Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Nguyễn Thái Học (Gia Lai) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Một chiếc đồng hồ có kim chỉ giờ \(OG\) chỉ số \(10\) và kim phút \(OP\) chỉ số \[12\]. Số đo của góc lượng giác \(\left( {OG,OP} \right)\) là
\(300^\circ + k180^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\({60^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\( - {300^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\( - \,{60^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn D
Ta có \(\widehat {GOP} = 60^\circ \)\( \Rightarrow \)\(\left( {OG,OP} \right) = - \,{60^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Giá trị của \(\tan \frac{\pi }{3}\) bằng
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(0\).
\(\sqrt 3 \).
\[1\].
Chọn C
Ta có \(\tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \)\(\left( {OG,OP} \right) = - \,{60^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 4\end{array} \right.\]. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
\(10;4;2\).
\(2;\,4;\,8\).
\(2;4;6\).
\[2;6;10\].
Chọn D
Ta có \({u_2} = {u_1} + 4 = 2 + 4 = 6\);\({u_3} = {u_2} + 4 = 6 + 4 = 10\).
Cho góc \(\alpha \) thỏa\(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Giá trị của \(\sin \alpha \) bằng
\( - \frac{3}{5}\).
\(\frac{9}{{25}}\).
\(\frac{3}{5}\).
\( \pm \frac{3}{5}\).
Chọn C
Ta có \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\);
Mà \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha > 0\).
Do đó \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)
Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \({u_n} = n - 3\)
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số vừa tăng, vừa giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Chọn A
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right) - 3 - \left( {n - 3} \right) = 1 > 0 \Rightarrow \left( {{u_{}}} \right)\) là dãy số tăng.
Trong mẫu số liệu ghép nhóm, giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) được tính như thế nào?
\(\frac{{a + b}}{2}\).
\(b - a\).
\(a + b\).
\(a.b\).
Chọn A
Tập giá trị của hàm số \(y = \tan x\)là:
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left[ { - 1;1} \right)\).
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Chọn D
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 3{u_n}\end{array} \right.\,\left( {n \ge 1} \right)\). Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
\({u_n} = {3^{n + 1}} - 2\).
\({u_n} = {3^n} - 2\).
\({u_n} = {3^{n - 1}}\).
\({u_n} = {3^n}\).
Chọn D
\({u_{n + 1}} = 3{u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({u_1} = 3,{\kern 1pt} {\kern 1pt} q = 3\). \({u_n} = {3.3^{n - 1}} = {3^n}\) .
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hàm số \[y = \tan x\]tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Hàm số \[y = \cos x\]tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Hàm số \[y = \cot x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi \].
Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Chọn A
Tập xác định của hàm số y = tan x là
\[D = \left[ { - 1;1} \right]\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\].
Chọn C
ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Vậy TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên dưới?
\[y = \sin x\].
\[y = \cos x\].
\[y = \tan x\].
\[y = \cot x\].
Chọn A
Phương trình \[\sin x = 0\] có nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\)\(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\)\(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k\pi ,\)\(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,\)\(k \in \mathbb{Z}\).
Chọn C
Hãy chọn kết quả sai trong các kết quả sau đây.
\[\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \].
\[\cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha \].
\[\tan (\pi + \alpha ) = - \tan \alpha \].
\[\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \].
Chọn C
Đơn giản biểu thức \(A = \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)\), ta được:
–cosα.
\[\cos \alpha \].
\[ - \sin \alpha \].
\[\sin \alpha \].
Chọn A
\(A = \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - cos\alpha \).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\tan \left( {\pi + \alpha } \right) = \tan \alpha \).
\(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\tan \left( { - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cot \alpha \).
Chọn D
Vì \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = - \cot \alpha \) nên đáp án D sai.
Cho dãy số có các số hạng đầu là:\(0;3;6;9;12;15;...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:
\({u_n} = 3 + n\).
\({u_n} = 3n + 1\).
\({u_n} = 3(n - 1)\).
\({u_n} = 3n\).
Chọn C
Ta có, dãy số đã cho là cấp số cộng với \({u_1} = 0\), công sai \(d = 3\). Vậy số hạng tổng quát \({u_n} = 0 + \left( {n - 1} \right)3 = 3\left( {n - 1} \right)\).
