Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
Phương trình \({\rm{cos}}\left( {3x + \frac{{2023\pi }}{2}} \right) - \sin \left( {3x - 2023\pi } \right) = \sqrt 3 \) tương đương với phương trình nào sau đây?
.
.
.
.
Chọn A
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}\left( {3x + \frac{{2023\pi }}{2}} \right) - \sin \left( {3x - 2023\pi } \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cos 3x\cos \frac{{2023\pi }}{2} - \sin 3x.\sin \frac{{2023\pi }}{2} - \left( {\sin 3x\cos 2023\pi - \cos 3x\sin 2023\pi } \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sin 3x + \sin 3x = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Thêm hai số thực dương \(x\) và \(y\) vào giữa hai số \(5\) và \(320\) để được bốn số \(5;{\rm{ }}x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}320\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 80\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 45\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 90\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 25\\y = 125\end{array} \right..\)
Chọn A
Bốn số \(5;{\rm{ }}x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}320\) là một cấp số nhân với \({u_1} = 5;{u_4} = 320\)
Ta có \({u_4}{\rm{ }} = {u_1} \cdot {q^3} \Leftrightarrow 320{\rm{ }} = 5 \cdot {q^3} \Leftrightarrow {q^3}{\rm{ }} = 64 \Leftrightarrow q{\rm{ }} = 4.\)
Suy ra \(x = 5 \cdot 4 = 20;\,\,y = 5 \cdot {4^2} = 80.\)
Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.
24576 .
\[59040\].
49152 .
\[54090\].
Chọn B
Ta có: \({u_1} = 18\), \({u_2} = 54 = {u_1}q \Rightarrow q = \frac{{54}}{{18}} = 3\).
\(\begin{array}{l}{u_n} = 39366\\ \Leftrightarrow {u_1}{q^{n - 1}} = 39366\\ \Leftrightarrow {18.3^{n - 1}} = 39366\\ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 2187\\ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = {3^7}\\ \Leftrightarrow n = 8\end{array}\)
\({S_8} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 18.\frac{{1 - {3^8}}}{{1 - 3}} = 59040\)
Phương trình \(2\cos x - 1 = 0\) có nghiệm là
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\).
Chọn C
Ta có \(2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
Nghiệm của phương trình \(\cos x = 1\) là
\(x = \pi + k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\).
Chọn C
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\)
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\[\cos 2\alpha = 1 - 2si{n^2}\alpha \].
\[\cos 2\alpha = 2si{n^2}\alpha - 1\].
\[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha + 1\].
\[\cos 2\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \].
Chọn A
Ta có \(\cos 2\alpha = \cos \alpha \cdot \cos \alpha - \sin \alpha \cdot \sin \alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số có tập xác định là R.
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Các hàm số lượng giác có tập xác định là R.
Chọn B
Câu A sai vì hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu B đúng vì hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)..
Cho hàm số \[y = \cos x\]có đồ thị như hình bên dưới:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).\]
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right).\]
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right).\]
Hàm số đồng biến trên \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right).\]
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right).\]
Cho \(\alpha ,\,\,\beta \) là hai góc nhọn thỏa mãn \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\), \(\tan \beta = \frac{1}{3}\). Góc \(\alpha + \,\beta \) có giá trị bằng:
\(\frac{\pi }{6}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\[\frac{\pi }{2}\].
\(\frac{\pi }{4}\).
Chọn D
\[\begin{array}{l}\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = 1\\ \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array}\]
Vì \(\alpha ,\,\,\beta \) là hai góc nhọn nên \[ \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4}\].
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức truy hồi\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_n} = 3{u_{n - 1}} + n\end{array} \right.\;\;\;\left( {n \ge 2} \right)\). Giá trị của \({u_3}\) bằng
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Chọn A
Ta có \[{u_2} = 3{u_1} + 2 = 3( - 1) + 2 = - 1.\]
\({u_3} = 3{u_2} + 3 = 3 \cdot ( - 1) + 3 = 0\).
