Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Phan Bội Châu (Bình Định) năm 2023-2024 (có đáp án)

Tứ phân vị thứ nhất \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\) thuộc nhóm \[{\rm{[}}20;40)\]

Chọn D

Hàm số xác định khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\)

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm \(y = \sin x\). Hàm số đồng biến trên khoảng  \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)

Chọn D

Giá trị đại diện của nhóm : \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\)

Chọn D

Số hạng tổng quát của dãy số là :\({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\)

Chọn B

Ta có \[\cos \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{{7\pi }}{{30}} + \sin \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{{7\pi }}{{30}} = \cos (\frac{\pi }{{15}} - \frac{{7\pi }}{{30}}) = \cos ( - \frac{\pi }{6}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Chọn D

Ta có : \[\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right]\].

\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 =  - \frac{7}{9}\);  \(\cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 =  - \frac{7}{8}\)

Do đó : \[\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right] = \frac{1}{2}\left( { - \frac{7}{9} - \frac{7}{8}} \right) =  - \frac{{119}}{{144}}\].

Chọn D

Phương trình \[\sin x = 1\] trên đoạn \[{\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\]: có nghiệm \[x = \frac{\pi }{2}\].

Chọn B

Dựa vào đường tròn lượng giác \(\sin \alpha  < 0;\,\,\cos \alpha  < 0\)

Chọn C

Giả sử cấp số cộng thu được là  \(2;\,a;\,b;\,c\,;22\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2 + b = 2a\\a + c = 2b\\b + 22 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 12\\c = 17\end{array} \right.\)

Chọn A

Đáp án A là cấp số nhân với công bội \(q =  - 1\)

Đáp án A là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{3}\)

Đáp án A là cấp số nhân với công bội \(q = 0\)

Chọn C

Ta có \({M_0} = {a_3} + \frac{{{m_3} - {m_2}}}{{({m_3} - {m_2}) + ({m_3} - {m_4})}}.h = 20 + \frac{{7 - 6}}{{(7 - 6) + (7 - 5)}}.10 = \frac{{70}}{3}\)

Chọn A

Ta có \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\) là hàm số chẳn

Chọn C

Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) ta có dạng khai triển: \( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}...\).

Chọn C

Ta có \[{M_e} = {a_3} + \frac{{\frac{n}{2} - ({m_1} + {m_2})}}{{{m_3}}}.({a_3} - {a_2}) = 20 + \frac{{\frac{{25}}{2} - (4 + 6)}}{7}.10 = \frac{{165}}{7}\]

Chọn B

Áp dụng công thức \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) ta có  \({u_4} = {u_1}{q^3} \Rightarrow {q^3} = \frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} =  - 8 \Rightarrow q =  - 2\)

Lại có \({u_6} = {u_1}{q^5} = 5.{( - 2)^5} =  - 160\).

Chọn C

Ta có \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,,(k \in \mathbb{Z})\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\)

Chọn B

Chọn A

Vì Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \) nên đáp án C sai.

Chọn C

Theo công thức tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) do đó \(\frac{1}{{{{10}^{103}}}} =  - 1.{\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Rightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104\)

Chọn D

Chọn A

Công sai d của cấp số cộng : \(d = {u_4} - {u_3} = 4 - 7 = - 3\)

              Chọn D

Ta có:

\[\begin{array}{l}A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\\\,\,\,\,\, = \sin \alpha  + \cos \alpha  + \sin \alpha  - \cos \alpha  = 2\sin \alpha \end{array}\]

 Chọn A

Ta có

\[\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \frac{\pi }{4}.\sin x + \cos \frac{\pi }{4}.\cos x} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\].        

Chọn B

Mỗi đường tròn định hướng có bán kính \(R = 1\), tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

Chọn B

Những số nguyên dương chia hết cho \(7\) có dạng \(7n\)

Do đó \[{u_n} = 7n\].

Chọn B

Chọn A

Hàm số  \(y = \sin \omega x,\,\,\omega  > 0\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{{2\pi }}{\omega }\). Do đó \(y = 2023\sin \frac{1}{2}x\) tuần hoàn với chu kì \(4\pi \).

Chọn A

Áp dụng công thức \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\)

Ta có \[{u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25\]

Chọn C

Ta có \({18^0} = 18.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10}}\,(rad)\)

Chọn B

Ta có \({u_1} = 2;\,{u_2} = 2{u_1} - 1 = 3;\,{u_3} = 2{u_2} - 1 = 5\).

              Chọn B

Vì \(A,\,B\,,C\) là ba góc tam giác nên \(A + B + C = {180^0}\)

Khi đó \(\cos (A + C) = \cos ({180^0} - B) =  - \cos B\)

Chọn D

Giả sử cấp số cộng đã cho có số hạng đầu \({u_1}\)và công sai \(d\)

Theo đề ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{20}} = 135\\{u_{35}} = 240\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 19d = 135\\{u_1} + 34d = 240\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 7\end{array} \right.\)

Khi đó \({u_{90}} = {u_1} + 89d = 2 + 89.7 = 625\)

Chọn A

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Khi đó \({u_5} = {u_1}{q^4} =  - 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} =  - \frac{{16}}{{27}}\)

Chọn A

Ta có : \({u_5} = \frac{{2.5 - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{9}{{28}}\)

 Chọn D

Ta có : \[\sin 2x = \sin \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = (\pi  - \frac{\pi }{4}) + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]

Ta có

Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là:

\(\overline x  = \frac{{2.2 + 4.6 + 7.10 + 4.14 + 3.18}}{{20}} = 10,4\)(phút).

Ta có: \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow h = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12 \le 15\)

Mực nước của kênh là cao nhất khi và chỉ khi: \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = 1 + 12k,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(t > 0 \Leftrightarrow 1 + 12k > 0 \Leftrightarrow k >  - \frac{1}{{12}}\). Chọn \(k = 0 \Rightarrow t = 1\).

Vậy thời gian ngắn nhất để mực nước kênh cao nhất là 1 giờ.

Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì

\({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \frac{b}{a} \Leftrightarrow {x_2} + 2{x_2} =  - \frac{b}{a} \Leftrightarrow 3{x_2} =  - \frac{b}{a} \Leftrightarrow {x_2} =  - \frac{b}{{3a}} =  - \frac{{ - 9}}{3} = 3\)

Suy ra

\({3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1,m = 2,m = 3\)

Với \(m =  - 1,m = 2,m = 3\)thì \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\) nên \({m^3} - 4{m^2} + m - 9 =  - 15\)

Do vậy, với \(m =  - 1,m = 2,m = 3\) ta có phương trình

\({x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5\)

Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng. Vậy \(m =  - 1,m = 2,m = 3\)là các giá trị cần tìm. Do đó \({( - 1)^3} + {2^3} + {3^3} = 34\)