Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Phan Bội Châu (Bình Định) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
\(\left[ {40;60} \right)\).
\(\left[ {60;80} \right)\).
\(\left[ {0;20} \right)\).
\(\left[ {20;40} \right)\).
Tứ phân vị thứ nhất \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\) thuộc nhóm \[{\rm{[}}20;40)\]
Chọn D
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in Z} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in Z} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in Z} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in Z} \right\}\).
Hàm số xác định khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\)
Chọn C
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng nào ?
\(\left( {0;\pi } \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).
\(\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm \(y = \sin x\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)
Chọn D
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) là
\(20\).
\(40\).
\(10\).
\(30\).
Giá trị đại diện của nhóm : \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\)
Chọn D
Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(\frac{1}{5};\frac{1}{{{5^2}}};\frac{1}{{{5^3}}};\frac{1}{{{5^4}}};\frac{1}{{{5^5}}};...\)Số hạng tổng quát của dãy số này là?
\({u_n} = \frac{1}{{{5^{n - 1}}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{5}.\frac{1}{{{5^{n + 1}}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{5^{n + 1}}}}\).
Số hạng tổng quát của dãy số là :\({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\)
Chọn B
Giá trị của biểu thức \[\cos \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{{7\pi }}{{30}} + \sin \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{{7\pi }}{{30}}\] là
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \[\cos \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{{7\pi }}{{30}} + \sin \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{{7\pi }}{{30}} = \cos (\frac{\pi }{{15}} - \frac{{7\pi }}{{30}}) = \cos ( - \frac{\pi }{6}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
Chọn D
Biết \(\cos a = \frac{1}{3}\), \(\cos b = \frac{1}{4}\). Giá trị \[\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right)\] bằng
\[ - \frac{{113}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{115}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{117}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{119}}{{144}}.\]
Ta có : \[\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right]\].
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = - \frac{7}{9}\); \(\cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = - \frac{7}{8}\)
Do đó : \[\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right] = \frac{1}{2}\left( { - \frac{7}{9} - \frac{7}{8}} \right) = - \frac{{119}}{{144}}\].
Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm số \[y = \sin x\]. Nghiệm của phương trình \[\sin x = 1\] trên đoạn \[{\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\] là:
\[ - \frac{{3\pi }}{2}\].
\[\frac{\pi }{2}\].
\[\pi \].
\[ - \frac{\pi }{2}\].
Phương trình \[\sin x = 1\] trên đoạn \[{\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\]: có nghiệm \[x = \frac{\pi }{2}\].
Chọn B
Cho \[\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\]. Kết quả đúng là
\[\sin a > 0\], \[\cos a > 0\].
\[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa > 0\].
![Phương trình \[\sin x = 1\] trên đoạn \[{\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\]: có nghiệm \[x = \frac{\pi }{2}\]. Chọn B (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/4-1764124053.png)
Dựa vào đường tròn lượng giác \(\sin \alpha < 0;\,\,\cos \alpha < 0\)
Chọn C
Ba số xen giữa các số \(2\) và \(22\) để được cấp số cộng có \(5\) số hạng là
\[7;{\rm{ }}12;{\rm{ }}17\].
\[8;13;18\;\].
\[6;12;18\].
\[6;{\rm{ }}10;14\].
Giả sử cấp số cộng thu được là \(2;\,a;\,b;\,c\,;22\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2 + b = 2a\\a + c = 2b\\b + 22 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 12\\c = 17\end{array} \right.\)
Chọn A
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
\(2; - 2;2; - 2\).
\(81;27;9;3\).
\(1; - 3;9;10\).
\(1;0;0;0\).
Đáp án A là cấp số nhân với công bội \(q = - 1\)
Đáp án A là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{3}\)
Đáp án A là cấp số nhân với công bội \(q = 0\)
Chọn C
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của \(25\) cây dừa giống như sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_o} = \frac{{70}}{3}\).
\({M_o} = \frac{{80}}{3}\).
\({M_o} = \frac{{50}}{3}\).
\({M_o} = \frac{{70}}{2}\).
Ta có \({M_0} = {a_3} + \frac{{{m_3} - {m_2}}}{{({m_3} - {m_2}) + ({m_3} - {m_4})}}.h = 20 + \frac{{7 - 6}}{{(7 - 6) + (7 - 5)}}.10 = \frac{{70}}{3}\)
Chọn A
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẳn?
\(y = \frac{{\tan x}}{{\cos x}}\).
\(y = \frac{{\cot x}}{{\cos x}}\).
\(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).
\(y = {\sin ^2}x + x\).
Ta có \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\) là hàm số chẳn
Chọn C
Cho một cấp số cộng có \[{u_1} = - \frac{1}{2}\], \[d = \frac{1}{2}\]. Hãy chọn kết quả đúng
Dạng khai triển: \( - \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1...\).
