Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THPT Thăng Long (Hà Nội) có đáp án

Chọn D.

Hàm số \(y = \cos 3x\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và \(\cos \left( { - 3x} \right) = \cos 3x\) nên là hàm số chẵn.

Các hàm số \(y = \cot 2x\), \(y = \tan x\), \(y = \sin 2x\) đều là hàm số lẻ.

Chọn C.

\({u_{10}} = {u_1} + 9d =  - 2 + 9 \cdot 3 = 25\).

Chọn B.

Điều kiện: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án: a) Sai.       b) Đúng.        c) Sai.            d) Đúng.

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin \alpha  < 0\).

Ta có \({\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)^2} = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{12}}{{13}}\).

a) Sai. \(y = 2{\sin ^2}x - \sin 2x - 1 + \sin \alpha  =  - \sin 2x - \cos 2x - \frac{{12}}{{13}} =  - \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{{12}}{{13}}\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2  - \frac{{12}}{{13}}\).

b) Đúng. Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \) có các họ nghiệm \(x = \alpha  + k2\pi \) và \(x = \pi  - \alpha  + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(0 < \alpha  < 2\pi \) nên trên khoảng \(\left( {0;\,\,2\pi } \right)\) phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt là \(x = \alpha \) và \(x = 3\pi  - \alpha \).

c) Sai. Ta có \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 =  - \frac{{119}}{{169}}\) và \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = \frac{{120}}{{169}}\).

Khi đó \(\cos \left( {2\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 2\alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin 2\alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 119 - 120\sqrt 3 }}{{338}} < 0\).

d) Đúng. \(\sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)}^2}}  =  - \frac{{12}}{{13}}\).

Đáp án: a) Sai.  b) Sai.  c) Đúng.  d) Đúng.

a) Sai. Ta có \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\) nên \(EF\,{\rm{//}}\,BC,\,\,EF = \frac{1}{2}BC\).

\(OP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(OP\,{\rm{//}}\,BC\).

Hai mặt phẳng \(\left( {OEF} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) có điểm chung \(O\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(EF,\,\,BC\) nên giao tuyến là đường thẳng qua \(O\) song song với \(BC\), chính là đường thẳng \(OP\).

Đường thẳng này cắt \(CD\) tại trung điểm \(Q\) của \(CD\).

Do đó \(PQ\,{\rm{//}}\,BC,\,\,PQ = BC\), nên \(EF\,{\rm{//}}\,PQ\) nhưng \(EF = \frac{1}{2}PQ \ne PQ\).

Tứ giác \(EFQP\) là hình thang, không phải hình bình hành.

b) Sai. Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có điểm chung \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(AD,\,\,BC\) nên giao tuyến là đường thẳng qua \(S\) song song với \(AD\), không song song với \(AB\).

c) Đúng. \(P \in AB\) và \(P \in OP \subset \left( {OEF} \right)\).

Mặt khác \(\left( {OEF} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = PQ\) và \(B \notin PQ\) nên \(B \notin \left( {OEF} \right)\), tức \(AB\) không nằm trong \(\left( {OEF} \right)\).

Vậy \(AB\) cắt \(\left( {OEF} \right)\) tại \(P\).

d) Đúng. \(EF\,{\rm{//}}\,BC\) và \(BC\,{\rm{//}}\,AD\) nên \(EF\,{\rm{//}}\,AD\).

Vì \(\tan x = 2\) nên \(\cos x \ne 0\). Chia cả tử số và mẫu số của biểu thức \(A\) cho \(\cos x\), ta được:

\(A = \frac{{\frac{{2\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{3\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{4\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{5\cos x}}{{\cos x}}}} = \frac{{2\tan x - 3}}{{4\tan x + 5}}\).

Thay \(\tan x = 2\) vào biểu thức \(A\):

\(A = \frac{{2 \cdot 2 - 3}}{{4 \cdot 2 + 5}} = \frac{{4 - 3}}{{8 + 5}} = \frac{1}{{13}}\).

Suy ra: \(10A = 10 \cdot \frac{1}{{13}} = \frac{{10}}{{13}} \approx 0,77\).

Đáp án: 0,77.

Xét tam giác \(SAC\), có \(M\) là trung điểm \(SA\) và \(Q\) là trung điểm \(AC\) nên \(MQ\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\). Suy ra \(MQ\,{\rm{//}}\,SC\).

Hai mặt phẳng \(\left( {MNQ} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có điểm chung \(N\), đồng thời lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(MQ\) và \(SC\). Do đó, giao tuyến của \(\left( {MNQ} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với \(SC\).

