Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Trần Hưng Đạo (Gia Lai) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
\(84.\)
\(30.\)
\(22\)
\(19\).
Chọn D
Ta có số nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc từ \(25\) phút đến dưới \(30\) phút là \(19\).
\(y = \sin x.\)
\(y = \cot x.\)
\(y = {\rm{cos}}x.\)
\(y = \sin x + \cos x.\)
Chọn B
Ta có \(y = \sin x\)\( \in \left[ { - 1;1} \right]\), \(y = {\rm{cos}}x \in \left[ { - 1;1} \right]\), \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\). Loại A, C, D, chọn B.
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
\(2;4;6;8;10;...\)
\(2;3;5;8;13;...\)
\(2;\,\,6;\,\,18;\,\,54;...\)
\(3;9;12;20;...\)
Chọn C
Ta có \(6 = 2.3;\,\,18 = 6.3;\,\,54 = 18.3\) nên dãy \(2;\,\,6;\,\,18;\,\,54;...\) là cấp số nhân \(q = 3\).
\(y = \tan x.\)
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \cot x.\)
Chọn C
Ta có \(\cos ( - x) = \cos x,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
\[2;\,3;\,6;\,7;10;...\]
\[6;8;10;12;14;...\]
\[5;8;4;12;...\]
Chọn C
Ta có \(8 = 6 + 2;10 = 8 + 2;12 = 10 + 2;14 = 12 + 2;...\) nên dãy \[6;8;10;12;14;...\]là cấp số cộng.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giả sử nhóm chứa trung vị là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\).
Với \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\). Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).
Khi đó công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} + {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
Chọn C
Ta có công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm \({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
\[{u_n} = {u_1}.{q^n}\,(n \ge 2)\] .
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n + 1}}\,(n \ge 2)\].
\[{u_n} = {q^{n\,}}\,(n \ge 2)\].
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\,(n \ge 2)\].
Chọn D
Ta có công thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\,,n \ge 2.\]
Trong các khẳng định sau, khẳng định định nào đúng?
\(\sin \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \sin b\cos a.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a.\)
Chọn B
Ta có công thức \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \sin b\cos a\).
\(45\).
\(4\).
\(39\).
\(42\).
Chọn C
Ta có \({u_n} = 7n - 3\) \( \Rightarrow {u_6} = 7.6 - 3 = 39\).
Phương trình nào sau đây có nghiệm?
\({\rm{cos}}x = \frac{5}{3}\).
\(\cos x = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(\sin x = - \frac{6}{5}\)
\[\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
Chọn D
Ta có \[\left| { - \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right| \le 1\] nên phương trình có nghiệm là \[\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
Chọn công thức đúng trong các công thức sau:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\({\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(1 + {\tan ^2}\alpha = - \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\).
Chọn A
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
Tìm cỡ mẫu của bảng số liệu trên?
\(21\).
\(42\).
\(30\).
\(15.\).
Chọn B
Ta có \(1 + 5 + 12 + 15 + 9 = 42\).
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(m\), \(M\) sao cho \(m \le M \le {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} > M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \(m \le {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Chọn C
Ta có các phương án A, B, D đúng nên loại. C sai.
\(x = - \alpha + k2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \alpha + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \alpha + k2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Chọn B
Ta có \(\cot x = \cot \alpha \Rightarrow x = \alpha + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
Với \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (\(i = 1,...k\)) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\). Khi đó công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\) .
\(\bar x = \frac{n}{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}\).
\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{{n - 1}}\)
\(\bar x = \frac{{\left( {{m_1}{x_1}} \right) \ldots \left( {{m_k}{x_k}} \right)}}{n}\).
Chọn A
Ta có công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm \(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định định nào sai?
\(\sin 2a = 2\sin a.\cos a.\)
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a.\)
\(\sin 2a = \sin a.\cos a.\)
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\)
Chọn C
Ta có công thức \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a.\) Vậy C. \(\sin 2a = \sin a.\cos a.\) sai.
\(\tan \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cos \alpha < 0\).
\(\cot \alpha < 0\).
Chọn B
Ta có \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên A, C, D đúng. B sai
Chọn công thức đúng trong các công thức sau:
\(\tan (\pi - \alpha ) = \tan \alpha .\)
\(\cot (\pi - \alpha ) = \cot \alpha .\)
\(\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha .\)
\(\cos (\pi - \alpha ) = \cos \alpha .\)
Chọn C
Ta có công thức \(\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha .\)
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
Ta có công thức \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\({u_n} = {u_{n - 1}} - d,\;n \ge 2\).
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,\;n \ge 2\).
