Đề thi giữa kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Lê Khiết (Quảng Ngãi) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \cot x\).
\(y = \sin x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cos x\).
Chọn D
Vì \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\) nên hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
\( - 97\).
\(503\).
\(23\).
\(103\).
Chọn D
Ta có: \({u_5} = 3 + {4.5^2} = 103\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = - 3{u_n},{\rm{ }}n \ge 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 1,{\rm{ }}n \ge 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{\pi }{2}\\{u_n} = \sin \left( {\frac{\pi }{{n - 1}}} \right),{\rm{ }}n \ge 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3,{\rm{ }}n \ge 1\end{array} \right.\).
Chọn A
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = - 3{u_n},{\rm{ }}n \ge 1\end{array} \right.\) là cấp số nhân vì \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 3\) là hằng số không đổi với \(\forall n \ge 1\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos a - \cos b\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos a + \cos b\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\).
Chọn B
\(m > 1\).
\(m < - 1\).
\(\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\).
\( - 1 \le m \le 1\).
Chọn C
Phương trình \(\cos x = m\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\)
Nghiệm của phương trình \[\sin x = - 1\]là
\(x = \pi + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{3\pi }}{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn C
Ta có: \[\sin x = - 1\]\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
Hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D
Ta có: \[\sin x \ne 0\]\( \Leftrightarrow x \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
Tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\cot \alpha > 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0\).
\(\cos \alpha > 0\).
Chọn D
Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên điểm cuối của góc \(\alpha \) thuộc cung phần tư thứ \(IV\). Suy ra \(\cos \alpha > 0\).
Thống kê về nhiệt độ tại một địa điểm trong \(30\) ngày, ta có bảng số liệu sau:
\(10\).
\(19\).
\(9\).
\(3\).
Chọn C
\({u_2} = 1.\)
\({u_2} = - 5\).
\({u_2} = - 1.\)
\({u_2} = 5\).
Chọn C
Ta có: \({u_2} = {u_1} + d = 2 + \left( { - 3} \right) = - 1\).
Cung có độ dài bằng đường kính của đường tròn đó.
Cung có độ dài bằng 1.
Cung tương ứng với góc ở tâm bằng\({60^0}\).
Cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn đó.
Chọn D
\(q = - \frac{1}{2}\).
\(q = \frac{1}{2}\).
\(q = 2\).
\(q = - 2\).
Chọn B
Ta có: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{2}\)
Chọn công thức đúng trong các công thức sau:
\[\sin a.\sin b = - \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) - \sin \left( {a - b} \right)} \right]\].
\[\sin a.\sin b = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\].
\[\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\].
\[\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) - \sin \left( {a - b} \right)} \right]\].
Chọn B
Mốt.
Tứ phân vị.
Số trung vị.
Số trung bình.
Chọn A
Dãy số nào sau đây là dãy tăng?
\(1;3;5;6;9\).
\(10;8;6;4;2\).
\(1;1;1;1;1\).
\(1;5;3;7;9\).
Chọn A
\(8\).
\(9\).
\(10\).
\(5\).
Chọn B
Độ dài của nhóm \(\left[ {1;10} \right)\) bằng \(10 - 1 = 9\).
Dãy số nào dưới đây không là cấp số cộng?
\(1,\;1,\;1,\;1\).
\(1,\;0,\; - 1,\; - 2\).
\(1,\;2,\;3,\;4\).
\(1,\;2,\;4,\;8\).
Chọn D
Phương trình lượng giác \(3\tan \,x - \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].
Vô nghiệm.
\[x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\].
Chọn A
\(3\tan \,x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan \,x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \tan \,x = \tan \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \)\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\].
\({u_n} = n - 2\).
\({u_n} = - {n^2} - 6n\).
\({u_n} = 1 - 2n\).
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\).
Chọn A
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
Chọn A
\(\left( {{w_n}} \right)\)với\({w_n} = \frac{n}{{{2^n}}}\,\,\,\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
\(\left( {{v_n}} \right)\)với\({v_n} = \frac{n}{{n + 2}}\,\,\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{{2^n}}}\,\,\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
\(\left( {{t_n}} \right)\) với \({t_n} = \frac{1}{{n + 1}}\,\,\,\left( {\forall n \in {N^*}} \right)\).
Chọn A
Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối thu được kết quả sau:
\[5,92\].
\[7,68\].
\[6,65\].
\[5,64\].
Chọn D
Ta có: \(n = 86\)
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}\). Do đó \({x_1},{x_2}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {5;6} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\). Do đó \(p = 2;{a_2} = 5;{m_1} = 10;{a_3} - {a_2} = 1\) và ta có: \({Q_1} = 5 + \frac{{\frac{{86}}{4} - 10}}{{18}}.1 = 5,64\).
Vậy \(75\% \) học sinh khối 11 ngủ ít nhất \(5,64\) giờ.
Trên khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) được cho như hình vẽ.
\(\left( { - \pi ;0} \right)\).
\(\left( {0;\pi } \right)\).
\(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Chọn C
Dựa vào đồ thị, ta có: Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)
\(P = 4\).
\(P = \frac{8}{5}\).
\(P = 3\).
\(P = \frac{3}{5}\).
Chọn A
Ta có: \[P = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{3}{5} + 1}}{{1 - \frac{3}{5}.1}} = 4\]
\(M > 0\).
\(M \le 0\).
\(M \ge 0\).
\(M < 0\).
Chọn A
Ta có: \(M = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right).\cot \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha \cot \alpha = - \sin \alpha \Rightarrow M > 0\)
\(x = 64\).
\(x = 24\).
\(x = 32\).
