR2+R234=43πR2+32R2=43π+32R2
Đáp án cần chọn là: C