\({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{d},\;n \ge 2\).
\({u_n} = {u_{n - 1}}.d\,,\;n \ge 2\).
Chọn B
Ta có công thức \({u_n} = {u_{n - 1}} + d,\;n \ge 2\).
\(2\).
\( - 3\).
\(4\).
\( - 4\).
Chọn B
Ta có công thức \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d \Rightarrow - 6 = 3 + 3d \Rightarrow d = - 3\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
Ta có \(\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(q = 4.\)
\(q = 5\).
\(q = - 4.\)
\(q = - 5\).
Chọn A
Ta có công thức \({u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = - 20: - 5 = 4.\)
\(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
\(\cos \alpha = \frac{1}{3}.\)
\(\cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Chọn A
Ta có công thức \(\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
\({u_6} = 21\).
\({u_6} = 16\).
\({u_6} = - 15\).
\({u_6} = 26\).
Chọn A
Ta có công thức \({u_6} = {u_1} + (6 - 1)d = - 4 + 5.5 = 21\).
Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số giảm?
\(2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,10;...\)
\(1;\,6;\,\,2;\,\,7;\,\,3;\,\,8;...\)
\(2; - 2;2; - 2; - 2;2;...\)
Chọn A
Ta có nên dãy giảm.
Giá trị đại diện của các nhóm \(\left[ {10,5\,\,;\,\,20,5} \right)\) và \(\left[ {30,5\,\,;\,40,5} \right)\)lần lượt là:
\(15,5\,\,v\`a \,\,35,5.\)
\(10,5\,\,v\`a \,\,30,5.\)
\(11\,v\`a \,\,4.\)
\(20,5\,\,v\`a \,\,40,5.\)
Chọn A
Ta có \(\frac{{10,5 + 20,5}}{2} = 15,5;\) \(\frac{{30,5 + 40,5}}{2} = 35,5\).
\({u_4} = - 502.\)
\({u_4} = - 1250.\)
\({u_4} = 80.\)
\({u_4} = - 250.\)
Chọn D
Ta có công thức \({u_4} = {u_1}{q^3} = - {2.5^3} = - 250\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \pi + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
Chọn D
Ta có \(y = \frac{5}{{\sin x + 1}}\) xác định khi \(\sin x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
Đổi số đo \({55^0}\) sang đơn vị radian ta được
\(\frac{{36}}{{11}}\pi \).
\(55\pi \).
\(\frac{{11}}{{36}}\pi \).
\(\frac{{18}}{{5\pi }}\).
Chọn C
Ta có \(\alpha = {55^0} = 55.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{11}}{{36}}\pi \)
\[{S_{19}} = 1995.\]
\[{S_{19}} = 1083.\]
\[{S_{19}} = 969.\]
\[{S_{19}} = - 399.\]
Chọn C
Ta có công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3 = {u_1} + d\\{u_5} = 21 = {u_1} + 4d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\d = 6\end{array} \right.\). Suy ra \[{S_{19}} = \frac{{19}}{2}\left[ {2.( - 3) + (19 - 1)6} \right] = 969.\]
\(P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(P = \frac{1}{2} \cdot \)
\(P = - \frac{1}{2} \cdot \)
Chọn A
Ta có \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}\).
\[{P^2} = {(\sin \alpha - \cos \alpha )^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = > P = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Do \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4}\) nên \(P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Tính số trung vị của mẫu ghép nhóm này.
\(18,1\).
\(17,8.\)
\(18,5.\)
\(17,3\)
Chọn B
Ta có \(n = 64\).
Do \({x_{32}};{x_{33}} \in {\rm{[}}12,5;15,5) \Rightarrow p = 3;{a_3} = 15,5;{m_3} = 18;{m_1} + {m_2} = 18;{a_4} - {a_3} = 3\) nên
\({M_e} = 15,5 + \frac{{\frac{{64}}{2} - 18}}{{18}} \times 3 = 17,8(3)\).
\(56,5\,cm.\)
\(113\sqrt 2 \,cm.\)
\(113\,cm.\)
\(226\,cm.\)
Chọn D
Ta có giá trị lớn nhất của hàm số \(h(t) = 113\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\) bằng \(113\) (đạt tại \(t = 0\)) là chiều cao của ngọn sóng so với trục hoành. Suy ra chiều cao của sóng, khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng bằng hai lần chiều cao của sóng so với trục hoành là \(226\,cm.\)
\[{S_{10}} = 14762.\]
\[{S_{10}} = 7381.\]
\[{S_{10}} = - \frac{{4921}}{2}.\]
\[{S_{10}} = \frac{{29524}}{3}.\]
Chọn B
Ta có công thức \({S_{10}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - \frac{1}{2}.\frac{{1 - {{( - 3)}^{10}}}}{{1 - ( - 3)}} = 7381\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
a. Giải phương trình \[\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
b. Tìm các nghiệm thuộc \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình các phương trình trên.
a. Giải phương trình \[\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\[\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
b. Tìm các nghiệm thuộc \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình các phương trình trên.