\(x = 16\).
Chọn C
Ta có: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 4 \Rightarrow x = 8.4 = 32\)
\({u_n} = 3 + {3^n}\).
\({u_n} = {3^{n - 1}}\).
\({u_n} = {3^{n + 1}}\).
\({u_n} = {3^n}\).
Chọn D
Ta có: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 3 \Rightarrow {u_n} = {3.3^{n - 1}} = {3^n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_1} = 2;{\rm{ }}d = - \frac{1}{2}\).
\({u_1} = - \frac{3}{2};{\rm{ }}d = - 2\).
\({u_1} = - 4;{\rm{ }}d = \frac{3}{2}\).
\({u_1} = \frac{5}{2};{\rm{ }}d = \frac{1}{2}\).
Chọn C
Ta có: \({u_1} = {S_1} = - 4;{S_2} = {u_1} + {u_2} = - \frac{{13}}{2} \Rightarrow {u_2} = - \frac{{13}}{2} - {u_1} = - \frac{5}{2} \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = \frac{3}{2}\)
\[S = \frac{\pi }{2}\].
\[S = \frac{\pi }{6}\].
\[S = \frac{\pi }{3}\].
\[S = \frac{{5\pi }}{6}\].
Chọn B
Ta có: \[\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]
\[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\].
\(M = \cos 4b\).
\(M = \sin 2b\).
\(M = \cos 2b\).
\(M = \sin 4b\).
Chọn C
Ta có: \(M = \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = \cos \left( {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right) = \cos 2b\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Chọn A
Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) \[ \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - co{{\rm{s}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\]
\(m = - 1\).
\(m = - 2023\sqrt 2 \).
\(m = - \sqrt 2 \).
\(m = - 2024\sqrt 2 \).
Chọn C
Do \( - 1 \le \sin \left( {2023x + 2024} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2023x + 2024} \right) \le \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le y \le \sqrt 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} y = - \sqrt 2 \)
Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con muỗi cái trong phòng thí nghiệm cho kết quả như sau:
\(76\) ngày.
\(90\) ngày.
\(80\) ngày.
\(66\) ngày.
Chọn A
Ta có: Tấn số lớn nhất ở nhóm \(\left[ {60;80} \right) \Rightarrow {M_O} = 60 + \frac{{31 - 23}}{{\left( {31 - 23} \right) + \left( {31 - 29} \right)}}.20 = 76\)
.Số hạng thứ bốn của dãy số là\(14\).
\(28\).
\(10\).
\(8\).
Chọn C
Có \({u_2} = {u_1} + 1 = 5;{u_3} = {u_2} + 2 = 7;{u_4} = {u_3} + 3 = 10\)
33.
20.
34.
35.
Chọn C
Có \(94 = - 5 + \left( {n - 1} \right).3 \Leftrightarrow n = 34\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Giải phương trình sau: \(\left( {2\sin x + 2} \right)\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0\).
\(\left( {2\sin x + 2} \right)\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x + 2 = 0\\2\cos x - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\((1) \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi ,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\((2) \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi ; \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho một cấp số cộng biết rằng tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng \(6\), số hạng thứ sáu bằng \(36\). Tính tổng \(50\) số hạng đầu của cấp số này.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 36\\{u_2} + {u_4} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 5d = 36\\2{u_1} + 4d = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 19\\d = 11\end{array} \right.\).
Tổng \(50\) số hạng đầu của cấp số này là \({S_{50}} = \frac{{50.\left( {2{u_1} + 49d} \right)}}{2} = \frac{{50.\left[ {2.\left( { - 19} \right) + 49.11} \right]}}{2} = 12525\).
Với hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) như hình vẽ dưới đây, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) thành \(9\) phần bằng nhau như hình vẽ.
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\) là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) thành \(9\) phần bằng nhau…
Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm ít nhất \(49,99\% \) diện tích hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
Gọi diện tích được tô màu ở bước thứ \(n\) là \({u_n},n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy các giá trị \({u_n}\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{4}{9}S\) và công bội \(q = \frac{1}{9}\).
Gọi \({S_k}\) là tổng của \(k\) số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì \({S_k} = \frac{{{u_1}\left( {{q^k} - 1} \right)}}{{q - 1}}\).
Để tồng diện tích phần được tô màu chiếm ít nhất \(49,99\% \) diện tích hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) thì \({S_k} \ge 0,4999S \Leftrightarrow {9^k} \ge 5000\).
Do đó cần ít nhất 4 bước.
Số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A trong ngày thứ \(t\) của năm \(2023\) được cho bởi hàm số \(y = 9 - 2\cos \left[ {\frac{\pi }{{118}}\left( {t - 61} \right)} \right]\), \(t \in {\mathbb{N}^*}\). Vào ngày tháng nào trong năm \(2023\) thì thành phố A có số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất?
Vì \(\cos \left[ {\frac{\pi }{{118}}(t - 61)} \right] \ge - 1 \Leftrightarrow 9 - 2\cos \left[ {\frac{\pi }{{118}}(t - 61)} \right] \le 11\)
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất khi
\(y = 11 \Leftrightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{{118}}\left( {t - 61} \right)} \right] = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{118}}\left( {t - 61} \right) = \pi + k2\pi \Leftrightarrow t = 179 + 236k,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Do \(0 < t \le 365 \Leftrightarrow 0 < 179 + 236k \le 365 \Leftrightarrow - \frac{{179}}{{236}} < k \le \frac{{186}}{{236}}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = 179\).
Rơi vào ngày 28 tháng 6 (vì ta đã biết tháng 1,3 và 5 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2023 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày).