Đường thẳng này cắt \(BC\) tại \(P\), suy ra \(NP\,{\rm{//}}\,SC\) trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác \(SBC\) với \(NP\,{\rm{//}}\,SC\):

\(\frac{{BP}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{BS}} = \frac{1}{4}\).

Suy ra: \(PB = \frac{1}{4}BC\) suy ra \(PC = BC - PB = \frac{3}{4}BC\).

Do đó, tỉ số: \(\frac{{PC}}{{PB}} = \frac{{\frac{3}{4}BC}}{{\frac{1}{4}BC}} = 3\).

Đáp án: 3.

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 15\), công sai \(d = 3\) và số số hạng \(n = 25\).

Tổng số ghế trong rạp hát là tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

\({S_{25}} = \frac{{n \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{25 \cdot \left[ {2 \cdot 15 + \left( {25 - 1} \right) \cdot 3} \right]}}{2} = \frac{{25 \cdot \left[ {30 + 24 \cdot 3} \right]}}{2} = \frac{{25 \cdot 102}}{2} = 1275\).

Ta có: \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)\).

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{3x =  - \pi  + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét các nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\,\,\pi } \right]\):

             Với họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\):

\(0 \le \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{6} \le \frac{{2k}}{3} \le \frac{5}{6} \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\,\,1} \right\}\) .

Ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\); với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}\).

             Với họ nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\):

\(0 \le  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi  \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le \frac{{2k}}{3} \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le 2 \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

Ứng với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\); với \(k = 2 \Rightarrow x = \pi \).

Do đó, trên đoạn \(\left[ {0;\,\,\pi } \right]\), phương trình có các nghiệm là \(\frac{\pi }{6};\,\,\frac{{5\pi }}{6};\,\,\frac{\pi }{3};\,\,\pi \) (tổng cộng có 4 nghiệm).

Đáp án: 4.

a) \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \sin 3x = \sin \left( { - 3x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + \frac{\pi }{4} =  - 3x + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} = \pi  + 3x + k2\pi }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{\pi }{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5}}\\{x =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Gọi \(d\) (m) là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường \(\left( {d > 0} \right)\), \(\alpha \) là góc ngắm ban đầu \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có \(\tan \alpha  = \frac{{25}}{d}\), \(\tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{10}}{d}\).

Theo công thức nhân đôi:

\(\tan \alpha  = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} \Leftrightarrow \frac{{25}}{d} = \frac{{\frac{{20}}{d}}}{{1 - \frac{{100}}{{{d^2}}}}} \Leftrightarrow 25\left( {1 - \frac{{100}}{{{d^2}}}} \right) = 20 \Leftrightarrow \frac{{100}}{{{d^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow {d^2} = 500 \Leftrightarrow d = 10\sqrt 5 .\)Vậy khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là \(10\sqrt 5  \approx 22,36\) (m).

Số tiền trả góp mỗi tháng lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 1,8\), \(d =  - 0,05\) (triệu đồng).

a) \({u_{20}} = {u_1} + 19d = 1,8 - 19 \cdot 0,05 = 0,85\) (triệu đồng).

b) Tổng số tiền trả góp sau \(20\) tháng là:

\({S_{20}} = \frac{{20\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)}}{2} = 10 \cdot \left( {1,8 + 0,85} \right) = 26,5\) (triệu đồng).

Tổng số tiền mua xe là:

\(10 + 26,5 = 36,5\) (triệu đồng), thấp hơn giá gốc \(40 - 36,5 = 3,5\) (triệu đồng).

a) \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có điểm chung \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(AB,\,\,CD\) nên giao tuyến của chúng là đường thẳng \(d\) qua \(S\) và song song với \(AB\) (và \(CD\)).

b) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(K = BP \cap CD\). Hai tam giác \(PAB\) và \(PDK\) bằng nhau (vì \(PA = PD,\,\,AB\,{\rm{//}}\,DK\)) nên \(DK = AB = CD\), tức \(D\) là trung điểm \(CK\).

Ta có \(K \in BP \subset \left( {BPM} \right)\) nên \(\left( {BPM} \right) \cap \left( {SCD} \right) = KM\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(Q = KM \cap SC\) thì \(Q = \left( {BPM} \right) \cap SC\).

Trong tam giác \(SCK\), \(SD\) là đường trung tuyến và \(SM = 2MD\) nên \(M\) là trọng tâm tam giác \(SCK\).

Do đó đường thẳng \(KM\) đi qua trung điểm của \(SC\), tức \(Q\) là trung điểm \(SC\).

Vậy \(\frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{2}\).