Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Tam Đảo 2 (Vĩnh Phúc) năm 2023-2024 (có đáp án)
38 câu hỏi
Số đo theo đơn vị rađian của góc \(315^\circ \) là
\(\frac{{2\pi }}{7}\).
\(\frac{{7\pi }}{2}\).
\(\frac{{4\pi }}{7}\).
\(\frac{{7\pi }}{4}\).
Chọn D
\(315.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{7\pi }}{4}\)
Cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) \le 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) \ge 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) < 0.\)
Chọn C
\[\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) = \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\, = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \left( \alpha \right) > 0\,\,khi\,\,\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}.\]
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng.
\[ - 3; - 1;1;3;5;...\].
\[ - 3;0;1;3;5;...\].
\[1;{2^2};{3^2};...\].
\[1; - 1;1; - 1;1;.....\].
Chọn A
\[ - 3; - 1;1;3;5;...\] là một cấp số cộng với \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\d = 2\end{array} \right.\].
Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hàm số \[y = \cot x\]là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\]là hàm số chẵn.
Hàm số \[y = \cos x\]là hàm số chẵn.
Hàm số \[y = \tan x\]là hàm số lẻ.
Chọn B
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn?
\[{u_n} = \sin n\].
\[{u_n} = n + 1\].
\[{u_n} = {( - 1)^n}n\].
\[{u_n} = - n + 3\].
Chọn A
\[ - 1 \le \sin n \le 1,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\].
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá (triệu đồng/m2) | \(\left[ {10;14} \right)\) | \(\left[ {14;18} \right)\) | \(\left[ {18;22} \right)\) | \(\left[ {22;26} \right)\) | \(\left[ {26;30} \right)\) |
Số khách hàng | 5 | 13 | 7 | 3 | 2 |
Ở mức giá nào thì số khách hàng lựa chọn là nhiều nhất ?
\(\left[ {10;14} \right).\)
\(\left[ {18;22} \right).\)
\(\left[ {14;18} \right).\)
\(\left[ {26;30} \right).\)
Chọn C
Nghiệm của phương trình \[\sin x = 1\] là
\[x = k2\pi \].
\[x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \].
\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi \].
\[x = \pi + k2\pi \].
Chọn B
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Khi đó số hạng tổng quát của dãy là
\[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\].
\[{u_n} = {u_1} - nd\].
\[{u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\].
\[{u_n} = {u_1} + nd\].
Chọn A
Tập nghiệm \(S\)của phương trình \[\cos x = \cos {12^0}\] là
\[S = \left\{ {{{12}^0} + k{{360}^0},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {{{12}^0} + k{{360}^0};{{178}^0} + k{{360}^0},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ { \pm {{12}^0} + k{{180}^0},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ { \pm {{12}^0} + k{{360}^0},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn D
\[\cos x = \cos {12^0} \Leftrightarrow x = \pm {12^0} + k{360^0},k \in \mathbb{Z}\].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 8\sin 2x - 5\).
\(\max y = 11;\;\;\min y = - 21\).
\(\max y = 8;\quad \min y = - 8\).
\(\max y = - 4;\quad \min y = - 6\).
\(\max y = 3;\quad \min y = - 13\).
Chọn D
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \( - 1 \le \sin 2x \le 1\)\( \Rightarrow - 8 \le 8\sin 2x \le 8\)\( \Rightarrow - 13 \le 8\sin 2x - 5 \le 3\).
\( \Rightarrow \max y = 3;\quad \min y = - 13\).
Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
\[ - 1 < m < 1\].
\[ - 1 \le m \le 1\].
\[m \ge 1\].
\[m \le - 1\].
Chọn B
Trong các dãy số sau, dãy số nào tăng ?
\[{u_n} = \frac{1}{n}\].
\[{u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{n}\].
\[{u_n} = 2n + 1\].
\[{u_n} = - n + 1\].
Chọn C
\[{u_n} = 2n + 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 = 2n + 3\]\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 2n + 3 - \left( {2n + 1} \right) = 2 > 0\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\]
Do đó dãy \(\left( {{u_n}} \right)\)với \[{u_n} = 2n + 1\] là dãy số tăng.
Mệnh đề nào sau đây sai?
\[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\].
\[\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\].
\[\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\].
\[\cos 2a = 2\sin a\cos a\]
Chọn D
Biết \[\sin x = \frac{1}{2}\] thì \[\cos 2x\]có giá trị là
\[ - \frac{1}{2}\].
\[0\].
\[\frac{1}{2}\].
\[1\].
