Chọn C.

Áp dụng công thức cộng cosin:

\(P = \cos 3x\cos x + \sin 3x\sin x = \cos (3x - x) = \cos 2x\).

Chọn D.

Điều kiện xác định của hàm số là \(\sin x \ne 0\) suy ra \(x \ne k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

Chọn C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\), nhận giá trị lớn nhất bằng \(2\), giá trị nhỏ nhất bằng \( - 2\) và tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \). Đây là đồ thị của hàm số \(y = 2\cos x\).

Chọn A.

Áp dụng công thức nhân đôi \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\), suy ra \(P = 1 - \cos 2a = 2{\sin ^2}a\).

Chọn B.

Ta có \(\tan x = \sqrt 3 \) suy ra \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\)  suy ra \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.        c) Đúng.        d) Sai.

Cho \(\cos \alpha  =  - \frac{{12}}{{13}}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\sin \alpha  > 0\).

\(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}}  = \frac{5}{{13}}\).

a) Đúng. Ta có \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2 \cdot {\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)^2} - 1 = \frac{{119}}{{169}}\).

b) Đúng. Áp dụng công thức cộng:

\(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{5}{{13}} \cdot \frac{1}{2} + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\).

c) Đúng. Ta có \(\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}\).

d) Sai. Ta có \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = 2 \cdot \frac{5}{{13}} \cdot \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) =  - \frac{{120}}{{169}} < 0\).

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.        c) Sai.            d) Đúng.

a) Đúng. Trong tam giác \(SAC\), \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(K\) là trung điểm của \(SC\) nên \(KO\) là đường trung bình, suy ra \(KO\,{\rm{//}}\,SA\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), ta có \(\frac{{M{G_1}}}{{MS}} = \frac{{M{G_2}}}{{MA}} = \frac{1}{3}\), theo định lý Ta-lét đảo suy ra \({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,SA\). Vậy ba đường thẳng \(KO\), \(SA\), \({G_1}{G_2}\) đôi một song song với nhau.

b) Đúng. Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có điểm chung \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(AD\,{\rm{//}}\,BC\). Do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\).

c) Sai. Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {KAB} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) đi qua \(K\) và song song với \(AB\,\,{\rm{//}}\,CD\), cắt cạnh \(SD\) tại \(P\). Do \(KP\,{\rm{//}}\,CD\) và \(K\) là trung điểm của \(SC\) nên \(KP\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\), suy ra \(P\) là trung điểm của \(SD\), dẫn tới \(\frac{{SP}}{{PD}} = 1\).

d) Đúng. Điểm \(K\) thuộc \(SC \subset \left( {SAC} \right)\) và thuộc mặt phẳng \(\left( {KBD} \right)\). Điểm \(O = AC \cap BD\) là điểm chung thứ hai giữa \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {KBD} \right)\). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng \(KO\).

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.        c) Đúng.        d) Sai.

Phương trình \(2\sin x - \sqrt 3  = 0\) suy ra \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin \frac{\pi }{3}\).

a) Sai. Phương trình tương đương với \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\).

b) Đúng. Nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \) và \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Đúng. Các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\,\,2\pi } \right)\) là \(x = \frac{\pi }{3}\) và \(x = \frac{{2\pi }}{3}\), tức là có đúng hai nghiệm.

d) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3}\).

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.        c) Đúng.        d) Đúng.

Độ dài bóng được mô hình hóa bởi \(S\left( t \right) = 50\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right|\) với \(0 < t < 12\).

a) Đúng. Khoảng thời gian từ 12 giờ trưa đến 6 giờ tối ứng với \(6 < t < 12\). Khi đó \(\frac{\pi }{{12}}t \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\), giá trị \(\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) mang dấu âm và giảm dần từ \(0\) về \( - \infty \), do đó độ lớn \(\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right|\) tăng dần từ \(0\) lên \( + \infty \), nghĩa là độ dài bóng tăng dần.

b) Đúng. Ta có \(S\left( t \right) = \frac{{50\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Vì góc \(\frac{\pi }{{12}}t \in \left( {0;\,\,\pi } \right)\) nên phương trình có hai nghiệm: \(\frac{\pi }{{12}}t = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = 4\) (lúc 10 giờ sáng) và \(\frac{\pi }{{12}}t = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow t = 8\) (lúc 14 giờ chiều).

c) Đúng. Lúc 9 giờ sáng ứng với \(t = 3\). Ta có \(S\left( 3 \right) = 50\left| {\cot \left( {\frac{{3\pi }}{{12}}} \right)} \right| = 50\cot \frac{\pi }{4} = 50\) m.

d) Đúng. Với mọi \(t \in \left( {0;\,\,12} \right)\), ta có:

\[S\left( {12 - t} \right) = 50\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}(12 - t)} \right)} \right| = 50\left| {\cot \left( {\pi  - \frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = 50\left| { - \cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = S\left( t \right)\].

Hàm số nhiệt độ có dạng \(h\left( t \right) = A\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right)} \right] + B\).