Đồ thị củahàm số nào dưới đây có trục đối xứng là Oy?
\[y = \tan x\].
\[y = \cot x\].
\[y = \sin x\].
\[y = \cos x\].
Chọn D
Trong các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) chỉ có hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn, do đó đồ thị của nó đối xứng qua trục \(Oy\).
Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Tuổi thọ (năm) | \(\left[ {2;2,5} \right)\) | \(\left[ {2,5;3} \right)\) | \(\left[ {3;3,5} \right)\) | \(\left[ {3,5;4} \right)\) | \(\left[ {4;4,5} \right)\) | \(\left[ {4,5;5} \right)\) |
Tần số | 4 | 9 | 14 | 11 | 7 | 5 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
\(\left[ {3;3,5} \right)\).
\(\left[ {3,5;4} \right)\).
\(\left[ {2,5;3} \right)\).
\(\left[ {4;4,5} \right)\).
Chọn A
Khảo sát về thời gian xem tivi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Thời gian (giờ) | \[\left[ {0;\;4} \right)\] | \[\left[ {4;\,8} \right)\] | \[\left[ {8;\;12} \right)\] | \[\left[ {12;\,16} \right)\] | \[\left[ {16;\,20} \right)\] |
Số học sinh | 3 | 15 | 10 | 8 | 4 |
Mẫu số liệu này có bao nhiêu nhóm?
\(15\).
\(40\).
\(5\).
\(6\).
Chọn C
Trên đường tròn lượng giác.
Số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OB} \right)\) là
\(\frac{\pi }{2}\).
\( - \frac{\pi }{2}\).
\( - \frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
Chọn A
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức truy hồi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + n\end{array} \right.\;\;\;\left( {n \ge 2} \right)\). Giá trị của \({u_3}\) bằng
\(1\).
\(3\).
\(2\).
\(0\).
Chọn B
Ta có:
\({u_1} = - 1\)
\({u_2} = 2{u_1} + 2 = 2\left( { - 1} \right) + 2 = 0\)
\({u_3} = 2{u_2} + 3 = 2.0 + 3 = 3\).
Góc có số đo \[{108^ \circ }\] đổi ra rađian là:
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{{10}}\).
Chọn B
Áp dụng công thức \[{1^ \circ } = \frac{\pi }{{180}}\]rad
Suy ra \[{108^ \circ } = 108\frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{5}\] rad.
Cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\tan \alpha > 0;\cos \alpha < 0\).
\(\tan \alpha < 0;\cot \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0;\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0;\tan \alpha > 0\).
Chọn B
Cho biết sđ\(\left( {Ox,Oy} \right) = {40^0}\), sđ\(\left( {Ox,Oz} \right) = {100^0}\). Số đo của cung lượng giác\(\left( {Oy,Oz} \right)\) bằng
\( - 60^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\(60^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\( - 140^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
\(140^\circ + k360^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn B
Ta có sđ\(\left( {Ox,Oy} \right) = {40^0}\), sđ\(\left( {Ox,Oz} \right) = {100^0}\).
sđ\(\left( {Oy,Oz} \right) = \)sđ\(\left( {Ox,Oz} \right)\)- sđ\(\left( {Ox,Oy} \right) + k.360^\circ \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( = 100^\circ - 40^\circ + k.360^\circ = 60^\circ + k.360^\circ ,\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
\({u_n} = 4 - 5n\).
\({u_n} = 4 - {5^n}\).
\({u_n} = \frac{4}{{5n}}\).
\({u_n} = {4.5^n}\).
Chọn D
Xét dãy số \({u_n} = 4 - 5n = - 1; - 9; - 11; - 16...\)không là cấp số nhân.
Xét dãy số \({u_n} = 4 - {5^n} = - 1; - 21; - 121....\) không là cấp số nhân.
Xét dãy số\({u_n} = \frac{4}{{5n}} = \frac{4}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{{15}}...\) không là cấp số nhân.
Xét dãy số \({u_n} = {4.5^n} = 20;100;500...\) là cấp số nhân.