Chọn C
\[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\].
Rút gọn \(M = \sin \left( {x + y} \right)\cos y - \cos \left( {x + y} \right)\sin y.\)
\[M = \sin x\].
\(M = \cos x\).
\(M = \sin \left( {x + 2y} \right)\).
\(M = \cos \left( {x + 2y} \right)\).
Chọn A
Áp dụng công thức cộng \(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y - \cos x\sin y\,\)ta có
\(M = \sin \left( {x + y} \right)\cos y - \cos \left( {x + y} \right)\sin y\, = \sin \left( {x + y - y} \right) = \sin x\,\)
Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dư 1.
\[{u_n} = 4n - 1\].
\[{u_n} = 4n + 3\].
\[{u_n} = 4n + 1\].
\[{u_n} = 4n\].
Chọn C
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]có đồ thị như hình vẽ.![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. \[y = \cos x\]. B. \[y = \cot x\]. C. \[y = \tan x\]. D. \[y = \sin x\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/11-1764148779.png)
Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\[y = \cos x\].
\[y = \cot x\].
\[y = \tan x\].
\[y = \sin x\].
Chọn D
Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội \(q = 2\). Số đó các góc của tam giác đó lần lượt là:
\[\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}.\]
\[\frac{\pi }{5};\frac{{2\pi }}{5};\frac{{4\pi }}{5}.\]
\[\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{6};\frac{{4\pi }}{6}.\]
\[\frac{\pi }{7};\frac{{2\pi }}{7};\frac{{4\pi }}{7}.\]
Chọn D
Vì số đo 3 góc lập thành cấp số nhân có công bội \(q = 2\) nên ta gọi số đo 3 góc này lần lượt là \[\frac{x}{2},x,2x\,\left( {x \in {\mathbb{R}^ + }} \right)\].
Tổng 3 góc trong một tam giác bằng \(\pi \)suy ra \[\frac{x}{2} + x + 2x\, = \pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{7}\left( N \right)\].
Vậy số đo 3 góc lần lượt là \[\frac{\pi }{7};\frac{{2\pi }}{7};\frac{{4\pi }}{7}.\]
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng).
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
\(8.\)
\(11.\)
\(6.\)
\(7.\)
Chọn A
Cỡ mẫu \(n = 20\)
Tứ phân vị thứ nhất \({x_5}\) thuộc nhóm \(\left[ {7;9} \right)\)
Áp dụng công thức : \[{Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = \frac{{55}}{7} \approx 7,86\] với \[{u_m} = 7;{u_{m + 1}} = 9;{n_m} = 7;C = 2\]
Một cung tròn có độ dài bằng bán kính. Khi đó số đo bằng rađian của cung tròn đó là
\(\pi \).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Chọn B
Cho dãy \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_1} = 1,{u_{n + 1}} = 3n - {u_n}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{u_3} = 4\].
\[{u_3} = 8\].
\[{u_3} = - 3\].
\[{u_3} = 10\].
Chọn A
Ta có \[{u_2} = 3.1 - {u_1} = 2;{u_3} = 3.2 - {u_2} = 4.\]
Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi \(a,b\)?
\(\cos (a - b) = \cos a\sin b - \sin a\cos b\).
\(\cos (a - b) = \sin a\sin b - \cos a\cos b\).
\(\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
\(\cos (a - b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
Chọn C
Mệnh đề đúng là \(\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
Tính\(\sin \alpha \), biết \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \).
\(\frac{2}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
\( - \frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
Chọn C
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{2}{3}.\)
Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên \(\sin \alpha < 0\) hay \(\sin \alpha = - \frac{2}{3}\).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\tan ( - \alpha ) = \tan \alpha .\)
\(\sin ( - \alpha ) = \sin \alpha .\)
\(\cot ( - \alpha ) = \cot \alpha .\)
\(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha .\)
Chọn D
Mệnh đề đúng là \(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha .\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 4n - 3\). Biết dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, xác định công sai \(d\) của cấp số cộng này.
\[d = - 3\].
\[d = 7\].
\[d = - 7\].
\[d = 4\].
Chọn D
Vì \({u_1} = 4.1 - 3 = 1\) và \({u_2} = 4.2 - 3 = 5\) nên công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1} = 4\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \({u_2} = 6\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
\(9\).
\(2\).
\(\frac{1}{2}\).
\(3\).
Chọn B
Công bội của cấp số nhân đã cho bằng \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{3} = 2\).
Tổng các nghiệm phương trình \(\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1\) trên khoảng \(\left( { - 90^\circ ;90^\circ } \right)\) bằng
\(0^\circ \).
