Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Trần Hưng Đạo (Gia Lai) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
Có bao nhiêu nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc từ \(25\) phút đến dưới \(30\) phút?
\(84.\)
\(30.\)
\(22\)
\(19\).
Chọn D
Ta có số nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc từ \(25\) phút đến dưới \(30\) phút là \(19\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập giá trị là \(\mathbb{R}\) ?
\(y = \sin x.\)
\(y = \cot x.\)
\(y = {\rm{cos}}x.\)
\(y = \sin x + \cos x.\)
Chọn B
Ta có \(y = \sin x\)\( \in \left[ { - 1;1} \right]\), \(y = {\rm{cos}}x \in \left[ { - 1;1} \right]\), \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\). Loại A, C, D, chọn B.
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
\(2;4;6;8;10;...\)
\(2;3;5;8;13;...\)
\(2;\,\,6;\,\,18;\,\,54;...\)
\(3;9;12;20;...\)
Chọn C
Ta có \(6 = 2.3;\,\,18 = 6.3;\,\,54 = 18.3\) nên dãy \(2;\,\,6;\,\,18;\,\,54;...\) là cấp số nhân \(q = 3\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \tan x.\)
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \cot x.\)
Chọn C
Ta có \(\cos ( - x) = \cos x,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
1; 5; 7; 8;..
\[2;\,3;\,6;\,7;10;...\]
\[6;8;10;12;14;...\]
\[5;8;4;12;...\]
Chọn C
Ta có \(8 = 6 + 2;10 = 8 + 2;12 = 10 + 2;14 = 12 + 2;...\) nên dãy \[6;8;10;12;14;...\]là cấp số cộng.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giả sử nhóm chứa trung vị là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\).
Với \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\). Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).
Khi đó công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} + {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).
Chọn C
Ta có công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm \({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{u_n} = {u_1}.{q^n}\,(n \ge 2)\] .
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n + 1}}\,(n \ge 2)\].
\[{u_n} = {q^{n\,}}\,(n \ge 2)\].
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\,(n \ge 2)\].
Chọn D
Ta có công thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\,,n \ge 2.\]
Trong các khẳng định sau, khẳng định định nào đúng?
\(\sin \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \sin b\cos a.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a.\)
Chọn B
Ta có công thức \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \sin b\cos a\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = 7n - 3\) với \(n \ge 1\). Số hạng \({u_6}\) bằng:
\(45\).
\(4\).
\(39\).
\(42\).
Chọn C
Ta có \({u_n} = 7n - 3\) \( \Rightarrow {u_6} = 7.6 - 3 = 39\).
Phương trình nào sau đây có nghiệm?
\({\rm{cos}}x = \frac{5}{3}\).
\(\cos x = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(\sin x = - \frac{6}{5}\)
\[\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
Chọn D
Ta có \[\left| { - \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right| \le 1\] nên phương trình có nghiệm là \[\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
Chọn công thức đúng trong các công thức sau:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\({\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(1 + {\tan ^2}\alpha = - \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\).
Chọn A
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
Điều tra về điểm kiểm tra giữa HKI của \(36\) học sinh lớp 11A ta được kết quả sau:
Tìm cỡ mẫu của bảng số liệu trên?
\(21\).
\(42\).
\(30\).
\(15.\).
Chọn B
Ta có \(1 + 5 + 12 + 15 + 9 = 42\).
Cho dãy số \(({u_n})\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(m\), \(M\) sao cho \(m \le M \le {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} > M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \(m \le {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Chọn C
Ta có các phương án A, B, D đúng nên loại. C sai.
Tìm công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản \(\cot x = \cot \alpha \).
\(x = - \alpha + k2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \alpha + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \alpha + k2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Chọn B
Ta có \(\cot x = \cot \alpha \Rightarrow x = \alpha + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Với \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (\(i = 1,...k\)) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\). Khi đó công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\) .