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
\[2;\,\,2;\,\,2;\,\,2\].
\[32;\,\, - 16;\,\,8;\, - 4\].
\[1;\,\,0;\,\,0;0\].
\[1;\,\,2;\,\,4;6\].
Chọn D
Xét dãy số \[2;\,\,2;\,\,2;\,\,2\] có \(\frac{2}{2} = \frac{2}{2} = \frac{2}{2} = 1\) nên \[2;\,\,2;\,\,2;\,\,2\] là cấp số nhân.
Xét dãy số \[32;\,\, - 16;\,\,8;\, - 4\]có \(\frac{{ - 16}}{{32}} = \frac{8}{{ - 16}} = \frac{{ - 4}}{8} = - \frac{1}{2}\) nên \[32;\,\, - 16;\,\,8;\, - 4\] là cấp số nhân.
Xét dãy số \[1;\,\,0;\,\,0;0\] là cấp số nhân cúa \({u_1} = 1;\,q = 0\)
Xét dãy số \[1;\,\,2;\,\,4;6\]có \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \ne \frac{6}{4}\) nên \[1;\,\,2;\,\,4;6\] không là cấp số nhân.
Giá trị nhỏ của hàm số \(y = 5\cos x\) trên tập xác định \(\mathbb{R}\) là?
\(1\).
\( - 5\).
\(5\).
\( - 1\).
Chọn B
Ta có \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow - 5 \le 5\cos x \le 5\)
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng \( - 5\)
Tìm công bội \(q\) của một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và \({u_4} = - 16\).
\(q = \frac{1}{2}\).
\(q = - 2\).
\(q = 2\).
\(q = - \frac{1}{2}\).
Chọn B
Ta có \({u_4} = {u_1}{q^3} \Leftrightarrow - 16 = 2.{q^3} \Leftrightarrow {q^3} = - 8 \Leftrightarrow q = - 2\)
Khẳng định nào sau đây là sai?
sina–sinb=2cosa+b2.sina−b2.
cosa–cosb=2sina+b2.sina−b2.
\(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).
Chọn B
Ta có cosa–cosb=2sina+b2.sina−b2
Nên công thức cosa–cosb=2sina+b2.sina−b2 là công thức sai .
Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3\) và \({u_2} = 9\). Tìm công sai \(d\) của cấp số cộng đó.
\(d = - 6\).
\(d = 6\).
\(d = 27\).
\(d = 3\).
Chọn B
Ta có \(d = {u_2} - {u_1} = 9 - 3 = 6\)
Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = {n^2}\). Viết ba số hạng đầu của dãy
\(1;4;6\).
\(1;4;9\).
\(0;1;4\).
\(1;3;6\).
Chọn B
Ta có \({u_1} = {1^2} = 1,{u_2} = {2^2} = 4,{u_3} = {3^2} = 9.\)
Điều tra về điểm kiểm tra giữa HKI của \(36\) học sinh lớp 11A ta được kết quả sau:
Điểm | \(\left[ {0;\;2} \right)\) | \(\left[ {2;\;4} \right)\) | \(\left[ {4;\;6} \right)\) | \(\left[ {6;\;8} \right)\) | \(\left[ {8;\;10} \right)\) |
Tần số | \(1\) | \(5\) | \(9\) | \(14\) | \(7\) |
Điểm trung bình của \(36\) học sinh trên gần nhất với số nào dưới đây?
\(6,4\).
\(6,2\).
\(6,1\).
\(6,6\).
Chọn B
Ta có bảng bao gồm cả giá trị đại diện như sau
Điểm | \(\left[ {0;\;2} \right)\) | \(\left[ {2;\;4} \right)\) | \(\left[ {4;\;6} \right)\) | \(\left[ {6;\;8} \right)\) | \(\left[ {8;\;10} \right)\) |
GTĐD | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(9\) |
Tần số | \(1\) | \(5\) | \(9\) | \(14\) | \(7\) |
Do đó điểm trung bình của \(36\) học sinh lớp 11A là
\(\bar x = \frac{{1.1 + 5.3 + 9.5 + 14.7 + 7.9}}{{36}} = \frac{{37}}{6} \approx 6,2\).
