Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Số 3 Tuy Phước (Bình Định) năm 2023-2024 (có đáp án)
41 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho \(M\) là điểm chính giữa cung nhỏ \({A^\prime }B\) trên đường tròn lượng giác (xem hình vẽ).
Số đo góc lượng giác có tia đầu \(OA\) và tia cuối \(OM\) là
\(\frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(k2\pi \).
\(\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \).
\( - \frac{\pi }{4} + k2\pi \).
Chọn C
Ta có : \(sd\left( {OA\,,\,OM} \right) = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho góc hình học \(uOv\) có số đo \(60^\circ \)(xem hình vẽ). Xác định số đo của các góc lượng giác lượng giác \(\left( {Ou\,,\,Ov} \right)\)
\(sd\left( {Ou\,,\,Ov} \right) = 60^\circ + k360^\circ \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(sd\left( {Ou\,,\,Ov} \right) = - 60^\circ + k360^\circ \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(sd\left( {Ou\,,\,Ov} \right) = 60^\circ + k180^\circ \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(sd\left( {Ou\,,\,Ov} \right) = - 60^\circ + k180^\circ \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
Ta có: \(sd\left( {Ou\,,\,Ov} \right) = 60^\circ + k360^\circ \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Cho \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\[\sin \alpha > 0.\]
\[\cos \alpha > 0.\]
\[\tan \alpha > 0.\]
\[\cot \alpha > 0.\]
Chọn B
Điểm cuối của góc lượng giác \[\alpha \]ở góc phần tư thứ mấy nếu \[\sin \alpha ,{\rm{ }}\cos \alpha \] cùng dấu?
Thứ \({\rm{II}}{\rm{.}}\)
Thứ \({\rm{IV}}{\rm{.}}\)
Thứ \({\rm{II}}\) hoặc \({\rm{IV}}{\rm{.}}\)
Thứ \({\rm{I}}\) hoặc \({\rm{III}}{\rm{.}}\)
Lời giải
Chọn D
Cho \(2\pi < \alpha < \frac{{5\pi }}{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \alpha > 0;{\rm{ }}\cot \alpha > 0.\)
\(\tan \alpha < 0;{\rm{ }}\cot \alpha < 0.\)
\(\tan \alpha > 0;{\rm{ }}\cot \alpha < 0.\)
\(\tan \alpha < 0;{\rm{ }}\cot \alpha > 0.\)
Chọn A
Nếu \(2\pi < \alpha < \frac{{5\pi }}{2}.\) thì \(\tan \alpha > 0;{\rm{ }}\cot \alpha > 0.\)
Tính giá trị của \(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right]\) với \(k \in \mathbb{Z}\)
\(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
\(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = - \frac{1}{2}.\)
\(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Chọn B
Ta có: \(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \pi + 2k\pi } \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + \pi } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Tập giá trị của hàm số \(y = \sin \left( {2023x} \right)\) là:
\([ - 1;1]\).
\(\mathbb{R}\).
\((0; + \infty )\).
\(( - \infty ;0)\).
Chọn A
\( - 1 \le \sin \left( {2023x} \right) \le 1\).
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \[y = \cot \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \sin 2x.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \emptyset .\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}.\]
Chọn C
ĐKXĐ: \[\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
\(y = \cot 4x.\)
\(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x}}.\)
\(y = {\tan ^2}x.\)
\(y = \left| {\cot x} \right|.\)
Chọn A
Hàm số \(y = \cot 4x\) là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm số \(y = \sin 2x\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
\(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).
\(\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
\(\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\).
Chọn A
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right){\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] và nghịch biến trên \[\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right){\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Do đó \(y = \sin 2x\) đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{\pi }{4} + k2\pi } \right){\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Phương trình \(\sin x = \sin \frac{{2\pi }}{3}\) có nghiệm là:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right..\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right..\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right..\)
Chọn D
Ta có:\(\sin x = \sin \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right..\)
Giải phương trình \[\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\].
\[x = k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \pi + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Chọn D
\[\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Giải phương trình \[\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\].
\[x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = - \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Chọn D
\[\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Giải phương trình \[\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\].
\[x = k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{k3\pi }}{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Chọn D
\[\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Giải phương trình \(\cot \left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 .\)
\[x = \frac{1}{3} + \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{1}{3} + \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[x = \frac{1}{3} - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Chọn A
\(\cot \left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 \Leftrightarrow 3x - 1 = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), dãy số nào sau đây là dãy số tăng?
