Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Tam Đảo 2 (Vĩnh Phúc) năm 2023-2024 (có đáp án)
38 câu hỏi
\(\frac{{2\pi }}{7}\).
\(\frac{{7\pi }}{2}\).
\(\frac{{4\pi }}{7}\).
\(\frac{{7\pi }}{4}\).
Chọn D
\(315.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{7\pi }}{4}\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) \le 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) \ge 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) < 0.\)
Chọn C
\[\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) = \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\, = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \left( \alpha \right) > 0\,\,khi\,\,\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}.\]
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng.
\[ - 3; - 1;1;3;5;...\].
\[ - 3;0;1;3;5;...\].
\[1;{2^2};{3^2};...\].
\[1; - 1;1; - 1;1;.....\].
Chọn A
\[ - 3; - 1;1;3;5;...\] là một cấp số cộng với \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\d = 2\end{array} \right.\].
Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hàm số \[y = \cot x\]là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\]là hàm số chẵn.
Hàm số \[y = \cos x\]là hàm số chẵn.
Hàm số \[y = \tan x\]là hàm số lẻ.
Chọn B
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn?
\[{u_n} = \sin n\].
\[{u_n} = n + 1\].
\[{u_n} = {( - 1)^n}n\].
\[{u_n} = - n + 3\].
Chọn A
\[ - 1 \le \sin n \le 1,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\].
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá (triệu đồng/m2) | \(\left[ {10;14} \right)\) | \(\left[ {14;18} \right)\) | \(\left[ {18;22} \right)\) | \(\left[ {22;26} \right)\) | \(\left[ {26;30} \right)\) |
Số khách hàng | 5 | 13 | 7 | 3 | 2 |
\(\left[ {10;14} \right).\)
\(\left[ {18;22} \right).\)
\(\left[ {14;18} \right).\)
\(\left[ {26;30} \right).\)
Chọn C
\[x = k2\pi \].
\[x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \].
\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi \].
\[x = \pi + k2\pi \].
Chọn B
\[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\].
\[{u_n} = {u_1} - nd\].
\[{u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\].
\[{u_n} = {u_1} + nd\].
Chọn A
\[S = \left\{ {{{12}^0} + k{{360}^0},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {{{12}^0} + k{{360}^0};{{178}^0} + k{{360}^0},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ { \pm {{12}^0} + k{{180}^0},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ { \pm {{12}^0} + k{{360}^0},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn D
\[\cos x = \cos {12^0} \Leftrightarrow x = \pm {12^0} + k{360^0},k \in \mathbb{Z}\].
\(\max y = 11;\;\;\min y = - 21\).
\(\max y = 8;\quad \min y = - 8\).
\(\max y = - 4;\quad \min y = - 6\).
\(\max y = 3;\quad \min y = - 13\).
Chọn D
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \( - 1 \le \sin 2x \le 1\)\( \Rightarrow - 8 \le 8\sin 2x \le 8\)\( \Rightarrow - 13 \le 8\sin 2x - 5 \le 3\).
\( \Rightarrow \max y = 3;\quad \min y = - 13\).
\[ - 1 < m < 1\].
\[ - 1 \le m \le 1\].
\[m \ge 1\].
\[m \le - 1\].
Chọn B
Trong các dãy số sau, dãy số nào tăng ?
\[{u_n} = \frac{1}{n}\].
\[{u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{n}\].
\[{u_n} = 2n + 1\].
\[{u_n} = - n + 1\].
Chọn C
\[{u_n} = 2n + 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 = 2n + 3\]\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 2n + 3 - \left( {2n + 1} \right) = 2 > 0\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\]
Do đó dãy \(\left( {{u_n}} \right)\)với \[{u_n} = 2n + 1\] là dãy số tăng.
Mệnh đề nào sau đây sai?
\[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\].
\[\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\].
\[\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\].
\[\cos 2a = 2\sin a\cos a\]
Chọn D
\[ - \frac{1}{2}\].
\[0\].
\[\frac{1}{2}\].
\[1\].
