Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn A

\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}\left( {3x + \frac{{2023\pi }}{2}} \right) - \sin \left( {3x - 2023\pi } \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cos 3x\cos \frac{{2023\pi }}{2} - \sin 3x.\sin \frac{{2023\pi }}{2} - \left( {\sin 3x\cos 2023\pi  - \cos 3x\sin 2023\pi } \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sin 3x + \sin 3x = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

Chọn A

Bốn số \(5;{\rm{ }}x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}320\) là một cấp số nhân với \({u_1} = 5;{u_4} = 320\)

Ta có \({u_4}{\rm{ }} = {u_1} \cdot {q^3} \Leftrightarrow 320{\rm{ }} = 5 \cdot {q^3} \Leftrightarrow {q^3}{\rm{ }} = 64 \Leftrightarrow q{\rm{ }} = 4.\)

Suy ra \(x = 5 \cdot 4 = 20;\,\,y = 5 \cdot {4^2} = 80.\)

Chọn B

Ta có: \({u_1} = 18\), \({u_2} = 54 = {u_1}q \Rightarrow q = \frac{{54}}{{18}} = 3\).

\(\begin{array}{l}{u_n} = 39366\\ \Leftrightarrow {u_1}{q^{n - 1}} = 39366\\ \Leftrightarrow {18.3^{n - 1}} = 39366\\ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 2187\\ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = {3^7}\\ \Leftrightarrow n = 8\end{array}\)

\({S_8} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 18.\frac{{1 - {3^8}}}{{1 - 3}} = 59040\)

Chọn C

Ta có \(2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).

Chọn C

\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\)

Chọn A

Ta có \(\cos 2\alpha  = \cos \alpha  \cdot \cos \alpha  - \sin \alpha  \cdot \sin \alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \).

Chọn B

Câu A sai vì hàm số  có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Câu B đúng vì  hàm số  có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)..

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right).\]

Chọn A

Ta có \[{u_2} = 3{u_1} + 2 = 3( - 1) + 2 =  - 1.\]

\({u_3} = 3{u_2} + 3 = 3 \cdot ( - 1) + 3 = 0\).

Vậy \({u_3} = 0.\)

Chọn D

Ta có \[{u_2} = {u_1} \cdot q \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{9}{3} = 3.\]

Vậy công bội của cấp số nhân \(q = 3.\)

Chọn C

\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\]

Chọn A

Ta có \(1 + {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} \Rightarrow {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} - 1 = \frac{{25}}{9} - 1 = \frac{{16}}{9}.\)

\(E = \frac{{\cot a + \tan a}}{{\cot a - \tan a}} = \frac{{{{\cot }^2}a + 1}}{{{{\cot }^2}a - 1}} = \frac{{\frac{{16}}{9} + 1}}{{\frac{{16}}{9} - 1}} = \frac{{25}}{9} \cdot \frac{9}{7} = \frac{{25}}{7}.\)

Chọn D

Ta có \(\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}.\)

Chọn C

Chọn B

Ta có \(\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha  \cdot \cos \beta  + \cos \alpha  \cdot \sin \beta  = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.\)

Chọn D

Hàm số\(y = 2023\sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \)

Chọn C

Ta có \({u_5} = \frac{5}{{{2^5}}} = \frac{5}{{32}} \Rightarrow \) A, D sai.

\({u_3} = \frac{3}{{{2^3}}} = \frac{3}{8} \Rightarrow \)B sai.

\({u_4} = \frac{4}{{{2^4}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \)C đúng.

Chọn D

Gọi d là công sai của cấp số cộng \(\left( {{U_n}} \right)\).

Ta có \({u_3} = {u_1} + 2d \Leftrightarrow 10 = 2 + 2 \cdot d \Leftrightarrow d = 4.\)

Vậy công sai của cấp số cộng \(\left( {{U_n}} \right)\) là \(d = 4.\)

Chọn B

\[\begin{array}{l}\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

Chọn D

Ta có $\tan x=\sqrt{3}=\tan \frac{\pi }{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Chọn C

Hàm số \[y =  - 2\sin x\] là hàm số lẻ vì

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

\(\forall x \in D\)

\( - x \in D\) và \(y\left( { - x} \right) =  - 2\sin \left( { - x} \right) = 2\sin x =  - y\left( x \right)\)

Chọn B

Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x =  - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Vì \(x \in [0;2\pi ]\) nên chọn \(k = 1\)

Hay \(x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + 2\pi  = \frac{{23\pi }}{{12}};\,\,x =  - \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi  = \frac{{17\pi }}{{12}}\).