\({u_n} = 1 - n\).
\({u_n} = 3 + 2n\).
\({u_n} = 2 - n\).
\({u_n} = 9 - {n^2}\).
Chọn B
\({u_n} = 3 + 2n\) là cấp số cộng với công sai \(d = 2\) nên là dãy số tăng.
Cho dãy số \[\left( {{a_n}} \right)\] xác định bởi \[{a_1} = 5;{a_2} = 0\] và \[{a_{n + 2}} = {a_{n + 1}} + 6{a_n},\forall n \ge 1\]. Tính số hạng thứ tư của dãy số \[\left( {{a_n}} \right)\].
\[{a_4} = 10\].
\[{a_4} = 210\].
\[{a_4} = 30\].
\[{a_4} = 360\].
Chọn C
\[{a_3} = 30;{a_4} = 30\].
Cho dãy số \[\left( {{a_n}} \right)\] có \[{a_n} = \frac{n}{{{n^2} + 100}},\forall n \in \mathbb{N}*\]. Tìm số hạng thứ hai của dãy số \[\left( {{a_n}} \right)\].
\[\frac{1}{{20}}\].
\[\frac{1}{{30}}\].
\[\frac{1}{{25}}\].
\[\frac{1}{{51}}\].
Chọn D
Ta có \[{u_2} = \frac{1}{{51}}\].
Cho dãy số \[\left( {{y_n}} \right)\] xác định bởi \[{y_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{4} + \cos \frac{{2n\pi }}{3}\]. Bốn số hạng đầu của dãy số đó theo thứ tự là
\[0,\frac{1}{2},\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}\].
\[1,\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\].
\[1,\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\].
\[0,\frac{1}{2}, - \frac{1}{2},\frac{1}{2}\].
Chọn A
Bốn số hạng đầu của dãy số đó theo thứ tự là \[0,\frac{1}{2},\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}\]
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\], với \[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 7}}\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn dưới và không bị chặn trên.
Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn.
Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] không bị chặn.
Chọn C
\[0 < {u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 7}} < 1\]
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\). Số hạng \({u_3}\) bằng
-6.
-18.
12.
\(18\).
Chọn D
\({u_3} = {u_1}.{q^2} = 18\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]có \({u_1} = 123\) và \({u_3} - {u_{15}} = 84\). Tìm số hạng \({u_{17}}\)?
\({u_{17}} = 242\).
\({u_{17}} = 235\).
\({u_{17}} = 11\).
\({u_{17}} = 4\).
Chọn C
\({u_3} - {u_{15}} = 84 \Leftrightarrow {u_1} + 2d - \left( {{u_1} + 14d} \right) = 84 \Leftrightarrow d = - 7\).
Do đó: \({u_{17}} = 11\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]có \(2{u_1} + {u_2} = 0\) và \({u_4} = 8\). Tính số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng.
\({u_1} = 1,\;d = - 3.\)
\({u_1} = 1,\;d = 3.\)
\({u_1} = - 1,\;d = - 3.\)
\({u_1} = - 1,\;d = 3.\)
Chọn D
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + {u_2} = 0\\{u_4} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + d = 0\\{u_1} + 3d = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\d = 3\end{array} \right.\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 321\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} - 3\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính tổng \(S\) của \(125\) số hạng đầu tiên của dãy số đó.
\(S = 16875\).
\(S = 63375\).
\(S = 63562,5\).
\(S = 16687,5\).
Chọn A
Ta có \({u_{n + 1}} = {u_n} - 3 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - 3\) nên dãy số là cấp số cộng với \(d = - 3\)
Suy ra: \({S_{125}} = \frac{{125}}{2}\left( {2{u_1} + 124d} \right) = 16875.\)
Cho cấp số nhân \[\left( {{a_n}} \right)\]có \({a_1} = 3\) và \({a_2} = - 6\). Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho.
\({u_n} = 3.{( - 2)^n}\).
