Đáp án: \({\Delta _Q} = \frac{{875}}{{232}}\).

Cỡ mẫu \(n = 130\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{33}} \in \left[ {7;9} \right)\).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{130}}{4} - \left( {11 + 20} \right)}}{{29}} \cdot \left( {9 - 7} \right) = \frac{{206}}{{29}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{98}} \in \left[ {9;11} \right)\).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{130 \cdot 3}}{4} - \left( {11 + 20 + 29} \right)}}{{40}} \cdot \left( {11 - 9} \right) = \frac{{87}}{8}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{87}}{8} - \frac{{206}}{{29}} = \frac{{875}}{{232}}\).

Đáp án: 2; 0.

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 3x + 1} \right)^\prime } \cdot {3^{{x^3} - 3x + 1}} \cdot \ln 3 = \left( {3{x^2} - 3} \right){3^{{x^3} - 3x + 1}} \cdot \ln 3\).

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} - 3} \right){3^{{x^3} - 3x + 1}} \cdot \ln 3 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\].

\(f'(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 0.

Đáp án: \(\frac{7}{{34}}\).

Gọi \(A\) là biến cố “chọn được hai số chẵn”.

Ta có: \(n\left( \Omega \right) = C_{17}^2\).

Trong 17 số nguyên dương đầu tiên, có 8 số chẵn và 9 số lẻ, để chọn được hai số chẵn có số cách chọn là: \(n\left( A \right) = C_8^2\).

Vậy xác suất để chọn được hai số chẵn là: \(P = \frac{{C_8^2}}{{C_{17}^2}} = \frac{7}{{34}}\).

Đáp án: Phát biểu thứ nhất và phát biểu thứ tư.

Ta có bảng xét dấu của hàm số \[f\left( x \right)\].

Dựa vào bảng biến thiên ta có trên \(\left[ { - 1;4} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(f\left( 1 \right)\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị là \[x = \pm 1\] và \[x = 4\].

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \[\left( {1;4} \right)\] và đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \[\left( {1;4} \right)\] \( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( 4 \right)\).

Đáp án: Đúng – Sai – Sai.

Phương trình tham số của đường thẳng d qua \(A\left( {10;\;\;3;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;\; - 2;1} \right)\) là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.{\rm{, }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

Ta có độ dài \(AM = vt\).

Vì M thuộc đường thẳng d nên \(M\left( {10 + 2m;3 - 2m;m} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {AM} = \left( {2m; - 2m;m} \right)\)mà \(\overrightarrow {AM\;} \;\) cùng hướng với véc tơ \(\vec u\) có \(m \ge 0\). Suy ra \(AM = 3m\).

Vậy \(3m = 4,5t\;\) suy ra \(m = 1,5\;t\). Vậy \(\left( {3t + 10;\; - 3t + 3;\;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta có khi \({x_B} = 550\) tức tà \(3t + 10 = 550\) suy ra \(t = 180\)giây.

Vậy \(AB = vt = 4,5 \cdot 180 = 810\;\left( m \right)\) nên phát biểu thứ hai sai.

Ta có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;\; - 2;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {u\;} \cdot \vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec n} \right|}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \alpha \approx 19,4^\circ \) nên phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: 7056.

Số cách xếp 8 viên bi ngẫu nhiên có \(8!\) cách.

Để 8 viên bi xếp vào 4 khay (mỗi khay có ít nhất 1 viên bi) ta xem như trải 8 viên bi thành 1 hàng, ta tạo ra 3 vách ngăn để chia làm 4 phần.

Trong 8 viên bi liên tiếp có 7 vách ngăn (khoảng trống), chọn 3 vách ngăn có \(C_7^3\) cách.

Do đó có tất cả \(T = 8! \cdot C_7^3 = 1411200\) \( \Rightarrow \frac{T}{{200}} = \frac{{1411200}}{{200}} = 7056\).

Đáp án: \(n + 1\).

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right) + 1 - \left( {n + 1} \right) = 1 > 0\) nên dãy \({u_n} = n + 1\) là dãy số tăng.