Vậy phương trình\(\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)có  2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

Chọn B

\[\begin{array}{l}{S_{2023}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{2023}}\\ = \left( {\frac{1}{2} + 1} \right) + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1} \right] + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + 1} \right] + ... + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}} + 1} \right]\\ = \left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + ...{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}}} \right] + 2023.1\\ = S' + 2023\end{array}\]

\(S' = \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + ...{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2023}}\) là tổng của \(2023\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân với \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\)

\(S' = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \left( {\frac{1}{2}} \right)\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2023}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}\)

Vậy \({S_{2023}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2023}}}} + 2023 = 2024 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}\)

Chọn C

·      Xét $u_n=\frac{1}{n},$ ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-n-1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n-1)}<0\forall n\in N.$ Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{n}\] là dãy số giảm.

·      Xét \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}},\] ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + 5}}{{3(n + 1) + 1}} - \frac{{n + 5}}{{3n + 1}} = \frac{{n + 6}}{{3n + 4}} - \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{(n + 6)(3n + 1) - (n + 5)(3n + 4)}}{{(3n + 4)(3n + 1)}}\\ = \frac{{3{n^2} + 19n + 6 - 3{n^2} - 19n - 20}}{{9{n^2} + 15n + 4}} = \frac{{ - 14}}{{9{n^2} + 15n + 4}} < 0 & \forall n \in \mathbb{N}\end{array}\)

Suy ra \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\] là dãy số giảm.

·      Xét \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}},\] ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2(n + 1) - 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{(2n + 1)(n + 1) - (2n - 1)(n + 2)}}{{(n + 2)(n + 1)}}\\ = \frac{{2{n^2} + 3n + 1 - 2{n^2} - 3n + 2}}{{{n^2} + 3n + 2}} = \frac{3}{{{n^2} + 3n + 2}} > 0 & \forall n \in N.\end{array}\)

 Suy ra \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\] là dãy số tăng.

·      Xét \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\] ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2^{n+1}}:\frac{1}{2^n}=\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}<1\forall n\in N.$ Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\] là dãy số giảm.

Chọn B

Ta có\({u_3} = {u_1} + 2d = 2 + 2 \cdot 4 = 10.\)

Chọn A

\(\begin{array}{l}A = \cos (5\pi  - x) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cot (3\pi  - x)\\ =  - \cos x + \cos x + \cot x - \cot x\\ = 0\end{array}\)

Chọn A

\({u_9} = {u_1} + 8d \Rightarrow d =  - 2\)

\({u_4} = {u_1} + 3d =  - 1\)

Chọn A

Hàm số xác định khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn A

\[\begin{array}{l}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

a) Giải phương trình \[{\rm{sin}}\,{\rm{2x  = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\].

Ta có:

\[\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x\, = {\rm{ }}\frac{\pi }{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k2\pi \\2x\, = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\, = {\rm{ }}\frac{\pi }{6}{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi \\x\, = \frac{\pi }{3}{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \[y = 7 + 3{\cos ^4}x - 3{\sin ^4}x\]

\[y = 7 + 3{\cos ^4}x - 3{\sin ^4}x = 7 + 3\cos 2x\]

Vì \[ - 1 \le \cos 2x \le 1\] nên \[4 \le y = 7 + 3\cos 2x \le 10\]

Giá trị lớn nhất bằng 10 khi \[{\rm{x}}\,{\rm{ =k\pi }}\] , nhỏ nhất bằng 4 khi \[{\rm{x}}\,{\rm{ =  }}\frac{{\rm{\pi }}}{2}{\rm{  +  k\pi }}\]

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \(t\) của năm \(2023\) được cho bởi một hàm số \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Vào ngày, tháng nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Vì

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất \( \Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t = 149 + 356k.\)

Do $0<t\le 365\stackrel{}{\to }0<149+356k\le 365\iff -\frac{149}{356}<k\le \frac{54}{89}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0$.

Với $k=0\stackrel{}{\to }t=149$  rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2023 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện \(0 < t \le 365\) thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Gọi \(x\) là số quả dưa hấu mà ông A thu hoạch được.

Khi đó số quả dưa hấu mà người thứ nhất mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}x + 1 = \frac{{x + 2}}{2}\)

Số quả dưa hấu mà người thứ hai mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 2}}{2}} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{{2^2}}}\)

...

Số quả dưa hấu mà người thứ chín mua và được tặng là: \(\frac{{x + 2}}{{{2^9}}}\)

Khi đó:\(\frac{{x + 2}}{2} + \frac{{x + 2}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{x + 2}}{{{2^9}}} = x \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) = x\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = x \Leftrightarrow \frac{{511}}{{512}}\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow x = 1022\).