Vậy \({u_3} = 0.\)
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = - 0,1;\,\,d = 0,1\]. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng là
\[1,6\].
\[6\].
\[\;0,5\].
\[0,6\].
Chọn C
\({u_7} = {u_1} + 6d = 0,5\)
Cho cấp số nhân có và \[{u_2} = 9\]. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
\( - \frac{1}{2}\).
\( - 2\).
\(\frac{1}{3}\).
\(3\).
Chọn D
Ta có \[{u_2} = {u_1} \cdot q \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{9}{3} = 3.\]
Vậy công bội của cấp số nhân \(q = 3.\)
Với \(a,\,b\) là các góc bất kì. Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\)
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a.\sin b + \sin a.\sin b\).
\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\].
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\].
Chọn C
\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\]
Cho \(\sin a = \frac{3}{5},\,\,\,0^\circ < a < 90^\circ \). Tính \(E = \frac{{\cot a + \tan a}}{{\cot a - \tan a}}\,\) .
\(E = \frac{{25}}{7}\).
\(E = - \frac{1}{3}\).
\(E = - \frac{{13}}{7}\).
\(E = - \frac{{19}}{3}\).
Chọn A
Ta có \(1 + {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} \Rightarrow {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} - 1 = \frac{{25}}{9} - 1 = \frac{{16}}{9}.\)
\(E = \frac{{\cot a + \tan a}}{{\cot a - \tan a}} = \frac{{{{\cot }^2}a + 1}}{{{{\cot }^2}a - 1}} = \frac{{\frac{{16}}{9} + 1}}{{\frac{{16}}{9} - 1}} = \frac{{25}}{9} \cdot \frac{9}{7} = \frac{{25}}{7}.\)
Khán đài \(A\) của một sân bóng có 16 hàng ghế. Biết hàng ghế đầu tiên có \(8\) ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước \(2\) ghế. Hỏi khán đài \(A\) của sân bóng chứa được bao nhiêu người biết rằng mỗi người chỉ ngồi 1 ghế.
\(365\) người.
\(366\) người.
\(367\) người.
\(368\) người.
Chọn D
Gọi số ghế của mỗi hàng lập thành cấp số cộng với \({u_1} = 8\) , \(d = 2\).
\({S_{16}} = \frac{{16}}{2}\left( {2.8 + 15.2} \right) = 368\)
Cho\[\sin \alpha = - \frac{1}{3}\].Tính\[\cos 2\alpha \].
\[\frac{{ - 8}}{9}\].
\[\frac{8}{9}\].
\[\frac{{ - 7}}{9}\].
\[\frac{7}{9}\].
Chọn D
Ta có \(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}.\)
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \left( \alpha \right)\)
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \left( \alpha \right)\).
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \left( \alpha \right)\).
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \left( \alpha \right)\).
Chọn C
Cho \(\sin \alpha .\cos \beta = \frac{1}{2}\); \(\cos \alpha .\sin \beta = \frac{1}{3}\). Tính \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\).
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = - \frac{1}{6}\).
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{5}{6}\).
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{2}{3}\).
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{1}{6}\).
Chọn B
Ta có \(\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.\)
Hàm số\(y = 2023\sin 2x\) tuần hoàn với chu kì
\[T = 2\pi \].
\[T = 2023\pi \].
\[T = 3\pi \].
\[T = \pi \].
Chọn D
Hàm số\(y = 2023\sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}\). Chọn đáp án đúng.
\({u_5} = \frac{1}{{32}}\).
\({u_3} = \frac{1}{8}\).
\({u_4} = \frac{1}{4}\).
\({u_5} = \frac{1}{{16}}\).
Chọn C
Ta có \({u_5} = \frac{5}{{{2^5}}} = \frac{5}{{32}} \Rightarrow \) A, D sai.