\( - 30^\circ \).
\( - 60^\circ \).
\(30^\circ \).
Chọn B
Ta có \[\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1\]
\[ \Leftrightarrow \tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = \tan 45^\circ \]
\[ \Leftrightarrow 2x = 60^\circ + k.180^\circ \]
\[ \Leftrightarrow 2x - 15^\circ = 45^\circ + k.180^\circ \]
\[ \Leftrightarrow x = 30^\circ + k.90^\circ \].
Khi đó \[x \in \left( { - 90^\circ ;90^\circ } \right)\]
\[ \Leftrightarrow - 90^\circ < 30^\circ + k.90^\circ < 90^\circ \]
\[ \Leftrightarrow - 120^\circ < k.90^\circ < 60^\circ \]
\[ \Rightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\].
Kết hợp điều kiện \[k \in \mathbb{Z}\] ta được \[k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\].
Tổng các nghiệm cần tìm là \[\left( {30^\circ - 1.90^\circ } \right) + \left( {30^\circ - 0.90^\circ } \right) = - 30^\circ \].
Có bao nhiêu số thực \(x\) để \(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(4.\)
Lời giải
Chọn B
Ba số thực \(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi
\(\left( {2x - 1} \right).\left( {2x + 1} \right) = {x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy có hai số thực \(x\) thỏa mãn.
Tập xác định của hàm số \(y = \tan 2x\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{4}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A
Hàm số \(y = \tan 2x\) xác định khi \(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\).
Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số \({u_1} = - 3\) ; \({u_2} = 5\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
\[{u_n} = 8n - 11\].
\[{u_n} = 5 - 8n\].
\[{u_n} = 8n - 5\].
\[{u_n} = 11 - 8n\].
Chọn A
Công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1} = 5 + 3 = 8\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 3 + \left( {n - 1} \right).8 = 8n - 11\).
Cho dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3n - 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{u_3} = 2\].
\[{u_3} = 3\].
\[{u_3} = 9\].
\[{u_3} = 8\].
Chọn D
Ta có \[{u_3} = 3.3 - 1 = 8\].
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá (triệu đồng/m2) | \(\left[ {10;14} \right)\) | \(\left[ {14;18} \right)\) | \(\left[ {18;22} \right)\) | \(\left[ {22;26} \right)\) | \(\left[ {26;30} \right)\) |
Số khách hàng | 5 | 13 | 7 | 3 | 2 |
Giá trị đại diện của nhóm\(\left[ {22;26} \right)\)là
\(22.\)
\(4.\)
\(3\)
\(24.\)
Chọn D
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {22;26} \right)\) là \(\frac{{22 + 26}}{2} = 24\).
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng).
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc nhóm nào trong các nhóm sau?
\(\left[ {7;9} \right).\)
\(\left[ {9;11} \right).\)
\(\left[ {11;13} \right)\)
\(\left[ {13;15} \right).\)
Chọn B
Số trung bình của mẫu số liệu trên là \(\bar x = \frac{{6.2 + 8.7 + 10.7 + 12.3 + 14.1}}{{20}} = 9,4\).
Số trung bình thuộc nhóm \(\left[ {9;11} \right).\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)biết \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2\). Số hạng thứ 3 của cấp số nhân đã cho bằng
\(2.\)
\(6.\)
\(4.\)
\(8.\)
Chọn C
Số hạng thứ 3 của cấp số nhân đã cho bằng \({u_3} = {u_1}.{q^2} = {1.2^2} = 4\).
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá(triệu đồng/m2) | \(\left[ {10;14} \right)\) | \(\left[ {14;18} \right)\) | \(\left[ {18;22} \right)\) | \(\left[ {22;26} \right)\) | \(\left[ {26;30} \right)\) |
Số khách hàng | 5 | 13 | 7 | 3 | 2 |
Độ dài của nhóm\(\left[ {18;22} \right)\)bằng
\(18.\)
\(20.\)
\(4.\)
\(7.\)
Chọn C
Độ dài của nhóm \(\left[ {18;22} \right)\) bằng \(22 - 18 = 4\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1.0 điểm): Cho góc alpha thỏa mãn 
và 
. Tính 
.
(1,0 điểm):
a) Giải phương trình 
.
b) Cho dãy số (un) với 
. Chứng minh (un) bị chặn.
(1,0 điểm):
a) Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình 
có 2 nghiệm thuộc khoảng 
.
b) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh 4, biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q . Tính giá trị của q2.
a)
b)