\(\bar x = \frac{n}{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}\).
\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{{n - 1}}\)
\(\bar x = \frac{{\left( {{m_1}{x_1}} \right) \ldots \left( {{m_k}{x_k}} \right)}}{n}\).
Chọn A
Ta có công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm \(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định định nào sai?
\(\sin 2a = 2\sin a.\cos a.\)
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a.\)
\(\sin 2a = \sin a.\cos a.\)
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\)
Chọn C
Ta có công thức \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a.\) Vậy C. \(\sin 2a = \sin a.\cos a.\) sai.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\tan \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cos \alpha < 0\).
\(\cot \alpha < 0\).
Chọn B
Ta có \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên A, C, D đúng. B sai
Chọn công thức đúng trong các công thức sau:
\(\tan (\pi - \alpha ) = \tan \alpha .\)
\(\cot (\pi - \alpha ) = \cot \alpha .\)
\(\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha .\)
\(\cos (\pi - \alpha ) = \cos \alpha .\)
Chọn C
Ta có công thức \(\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha .\)
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
Ta có công thức \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]là một cấp số cộng với công sai \(d\), ta có công thức truy hồi
\({u_n} = {u_{n - 1}} - d,\;n \ge 2\).
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,\;n \ge 2\).
\({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{d},\;n \ge 2\).
\({u_n} = {u_{n - 1}}.d\,,\;n \ge 2\).
Chọn B
Ta có công thức \({u_n} = {u_{n - 1}} + d,\;n \ge 2\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \({u_4} = - 6\) .Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
\(2\).
\( - 3\).
\(4\).
\( - 4\).
Chọn B
Ta có công thức \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d \Rightarrow - 6 = 3 + 3d \Rightarrow d = - 3\).
Giải phương trình: \(\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
Ta có \(\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 5,\,\,{u_2} = - 20\). Tìm công bội \(q\)của cấp số nhân?
\(q = 4.\)
\(q = 5\).
\(q = - 4.\)
\(q = - 5\).
Chọn A
Ta có công thức \({u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = - 20: - 5 = 4.\)
Biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị \[\cos \alpha \] bằng
\(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
\(\cos \alpha = \frac{1}{3}.\)
\(\cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Chọn A
Ta có công thức \(\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 4\) và \(d = 5\). Chọn khẳng định đúng:
\({u_6} = 21\).
\({u_6} = 16\).
\({u_6} = - 15\).
\({u_6} = 26\).
Chọn A
Ta có công thức \({u_6} = {u_1} + (6 - 1)d = - 4 + 5.5 = 21\).
Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số giảm?
25; 20; 15; 10; 5; ...
\(2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,10;...\)
\(1;\,6;\,\,2;\,\,7;\,\,3;\,\,8;...\)
\(2; - 2;2; - 2; - 2;2;...\)
Chọn A
Ta có 25< 20< 15< 10< 5; ... nên dãy 25; 20; 15; 10; 5; ... giảm.
Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:
Giá trị đại diện của các nhóm \(\left[ {10,5\,\,;\,\,20,5} \right)\) và \(\left[ {30,5\,\,;\,40,5} \right)\)lần lượt là:
\(15,5\,\,v\`a \,\,35,5.\)
\(10,5\,\,v\`a \,\,30,5.\)
\(11\,v\`a \,\,4.\)
\(20,5\,\,v\`a \,\,40,5.\)
Chọn A
Ta có \(\frac{{10,5 + 20,5}}{2} = 15,5;\) \(\frac{{30,5 + 40,5}}{2} = 35,5\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 2\) và công bội \(q = 5\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({u_4} = - 502.\)
\({u_4} = - 1250.\)
\({u_4} = 80.\)
\({u_4} = - 250.\)
Chọn D
Ta có công thức \({u_4} = {u_1}{q^3} = - {2.5^3} = - 250\).