\({u_3} = \frac{3}{{{2^3}}} = \frac{3}{8} \Rightarrow \)B sai.
\({u_4} = \frac{4}{{{2^4}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \)C đúng.
Tìm chu kì của hàm số \[y = \tan \,x + \cot 3x\]
![Chọn C Ta có \({u_5} = \frac{5}{Tìm chu kì của hàm số \[y = \tan \,x + \cot 3x\] A. B. C. D. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/24-1764160984.png)
![Chọn C Ta có \({u_5} = \frac{5}{Tìm chu kì của hàm số \[y = \tan \,x + \cot 3x\] A. B. C. D. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/25-1764160992.png){kind=small}
![Chọn C Ta có \({u_5} = \frac{5}{Tìm chu kì của hàm số \[y = \tan \,x + \cot 3x\] A. B. C. D. (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/26-1764161000.png){kind=small}
![Chọn C Ta có \({u_5} = \frac{5}{Tìm chu kì của hàm số \[y = \tan \,x + \cot 3x\] A. B. C. D. (ảnh 4)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/27-1764161009.png){kind=small}
Chọn D
Hàm số \(y = \tan x\) có chu kì \({T_1} = \pi \)
Hàm số \(y = \cot 3x\) có chu kì \({T_2} = \frac{\pi }{3}\).
Vì \({T_1} = 3{T_2}\) nên \[y = \tan \,x + \cot 3x\] có chu kì \(T = \pi \)
Cho cấp số cộng với và \[{u_3} = 10\]. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
\(3\).
\( - 4\).
\(8\).
\(4\).
Chọn D
Gọi d là công sai của cấp số cộng \(\left( {{U_n}} \right)\).
Ta có \({u_3} = {u_1} + 2d \Leftrightarrow 10 = 2 + 2 \cdot d \Leftrightarrow d = 4.\)
Vậy công sai của cấp số cộng \(\left( {{U_n}} \right)\) là \(d = 4.\)
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\].
\[x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Chọn B
\[\begin{array}{l}\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]
Phương trình \(\tan x = \sqrt 3 \) có tập nghiệm là
\(\left\{ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D
Ta có tanx=3=tanπ3⇔x=π3+kπk∈ℤ.
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
\[y = - 2\cos x\].
\[y = - 2{\sin ^2}x + 2\].
\[y = - 2\sin x\].
\[y = - 2\cos x + 2\].
Chọn C
Hàm số \[y = - 2\sin x\] là hàm số lẻ vì
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
\(\forall x \in D\)
\( - x \in D\) và \(y\left( { - x} \right) = - 2\sin \left( { - x} \right) = 2\sin x = - y\left( x \right)\)
Phương trình\(\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)có số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là
\(1\)
\(2\)
\(0\)
\(3\)
Chọn B
Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)
Vì \(x \in [0;2\pi ]\) nên chọn \(k = 1\)
Hay \(x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{23\pi }}{{12}};\,\,x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{{12}}\).
Vậy phương trình\(\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
Cho dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 1\], \[\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Tính \[{S_{2023}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{2023}}\], ta được kết quả
\[\frac{{4047}}{2}\].
\[2024 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}\].
\[2024 + \frac{1}{{{2^{2023}}}}\].
\[\frac{{6069}}{2}\].
Chọn B
\[\begin{array}{l}{S_{2023}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{2023}}\\ = \left( {\frac{1}{2} + 1} \right) + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1} \right] + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + 1} \right] + ... + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}} + 1} \right]\\ = \left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + ...{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}}} \right] + 2023.1\\ = S' + 2023\end{array}\]
\(S' = \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + ...{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2023}}\) là tổng của \(2023\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân với \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\)
\(S' = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \left( {\frac{1}{2}} \right)\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2023}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}\)
Vậy \({S_{2023}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2023}}}} + 2023 = 2024 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}\)
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = \frac{1}{n}.\]
\[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}.\]
\[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}.\]
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]
Chọn C
· Xét un=1n, ta có un+1−un=1n+1−1n=n−n−1n(n+1)=−1n(n−1)<0∀n∈N. Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{n}\] là dãy số giảm.