Vì \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) nên ta có:
\[\begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{6} + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} < k2\pi < 2\pi - \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow k = 0\,\,\left( {do\,k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\\0 < - \frac{\pi }{6} + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} < k2\pi < 2\pi + \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}} \Rightarrow k = 1\,\,\left( {do\,k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}\end{array}\]
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn: \[x = \frac{\pi }{6},\,\,x = \frac{{11\pi }}{6}\].
Đo cân nặng của một số học sinh lớp 11B cho trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | \(\left[ {40,5\,;\,45,5} \right)\) | \(\left[ {45,5\,;\,50,5} \right)\) | \(\left[ {50,5\,;\,55,5} \right)\) | \(\left[ {55,5\,;\,60,5} \right)\) | \(\left[ {60,5\,;\,65,5} \right)\) | \(\left[ {65,5\,;\,70,5} \right)\) |
Số học sinh | \(12\) | \(9\) | \(15\) | \(5\) | \(2\) | \(1\) |
a. Tính mốt của mẫu số liệu trên?
b. Tìm tứ phân vị thứ 3 của mẫu số liệu ghép nhóm.
a. Tần số lớn nhất là \(16\) nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {50,5\,\,;\,\,55,5} \right)\)
Ta có: \(j = 3,\,\,{a_3} = 50,5\,\,;\,\,{a_4} = 55,5\,\,;\,{m_3} = 15;\,\,{m_2} = 9;\,\,{m_4} = 5;\,\,h = {a_4} - {a_3} = 5\)
Do đó :
\[\begin{array}{l}{M_o} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {n_{j + 1}}} \right)}} \cdot h = {a_3} + \frac{{{m_3} - {m_2}}}{{\left( {{m_3} - {m_2}} \right) + \left( {{m_3} - {m_4}} \right)}} \cdot h\\\,\,\,\,\,\,\, = 50,5 + \frac{{15 - 9}}{{\left( {15 - 9} \right) + \left( {15 - 5} \right)}} \cdot 5 = 52,375\end{array}\]
Cỡ mẫu \[n = 10 + 9 + 15 + 5 + 2 + 3 = 44\]
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{33}} + {x_{34}}}}{2}\) thuộc nhóm \(\left[ {50,5\,;\,55,5} \right)\) tương ứng \(p = 3\).
\(\,\,{a_3} = 50,5\,\,;\,\,{a_4} = 55,5\,\,;\,{m_3} = 15;\,{m_1} + \,{m_2} = 12 + 9 = 21;\,\,{a_4} - {a_3} = 5\)
b. Ta có: \({Q_3} = {a_3} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{{{m_3}}}.\left( {{a_4} - {a_3}} \right) = 50,5 + \frac{{\frac{{3.44}}{4} - 21}}{{15}}.5 = 54,5\)
Cho góc \(\alpha \) thỏa điều kiện \(\frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 7\). Tính giá trị biểu thức \(P = \cos 4\alpha + 2023.\) ?
Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^4}\alpha + {{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha + 1}}{{{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }} = 7\\ \Leftrightarrow 2 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha - 7{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = \frac{2}{9} \Leftrightarrow {\sin ^2}2\alpha = \frac{8}{9}\end{array}\)
Vậy \(P = \cos 4\alpha + 2023 = 1 - 2{\sin ^2}2\alpha + 2023 = 1 - 2.\frac{8}{9} + 2023 = \frac{{18200}}{9}\).
Số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô thứ 64 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 1,\,q = 2\).
Tổng số hạt thóc người đó nhận được là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân đó.
Ta có: \({S_{64}} = \frac{{{u_1}\left( {{q^{64}} - 1} \right)}}{{q - 1}} = \frac{{{2^{64}} - 1}}{{2 - 1}} = {2^{64}} - 1\) (hạt thóc)
Theo giả thiết 1000 hạt thóc nặng 25 gam
Suy ra \(40.000.000\) hạt thóc nặng 1 tấn.
Do đó ta có: \({2^{64}} - 1\) hạt thóc nặng \(\frac{{{2^{64}} - 1}}{{{{4.10}^7}}} \approx 461\) tỉ tấn.
Vậy người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng 461 tỉ tấn thóc.