Dạng khai triển: \( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}...\).
Dạng khai triển: \( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}...\).
Dạng khai triển: \(\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}...\).
Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) ta có dạng khai triển: \( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}...\).
Chọn C
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của \(25\) cây dừa giống như sau:
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_e} = \frac{{165}}{3}\).
\({M_e} = \frac{{165}}{7}\).
\({M_e} = \frac{{165}}{5}\).
\({M_e} = \frac{{175}}{7}\).
Ta có \[{M_e} = {a_3} + \frac{{\frac{n}{2} - ({m_1} + {m_2})}}{{{m_3}}}.({a_3} - {a_2}) = 20 + \frac{{\frac{{25}}{2} - (4 + 6)}}{7}.10 = \frac{{165}}{7}\]
Chọn B
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 5\); \({u_4} = - 40\). Số hạng thứ sáu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là
\({u_6} = 320\).
\({u_6} = 160\).
\({u_6} = - 160\).
\({u_6} = - 320\).
Áp dụng công thức \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) ta có \({u_4} = {u_1}{q^3} \Rightarrow {q^3} = \frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = - 8 \Rightarrow q = - 2\)
Lại có \({u_6} = {u_1}{q^5} = 5.{( - 2)^5} = - 160\).
Chọn C
Phương trình \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có tất cả các nghiệm là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
Ta có \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,,(k \in \mathbb{Z})\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\)
Chọn B
Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?
\[\sin x = \pi \]
\(\tan x = 2023\)
\[\cos x = \frac{{2023}}{{2024}}\]
\[\sin x + \cos x = \sqrt 2 \]
Vì \(\pi > 1\) nên phương trình \[\sin x = \pi \] vô nghiệm.
Chọn A
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Vì Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \) nên đáp án C sai.
Chọn C
Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \({u_1} = - 1,\,q = - \frac{1}{{10}}\). Số \(\frac{1}{{{{10}^{103}}}}\) là số hạng thứ mấy của dãy?
Số hạng thứ \[103\].
Số hạng thứ \[102\].
Số hạng thứ \[101\].
Số hạng thứ \[104\].
Theo công thức tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) do đó \(\frac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Rightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104\)
Chọn D
Dãy số nào sau đây là dãy số tăng?
\(3;\,5\,;\,7\,;\,9\).
\(1\,;\,1\,;\,1\,;\,1\).
\(3\,;\, - 6\,;\,12\,;\, - 24\).
\(\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{9}\,;\,\frac{1}{{27}}\,;\,\frac{1}{{81}}\).
Chọn A
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} = 7\) và \({u_4} = 4\). Công sai \(d\) của cấp số cộng đã cho là
\(d = 3\).
\(d = - 11\).
\(d = \frac{4}{7}\).
\(d = - 3\).
Công sai d của cấp số cộng : \(d = {u_4} - {u_3} = 4 - 7 = - 3\)
Chọn D
Đơn giản biểu thức \[A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\], ta được
\[A = 2\sin a\].
\[A = 0\].
\[A = 2\cos a\].
A=sina–cosa.
Ta có:
\[\begin{array}{l}A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\\\,\,\,\,\, = \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha = 2\sin \alpha \end{array}\]
Chọn A
Với góc \[x\] bất kì ta có
\[{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1\].
\[\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = 1\].
\[\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\].
Ta có
\[\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \frac{\pi }{4}.\sin x + \cos \frac{\pi }{4}.\cos x} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\].
Chọn B
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về \(''\)đường tròn lượng giác\(''\)?
Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính \(R = 1\), tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn có bán kính \(R = 1\) là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn có bán kính \(R = 1\), tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính \(R = 1\), tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Chọn B
Với \[n \in {\mathbb{N}^*}\], cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] gồm các số nguyên dương chia hết cho \[7\]: \[7\], \[14\], \[21\], \[28\], …Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là
\[{u_n} = 7n + 7\].
\[{u_n} = 7n\].
\[{u_n} = 7{n^2}\].
\[{u_n} = 7n - 7\].
Những số nguyên dương chia hết cho \(7\) có dạng \(7n\)
Do đó \[{u_n} = 7n\].
Chọn B
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \(A\),\(B\),\(C\),\(D\). Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\[y = \sin x\].
\(y = \cos x\).
\[y = 1 + \sin x\].
\[y = 1 - \sin x\].
Chọn A
Hàm số \(y = 2023\sin \frac{1}{2}x\) có chu kì là:
\(4\pi \).
\(\pi \).
\(2\pi \).
\(2023\pi \).
Hàm số \(y = \sin \omega x,\,\,\omega > 0\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{{2\pi }}{\omega }\). Do đó \(y = 2023\sin \frac{1}{2}x\) tuần hoàn với chu kì \(4\pi \).
Chọn A
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = - 2\] và công sai \[d = 3\]. Số hạng \[{u_{10}}\] là
\({u_{10}} = - 29\).