Đáp án: 880.

Do hàm số \(f'\left( t \right)\) liên tục trên \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\) nên \(f'\left( t \right)\) liên tục tại \(t = 2\).

Từ đó \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {2^ - }} f'\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {2^2}} f'\left( t \right) = f'\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to {2^ - }} \left( {1700 - 400t} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {2^ + }} \left( {a{{\left( {t - 2} \right)}^2} + b} \right)\)\( \Leftrightarrow b = 900\).

Tại \(t = \frac{5}{2}\), ta có \(a{\left( {\frac{5}{2} - 2} \right)^2} + 900 = 875 \Leftrightarrow a = - 100\).

Thời điểm khán giả ra về hết khi \(f'\left( t \right) = 0\)

Nếu \(0 \le t \le 2\) thì \(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow 1700 - 400t = 0 \Rightarrow t = \frac{{17}}{4} = 4,25\) (không thỏa mãn).

Nếu \(t > 2\) thì \(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow - 100{\left( {t - 2} \right)^2} + 900 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 5\end{array} \right. \Rightarrow t = 5\).

Vậy khán giả sẽ về hết sau 5 giờ kể từ lúc chương trình diễn ra.

Tổng sự hiện diện của khán giả trong suốt 5 giờ (tích lũy khán giả trong 5 giờ):

\(\int\limits_0^5 {f'\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {\left( {1700 - 400t} \right)dt} + \int\limits_2^5 {\left[ { - 100{{\left( {t - 2} \right)}^2} + 900} \right]dt} = 2600 + 1800 = 4400\).

Vậy trung bình mỗi giờ có \(\frac{{4400}}{5} = 880\) khán giả ở lại.

Vậy trung bình mỗi giờ có \(\frac{{4400}}{5} = 880\) khán giả ở lại.

Đáp án: Đúng – Sai – Đúng – Đúng.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 100 - 40 = 60\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Có 100 học sinh tham gia.

Ta có \({M_e} = {Q_2} \in \left[ {60;70} \right) \Rightarrow {Q_2} = 60 + \frac{{50 - 25}}{{25}} \cdot 10 = 70\) nên phát biểu thứ hai sai.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là: \(\bar x = \frac{{45 \cdot 10 + 55 \cdot 15 + 65 \cdot 25 + 75 \cdot 30 + 85 \cdot 15 + 95 \cdot 5}}{{100}} = 69\).

Mặc dù Bình xếp loại chưa đạt, nhưng điểm số của Bình vẫn cao hơn mức điểm trung bình nên phát biểu thứ ba đúng.

Ta có \({Q_3} \in \left[ {70;80} \right)\)

\({Q_3} = 70 + \frac{{75 - 50}}{{30}} \cdot 10 \approx 78,3\)

\(n\left( \Omega \right) = C_{100}^4\).

Gọi biến cố \(A\) là: "4 học sinh được chọn có đầy đủ đại diện của cả 3 nhóm xếp loại và luôn có mặt An"

\(n(A) = C_{50}^1 \cdot C_{25}^1 \cdot C_{24}^1 + C_{50}^2 \cdot C_{25}^1 + C_{50}^1 \cdot C_{25}^2\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{50}^1 \cdot C_{25}^1 \cdot C_{24}^1 + C_{50}^2 \cdot C_{25}^1 + C_{50}^1 \cdot C_{25}^2}}{{C_{100}^4}} = \frac{{275}}{{14259}}\) nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: \(0 < b < 1 < a\).

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên tập xác định nên \(a > 1\)và hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên tập xác định nên \(0 < b < 1\).

Đáp án: \(\frac{1}{2}e + 1\).

Ta có \(\int {{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}} d\left( {2x} \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).

Theo giả thiết:

\[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = 1\].

Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} + 1\) nên \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}e + 1\).

Đáp án: \(4x - z + 1 = 0\).

Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(A,B\) và song song với đường thẳng \(CD\) nên \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( {0;1;0} \right)\) nên \( \Rightarrow \vec n = \left( {4;0; - 1} \right)\).