· Xét \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}},\] ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + 5}}{{3(n + 1) + 1}} - \frac{{n + 5}}{{3n + 1}} = \frac{{n + 6}}{{3n + 4}} - \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{(n + 6)(3n + 1) - (n + 5)(3n + 4)}}{{(3n + 4)(3n + 1)}}\\ = \frac{{3{n^2} + 19n + 6 - 3{n^2} - 19n - 20}}{{9{n^2} + 15n + 4}} = \frac{{ - 14}}{{9{n^2} + 15n + 4}} < 0 & \forall n \in \mathbb{N}\end{array}\)
Suy ra \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\] là dãy số giảm.
· Xét \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}},\] ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2(n + 1) - 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{(2n + 1)(n + 1) - (2n - 1)(n + 2)}}{{(n + 2)(n + 1)}}\\ = \frac{{2{n^2} + 3n + 1 - 2{n^2} - 3n + 2}}{{{n^2} + 3n + 2}} = \frac{3}{{{n^2} + 3n + 2}} > 0 & \forall n \in N.\end{array}\)
Suy ra \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\] là dãy số tăng.
· Xét \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\] ta có un+1un=12n+1:12n=2n2n+1=12<1∀n∈N. Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\] là dãy số giảm.
Cho cấp số nhân\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 5\) và công bội \(q = 3\).Giá trị của \({u_5}\) bằng
\(405\).
\(1875\).
\( - 405\).
\( - 15\).
Chọn D
Cho cấp số cộng un có \[{u_1} = 2\] và công sai\[\,d = 4\]. Tính u3?
\[{u_3} = 8\].
\[{u_3} = 10\].
\[{u_3} = 12\].
\[{u_3} = 6\].
Chọn B
Ta có\({u_3} = {u_1} + 2d = 2 + 2 \cdot 4 = 10.\)
Biểu thức \(A = \cos (5\pi - x) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cot (3\pi - x)\) bằng
0.
1.
\(\tan \,x\).
\(2\cos x\).
Chọn A
\(\begin{array}{l}A = \cos (5\pi - x) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cot (3\pi - x)\\ = - \cos x + \cos x + \cot x - \cot x\\ = 0\end{array}\)
Chodãy số có các số hạng đầu là:
\(\frac{1}{2},\,\,\frac{2}{3},\;\frac{3}{4},\frac{4}{5}....\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:
\({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}\).
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) .
\({u_n} = \frac{{n - 1}}{n}\).
\({u_n} = \frac{{{n^2} - n}}{{n + 1}}\) .
Chọn B
Xét \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}\), ta có \({u_1} = \frac{{1 + 1}}{1} = 2 \Rightarrow \) A sai.
\({u_n} = \frac{{n - 1}}{n}\), ta có \({u_1} = \frac{{1 - 1}}{1} = 0 \Rightarrow \) C sai.
\({u_n} = \frac{{{n^2} - n}}{{n + 1}}\), ta có \({u_1} = \frac{{{1^2} - 1}}{{1 + 1}} = 0 \Rightarrow \) D sai.
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\), ta có \({u_1} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \) B đúng.
Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 5\) và \({u_9} = - 11\). Khi đó số hạng \({u_4}\) của cấp số cộng đã cho là
\( - 1\).
\(2\).
\( - 2\)
\(11\).
Chọn A
\({u_9} = {u_1} + 8d \Rightarrow d = - 2\)
\({u_4} = {u_1} + 3d = - 1\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2023}}{{{\rm{cos x}}}}\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \{ k\pi ,k \in \mathbb{Z}\} \).
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\).