Doanh thu (triệu đồng) bán hàng trong \(20\) ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau:
Doanh thu | \(\left[ {5;\;7} \right)\) | \(\left[ {7;\;9} \right)\) | \(\left[ {9;\;11} \right)\) | \(\left[ {11;\;13} \right)\) | \(\left[ {13;\;15} \right)\) |
Số ngày | \(2\) | \(7\) | \(7\) | \(3\) | \(1\) |
Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc nhóm nào dưới đây?
\(\left[ {11;\;13} \right)\).
\(\left[ {7;\;9} \right)\).
\(\left[ {9;\;11} \right)\).
\(\left[ {13;\;15} \right)\).
Chọn C
Trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} = \frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\), do \({x_{10}},{x_{11}} \in \left[ {9;11} \right)\) nên \({M_e} \in \left[ {9;11} \right)\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\), công bội \(q = - 3\). Ta có \({u_4}\) bằng
\( - 54\).
\( - 24\).
\( - 6\).
\(162\).
Chọn A
Ta có \({u_4} = {u_1}.{q^3} = 2.{\left( { - 3} \right)^3} = - 54.\)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
Thời gian | \(\left[ {15;20} \right)\) | \(\left[ {20;25} \right)\) | \(\left[ {25;30} \right)\) | \(\left[ {30;35} \right)\) | \(\left[ {35;40} \right)\) | \(\left[ {40;45} \right)\) | \(\left[ {45;50} \right)\) |
Số nhân viên | \(6\) | \(14\) | \(25\) | \(37\) | \(21\) | \(13\) | \(9\) |
Có bao nhiêu nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ \(15\) phút đến dưới \(20\) phút?
\(6\).
\(9\).
\(14\).
\(13\).
Chọn A
Theo bảng trên thì có \(6\) nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ \(15\) phút đến dưới \(20\)phút.
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải phương trình sau: \[2\cos x - \sqrt 3 = 0\].
Ta có: \(2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k.2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k.2\pi \end{array} \right.,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
(1,0 điểm)Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_9} = 19\) và \(2{u_1} + {u_7} = 3\). Tính tổng \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Gọi \({u_1}\)và \(d\) lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng
Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_9} = 19\\2{u_1} + {u_7} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 8d = 19\\3{u_1} + 6d = 3\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 5\\d = 3\end{array} \right.\)
Tổng \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng trên là \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {2.{u_1} + 9d} \right) = 5.( - 10 + 27) = 85\)
(0,5 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt 3 \sin x + \cos x + 4\) trên tập xác định của nó.
Ta có:
\(y = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{1}{2}\cos x} \right) + 4 = 2\left( {\cos \frac{\pi }{6}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin \frac{\pi }{6}\cos x} \right) + 4 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 4\)
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\,\,\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \( - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \le 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 6\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\)
Khi đó GTNN của hàm số bằng 2 đạt được khi
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{2} + k.2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{2\pi }}{3} + k.2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\)
GTLN của hàm số bằng 6 đạt được khi
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k.2\pi \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k.2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\)
(0,5 điểm)Ước tính dân số năm \(2023\) của tỉnh Nghệ An là \(3547000\)người, tỷ lệ tăng dân số \(1\% \) so với năm trước. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì dân số của tỉnh Nghệ An năm \(2030\) là bao nhiêu?
Đặt \({P_0} = 3547000\)người và \(r = 1\% \)
Gọi \({P_n}\) là dân số của tỉnh Nghệ An sau n năm nữa.
Sau 1 năm, dân số của tỉnh là: \({P_1} = {P_0} + {P_0}.r = {P_0}(1 + r)\,\)
Sau 2 năm, dân số của tỉnh là: \({P_2} = {P_1} + {P_1}.r = {P_0}{(1 + r)^2}\,\)
…
Sau n năm, dân số của tỉnh là: \({P_n} = {P_{n - 1}} + {P_{n - 1}}.r = {P_0}{(1 + r)^n}\,\)
Suy ra \(\left( {{P_n}} \right)\)là một cấp số nhân với số hạng đầu P0 và công bội q = 1+ r.
Do đó dân số của tỉnh Nghệ An năm 2030 là:
\({P_7} = {P_0}.{(1 + r)^7} = 3547000.{(1 + 1\% )^7} \approx 3803000\)người.