Tại thời điểm \(t = 14\), nhiệt độ đạt mức cao nhất bằng \(35^\circ {\rm{C}}\) nên:

\(A\sin \left( {\left[ {\frac{\pi }{{12}}14 - 8} \right]} \right) + B = 35\) suy ra \(A\sin \frac{\pi }{2} + B = 35\) suy ra \(A + B = 35\).

Tại thời điểm \(t = 2\), nhiệt độ đạt mức thấp nhất bằng \(23^\circ {\rm{C}}\) nên:

\(A\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {2 - 8} \right)} \right] + B = 23\) suy ra \(A\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + B = 23\) suy ra \( - A + B = 23\).

Giải hệ phương trình ta được \(A = 6\) và \(B = 29\).

Nhiệt độ ngoài trời lúc 11 giờ ứng với \(t = 11\):

\(h\left( {11} \right) = 6\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {11 - 8} \right)} \right] + 29 = 6\sin \frac{\pi }{4} + 29 = 3\sqrt 2  + 29 \approx 33.24^\circ {\rm{C}}\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị thu được \(33\).

Đáp án: 33.

Khai triển theo công thức cộng:

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x\).

\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{4} - \sin x\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x\).

Cộng hai biểu thức trên lại, ta có:

\(A = \sqrt 2 \cos x\).

Suy ra \(m = \sqrt 2 \), do đó \({m^2} = 2\).

Đáp án: 2.

Trong hình thang \(ABCD\) có \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AB = 3CD\). Do hai tam giác \(OAB\) và \(OCD\) đồng dạng nên \(\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}} = 3\) suy ra \(OB = 3OD\).

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), đường thẳng \(DN\) cắt \(SO\) tại điểm \(P\), nên \(P\) chính là giao điểm của \(DN\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Từ \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(SO\), cắt đoạn \(BD\) tại \(H\).

Vì \(N\) là trung điểm của \(SB\) và \(NH\,{\rm{//}}\,SO\) nên \(NH\) là đường trung bình của tam giác \(SOB\), suy ra \(H\) là trung điểm của \(OB\) và \(NH = \frac{1}{2}SO\).

Coi độ dài đoạn \(OD\) là \(1\) đơn vị thì \(OB = 3\) đơn vị.

Khi đó \(OH = \frac{{OB}}{2} = 1.5\) đơn vị, suy ra \(DH = DO + OH = 1 + 1.5 = 2.5\) đơn vị.

Trong tam giác \(DNH\), do \(PO\,{\rm{//}}\,NH\), áp dụng định lý Ta-lét ta có:

\(\frac{{PO}}{{NH}} = \frac{{DO}}{{DH}} = \frac{1}{{2.5}} = \frac{2}{5}\).

Suy ra \(PO = \frac{2}{5}NH = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}SO = \frac{1}{5}SO\).

Độ dài đoạn \(PS\) là \(PS = SO - PO = \frac{4}{5}SO\).

Vậy tỉ số cần tìm là \(\frac{{PO}}{{PS}} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{4} = 0.25\).

Đáp án: 0,25.

Độ cao của cabin bằng \(21{\rm{ m}}\) khi:

\( - 12\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) + 15 = 21 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) =  - \frac{1}{2}\).

Thời điểm đầu tiên kể từ khi bắt đầu quay ứng với nghiệm dương nhỏ nhất:

\(\frac{{\pi t}}{8} = \frac{{2\pi }}{3}\) suy ra \(t = \frac{{16}}{3}\) phút.

Vì \(\frac{{16}}{3}\) là phân số tối giản nên \(a = 16\) và \(b = 3\).

Vậy \(a + b = 16 + 3 = 19\).

Đáp án: 19.

Ta có \(\cos 5x = \cos x\) suy ra \(\cos 5x - \cos x = 0\) suy ra \( - 2\sin 3x\sin 2x = 0\).

Phương trình tương đương với \(\sin 3x = 0\) hoặc \(\sin 2x = 0\).

Trường hợp 1: \(\sin 3x = 0\) suy ra \(3x = k\pi \)  suy ra \(x = \frac{{k\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Trên đường tròn lượng giác có \(6\) điểm biểu diễn: \(0\), \(\frac{\pi }{3}\), \(\frac{{2\pi }}{3}\), \(\pi \), \(\frac{{4\pi }}{3}\), \(\frac{{5\pi }}{3}\).

Trường hợp 2: \(\sin 2x = 0\) suy ra \(2x = k\pi \) suy ra \(x = \frac{{k\pi }}{2}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Trên đường tròn lượng giác có \(4\) điểm biểu diễn: \(0\), \(\frac{\pi }{2}\), \(\pi \), \(\frac{{3\pi }}{2}\).

Hai họ nghiệm có chung \(2\) điểm biểu diễn là \(0\) và \(\pi \).

Số điểm biểu diễn tất cả các nghiệm phân biệt trên đường tròn lượng giác là \(6 + 4 - 2 = 8\).

Đáp án: 8.

Phương trình \(\cos x = \frac{m}{{2027}}\) có nghiệm khi và chỉ khi:

\( - 1 \le \frac{m}{{2027}} \le 1 \Leftrightarrow  - 2027 \le m \le 2027\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên số giá trị nguyên của \(m\) là \(2027 - \left( { - 2027} \right) + 1 = 4055\).

Đáp án: 4055.