Phương trình \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 1;5} \right)\) có dạng: \(4\left( {x - 1} \right) - \left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - z + 1 = 0\).

Đáp án: Sai – Sai.

Điều kiện: \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\). Vậy tập xác định là \(D = \left( { - 1; + \infty } \right)\).

\(f\left( x \right) \ge 36 \Leftrightarrow 92 - 20\ln \left( {x + 1} \right) \ge 36 \Leftrightarrow \ln \left( {x + 1} \right) \le \frac{{14}}{5}\)\( \Leftrightarrow x + 1 \le {e^{\frac{{14}}{5}}} \Leftrightarrow x \le {e^{\frac{{14}}{5}}} - 1 \approx 15,4\).

Vậy \(f\left( x \right) \ge 36\) có 16 nghiệm nguyên (từ 0 đến 15) nên phát biểu thứ nhất sai.

Xét hàm \(g\left( x \right) = 92 - 20\ln \left( {x + 1} \right) + 5x\).

\(g'\left( x \right) = \frac{{ - 20}}{{x + 1}} + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

Ta có \(g(1) \approx 83,1;g(3) \approx 79,3;g(4) \approx 79,8\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) là \(g\left( 1 \right) = 97 - 20\ln 2\) nên phát biểu thứ hai sai.

Đáp án: \(5\sqrt 2 \).

Ta có: \(\vec u = \left( {1; - 1;2} \right) \Rightarrow 3\vec u = \left( {3; - 3;6} \right) \Rightarrow 3\vec u + \vec v = \left( {5; - 4;3} \right)\).

Vậy \(\left| {3\vec u + \vec v} \right| = \sqrt {25 + 16 + 9} = 5\sqrt 2 \).

Đáp án: \(11;105\).

\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).

\(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm \(x = 0 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\quad (1)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 4 \Rightarrow f'\left( 4 \right) = 0 \Rightarrow 48a + 8b + c = 0\quad (2)\).

Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow d = 3\quad (3)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {4; - 1} \right) \Rightarrow f\left( 4 \right) = - 1 \Rightarrow 64a + 16b + 4c + d = - 1\quad (4)\).

Từ \((1),(2),(3)\) và \((4)\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{8}}\\{b = \frac{{ - 3}}{4}}\\{c = 0}\\{d = 3}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(16a - 8b + 3c + d = 16 \cdot \frac{1}{8} - 8 \cdot \left( { - \frac{3}{4}} \right) + 3 \cdot 0 + 3 = 11\).

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{1}{8}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} + 3\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) = 26x - f\left( x \right) = - \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + 26x - 3\).

\(g'\left( x \right) = - \frac{3}{8}{x^2} + \frac{3}{2}x + 26\);

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{6 + 2\sqrt {165} }}{3} \notin \left[ {0;4} \right]\\x = \frac{{6 - 2\sqrt {165} }}{3} \notin \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\).

\(g(0) = - 3\);\(g(4) = 105\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = 26x - f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) bằng 105.

Đáp án: \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \frac{{62}}{5}\); \(\int\limits_1^4 {f\left( {{x^2}} \right) \cdot \sqrt x dx} = \frac{{1022}}{9}\).

\(\int\limits_1^4 {f'\left( x \right)dx} = f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right) = 4\sqrt 4 - 1 = 7\).

\(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^4 {x\sqrt x dx} = \left. {\frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}}} \right|_1^4 = \frac{{62}}{5}\).

\(\int\limits_1^4 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \int\limits_1^4 {{{\left( {x\sqrt x } \right)}^2}dx} = \int\limits_1^4 {{x^3}dx} = \frac{{255}}{4}\).

\(\int\limits_1^4 {f\left( {{x^2}} \right) \cdot \sqrt x dx} = \int\limits_1^4 {{x^2}\sqrt {{x^2}} \cdot \sqrt x dx} = \int\limits_1^4 {{x^3} \cdot \sqrt x dx} = \left. {\frac{2}{9}{x^{\frac{9}{2}}}} \right|_1^4 = \frac{{1022}}{9}\).

