21 câu hỏi
\(A = 0\).
\(A = \cos \alpha + \sin \alpha \).
\(A = 2\sin \alpha \).
\(A = \sin \alpha - \cos \alpha \).
Chọn A.
Ta có \(A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha - \sin \alpha = 0\).
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{3\pi }}{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn B.
Phương trình \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\cos x = - \frac{3}{2}\).
\(\cos x = \frac{1}{3}\).
\(\cos x = \frac{1}{2}\).
\(\cos x = 1\).
Chọn A.
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\) mà \( - \frac{3}{2} < - 1\) nên phương trình \(\cos x = - \frac{3}{2}\) vô nghiệm.
\(\cos 6a = {\cos ^2}3a - {\sin ^2}3a\).
\(\cos 6a = 1 - 2{\sin ^2}3a\).
\(\cos 6a = 1 - 6{\sin ^2}a\).
\(\cos 6a = 2{\cos ^2}3a - 1\).
Chọn C.
Theo công thức nhân đôi,
\(\cos 6a = \cos \left( {2 \cdot 3a} \right) = {\cos ^2}3a - {\sin ^2}3a = 1 - 2{\sin ^2}3a = 2{\cos ^2}3a - 1\).
Khẳng định \(\cos 6a = 1 - 6{\sin ^2}a\) là sai.
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = \cot x\).
\(y = \sin x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cos x\).
Chọn D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \[\left( {0;\,\,1} \right)\], nhận trục tung làm trục đối xứng và có chu kỳ \(2\pi \), đây là đồ thị hàm số \(y = \cos x\).
Cho góc hình học \(uOv = 60^\circ \). Xác định số đo của góc lượng giác \(\left( {Ou,\,\,Ov} \right)\) trong hình sau.
\(780^\circ \).
\( - 660^\circ \).
\(660^\circ \).
\( - 780^\circ \).
Chọn B.
Mũi tên chỉ chiều quay cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm). Từ tia đầu \(Ou\), tia quay trọn 1 vòng đầy đủ rồi quay tiếp một góc \(360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \) theo chiều âm đến tia cuối \(Ov\). Do đó số đo góc lượng giác là \( - 360^\circ - 300^\circ = - 660^\circ \).
\(\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x = \sin 2x\).
\(\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x = \cos 2x\).
\(\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x = \cos 4x\).
\(\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x = \sin 4x\).
Chọn D.
Áp dụng công thức cộng: \(\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x = \sin \left( {3x + x} \right) = \sin 4x\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 21 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\sin \alpha + \cos \alpha = 1\).
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha = 1\).
\({\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = 1\).
Chọn B.
Công thức lượng giác cơ bản là \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(D = \mathbb{R}\,{\rm{\backslash }}\,\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\,{\rm{\backslash }}\,\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\).
\(D = \mathbb{R}\,{\rm{\backslash }}\,\left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B.
Hàm số \(y = \tan x\) xác định khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Tập xác định là \(D = \mathbb{R}\,{\rm{\backslash }}\,\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{\pi }{3};\,\,\frac{{2\pi }}{3}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{{2\pi }}{3}} \right\}\).
Chọn D.
Phương trình \(3\tan \frac{x}{4} - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \tan \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \frac{x}{4} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \).
Với \(x \in \left[ {0;\,\,2\pi } \right) \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}\).
\(y = \cot x\).
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan x\).
Chọn C.
Trong bốn hàm số đã cho, hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn vì \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\).
\(\sin \alpha > 0,\,\,\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0,\,\,\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha < 0,\,\,\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha > 0,\,\,\cos \alpha > 0\).
Chọn A.
Với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) (góc phần tư thứ II), ta có \(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha < 0\).
Câu trắc nghiệm đúng sai (2 điểm). Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d), ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Xét một tuabin gió có độ dài mỗi cánh là \(75\) m, có khoảng cách từ tâm của tuabin gió đến mặt đất là \(120\) m. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) là ba điểm nằm ở đầu các cánh quạt của tuabin gió. Tại một thời điểm tuabin ngừng hoạt động, người ta gắn vào tuabin gió một hệ trục tọa độ \(Oxy\) mà gốc tọa độ \(O\) là tâm của tuabin gió, trục \(Ox\) nằm trong cùng mặt phẳng với \(M,\,\,N,\,\,P\) đồng thời trục \(Ox\) song song với mặt đất, mỗi đơn vị trên trục là \(1\) m trên thực tế. Độ cao của điểm \(M\) so với mặt đất là \(49\) m, góc giữa các cánh quạt là \(\frac{{2\pi }}{3}\). Gọi số đo góc lượng giác \(\left( {Ox,\,\,OM} \right)\) là \(\alpha \) \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0} \right)\); số đo góc lượng giác \(\left( {Ox,\,\,ON} \right)\) là \(\beta \). (Tham khảo hình vẽ dưới đây).