Tập xác định của hàm số\(y = \frac{5}{{\sin x + 1}}\) là:
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \pi + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
Chọn D
Ta có \(y = \frac{5}{{\sin x + 1}}\) xác định khi \(\sin x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
Đổi số đo \({55^0}\) sang đơn vị radian ta được
\(\frac{{36}}{{11}}\pi \).
\(55\pi \).
\(\frac{{11}}{{36}}\pi \).
\(\frac{{18}}{{5\pi }}\).
Chọn C
Ta có \(\alpha = {55^0} = 55.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{11}}{{36}}\pi \)
Cho cấp số cộng có \[{u_2} = 3;\,\,{u_5} = 21\]. Tính tổng 19 số hạng đầu của cấp số cộng?
\[{S_{19}} = 1995.\]
\[{S_{19}} = 1083.\]
\[{S_{19}} = 969.\]
\[{S_{19}} = - 399.\]
Chọn C
Ta có công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3 = {u_1} + d\\{u_5} = 21 = {u_1} + 4d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\d = 6\end{array} \right.\). Suy ra \[{S_{19}} = \frac{{19}}{2}\left[ {2.( - 3) + (19 - 1)6} \right] = 969.\]
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4}\) và \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\). Tính \(P = \sin \alpha - \cos \alpha .\)
\(P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(P = \frac{1}{2} \cdot \)
\(P = - \frac{1}{2} \cdot \)
Chọn A
Ta có \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}\).
\[{P^2} = {(\sin \alpha - \cos \alpha )^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = > P = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Do \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4}\) nên \(P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Thời gian(phút) truy cập Internet của mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau
Tính số trung vị của mẫu ghép nhóm này.
\(18,1\).
\(17,8.\)
\(18,5.\)
\(17,3\)
Chọn B
Ta có \(n = 64\).
Do \({x_{32}};{x_{33}} \in {\rm{[}}12,5;15,5) \Rightarrow p = 3;{a_3} = 15,5;{m_3} = 18;{m_1} + {m_2} = 18;{a_4} - {a_3} = 3\) nên
\({M_e} = 15,5 + \frac{{\frac{{64}}{2} - 18}}{{18}} \times 3 = 17,8(3)\).
Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số \(h(t) = 113\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\), trong đó \(h(t)\) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây. Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
\(56,5\,cm.\)
\(113\sqrt 2 \,cm.\)
\(113\,cm.\)
\(226\,cm.\)
Chọn D
Ta có giá trị lớn nhất của hàm số \(h(t) = 113\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\) bằng \(113\) (đạt tại \(t = 0\)) là chiều cao của ngọn sóng so với trục hoành. Suy ra chiều cao của sóng, khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng bằng hai lần chiều cao của sóng so với trục hoành là \(226\,cm.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({u_1} = - \frac{1}{2}\,;\,q = - 3\). Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân?
\[{S_{10}} = 14762.\]
\[{S_{10}} = 7381.\]
\[{S_{10}} = - \frac{{4921}}{2}.\]
\[{S_{10}} = \frac{{29524}}{3}.\]
Chọn B
Ta có công thức \({S_{10}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - \frac{1}{2}.\frac{{1 - {{( - 3)}^{10}}}}{{1 - ( - 3)}} = 7381\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
a. Giải phương trình \[\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
b. Tìm các nghiệm thuộc \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình các phương trình trên.
a. Giải phương trình \[\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\[\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
b. Tìm các nghiệm thuộc \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình các phương trình trên.
Vì \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) nên ta có:
\[\begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{6} + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} < k2\pi < 2\pi - \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow k = 0\,\,\left( {do\,k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\\0 < - \frac{\pi }{6} + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} < k2\pi < 2\pi + \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}} \Rightarrow k = 1\,\,\left( {do\,k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}\end{array}\]
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn: \[x = \frac{\pi }{6},\,\,x = \frac{{11\pi }}{6}\].