Đáp án: \({u_4} = 10\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_3} = {u_1}{q^2}}\\{{u_6} = {u_1}{q^5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{4}}\\{q = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow {u_4} = 10\).

Đáp án: \(\frac{{37}}{{12}};\frac{{464}}{{105}}\).

Diện tích hình \(({H_1})\) là \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - {x^2} - 2x} \right)dx} = \frac{5}{{12}}\).

Diện tích hình \({H_2}\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^3} + {x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{8}{3}\).

Tổng diện tích của hai hình là \({S_1} + {S_2} = \frac{{37}}{{12}}\).

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình \(({H_2})\) quanh trục \(Ox\) là

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( { - {x^3} + {x^2} + 2x} \right)}^2}dx} = \frac{{464}}{{105}}\pi \).

Đáp án: 2.

+) Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2;3;1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

+) Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\).

Ta có: khoảng cách từ tâm \(I\left( {2;3;1} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 1\).

Suy ra bán kính đường tròn sàn của lều là: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right)} = \sqrt {{3^2} - {1^2}} = 2\sqrt 2 \).

Đáp án: \(\left( {\frac{{ - 1}}{3};1} \right)\).

\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 3{x^2}}} < {3^{2x + 1}} \Leftrightarrow {3^{3{x^2}}} < {3^{2x + 1}} \Leftrightarrow 3{x^2} < 2x + 1 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \frac{1}{3};1} \right).\)

Đáp án: 260; 266.

\(L\left( a \right) = aP - a \cdot \bar C = a\left( {500 - 3a} \right) - a\left( {0,1a + 4 + \frac{{600}}{a}} \right) = - 3,1{a^2} + 496a - 600\)

Ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} L\left( a \right) = L\left( {80} \right)\)

Giá bán khi lợi nhuận thu được tối đa là \(P\left( {80} \right) = 500 - 3 \cdot 80 = 260\) (USD)

Chi phí cho một sản phẩm là 12,4 USD \( \Rightarrow {C_1}\left( a \right) = 0,1a + \frac{{600}}{a} + 16,4\).

Khi đó: \({L_1}\left( a \right) = a\left( {500 - 3a} \right) - a\left( {0,1a + \frac{{600}}{a} + 16,4} \right) = - 3,1{a^2} + 483,6a - 600\)

Ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} {L_1}\left( a \right) = {L_1}\left( {78} \right)\) thì giá bán sản phẩm lúc đó là \(P\left( {78} \right) = 500 - 3 \cdot 78 = 266\) (USD).

Đáp án: Sai – Đúng.

+) Ta có: \(529 = {23^2}\) nên 529 là số chính phương nên phát biểu thứ nhất sai.

+) Xét số tổng quát \(C = \underbrace {11...1}_{2n} + \underbrace {44...4}_n + 1\)

Ta có: \(C = \underbrace {11...1}_n\underbrace {00...0}_n + \underbrace {11...1}_n + \underbrace {44...4}_n + 1\)

Đặt \(a = \underbrace {11...1}_n\) thì \(9a = \underbrace {99...9}_n\). Do đó \(\underbrace {99...9}_n + 1 = {10^n} = 9a + 1\)

\(C = a \cdot {10^n} + a + 4a + 1 = a\left( {9a + 1} \right) + 5a + 1\)

\( \Rightarrow C = 9{a^2} + 6a + 1 = {\left( {3a + 1} \right)^2} \Rightarrow C = {(\underbrace {33...3}_{n - 1}4)^2}\)

Vậy \(C\) là một số chính phương nên phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: \({2^4}C_6^2\).

\({\left( {{x^2} + \frac{2}{x}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k} {x^{2(6 - k)}} \cdot {\left( {\frac{2}{x}} \right)^k}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k} {x^{12 - 3k}} \cdot {2^k}\).