\(\sin \alpha < 0\).
Chiều cao của điểm \(N\) so với mặt đất lớn hơn \(130\) m.
\(\sin \beta < 0\).
Chiều cao của điểm \(P\) so với mặt đất thấp hơn \(180\) m.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tâm \(O\) của tuabin ở độ cao \(120\) m. Độ cao của một điểm trên cánh quạt so với mặt đất là \(h = 120 + y\), với \(y = 75\sin \theta \) (\(\theta \) là góc lượng giác của cánh tương ứng).
⦁ Cánh \(OM\): Điểm \(M\) ở độ cao \(49{\rm{ m}} \Rightarrow {y_M} = 49 - 120 = - 71{\rm{ m}} \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{71}}{{75}}\).
Vậy \(\sin \alpha = - \frac{{71}}{{75}} < 0\).
b) Đúng. Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{2\sqrt {146} }}{{75}}\).
⦁ Cánh \(ON\): Góc lượng giác là \(\beta = \alpha - \frac{{2\pi }}{3}\).
Ta có: \(\sin \beta = \sin \left( {\alpha - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}\sin \alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha = \frac{{71 - 2\sqrt {438} }}{{150}} \approx 0,194\).
Chiều cao của điểm \(N\) là:
\({h_N} = 120 + 75\sin \beta = 120 + \frac{{71 - 2\sqrt {438} }}{2} \approx 134,57\) m.
Vậy chiều cao của điểm \(N\) so với mặt đất lớn hơn \(130\) m.
c) Sai. Điểm \(N\) nằm ở nửa mặt phẳng phía trên trục hoành \(Ox\), có tung độ \({y_N} > 0\) nên \(\sin \beta > 0\).
d) Đúng. Góc lượng giác là \(\gamma = \alpha + \frac{{2\pi }}{3}\). Ta có \(\sin \gamma = \frac{{71 + 2\sqrt {438} }}{{150}} \approx 0,752\).
Chiều cao của điểm \(P\) là:
\({h_P} = 120 + 75\sin \gamma = 120 + \frac{{71 + 2\sqrt {438} }}{2} \approx 176,43\) m.
Vậy chiều cao của điểm \(P\) so với mặt đất thấp hơn \(180\) m.
Khi \(m = 506\), nghiệm dương bé nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3}\).
Khi \(m = \pi \), phương trình đã cho có nghiệm.
Có tất cả 2025 giá trị nguyên của tham số \(m\) làm cho phương trình đã cho có nghiệm.
Có tất cả 1013 giá trị nguyên của tham số \(m\) làm cho phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {0;\,\,\pi } \right)\).
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Khi \(m = 506 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \) hoặc \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \).
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{\pi }{6}\).
b) Đúng. Khi \(m = \pi \Rightarrow \sin x = \frac{\pi }{{1012}}\). Vì \( - 1 \le \frac{\pi }{{1012}} \le 1\) nên phương trình có nghiệm.
c) Đúng. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le \frac{m}{{1012}} \le 1 \Leftrightarrow - 1012 \le m \le 1012\). Số giá trị nguyên của \(m\) là \(1012 - \left( { - 1012} \right) + 1 = 2025\).
d) Sai. Khi \(x \in \left( {0;\,\,\pi } \right)\) thì \(0 < \sin x \le 1\).
Phương trình có nghiệm khi \(0 < \frac{m}{{1012}} \le 1 \Leftrightarrow 0 < m \le 1012\).
Vậy có 1012 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2 điểm). Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Nhà An (điểm \(A\)) và nhà Bình (điểm \(B\)) đều nằm ở trên bờ hồ của một cái hồ rộng có bán kính là \(100\) mét. Khoảng cách theo đường chim bay từ nhà An đến nhà Bình là \(120\) mét (Tham khảo hình vẽ dưới đây).