Đo cân nặng của một số học sinh lớp 11B cho trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | \(\left[ {40,5\,;\,45,5} \right)\) | \(\left[ {45,5\,;\,50,5} \right)\) | \(\left[ {50,5\,;\,55,5} \right)\) | \(\left[ {55,5\,;\,60,5} \right)\) | \(\left[ {60,5\,;\,65,5} \right)\) | \(\left[ {65,5\,;\,70,5} \right)\) |
Số học sinh | \(12\) | \(9\) | \(15\) | \(5\) | \(2\) | \(1\) |
a. Tính mốt của mẫu số liệu trên?
b. Tìm tứ phân vị thứ 3 của mẫu số liệu ghép nhóm.
a. Tần số lớn nhất là \(16\) nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {50,5\,\,;\,\,55,5} \right)\)
Ta có: \(j = 3,\,\,{a_3} = 50,5\,\,;\,\,{a_4} = 55,5\,\,;\,{m_3} = 15;\,\,{m_2} = 9;\,\,{m_4} = 5;\,\,h = {a_4} - {a_3} = 5\)
Do đó :
\[\begin{array}{l}{M_o} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {n_{j + 1}}} \right)}} \cdot h = {a_3} + \frac{{{m_3} - {m_2}}}{{\left( {{m_3} - {m_2}} \right) + \left( {{m_3} - {m_4}} \right)}} \cdot h\\\,\,\,\,\,\,\, = 50,5 + \frac{{15 - 9}}{{\left( {15 - 9} \right) + \left( {15 - 5} \right)}} \cdot 5 = 52,375\end{array}\]
Cỡ mẫu \[n = 10 + 9 + 15 + 5 + 2 + 3 = 44\]
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{33}} + {x_{34}}}}{2}\) thuộc nhóm \(\left[ {50,5\,;\,55,5} \right)\) tương ứng \(p = 3\).
\(\,\,{a_3} = 50,5\,\,;\,\,{a_4} = 55,5\,\,;\,{m_3} = 15;\,{m_1} + \,{m_2} = 12 + 9 = 21;\,\,{a_4} - {a_3} = 5\)
b. Ta có: \({Q_3} = {a_3} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{{{m_3}}}.\left( {{a_4} - {a_3}} \right) = 50,5 + \frac{{\frac{{3.44}}{4} - 21}}{{15}}.5 = 54,5\)
Cho góc \(\alpha \) thỏa điều kiện \(\frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 7\). Tính giá trị biểu thức \(P = \cos 4\alpha + 2023.\) ?
Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^4}\alpha + {{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }} = 7\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha + 1}}{{{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }} = 7\\ \Leftrightarrow 2 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha - 7{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = \frac{2}{9} \Leftrightarrow {\sin ^2}2\alpha = \frac{8}{9}\end{array}\)
Vậy \(P = \cos 4\alpha + 2023 = 1 - 2{\sin ^2}2\alpha + 2023 = 1 - 2.\frac{8}{9} + 2023 = \frac{{18200}}{9}\).
(0,5 điểm)Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: ''Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt,ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai,… cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô''. Hỏi người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 1000 hạt thóc nặng 25 gam).
Số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô thứ 64 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 1,\,q = 2\).
Tổng số hạt thóc người đó nhận được là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân đó.
Ta có: \({S_{64}} = \frac{{{u_1}\left( {{q^{64}} - 1} \right)}}{{q - 1}} = \frac{{{2^{64}} - 1}}{{2 - 1}} = {2^{64}} - 1\) (hạt thóc)
Theo giả thiết 1000 hạt thóc nặng 25 gam
Suy ra \(40.000.000\) hạt thóc nặng 1 tấn.
Do đó ta có: \({2^{64}} - 1\) hạt thóc nặng \(\frac{{{2^{64}} - 1}}{{{{4.10}^7}}} \approx 461\) tỉ tấn.
Vậy người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng 461 tỉ tấn thóc.