Số hạng không chứa \(x\) là số hạng có \(12 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 4\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) là \(C_6^4 \cdot {2^4} = C_6^2 \cdot {2^4}\) vì \(C_6^4 = C_6^2\).

Đáp án: 20.

Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng \(\overline {abc} \) với \(a,b,c \in \{ 1;2;3;4;5;6\} \) sao cho \(a < b < c\) nên \(a,b,c\) đôi một khác nhau và thuộc tập \(\{ 1;2;3;4;5;6\} \).

Với mỗi bộ 3 số phân biệt được chọn ra, chỉ có duy nhất một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần để tạo thành số thỏa mãn điều kiện \(a < b < c\).

Suy ra số các số có dạng \(\overline {abc} \) là \(C_6^3 = 20\).

Đáp án: 20.

Số cách đi từ A đến B là: 10 + 5 + 3 + 2 = 20.

Đáp án: \(\left| a \right| \le 5\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1 + 1 - \sqrt {1 - bx} }}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1}}{x} + \frac{{1 - \sqrt {1 - bx} }}{x}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{ax + 1 - 1}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{ax + 1}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1} \right]}} + \frac{{1 - \left( {1 - bx} \right)}}{{x\left( {1 + \sqrt {1 - bx} } \right)}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{a}{{{{\left( {\sqrt[3]{{ax + 1}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1}} + \frac{b}{{1 + \sqrt {1 - bx} }}} \right) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}\).

Theo giả thiết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 4 \Rightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 4 \Leftrightarrow 2a + 3b = 24\)

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 5b = - 8}\\{2a + 3b = 24}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{b = 4}\end{array}} \right.\) nên \(\left| a \right| \le 5\) là sai.

Đáp án: 1.

Xét hàm số \(y = x\cos x\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

+) \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\).

+) \(\forall x \in D:y\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\cos \left( { - x} \right) = - x\cos x = - y\left( x \right)\).

Vậy hàm số \(y = x\cos x\) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án: \(2a;60^\circ \).

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2a\).

Góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SCA}\). Ta có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{2a}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ \).

Đáp án: 10 500 000 đồng.

Ta có chiều dài của mỗi mặt cầu thang theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là \({u_1} = 189\), công sai \(d = - 7\) và số hạng cuối cùng là \({u_n} = 63\).

Khi đó áp dụng công thức tính số hạng tổng quát ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 63 = 189 - 7\left( {n - 1} \right) \Leftrightarrow n = 19\).

Tổng chiều dài của 19 hình chữ nhật đó là: \({S_{19}} = 19 \cdot \frac{{{u_1} + {u_{19}}}}{2} = 2394\).

Diện tích của 19 bậc thang là: \(S = 35 \cdot 2394 = 83790\) (cm\(^2\)) \( = 8,379\) (m\(^2\)).

Tổng số tiền để làm cầu thang đó là: \(T = 8,379 \cdot 1250000 = 10473750\) đồng.

Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.

Số tập con khác rỗng của \(A\) là \({2^6} - 1 = 63\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Số tập con có 3 phần tử là số cách chọn 3 phần tử trong 6 phần tử: \(C_6^3 = 20\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Số tập con có 2 phần tử là: \(C_6^2 = 15\)

Số tập con có 4 phần tử là: \(C_6^4 = 15\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: \( - 1\).

Để \({d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow - 1 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - m} \right) + 0 \cdot \left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).

Đáp án: \(\frac{{{a^2}}}{2};\frac{{{a^3}}}{2}\).

Ta có: \(A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} \Leftrightarrow 2{a^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow A{B^2} = {a^2}\).

Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\); \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB' \cdot {S_{\Delta ABC}} = a \cdot \frac{1}{2} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).

Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.

Nếu \({x_1} < {x_2}\) và \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Có \(x > 3\) thì \(f\left( x \right) < f\left( 3 \right)\) do đó \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} < 0\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Có \(\frac{6}{5} < \sqrt 2 \) nên \(f\left( {\frac{6}{5}} \right) > f\left( {\sqrt 2 } \right)\) nên phát biểu thứ ba đúng.