Khi đó nếu đi bộ trên bờ hồ thì quãng đường ngắn nhất từ nhà An đến nhà Bình là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Gọi \(H\) là trung điểm của dây cung \(AB\) và đặt \(\theta = \widehat {AOB}\).
Tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) với \(OA = OB = 100\) m, nên \(OH \bot AB\) và \(OH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AOB}\).
Trong tam giác vuông \(OHA\), ta có:
\(AH = \frac{{AB}}{2} = 60\) m và \(\sin \frac{\theta }{2} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{{60}}{{100}} = 0,6\).
Sử dụng máy tính ở chế độ radian suy ra \(\theta \approx 1,287{\rm{ rad}}\).
Quãng đường ngắn nhất đi bộ trên bờ hồ là độ dài cung nhỏ \(AB\):
\(s = R \cdot \theta \approx 100 \cdot 1,287 \approx 129\) m.
Đáp số: 129.
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha > 0\).
\(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{0,6}^2}} = 0,8\).
Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = 0,75\).
Đáp số: 0,75.
Với \(\omega > 0\), hàm số \(y = \sin \left( {\omega x} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\).
Với \(\omega = \pi \), chu kỳ tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{\pi } = 2\).
Đáp số: 2.
Đoạn \(\left[ {0;\,\,2028\pi } \right]\) tương ứng với đúng 1014 vòng quay đầy đủ \[\left( {1014 \times 2\pi } \right)\].
Trong mỗi vòng quay, phương trình \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có đúng 2 nghiệm (tại \(\frac{\pi }{4}\) và \(\frac{{3\pi }}{4}\)). Do đó trên đoạn \(\left[ {0;\,\,2028\pi } \right]\) có \(1014 \cdot 2 = 2028\) nghiệm.
Đoạn cần xét là \(\left[ {\frac{\pi }{2};\,\,2028\pi } \right]\), tức loại bỏ nửa khoảng \(\left[ {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
Trên \(\left[ {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\), phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4}\).
Vậy số nghiệm cần tìm là \(2028 - 1 = 2027\).
Đáp số: 2027.
Biến đổi phương trình dao động về dạng chuẩn:
\({x_1}\left( t \right) = - 3\cos \left( {\frac{\pi }{2}t - \frac{\pi }{4}} \right) = 3\cos \left( {\frac{\pi }{2}t - \frac{\pi }{4} + \pi } \right) = 3\cos \left( {\frac{\pi }{2}t + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) (cm).
a) Biên độ dao động là \(A = 3{\rm{ cm}}\). Pha ban đầu là \(\varphi = \frac{{3\pi }}{4}{\rm{ rad}}\) (thỏa mãn điều kiện).
b) Tần số góc \(\omega = \frac{\pi }{2}{\rm{ rad/s}}\).
Chu kỳ dao động là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{2}}} = 4\) (s).
Thời gian \(\Delta t = 1{\rm{ ph\'u t}} = 60{\rm{ s}}\).
Số dao động toàn phần vật thực hiện được là:
\(N = \frac{{\Delta t}}{T} = \frac{{60}}{4} = 15\) (dao động).
Biến đổi tử thức:
\[\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \left( {\sin 3x + \sin x} \right) + \sin 2x = 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right)\].
Biến đổi mẫu thức:
\(\cos x + \cos 2x + \cos 3x = \left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \cos 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x = \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right).\)
Rút gọn biểu thức \(A\): \(A = \frac{{\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}} = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \tan 2x\).
Theo định lí sin, ta có \(a = 2R\sin A\), \(b = 2R\sin B\), \(c = 2R\sin C\).
Trong tam giác \(ABC\), do \(C = \pi - \left( {A + B} \right)\) nên \(\sin C = \sin \left( {A + B} \right)\).
Từ giả thiết \(a + b = 2c\), suy ra:
\(\sin A + \sin B = 2\sin \left( {A + B} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} = 4\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A + B}}{2}\).
Vì \(0 < \frac{{A + B}}{2} < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \frac{{A + B}}{2} \ne 0\), chia cả hai vế cho \(2\sin \frac{{A + B}}{2}\) ta được:
\(\cos \frac{{A - B}}{2} = 2\cos \frac{{A + B}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2} + \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = 2\left( {\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\).
Chia cả hai vế cho \(\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2} \ne 0\):
\(3\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} = 1 \Leftrightarrow P = \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} = \frac{1}{3}\).
Vậy tích \(P = \frac{1}{3}\) có giá trị không đổi.
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