Chọn A
Hàm số xác định khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Phương trình \(\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có nghiệm là
\(x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
\[\begin{array}{l}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1 điểm)
a)Giải phương trình\[{\rm{sin}}\,{\rm{2x = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\].
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \[y = 7 + 3{\cos ^4}x - 3{\sin ^4}x\]
a) Giải phương trình \[{\rm{sin}}\,{\rm{2x = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\].
Ta có:
\[\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x\, = {\rm{ }}\frac{\pi }{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k2\pi \\2x\, = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\, = {\rm{ }}\frac{\pi }{6}{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi \\x\, = \frac{\pi }{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \[y = 7 + 3{\cos ^4}x - 3{\sin ^4}x\]
\[y = 7 + 3{\cos ^4}x - 3{\sin ^4}x = 7 + 3\cos 2x\]
Vì \[ - 1 \le \cos 2x \le 1\] nên \[4 \le y = 7 + 3\cos 2x \le 10\]
Giá trị lớn nhất bằng 10 khi \[{\rm{x}}\,{\rm{ =k\pi }}\] , nhỏ nhất bằng 4 khi \[{\rm{x}}\,{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{2}{\rm{ + k\pi }}\]
( 1 điểm)
a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15\\{u_1} + {u_6} = 27\end{array} \right..\) Tính tổng số hạng đầu của cấp số cộng trên.
b) Tìm giá trị dương để \(5x - 4;3x;5x + 4\)lập thành cấp số nhân.
a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15\\{u_1} + {u_6} = 27\end{array} \right..\) Tính tổng số hạng đầu của cấp số cộng trên.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15\\{u_1} + {u_6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 15\\2{u_1} + 5d = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = - 3\end{array} \right.\)
Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho là:
\({S_{10}} = \frac{{10\left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = 5\left( {2.21 + 9.\left( { - 3} \right)} \right) = 75.\)
b) Tìm giá trị dương để \(5x - 4;3x;5x + 4\) lập thành cấp số nhân.
Để \(5x - 4;3x;5x + 4\)lập thành cấp số nhân thì
\(\left\{ \begin{array}{l}3x = (5x - 4).q\\5x + 4 = 3x.q\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^2} = (5x - 4)(5x + 4)\).
\( \Leftrightarrow 16{\left( x \right)^2} = 16 \Leftrightarrow x = \pm 1 \Rightarrow x = 1\).
( 0.5 điểm)
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \(t\) của năm \(2023\) được cho bởi một hàm số \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Vào ngày, tháng nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \(t\) của năm \(2023\) được cho bởi một hàm số \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Vào ngày, tháng nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Vì
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất \( \Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k.\)
Do 0<t≤365→0<149+356k≤365⇔−149356<k≤5489→k∈ℤk=0.
Với k=0→t=149 rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2023 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện \(0 < t \le 365\) thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
( 0.5 điểm)Đầu mùa thu hoạch dưa hấu, ông A đã bán cho người thứ nhất nửa số dưa hấu thu hoạch được và tặng thêm 1 quả, bán cho người thứ hai nửa số dưa hấu còn lại và tặng thêm 1 quả. Ông cứ tiếp tục cách bán như trên thì đến người thứ chín số dưa hấu của ông được bán hết. Tính số dưa hấu mà ông A thu hoạch được.
Gọi \(x\) là số quả dưa hấu mà ông A thu hoạch được.
Khi đó số quả dưa hấu mà người thứ nhất mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}x + 1 = \frac{{x + 2}}{2}\)
Số quả dưa hấu mà người thứ hai mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 2}}{2}} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{{2^2}}}\)
...
Số quả dưa hấu mà người thứ chín mua và được tặng là: \(\frac{{x + 2}}{{{2^9}}}\)
Khi đó:\(\frac{{x + 2}}{2} + \frac{{x + 2}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{x + 2}}{{{2^9}}} = x \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) = x\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = x \Leftrightarrow \frac{{511}}{{512}}\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow x = 1022\).