Chọn C
\[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\].
\[M = \sin x\].
\(M = \cos x\).
\(M = \sin \left( {x + 2y} \right)\).
\(M = \cos \left( {x + 2y} \right)\).
Chọn A
Áp dụng công thức cộng \(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y - \cos x\sin y\,\)ta có
\(M = \sin \left( {x + y} \right)\cos y - \cos \left( {x + y} \right)\sin y\, = \sin \left( {x + y - y} \right) = \sin x\,\)
Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dư 1.
\[{u_n} = 4n - 1\].
\[{u_n} = 4n + 3\].
\[{u_n} = 4n + 1\].
\[{u_n} = 4n\].
Chọn C
![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. \[y = \cos x\]. B. \[y = \cot x\]. C. \[y = \tan x\]. D. \[y = \sin x\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/11-1764148779.png)
Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\[y = \cos x\].
\[y = \cot x\].
\[y = \tan x\].
\[y = \sin x\].
Chọn D
Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội \(q = 2\). Số đó các góc của tam giác đó lần lượt là:
\[\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}.\]
\[\frac{\pi }{5};\frac{{2\pi }}{5};\frac{{4\pi }}{5}.\]
\[\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{6};\frac{{4\pi }}{6}.\]
\[\frac{\pi }{7};\frac{{2\pi }}{7};\frac{{4\pi }}{7}.\]
Chọn D
Vì số đo 3 góc lập thành cấp số nhân có công bội \(q = 2\) nên ta gọi số đo 3 góc này lần lượt là \[\frac{x}{2},x,2x\,\left( {x \in {\mathbb{R}^ + }} \right)\].
Tổng 3 góc trong một tam giác bằng \(\pi \)suy ra \[\frac{x}{2} + x + 2x\, = \pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{7}\left( N \right)\].
Vậy số đo 3 góc lần lượt là \[\frac{\pi }{7};\frac{{2\pi }}{7};\frac{{4\pi }}{7}.\]
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng).
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
\(8.\)
\(11.\)
\(6.\)
\(7.\)
Chọn A
Cỡ mẫu \(n = 20\)
Tứ phân vị thứ nhất \({x_5}\) thuộc nhóm \(\left[ {7;9} \right)\)
Áp dụng công thức : \[{Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = \frac{{55}}{7} \approx 7,86\] với \[{u_m} = 7;{u_{m + 1}} = 9;{n_m} = 7;C = 2\]
\(\pi \).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Chọn B
\[{u_3} = 4\].
\[{u_3} = 8\].
\[{u_3} = - 3\].
\[{u_3} = 10\].
Chọn A
Ta có \[{u_2} = 3.1 - {u_1} = 2;{u_3} = 3.2 - {u_2} = 4.\]
\(\cos (a - b) = \cos a\sin b - \sin a\cos b\).
\(\cos (a - b) = \sin a\sin b - \cos a\cos b\).
\(\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
\(\cos (a - b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
Chọn C
Mệnh đề đúng là \(\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
\(\frac{2}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
\( - \frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
Chọn C
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{2}{3}.\)
Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên \(\sin \alpha < 0\) hay \(\sin \alpha = - \frac{2}{3}\).
\(\tan ( - \alpha ) = \tan \alpha .\)
\(\sin ( - \alpha ) = \sin \alpha .\)
\(\cot ( - \alpha ) = \cot \alpha .\)
\(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha .\)
Chọn D
Mệnh đề đúng là \(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha .\)
\[d = - 3\].
\[d = 7\].
\[d = - 7\].
\[d = 4\].
Chọn D
Vì \({u_1} = 4.1 - 3 = 1\) và \({u_2} = 4.2 - 3 = 5\) nên công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1} = 4\).
\(9\).
\(2\).
\(\frac{1}{2}\).
\(3\).
Chọn B
Công bội của cấp số nhân đã cho bằng \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{3} = 2\).