\({u_n} = 3.{( - 2)^{n - 1}}\).
\({u_n} = 3.{(2)^{n - 1}}\).
\({u_n} = 3.{(2)^n}\).
Chọn B
Ta có \(q = \frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} = - 2 \Rightarrow {u_n} = 3.{( - 2)^{n - 1}}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({S_2} = 4\) và \({S_3} = 13.\) Tìm \({S_5}?\)
\({S_5} = 121\) hoặc \({S_5} = \frac{{181}}{{16}}.\)
\({S_5} = 121\) hoặc \({S_5} = \frac{{35}}{{16}}.\)
\({S_5} = 114\) hoặc \({S_5} = \frac{{185}}{{16}}.\)
\({S_5} = 141\) hoặc \({S_5} = \frac{{183}}{{16}}.\)
Chọn A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{S_2} = 4\\{S_3} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {1 + q} \right) = 4\\{u_1}.\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\({S_5} = 121\) hoặc \({S_5} = \frac{{181}}{{16}}.\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\):\(1;3;9;27;81, \ldots \)Công thức tổng quát của cấp số nhân đã cho là
\({u_n} = {3^{n - 1}}\).
\({u_n} = {9^{n - 1}}\).
\({u_n} = {3^{n + 1}}\).
\({u_n} = {9^{n + 1}}\).
Chọn A
Ta có \({u_1} = 1;q = 3 \Rightarrow {u_n} = {3^{n - 1}}\).
Tuổi các học viên của một lớp học Tiếng Anh tại một trung tâm được ghi lại ở bảng tần số ghép lớp như sau:
Lớp | Tần số |
[16; 20) [20; 24) [24; 28) [28; 32) [32; 36) | 10 12 14 9 5 |
Số học viên có tuổi từ 24 đến dưới 28 tuổi là
9
14
5
12
Chọn B
Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút) | \[\left[ {9,5;12,5} \right)\] | \[\left[ {12,5;15,5} \right)\] | \[\left[ {15,5;18,5} \right)\] | \[\left[ {18,5;21,5} \right)\] | \[\left[ {21,5;24,5} \right)\] |
Số học sinh | 3 | 12 | 15 | 24 | 2 |
Số học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối từ 15,5 phút đến dưới 18,5 phút là
14
15
24
12
Chọn B
Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A trong 30 ngày được cho bởi bảng sau:
Lớp thời gian (phút) | Tần số |
[15; 17) | 5 |
[17; 19) | 4 |
[19; 21) | 12 |
[21; 23) | 9 |
Trong 30 ngày được khảo sát, có bao nhiêu ngày bạn A mà thời gian đi đến trường từ 19 phút đến dưới 21 phút?
12
4
5
9
Chọn A
Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11 được cho trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | [40,5; 45,5) | [45,5; 50,5) | [50,5; 55,5) | [55,5; 60,5) | [60,5; 65,5) | [65,5; 70,5) |
Số học sinh | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 | 3 |
51,81kg
59,81kg
60,81kg
41,81kg
Chọn A
\[\overline x = \frac{{10.43 + 7.48 + 16.53 + 4.58 + 2.63 + 3.68}}{{10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3}} = 51,81kg\].
Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A trong 30 ngày:
Lớp thời gian (phút) | Tần số |
[15; 17) | 5 |
[17; 19) | 4 |
[19; 21) | 12 |
[21; 23) | 9 |
Trong 30 ngày được khảo sát, những ngày bạn A có thời gian đi đến trường từ 21 phút đến dưới 23 phút chiếm tỉ lệ bao nhiêu?
60%
40%
30%
63%
Chọn C
Tuổi các học viên của một lớp học Tiếng Anh tại một trung tâm được ghi lại ở bảng tần số ghép lớp như sau:
Lớp | Tần số |
[16; 20) [20; 24) [24; 28) [28; 32) [32; 36) | 10 12 14 9 5 |
Giá trị đại diện của nhóm có tần số lớn nhất bằng
\(14.\)
\(24.\)
\(26.\)
\(28.\)
Chọn C
Thời gian (phút) | \[\left[ {9,5;12,5} \right)\] | \[\left[ {12,5;15,5} \right)\] | \[\left[ {15,5;18,5} \right)\] | \[\left[ {18,5;21,5} \right)\] | \[\left[ {21,5;24,5} \right)\] |
Số học sinh | 3 | 12 | 15 | 24 | 2 |
Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Tính trung vị của bảng số liệu trên?