\({u_{10}} = 28\).
\({u_{10}} = 25\).
\({u_{10}} = - {2.3^9}\).
Áp dụng công thức \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\)
Ta có \[{u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25\]
Chọn C
Đổi số đo của góc \[18^\circ \] sang đơn vị radian là
\(\frac{{3\pi }}{5}.\)
\(\frac{\pi }{{10}}.\)
\(\frac{\pi }{4}.\)
\(\frac{{3\pi }}{2}.\)
Ta có \({18^0} = 18.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10}}\,(rad)\)
Chọn B
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\], biết \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - 1\end{array} \right.\],\(n \ge 1\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là
\[ - 1;3;7.\]
\[2;\,3;\,5\].
\[ - 1;\,2;\,3\].
\[2;\,5;\,11\].
Ta có \({u_1} = 2;\,{u_2} = 2{u_1} - 1 = 3;\,{u_3} = 2{u_2} - 1 = 5\).
Chọn B
Biết \[A,B,C\] là các góc của tam giác \[ABC\], mệnh đề nào sau đây đúng?
\[\sin \left( {A + C} \right) = - \sin B\].
\[\tan \left( {A + C} \right) = \tan B\].
\[\cot \left( {A + C} \right) = \cot B\].
\[\cos \left( {A + C} \right) = - \cos B\].
Vì \(A,\,B\,,C\) là ba góc tam giác nên \(A + B + C = {180^0}\)
Khi đó \(\cos (A + C) = \cos ({180^0} - B) = - \cos B\)
Chọn D
Số hạng thứ \(20\) của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(135\) và số hạng thứ \(35\) bằng \(240\). Số hạng thứ \(90\) của cấp số cộng đó là
\({u_{90}} = 625.\)
\({u_{90}} = 652.\)
\({u_{90}} = 185.\)
\({u_{90}} = 632.\)
Giả sử cấp số cộng đã cho có số hạng đầu \({u_1}\)và công sai \(d\)
Theo đề ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{20}} = 135\\{u_{35}} = 240\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 19d = 135\\{u_1} + 34d = 240\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 7\end{array} \right.\)
Khi đó \({u_{90}} = {u_1} + 89d = 2 + 89.7 = 625\)
Chọn A
Cho cấp số nhân có \({u_1} = - 3\), \(q = \frac{2}{3}\). Số hạng \({u_5}\) là
\({u_5} = \frac{{ - 16}}{{27}}.\)
\({u_5} = \frac{{16}}{{27}}.\)
\({u_5} = \frac{{27}}{{16}}.\)
\({u_5} = \frac{{ - 27}}{{16}}.\)
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)
Khi đó \({u_5} = {u_1}{q^4} = - 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} = - \frac{{16}}{{27}}\)
Chọn A
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{{n^2} + 3}}.\) Số hạng \({u_5}\) là
\({u_5} = \frac{7}{4}.\)
\({u_5} = \frac{{17}}{{12}}.\)
\({u_5} = \frac{{71}}{{39}}.\)
\({u_5} = \frac{9}{{28}}.\)
Ta có : \({u_5} = \frac{{2.5 - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{9}{{28}}\)
Chọn D
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Giải phương trình sau: \(\sin 2x = \sin \frac{\pi }{4}\).
Ta có : \[\sin 2x = \sin \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = (\pi - \frac{\pi }{4}) + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]
Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Tính thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh. (làm tròn 1 chữ số thập phân)
Ta có
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là:
\(\overline x = \frac{{2.2 + 4.6 + 7.10 + 4.14 + 3.18}}{{20}} = 10,4\)(phút).
Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\left( h \right)\) được cho bởi công thức \(h = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\). Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
Ta có: \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow h = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12 \le 15\)
Mực nước của kênh là cao nhất khi và chỉ khi: \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = 1 + 12k,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(t > 0 \Leftrightarrow 1 + 12k > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{{12}}\). Chọn \(k = 0 \Rightarrow t = 1\).
Vậy thời gian ngắn nhất để mực nước kênh cao nhất là 1 giờ.
Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị \({m_1},{m_2},{m_3}\) của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(P = m_1^3 + m_2^3 + m_3^3\).
Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì
\({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} \Leftrightarrow {x_2} + 2{x_2} = - \frac{b}{a} \Leftrightarrow 3{x_2} = - \frac{b}{a} \Leftrightarrow {x_2} = - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3\)
Suy ra
\({3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = - 1,m = 2,m = 3\)
Với \(m = - 1,m = 2,m = 3\)thì \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\) nên \({m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15\)
Do vậy, với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) ta có phương trình
\({x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5\)
Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng. Vậy \(m = - 1,m = 2,m = 3\)là các giá trị cần tìm. Do đó \({( - 1)^3} + {2^3} + {3^3} = 34\)