\(0^\circ \).
\( - 30^\circ \).
\( - 60^\circ \).
\(30^\circ \).
Chọn B
Ta có \[\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1\]
\[ \Leftrightarrow \tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = \tan 45^\circ \]
\[ \Leftrightarrow 2x = 60^\circ + k.180^\circ \]
\[ \Leftrightarrow 2x - 15^\circ = 45^\circ + k.180^\circ \]
\[ \Leftrightarrow x = 30^\circ + k.90^\circ \].
Khi đó \[x \in \left( { - 90^\circ ;90^\circ } \right)\]
\[ \Leftrightarrow - 90^\circ < 30^\circ + k.90^\circ < 90^\circ \]
\[ \Leftrightarrow - 120^\circ < k.90^\circ < 60^\circ \]
\[ \Rightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\].
Kết hợp điều kiện \[k \in \mathbb{Z}\] ta được \[k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\].
Tổng các nghiệm cần tìm là \[\left( {30^\circ - 1.90^\circ } \right) + \left( {30^\circ - 0.90^\circ } \right) = - 30^\circ \].
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(4.\)
Lời giải
Chọn B
Ba số thực \(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi
\(\left( {2x - 1} \right).\left( {2x + 1} \right) = {x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy có hai số thực \(x\) thỏa mãn.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{4}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A
Hàm số \(y = \tan 2x\) xác định khi \(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\).
Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\[{u_n} = 8n - 11\].
\[{u_n} = 5 - 8n\].
\[{u_n} = 8n - 5\].
\[{u_n} = 11 - 8n\].
Chọn A
Công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1} = 5 + 3 = 8\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 3 + \left( {n - 1} \right).8 = 8n - 11\).
\[{u_3} = 2\].
\[{u_3} = 3\].
\[{u_3} = 9\].
\[{u_3} = 8\].
Chọn D
Ta có \[{u_3} = 3.3 - 1 = 8\].
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá (triệu đồng/m2) | \(\left[ {10;14} \right)\) | \(\left[ {14;18} \right)\) | \(\left[ {18;22} \right)\) | \(\left[ {22;26} \right)\) | \(\left[ {26;30} \right)\) |
Số khách hàng | 5 | 13 | 7 | 3 | 2 |
\(22.\)
\(4.\)
\(3\)
\(24.\)
Chọn D
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {22;26} \right)\) là \(\frac{{22 + 26}}{2} = 24\).
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng).
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
\(\left[ {7;9} \right).\)
\(\left[ {9;11} \right).\)
\(\left[ {11;13} \right)\)
\(\left[ {13;15} \right).\)
Chọn B
Số trung bình của mẫu số liệu trên là \(\bar x = \frac{{6.2 + 8.7 + 10.7 + 12.3 + 14.1}}{{20}} = 9,4\).
Số trung bình thuộc nhóm \(\left[ {9;11} \right).\)
\(2.\)
\(6.\)
\(4.\)
\(8.\)
Chọn C
Số hạng thứ 3 của cấp số nhân đã cho bằng \({u_3} = {u_1}.{q^2} = {1.2^2} = 4\).
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá(triệu đồng/m2) | \(\left[ {10;14} \right)\) | \(\left[ {14;18} \right)\) | \(\left[ {18;22} \right)\) | \(\left[ {22;26} \right)\) | \(\left[ {26;30} \right)\) |
Số khách hàng | 5 | 13 | 7 | 3 | 2 |
\(18.\)
\(20.\)
\(4.\)
\(7.\)
Chọn C
Độ dài của nhóm \(\left[ {18;22} \right)\) bằng \(22 - 18 = 4\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1.0 điểm): Cho góc alpha thỏa mãn 
và 
. Tính 
.
(1,0 điểm):
a) Giải phương trình 
.
b) Cho dãy số (un) với 
. Chứng minh (un) bị chặn.
(1,0 điểm):
a) Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình 
có 2 nghiệm thuộc khoảng 
.
a)
b)