13,1
10,3
18,1
23,0
Chọn C
Ta có: \(n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56\) nên trung vị của bảng số liệu là giá trị thứ \(28,29\)của mẫu số liệu. Do đó trung vị thuộc nhóm thứ ba: \[\left[ {15,5;18,5} \right)\]
\[{M_e} = {a_3} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{{{m_3}}}.\left( {{a_4} - {a_3}} \right) = 18,1\]
Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11.
Khoảng chiều cao (cm) | \[\left[ {145;150} \right)\] | \[\left[ {150;155} \right)\] | \[\left[ {155;160} \right)\] | \[\left[ {160;165} \right)\] | \[\left[ {165;170} \right)\] |
Số học sinh | 7 | 14 | 10 | 10 | 9 |
Tính mốt của bảng số liệu trên?
154,18 cm
153,81 cm
153,18 cm
155,18 cm
Chọn C
Ta có tần số lớn nhất thuộc nhóm thứ hai: \[\left[ {150;155} \right)\]\
\[{M_o} = {a_2} + \frac{{\left( {{m_2} - {m_1}} \right)}}{{\left( {{m_2} - {m_1}} \right) + \left( {{m_2} - {m_3}} \right)}}.\left( {{a_3} - {a_2}} \right) = 153,18\] cm.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm):
(0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} - 2\].
(0,5 điểm). Rút gọn biểu thức \(M = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\).
Ta có\(\frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}} = \frac{{2\cos 2x\sin x}}{{\cos 2x}} = 2\sin x\).
(0.5 điểm). Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố \(A\) trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \[d(t) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12\] với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365.\) Hỏi thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?
Theo giả tiết, ta có \(d(t) = 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12 = 12\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\) \( \Leftrightarrow t - 80 = 182k\;\;(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow t = 80 + 182k\;\;(k \in \mathbb{Z})\)
Vì \(0 < t \le 365\) nên
\(0 < 80 + 182k \le 365\;\;(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \frac{{ - 80}}{{182}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\;\;(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow k = 0 \vee k = 1\)
Vậy thành phố A có đúng \(12\) giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(80\) (ứng với \(k = 0\)) và ngày thứ \(262\) (ứng với \(k = 1\)) trong năm.
(0.5 điểm). Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right.\). Tìm công sai \(d\) của cấp số cộng đó.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 8d = 0\\2{u_1} + 3d = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3\end{array} \right.\)
(0.5 điểm). Một công ty phần mềm tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu tiên là \(300\) triệu đồng và cam kết tăng thêm \(5\% \) lương mỗi năm so với năm liền kề nếu hoàn thành tốt công việc được giao. Tính tổng số tiền lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty \(10\) năm (làm tròn đến triệu đồng).
Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 300\) và công bội \(q = 1 + 5\% = 1,05\).
Tổng số tiền lương của chuyên gia đó sau \(10\) năm bằng tổng của \(10\) số hạng đầu của cấp số nhân trên.
Vậy \({S_{10}} = \frac{{{u_1}(1 - {q^{10}})}}{{1 - q}} = \frac{{300\left[ {1 - {{(1,05)}^{10}}} \right]}}{{1 - 1,05}} \approx 3773\) (triệu đồng).
(0.5 điểm). Tuổi của \(30\) học viên của lớp học nhạc được phân theo các lớp cho bởi bảng sau:
Lớp tuổi | [15; 17) | [17; 19) | [19; 21) | [21; 23) |
Tần số | 5 | 4 | 12 | 9 |
Tính số tuổi trung bình của lớp học trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
Giá trị đại diện của các lớp trong bảng lần lượt là
\({x_1} = 16,\;{x_2} = 18,\;{x_3} = 20,\;{x_4} = 22.\)
Số trung bình của bảng số liệu là
\(\bar x = \frac{1}{{30}}(5.16 + 4.18 + 12.20 + 9.22) = \frac{{59}}{3} \approx 19,67\) (tuổi).
